高中数学法向量

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资料来源于网络 仅供免费交流使用 直线的方向向量与平面的法向量

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【学习目标】

1. 理解直线的方向向量与平面的法向量，并会求直线的方向向量、平面的法向量；

2. 掌握用向量方法证明立体几何中的线、面的垂直与平行问题；

3. 掌握三垂线定理及其逆定理，并能应用此定理解题.

【要点梳理】

要点一：直线的方向向量

若A、B是直线l上的任意两点，则AB为直线l的一个方向向量；与AB平行的任意非零向量也是直线l的方向向量。

要点诠释：

（1）在直线上取有向线段表示的向量，或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量，均为直线的方向向量。

（2）在解具体立体几何题时，直线的方向向量一般不再叙述而直接应用，可以参与向量运算或向量的坐标运算。

要点二：平面的法向量

1.平面的法向量定义：

已知平面，直线l，取l的方向向量a，有a，则称为a为平面的法向量。

要点诠释：一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量。已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量。

2.平面的法向量确定通常有两种方法：

（1）几何体中有具体的直线与平面垂直，只需证明线面垂直，取该垂线的方向向量即得平面的法向量；

（2）几何体中没有具体的直线，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：

（i）设出平面的法向量为n=xyz，，； 精品文档 用心整理

资料来源于网络 仅供免费交流使用 （ii）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标a111abc，，，b222abc，，；

（iii）根据法向量的定义建立关于xyz，，的方程0,0.nanb

（iv）解方程组，取其中的一个解，即得法向量．由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量．

要点三：三垂线定理

1.三垂线定理

第七节 立体几何中的向量方法

一、空间向量与平行关系

【知识点11】直线的方向向量与平面的法向量

(1)直线的方向向量的定义

直线的方向向量是指和这条直线平行或共线的非零向量，一条直线的方向向量有无数个．

(2)平面的法向量的定义

直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则a叫做平面α的法向量．

注：直线的方向向量(平面的法向量)不唯一？

【例1】如图3，已知ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝12，试建立适当的坐标系．

(1)求平面ABCD的一个法向量；

(2)求平面SAB的一个法向量；

(3)求平面SCD的一个法向量．

【反思】1.利用待定系数法求平面法向量的步骤

(1)设向量：设平面的法向量为n＝(x，y，z)．

(2)选向量：在平面内选取两个不共线向量，.

(3)列方程组：由列出方程组．

(4)解方程组：

(5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1)．

(6)得结论：得到平面的一个法向量．

2．求平面法向量的三个注意点

(1)选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量．

(2)取特值：在求n的坐标时，可令x，y，z中一个为一特殊值得另两个值，就是平面的一个法向量．

(3)注意0：提前假定法向量n＝(x，y，z)的某个坐标为某特定值时一定要注意这个坐标不为0.

[练习1]正方体ABCD­A1B1C1D1中，E、F分别为棱A1D1、A1B1的中点，在如图3­2­2所示的空间直角坐标系中，求：

图3­2­2

(1)平面BDD1B1的一个法向量；

(2)平面BDEF的一个法向量．

【知识点12】空间中平行关系的向量表示

【类型一】用向量证明线线平行

【例1】如图3­2­3所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为DD1和BB1的中点．求证：四边形AEC1F是平行四边形．

图3­2­3

[反思] 1.两直线的方向向量共线(垂直)时，两直线平行(垂直)；否则两直线相交或异面．

高中点到直线的距离公式向量

在高中数学的学习中，“点到直线的距离公式向量”这一知识点就像是一座神秘的城堡，等待着我们去探索和征服。

说起点到直线的距离，我想起之前有一次给学生讲这部分内容的经历。那是一个阳光正好的上午，教室里的气氛却有些凝重，因为大家都被这个看似复杂的知识点给难住了。

我在黑板上写下一个点的坐标和一条直线的方程，然后开始逐步推导距离公式。“同学们，咱们先假设这个点是 P(x₀,y₀)，直线方程是

Ax + By + C = 0 。”我一边说，一边用粉笔在黑板上比划着。

咱们得找到一个垂直于这条直线的向量，这可是关键的一步哦！就像我们要去一个目的地，得先找到正确的方向。然后通过向量的运算，咱们就能得出点到直线的距离啦。

这时候有个同学举手说：“老师，我怎么觉得这个好抽象，不好理解啊。”我笑了笑，给他打了个比方：“你想象一下，你站在操场上，一条跑道就是那条直线，你所在的位置就是那个点，你要怎么算出你到跑道的最短距离呢？是不是得找到和跑道垂直的方向？”

经过一番讲解和练习，同学们逐渐掌握了这个公式。但我知道，要想真正熟练运用，还需要不断地练习和巩固。 那咱们具体来看看这个公式是怎么推导出来的。我们先设直线 L 的方程为 Ax + By + C = 0 ，点 P 的坐标为 (x₀,y₀) 。从点 P 作直线 L 的垂线，设垂足为 Q 。

接下来，我们要找到直线 L 的一个法向量 n = (A,B) 。为什么呢？因为法向量和直线是垂直的呀。然后，我们设向量 PQ = t × n ，其中 t

是一个实数。

因为点 Q 在直线 L 上，所以 Q 点的坐标满足直线 L 的方程。我们可以得到 A(x₀ + tA) + B(y₀ + tB) + C = 0 ，解出 t ，就能得到 t = -(Ax₀ + By₀ + C) / (A² + B²) 。

最后，我们就可以得到点 P 到直线 L 的距离 d = |PQ| = |t| × |n| =

必修一数学向量知识点总结

一、向量的概念

向量是有大小和方向的量，它可以表示为有向线段。向量的大小叫做向量的模，用 | | 表示；向量的方向叫做向量的方向角，用 α 表示。通常情况下，向量用小写字母表示，如 a

或 b。

二、向量的表示

1. 向量的表示方法：向量可以用坐标表示，也可以用分解表示。

（1）坐标表示：一个向量可以表示为（x，y），其中 x 和 y 分别表示向量在 x 轴和 y 轴上的分量。在二维平面直角坐标系中，向量 a 在 x 轴的分量为 a₁，在 y 轴的分量为 a₂，那么向量 a 可以表示为 a = (a₁，a₂)。

（2）分解表示：如果直角坐标系中的向量 a 的终点为 P（x₁，y₁），那么向量 a 可以表示为 a = xi + yj，其中 i 和 j 分别表示 x 轴和 y 轴上的单位向量。

2. 向量的相等条件：如果两个向量 a 和 b 的对应分量相等，则向量 a 等于向量 b，即 a = b

当且仅当 a₁ = b₁ 且 a₂ = b₂。

三、向量的运算

1. 向量的加法和减法：两个向量 a 和 b 的和可以表示为向量 a 的起点与向量 b 的终点的有向线段所组成的新向量，即 a + b。两个向量的差可以表示为向量 a 的起点与向量 b 的终点的有向线段所组成的新向量，即 a - b。

2. 向量的数乘：一个向量 a 与一个实数 k 的数乘可以表示为以向量 a 为一边，同向并且长度是原来的 k 倍的有向线段的向量，即 ka。

3. 向量的数量积：两个向量 a 和 b 的数量积，也叫点积或内积，可以表示为 a·b =

|a||b|cosθ，其中 |a| 和 |b| 分别表示向量 a 和向量 b 的模，θ 表示 a 和 b 之间的夹角。

4. 向量的向量积：两个向量 a 和 b 的向量积，也叫叉积或外积，可以表示为 a×b =

|a||b|sinθn，其中 n 表示与向量 a 和向量 b 共面的法向量。