函数与导数知识点小结
1．映射：注意① 第一个集合中的元素必须有象；② 一对一，或多对一。
2．函数值域的求法：① 分析法；② 配方法；③ 判别式法；④ 利用函数单调性；
⑤ 换元法；⑥ 利用均值不等式
a ba 2
b 2
ab；⑦ 利用数形结合或几何意22
义（斜率、距离、绝对值的意义等）；⑧ 利用函数有界性（、、等）；⑨ 导数法
3．复合函数的有关问题
（1）复合函数定义域求法：
①若 f(x)的定义域为［ a， b ］,则复合函数 f[g(x)] 的定义域由不等式 a≤ g(x)≤b解出
②若 f[g(x)] 的定义域为 [a,b], 求 f(x)的定义域，相当于x∈ [a,b] 时，求 g(x)的值域。（2）复合函数单调性的判定：
①首先将原函数 y f [ g ( x)] 分解为基本函数：内函数u g( x) 与外函数 y f (u) ；
② 分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性；
③ 根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。
4．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。
5．函数的奇偶性
⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件；
．．．．
⑵是奇函数
f( － x)=－ f(x)；是偶函数
f(－ x)= f(x)
⑶奇函数在原点有定义，则 f (0)0 ；
⑷在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性；
⑸若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性；6．函数的单调
性
⑴单调性的定义：
① 在区间上是增函数x1 , x2M , 当 x1x2时有 f ( x1 ) f (x2 ) ；
② 在区间上是减函数x1 , x2M , 当 x1x2时有 f ( x1 ) f (x2 ) ；
⑵单调性的判定
①定义法：一般要将式子 f (x1 ) f ( x2 ) 化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符
号；
② 导数法（见导数部分）；③ 复合函数法；④ 图像法。
注：证明单调性主要用定义法和导数法。
7．函数的周期性
(1)周期性的定义：对定义域内的任意x ，若有 f ( x T ) f ( x)（其中为非零常数），则称函数为周期函数，为它的一个周期。
所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。
（2）三角函数的周期
① y
sin x : T 2
； ② y cos x : T
2 ；③ y tan x : T
；
④ y
Asin( x
), y
A cos( x
) : T
2 ； ⑤ y tan x : T
；
|
|
| |
(3)与周期有关的结论
f ( x a) f ( x a) 或 f ( x 2a)
f (x)(a
0) 的周期为；
8．基本初等函数的图像与性质
⑴幂函数： y x
（
R) ； ⑵ 指数函数： y a x (a
0,a 1) ；
⑶对数函数 : y
log a x(a 0, a 1) ；⑷ 正弦函数 : y sin x ；
⑸余弦函数： y cosx ；（6 ）正切函数： y tan x ；⑺ 一元二次函数： ax 2 bx c
0 ；
⑻其它常用函数：
① 正 比 例 函 数 ： y
kx(k
0) ； ② 反 比 例 函 数 ： y
k ； ③ 函 数
(k 0)
a
(a
x
y x
0) ；
x
9．二次函数： ⑴解析式：
① 一般式： f (x) ax 2
bx c ； ② 顶点式： f (x) a(x h)2
k ，为顶点；
③ 零点式： f (x)
a( x x 1 )( x x 2 ) 。
⑵二次函数问题解决需考虑的因素：
① 开口方向； ② 对称轴； ③ 端点值； ④ 与坐标轴交点； ⑤ 判别式； ⑥ 两根符号。
二 次 函 数 y
ax 2 bx c 的 图 象 的 对 称 轴 方 程 是 x
b ， 顶 点 坐 标 是
2a
b 4a
c b 2
2a
，
。
4a
10．函数图象：
⑴图象作法 ：① 描点法 （特别注意三角函数的五点作图） ② 图象变换法 ③ 导数法
⑵图象变换：
① 平移变换： ⅰ ) y
f (x) y f ( x a) ， (a 0) ———左 “ +右”“－”；
ⅱ) y
f ( x) y
f ( x) k, (k
0) ———上 “ +下”“－ ”；
② 对称变换： ⅰ y
f ( x)
( 0, 0)
y
f ( x) ； ⅱ y f (x)
y 0
y f ( x) ；
ⅲ y f ( x)
x 0
y f ( x) ； ⅳ y f ( x)
y x
x f ( y) ；
③ 翻转变换：
ⅰ) y f ( x) y f (| x |) ——— 右不动，右向左翻（在左侧图象去掉）
；
ⅱ) y
f ( x)
y | f ( x) | ———上不动，下向上翻（ || 在 x 下面无图象）；
11．函数图象（曲线）对称性的证明
(1)证明函数 y f ( x) 图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的
对称点仍在图像上；
（2）证明函数 y
f ( x) 与 y
g ( x) 图象的对称性，即证明 y
f (x) 图象上任意点关
于对称中心（对称轴）的对称点在
y g( x) 的图象上，反之亦然；
注： ① 曲线 C 1:f(x,y)=0 关于点（ 0,0）的对称曲线 C 2 方程为： f(－ x,－ y)=0;
② 曲线 C :f(x,y)=0 关于直线 x=0 的对称曲线 C 方程为： f( －x, y)=0;
1
2
曲线 C 1
:f(x,y)=0 2
关于直线 y=0 的对称曲线 C 方程为： f(x, － y)=0;
曲线 C 1:f(x,y)=0 关于直线 y=x 的对称曲线 C 2 方程为： f(y, x)=0
③ f(a+x)=f(b － x) （ x ∈ R ） →y=f(x)图像关于直线 x=
a
b
对称；
2
特别地： f(a+x)=f(a － x) （ x ∈ R ）→ y=f(x)图像关于直线
x=a 对称；
12．函数零点的求法：
⑴直接法（求 f ( x)
0 的根）； ⑵图象法； ⑶ 二分法 .
(4)零点定理：若 y=f(x)在 [a,b] 上满足 f(a)f(b)<0, 则 y=f(x)在（ a,b)内至少有一个零点。 13．导数
⑴导数定义： f(x)在点 x 0 处的导数记作
y
x x
f (x 0 ) lim
f (x 0
x )
f ( x 0 ) ；
x 0
x
⑵常见函数的导数公式 : ①； ② (x n )' nx n 1 ； ③ (sin x) '
cos x ；
④ (cos x) ' sin x ； ⑤ (a x ) ' a x ln a ； ⑥ (e x )' e x ； ⑦ (log a x)'
1 ； ⑧ (ln x) '
1
x ln a
。
x
⑶导数的四则运算法则： ( u
v)
u
v ; (uv)
u v
uv ; ( u
) u v uv ;
v v 2
⑷ （理科） 复合函数的导数： y x y u u x ;
⑸ 导数的应用：
① 利用导数求切线：注意： ⅰ )所给点是切点吗 ⅱ )所求的是 “在 ”还是 “过 ”该点的切线
② 利用导数判断函数单调性：
① f ( x) 0f (x) 是增函数； ② f ( x) 0
f ( x) 为减函数； ③ f ( x) 0 f (x) 为
常数；
③利用导数求极值：ⅰ）求导数 f ( x) ；ⅱ ）求方程 f (x)0 的根；ⅲ）列表得极值。
④ 利用导数最大值与最小值：ⅰ ）求的极值；ⅱ ——求区间端点值（如果有）；ⅲ ）得最值。
函数与导数 1．映射：注意①第一个集合中的元素必须有象；②一对一，或多对一。 2．函数值域的求法：①分析法；②配方法；③判别式法；④利用函数单调性； ⑤换元法；⑥利用均值不等式；⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（、、等）；⑨导数法 3．复合函数的有关问题 （1）复合函数定义域求法： ①若f(x)的定义域为〔a，b〕,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出②若f[g(x)]的定义域为[a,b],求f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域。 （2）复合函数单调性的判定： ①首先将原函数分解为基本函数：内函数与外函数； ②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性； ③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。 注意：外函数的定义域是内函数的值域。 4．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。 5．函数的奇偶性 ⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件； ⑵是奇函数； ⑶是偶函数； ⑷奇函数在原点有定义，则； ⑸在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性； （6）若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性； 6．函数的单调性 ⑴单调性的定义： ①在区间上是增函数当时有； ②在区间上是减函数当时有； ⑵单调性的判定 1 定义法： 注意：一般要将式子化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号； ②导数法（见导数部分）； ③复合函数法（见2 （2））； ④图像法。 注：证明单调性主要用定义法和导数法。 7．函数的周期性 (1)周期性的定义： 对定义域内的任意，若有（其中为非零常数），则称函数为周期函数，为它的一个周期。 所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周（2）三角函数的周期： ⑶函数周期的判定 ①定义法（试值）②图像法③公式法（利用（2）中结论） ⑷与周期有关的结论
高中导数知识点归纳 1 一、基本概念 2 1. 导数的定义： 3 设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ?，则函数值y 也4 引起相应的增量)()(00x f x x f y -?+=?；比值x x f x x f x y ?-?+=??)()(00称为函数)(x f y =在点0x 5 到x x ?+0之间的平均变化率；如果极限x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000存在，则称函数6 )(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数。 7 ()f x 在点0x 处的导数记作x x f x x f x f y x x x ?-?+='='→?=) ()(lim )(00000 8 2 导数的几何意义：（求函数在某点处的切线方程） 9 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的10 斜率，也就是说，曲线)(x f y =在点P ))(,(0x f x 处的切线的斜率是)(0'x f ，切线方程为11 ).)((0'0x x x f y y -=- 12 3．基本常见函数的导数: 13 ①0;C '=（C 为常数） ②()1;n n x nx -'= 14 ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; 15 ⑤();x x e e '= ⑥()ln x x a a a '=; 16 ⑦()1ln x x '=; ⑧()1l g log a a o x e x '=. 17 二、导数的运算 18 1.导数的四则运算： 19
高数第二章导数与微分知识点总结 第一节 导数 1．基本概念 （1）定义 0000000000 ()()()()()|(|)'()lim lim lim x x x x x x x f x x f x f x f x dy df x y f x dx dx x x x x ==?→?→→+?--?====??-或 注：可导必连续，连续不一定可导. 注:分段函数分界点处的导数一定要用导数的定义求. （2）左、右导数 0'00000 0()()()()()lim lim x x x f x x f x f x f x f x x x x - --?→→+?--==?-. 0 '00000 0()()()()()lim lim x x x f x x f x f x f x f x x x x + ++?→→+?--==?-. 0'()f x 存在''00()()f x f x -+?=. （3）导数的几何应用 曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程：000()'()()y f x f x x x -=-. 法线方程：0001 ()()'() y f x x x f x -=- -. 2．基本公式 （1）'0C = （2）' 1 ()a a x ax -= （3）()'ln x x a a a =（特例()'x x e e =）（4）1 (log )'(0,1)ln a x a a x a = >≠
（5）(sin )'cos x x = （6）(cos )'sin x x =- （7）2(tan )'sec x x = （8）2 (cot )'csc x x =- （9）(sec )'sec tan x x x = （10）(csc )'csc cot x x x =- （11）2 1(arcsin )'1x x = - （12）2 1(arccos )'1x x =- - （13）21(arctan )'1x x = + （14）2 1 (arccot )'1x x =-+ （15222 2 1[ln()]'x x a x a + += + 3．函数的求导法则 （1）四则运算的求导法则 ()'''u v u v ±=± ()'''uv u v uv =+ 2 '' ()'u u v uv v v -= （2）复合函数求导法则--链式法则 设(),()y f u u x ?==，则(())y f x ?=的导数为：[(())]''(())'()f x f x x ???=. 例5 求函数2 1 sin x y e =的导数. （3）反函数的求导法则 设()y f x =的反函数为()x g y =，两者均可导，且'()0f x ≠，则 11 '()'()'(()) g y f x f g y = =. （4）隐函数求导 设函数()y f x =由方程(,)0F x y =所确定，求'y 的方法有两种：直接求导法和公式法' ''x y F y F =-. （5）对数求导法：适用于若干因子连乘及幂指函数 4．高阶导数
导数及其应用 【考纲说明】 1、了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。 2、熟记八个基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。 3、理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。 【知识梳理】 一、导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0），比值x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。如果当0→?x 时，x y ??有极限，我们 就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。 即f （x 0）=0lim →?x x y ??=0lim →?x x x f x x f ?-?+)()(00。 说明：
（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→?x 时，x y ??有极限。如果x y ??不存在极限，就说函数在点x 0处不可导， 或说无导数。 （2）x ?是自变量x 在x 0处的改变量，0≠?x 时，而y ?是函数值的改变量，可以是零。 由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤： （1）求函数的增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0）； （2）求平均变化率x y ??=x x f x x f ?-?+) ()(00； （3）取极限，得导数f’(x 0)=x y x ??→?0lim 。 二、导数的几何意义 函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。相应地，切线方程为y －y 0=f/（x 0）（x －x 0）。 三、几种常见函数的导数 ①0;C '= ②() 1;n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '=⑥()ln x x a a a '=; ⑦ ()1ln x x '= ; ⑧()1 l g log a a o x e x '=. 四、两个函数的和、差、积的求导法则 法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)， 即： ( .)' ''v u v u ±=± 法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数， 即： .)('''uv v u uv += 若C 为常数,则' ''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： .)(''Cu Cu = 法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方： ? ?? ??v u ‘=2' 'v uv v u -（v ≠0）。 形如y=f [x (?])的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法则：y ＇|x = y ＇|u ·u ＇|x 五、导数应用 1、单调区间： 一般地，设函数)(x f y =在某个区间可导，
导数的概念 例：设一质点沿x轴运动时，其位置x是时间t的函数，，求质点在t0的瞬时速 度？ 我们知道时间从t0有增量△t时，质点的位置有增量 这就是质点在时间段△t的位移。因此，在此段时间内质点的平均速度为： 若质点是匀速运动的则这就是在t0的瞬时速度，若质点是非匀速直线运动，则这还不是质点在t0时的瞬时速度。 我们认为当时间段△t无限地接近于0时，此平均速度会无限地接近于质点t0时的瞬时速度， 即：质点在t0时的瞬时速度= 为此就产生了导数的定义，如下 导数的定义 设函数在点x0的某一邻域内有定义，当自变量x在x0处有增量△x(x+△x也在该邻域内)时，相应地 函数有增量 ， 若△y与△x之比当△x→0时极限存在，则称这个极限值为在x0处的导数。 记为：还可记为：， 函数在点x0处存在导数简称函数在点x0处可导，否则不可导。 若函数在区间(a,b)内每一点都可导，就称函数在区间(a,b)内可导。这时函数 对于区 间(a,b)内的每一个确定的x值，都对应着一个确定的导数，这就构成一个新的函数， 我们就称这个函数为原来函数的导函数。 注：导数也就是差商的极限左、右导数 前面我们有了左、右极限的概念，导数是差商的极限，因此我们可以给出左、右导数的
概念。 若极限存在，我们就称它为函数在x=x0处的左导数。 若极限存在，我们就称它为函数在x=x0处的右导数。 注：函数在x0处的左右导数存在且相等是函数在x0处的可导的充分必要条件 函数的和差求导法则 法则：两个可导函数的和(差)的导数等于这两个函数的导数的和(差). 用公式可写为：。其中u、v为可导函数。 常数与函数的积的求导法则 法则：在求一个常数与一个可导函数的乘积的导数时，常数因子可以提到求导记号外面去。用公式可写成： 函数的积的求导法则 法则：两个可导函数乘积的导数等于第一个因子的导数乘第二个因子，加上第一个因子乘第二个因子的导数。用公式可写成： 函数的商的求导法则 法则：两个可导函数之商的导数等于分子的导数与分母导数乘积减去分母导数与分子导数的乘积，在除以分母导数的平方。用公式可写成： 复合函数的求导法则 例题：求=? 解答：由于，故这个解答正确吗? 这个解答是错误的，正确的解答应该如下： 我们发生错误的原因是是对自变量x求导，而不是对2x求导。 下面我们给出复合函数的求导法则
函数与导数知识点复习测试卷(文) 一、映射与函数 1、映射 f ：A →B 概念 （1）A 中元素必须都有________且唯一； （2）B 中元素不一定都有原象，且原象不一定唯一。 2、函数 f ：A →B 是特殊的映射 (1)、特殊在定义域 A 和值域 B 都是非空数集。函数 y=f(x)是“y 是x 的函数”这句话的数学 表示，其中 x 是自变量，y 是自变量 x 的函数，f 是表示对应法则，它可以是一个解析式，也可以是表格或图象， 也有只能用文字语言叙述.由此可知函数图像与垂直x 轴的直线________公共点，但与垂直 y 轴的直线公共点可能没有，也可能是任意个。（即一个x 只能对应一个y ，但一个y 可以对应多个x 。） （2）、函数三要素是________，________和________，而定义域和对应法则是起决定作用的要素， 因为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数. 二、函数的单调性 在函数f (x )的定义域内的一个________上，如果对于任意两数x 1，x 2∈A 。当x 1 导数及其应用 知识点总结 1、函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率：()()2121 f x f x x x -- 2、导数定义：()f x 在点0x 处的导数记作x x f x x f x f y x x x ?-?+='='→?=)()(lim )(00000；． 3、函数()y f x =在点0x 处的导数的几何意义是曲线 ()y f x =在点()()00,x f x P 处的切线的斜率． 4、常见函数的导数公式： ①'C 0=； ②1')(-=n n nx x ；③x x cos )(sin '=； ④x x sin )(cos '-=； ⑤a a a x x ln )('=；⑥x x e e =')(； ⑦a x x a ln 1)(log '=；⑧x x 1)(ln '= 5、导数运算法则： ()1 ()()()()f x g x f x g x '''±=±????； ()2 ()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''?=+????； ()3()()()()()()()()()20f x f x g x f x g x g x g x g x '??''-=≠????????． 6、在某个区间(),a b 内，若()0f x '>，则函数()y f x =在这个区间内单调递增； 若()0f x '<，则函数()y f x =在这个区间内单调递减． 7、求解函数()y f x =单调区间的步骤： （1）确定函数()y f x =的定义域； （2）求导数'' ()y f x =； （3）解不等式'()0f x >，解集在定义域内的部分为增区间； （4）解不等式'()0f x <，解集在定义域内的部分为减区间． 8、求函数()y f x =的极值的方法是：解方程()0f x '=．当()00f x '=时： ()1如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么()0f x 是极大值； ()2如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么()0f x 是极小值． 9、求解函数极值的一般步骤： （1）确定函数的定义域 （2）求函数的导数f ’(x) （3）求方程f ’(x)=0的根 （4）用方程f ’(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格 （5）由f ’(x)在方程f ’(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况 10、求函数()y f x =在[],a b 上的最大值与最小值的步骤是： ()1求函数()y f x =在(),a b 内的极值； ()2将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 导数 一、导数的概念 1．导数的背景 （1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。 如一物体的运动方程是，其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在 时的瞬时速度为_____（答：5米/秒） 2.导数的定义 如果函数在开区间（a,b）内可导，对于开区间（a,b）内的每一个，都对应着一个导数，这样在开区间（a,b）内构成一个新的函数，这一新的函数叫做 在开区间（a,b）内的导函数，记作，导函数也简称为导数。 3、求在处的导数的步骤： （1）求函数的改变量； （2）求平均变化率； （3）取极限，得导数。 4、导数的几何意义： 函数在点处的导数的几何意义，就是曲线在点处的切线的斜率，即曲线在点处的切线的斜率是，相应地切线的 方程是。 特别提醒： （1）在求曲线的切线方程时，要注意区分所求切线是曲线上某点处的切线，还是过某 点的切线：曲线上某点处的切线只有一条，而过某点的切线不一定只有一条，即使此点在曲线上也不一定只有一条； （2）在求过某一点的切线方程时，要首先判断此点是在曲线上，还是不在曲线上，只 有当此点在曲线上时，此点处的切线的斜率才是。 比如： （1）P 在曲线上移动，在点P 处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是 ______（答：）； （2）直线是曲线的一条切线,则实数的值为_______（答：－3 或1）； （3）已知函数（为常数）图像上处的切线与的夹角为，则点的横坐标为_____（答：0 或）； （4）曲线在点处的切线方程是______________（答：）；（5）已知函数，又导函数的图象与轴交于。①求的值；②求过点的曲线的切线方程 （答：①1；②或）。[1] 二、相关背景 从微积分成为一门学科来说，是在十七世纪，但是，微分和积分的思想在古代就已经产 生了。 公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。作为微分学基础的极限理 论来说，早在古代以有比较清楚的论述。比如我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇” 中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之 弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念。 到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。 归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求 即时速度的问题。第二类问题是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大值和最 小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一 个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。 十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的 研究工作，如法国的费尔玛、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普 勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。为微积分的创立做出了贡献。 十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家ㄈ牛顿和德国数学家莱布尼茨分 别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。他们 第一章 函数与极限 1. 函数 会求函数的定义域，对应法则； 几种特殊的函数（复合函数、初等函数等）； 函数的几种特性（有界性、单调性、周期性、奇偶性） 2. 极限 （1）概念 无穷小与无穷大的概念及性质； 无穷小的比较方法；（高阶、低阶、同阶、等价） 函数的连续与间断点的判断 （2）计算 函数的极限计算方法（对照极限计算例题，熟悉每个方法的应用条件） 极限的四则运算法则 利用无穷小与无穷大互为倒数的关系； 利用无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小的性质； 消去零因子法； 无穷小因子分出法； 根式转移法； 利用左右极限求分段函数极限； 利用等价无穷小代换（熟记常用的等价无穷小）； 利用连续函数的性质； 洛必达法则（掌握洛必达法则的应用条件及方法）； ∞ ∞或00型，)()(lim )()(lim x g x f x g x f ''= 两个重要极限（理解两个重要极限的特点）；1sin lim 0=→x x x ，1)()(sin lim 0)(=??→?x x x e x x x =+→10)1(lim ，e x x x =+∞→)11(lim ， 一般地，0)(lim =?x ，∞=ψ)(lim x ，)()(lim )())(1lim(x x x e x ψ?ψ=?+ 3 函数的连续 连续性的判断、间断点及其分类 第二章 导数与微分 1 导数 （1）导数的概念：增量比的极限；导数定义式的多样性，会据此求一些函数的极限。 导数的几何意义：曲线上某点的切线的斜率 （2）导数的计算： 基本初等函数求导公式； 导数的四则运算法则；（注意函数积、商的求导法则） 复合函数求导法则（注意复合函数一层层的复合结构，不能漏层） 隐函数求导法则（a ：两边对x 求导，注意y 是x 的函数；b ：两边同时求微分；） 高阶导数 2 微分 函数微分的定义，dx x f dy x x )(00'== 第三章 导数的应用 洛必达法则（函数极限的计算） 函数的单调性与极值，最值、凹凸性与拐点的求法 函数与导数知识点 【重点知识整合】 1.导数的定义：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ?时，则函数()y f x =相 应地有增量)()(00x f x x f y -?+=?， 如果0→?x 时，y ?与x ?的比x y ??（也叫函数的平均变化率）有极限即x y ??无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在 0x x →处的导数，记作0 x x y ='，即 0000 ()() ()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=?. 注意：在定义式中，设x x x ?+=0，则0x x x -=?，当x ?趋近于0时，x 趋近于0x ，因此，导数的定义式可写 成 000000 ()()()() ()lim lim x o x x f x x f x f x f x f x x x x ?→→+?--'==?-. 2.导数的几何意义： 导数 0000 ()() ()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=?是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在点0x 处 变化的快慢程度. 它的几何意义是曲线)(x f y =上点（)(,00 x f x ）处的切线的斜率.因此，如果)(x f y =在点0 x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00 x f x ）处的切线方程为 000()()()y f x f x x x -='- 注意：“过点A 的曲线的切线方程”与“在点A 处的切线方程”是不相同的，后者A 必为切点，前者未必是切点. 3.导数的物理意义： 函数()s s t =在点 0t 处的导数0(),s t '就是物体的运动方程()s s t =在点0t 时刻的瞬时速度v ，即0().v s t '= 4．几种常见函数的导数：0'=C (C 为常数)；1 )'(-=n n nx x (Q n ∈)； x x cos )'(sin =； x x sin )'(cos -=； 1(ln )x x '= ； 1 (log )log a a x e x '=； ()x x e e '= ； ()ln x x a a a '=. 5.求导法则： 法则1： [()()]()()u x v x u x v x ±'='±'； 法则2： [()()]()()()()u x v x u x v x u x v x '='+', [()]'()Cu x Cu x '=； 法则3： ' 2 '' (0)u u v uv v v v -??=≠ ???. 第二章 导数与微分 一、导数 1．导数的定义: 由“变速直线运动的瞬时速度”、“平面曲线的切线斜率”引出 设函数()x f y =在点0x 的某领域内有定义，自变量x 在0x 处有增量x ?，相应地函数增量()()00x f x x f y -?+=?。如果极限 ()()x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?0000lim lim 存在，则称此极限值为函数()x f 在0x 处的导数（也称微商），记作()0x f '，或0 x x y =' ， 0x x dx dy =，()0 x x dx x df =等，并称函数()x f y =在点0x 处可导。如果上面的极限不存在， 则称函数()x f y =在点0x 处不可导。 注：函数()x f 在0x 处的导数，就是导函数f ’(x)在点在0x 处的函数值，即()0x f '=f ’(x)|x=x0。 多数情况下用求导法则，有时用定义求导更方便。如题中函有f(x)，而不是具体的方程时。 2、单侧导数 右导数：()()()()() x x f x x f x x x f x f x f x x x ?-?+=--='++ →?→+000000lim lim 0 左导数：()()()()()x x f x x f x x x f x f x f x x x ?-?+=--='-- →?→-000000lim lim 0 则有 ()x f 在点0x 处可导()x f ?在点0x 处左、右导数皆存在且相等。 3、导数的几何意义 如果函数()x f y =在点0x 处导数()0x f '存在，则在几何上()0x f '表示曲线 ()x f y =在点()()00,x f x 处的切线的斜率，即：()0x f '=K=tan a 。 切线方程：()()()000x x x f x f y -'=- 法线方程：()() ()()()01 0000≠'-'- =-x f x x x f x f y 注：切线与法线垂直，切线的斜率与法线的斜率乘积为负1，即：K 切 * K 法 = -1。 设物体作直线运动时路程S 与时间t 的函数关系为()t f S =，如果()0t f '存在，则 高中导数知识点归纳 一、基本概念 1. 导数的定义： 设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ?，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -?+=?；比值x x f x x f x y ?-?+=??)()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ?+0之间的平均变化率；如果极限x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数。 ()f x 在点0x 2 函数)(x f y =的切线的斜率， ②()1;n n x nx -'= ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '= ⑥()ln x x a a a '=; ⑦()1ln x x '=; ⑧()1l g log a a o x e x '=. 二、导数的运算 1.导数的四则运算： 法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)， 即： ()()()()f x g x f x g x '''±=±???? 法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数，即：()()()()()() f x g x f x g x f x g x ''' ?=+ ?? ?? 常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：). ( )) ( (' 'x Cf x Cf=(C 为常数) 法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方： () () ()()()() () () 2 f x f x g x f x g x g x g x ' ??'' - =≠ ?? ?? 。 2.复合函数的导数 形如)] ( [x f y? = 三、导数的应用 1. ) (x f在此区间上为减函数。 恒有'f0 ) (= x，则)(x f为常函数。 2．函数的极点与极值：当函数)(x f在点 x处连续时， ①如果在 x附近的左侧)('x f＞0，右侧)('x f＜0，那么) (0x f是极大值； ②如果在 x附近的左侧)('x f＜0，右侧)('x f＞0，那么) (0x f是极小值. 3．函数的最值： 一般地，在区间] , [b a上连续的函数) (x f在] , [b a上必有最大值与最小值。函数) (x f在区间上的最值 ] , [b a值点处取得。 只可能在区间端点及极 求函数) (x f在区间上最值 ] , [b a的一般步骤：①求函数) (x f的导数，令导 2） 导数与微分 070713.设 )(x f 在0x 可导，则=--→h x f h x f h ) ()2(lim 000 （ ）． A )(0x f ' B )(20x f ' C )(0x f '- D )(20x f '- 070113.设 )(x f 在0x 可导，则=--→h x f h x f h 2) ()2(lim 000 （ ）． (A) )(0x f ' (B) )(20x f ' (C) )(0x f '- (D) )(20x f '- 060113.设 x x f e )(=，则=?-?+→?x f x f x )1()1(lim （ ）．A e 2 B e C 080713.下列等式中正确的是（ ） A dx x x d 1 )1(2-= B dx x 2)x 1d(= C dx d x x 2)ln22(= D 050713.下列等式中正确的是（ ）． A.xdx d arctan )1( 2= B. 2 )1(dx d -= C.dx d x x 2)2ln 2 (= D.xdx x d cot )(tan = A 先单调下降再单调上升 B 单调下降 C 先单调上升再单调下降 D 单调上升 060713. 函数 622+-=x x y 在区间)5,2(内满足（ ） ． A. 先单调下降再单调上升 B. 单调下降 C. 先单调上升再单调下降 D. 单调上升 080724.函数 2)2(2+-=x y 的单调减少区间是 ． 080124.函数 1)(2-=x x f 的单调减少区间是 ． 070724. 函数2 x e y -=的单调减少区间是 ． 070124.函数x y arctan =的单调增加区间是 ． 060724.函数1)1(2++=x y 的单调增加区间是 ． 060124.函数1)1(2++=x y 的单调减少区间是 ． 050724.函数 )1ln(2x y +=的单调增加区间是 ． 080732.设 2sin sin x e y x +=，求y ' 解：2sin 2sin cos 2cos )(sin )(x x x e x e y x x +='+'=' 080132.设2 x xe y =，求 y ' 解：2 22222)()(x x x x e x e e x e x y +='+'=' 070732.设2sin x e y x -=，求'y 解：x xe x x e y x x 2cos )().(sin sin 2sin -='-'=' 070132.设x x y e cos ln +=，求'y 解：x x x y e sin )(ln -'=' 060732.设 x x e y x ln tan -=，求y '． x x x x x 12- 解：由导数四则运算法则得 x x x x x x x x x y ++= '+'+'='ln 2cos 1 )(ln ln )()(tan 222 050733.设 2cos ln x y =，求d y ． 定积分 一、知识点与方法： 1、定积分的概念 设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点011i i n a x x x x x b -=<<<<<<=……把区间[,]a b 等分成n 个小区间，在每个小区间1[,]i i x x -上取任一点(1,2,,)i i n ξ=…作和式 1 ()n n i i I f x ξ== ?∑ （其中x ?为小区间长度） ，把n →∞即0x ?→时，和式n I 的极限叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，记作：?b a dx x f )(，即?b a dx x f )(＝1 lim ()n i n i f x ξ→∞ =?∑ 。 这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[,]a b 叫做积分区间，函数()f x 叫做被积函数，x 叫做积分变量，()f x dx 叫做被积式。 (1)定积分的几何意义：当函数()f x 在区间[,]a b 上恒为正时，定积分()b a f x dx ?的几何意 义是以曲线()y f x =为曲边的曲边梯形的面积。 (2)定积分的性质 ① ??=b a b a dx x f k dx x kf )()(（k 为常数）；② ???± = ±b a b a b a dx x g dx x f dx x g x f )()()()(； ③???+ = b a c a b c dx x f dx x f dx x f )()()(（其中a c b <<)。 2、微积分基本定理 如果()y f x =是区间[,]a b 上的连续函数，并且()()F x f x '=，那么: ()()|()()b b a a f x dx F x F b F a ==-? 3、定积分的简单应用 (1) 定积分在几何中的应用：求曲边梯形的面积由三条直线 ,()x a x b a b ==<，x 轴及一条曲线()(()0)y f x f x =≥围成的 曲边梯的面积? = b a dx x f S )(。 如果图形由曲线y 1＝f 1(x )，y 2＝f 2(x )（不妨设f 1(x )≥f 2(x )≥0），及直线x ＝a ，x ＝b （a 导 数 主要内容 导数的背影．导数的概念．多项式函数的导数．利用导数研究函数的单调性和极值．函数的最大值和最小值．考试要求：（1）了解导数概念的某些实际背景．（2）理解导数的几何意义．（3）掌握函数，y=c(c 为常数)、y=xn(n ∈N+)的导数公式，会求多项式函数的导数．（4）理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值．（5）会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值． §14. 导 数 知识要点 1. 导数（导函数的简称）的定义：设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ?，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -?+=?；比值x x f x x f x y ?-?+= ??) ()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ?+0之间的平均变化率；如果极限x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 注：①x ?是增量，我们也称为“改变量”，因为x ?可正，可负，但不为零. ②以知函数)(x f y =定义域为A ，)('x f y =的定义域为B ，则A 与B 关系为B A ?. 2. 函数)(x f y =在点0x 处连续与点0x 处可导的关系： ⑴函数)(x f y =在点0x 处连续是)(x f y =在点0x 处可导的必要不充分条件. 可以证明，如果)(x f y =在点0x 处可导，那么)(x f y =点0x 处连续. 事实上，令x x x ?+=0，则0x x →相当于0→?x . 于是)]()()([lim )(lim )(lim 0000 00 x f x f x x f x x f x f x x x x +-+=?+=→?→?→ 导 数 导数的概念 导数的运算 导数的应用 导数的几何意义、物理意义 函数的单调性 函数的极值 函数的最值 常见函数的导数 导数的运算法则 高中数学导数章节知识点总结 考点1:与导数定义式有关的求值问题 1:已知 等于 A. 1 B. C. 3 D. 1.已知 ，则 的值是______ ． 考点2:导数的四则运算问题 1:下列求导运算正确的是 A. B. C. D. 2:已知函数，为 的导函数，则 的值为______． 考点3:复合函数的导数计算问题 1:设 ，则 A. B. C. D. 2:函数的导函数 ______ 考点4:含)('a f 的导数计算问题 1:已知定义在R 上的函数 ，则 A. B. C. D. 2:设函数满足，则 ______． 考点5:求在某点处的切线方程问题 1:曲线在点处的切线方程为 A. B. C. D. 2:曲线在处的切线方程为_________________． 考点6:求过某点的切线方程问题 1:已知直线过原点且与曲线相切，则直线斜率 A. B. C. D. 2:若直线过点)1,0(-且与曲线x y ln =相切，则直线方程为： 考点7:根据相切求参数值问题 1:已知直线与曲线相切，则a 的值为 A. 1 B. 2 C. D. 2:若曲线在点处的切线平行于x 轴，则 ________． 考点8:求切线斜率或倾斜角范围问题 1:点P 在曲线3 2)(3 +-=x x x f 上移动，设P 点处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是 （ ） A. ?? ????2,0π B. ),4 3[)2,0[πππY C.),43[ ππ D. ]4 3,2(π π 2:在曲线的所有切线中，斜率最小的切线方程为_______ 考点9:求曲线上点到直线距离的最值问题 1:已知P 为曲线x y C ln :=上的动点，则P 到直线03:=+-y x l 距离的最小值为（ ） A. 2 B. 22 C.2 D. 3 考点10:求具体函数的单调区间问题 1：函数x e x x f )1()(+=的单调递增区间是 A. ),2[+∞- B. ),1[+∞- C. D. 2:函数x x x f ln )(=的单调减区间为 考点11：已知单调性，求参数范围问题 1:已知函数 在区间 上是增函数，则实数m 的取值范围为 A. B. C. D. 2:若函数在区间上单调递增，则实数a 的取值范围是______． 考点12：解抽象不等式问题 1:已知函数是函数 的导函数， ，对任意实数都有，则不等 式 的解集为 A. B. C. D. 2:函数的定义域为R ，且 ， ，则不等式 的解集为______ ． 考点13：求具体函数的极值问题 1:函数 ，则 A. 为函数的极大值点 B. 为函数的极小值点 C. 为函数 的极大值点 D. 为函数 的极小值点 《导数及其应用》知识点总结 一、导数的概念和几何意义 1. 函数的平均变化率：函数()f x 在区间12[,]x x 上的平均变化率为： 2121 ()() f x f x x x --。 2. 导数的定义：设函数()y f x =在区间(,)a b 上有定义，0(,)x a b ∈，若x ?无限趋近于0时，比值00()()f x x f x y x x +?-?=??无限趋近于一个常数A ，则称函数()f x 在0x x =处可导，并称该常数A 为函数()f x 在0x x =处的导数，记作0()f x '。函数()f x 在0x x =处的导数的实质是在该点的瞬时变化率。 3. 求函数导数的基本步骤：（1）求函数的增量00()()y f x x f x ?=+?-；（2）求平均变化率：00()()f x x f x x +?-?；（3）取极限，当x ?无限趋近与0时，00()() f x x f x x +?-?无限趋近与一个常数A ，则 0()f x A '=. 4. 导数的几何意义： 函数()f x 在0x x =处的导数就是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率。由此，可以利用导数求曲线的切线方程，具体求法分两步： （1）求出()y f x =在x 0处的导数，即为曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率； （2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为000()()y y f x x x '-=-。 当点00(,)P x y 不在()y f x =上时，求经过点P 的()y f x =的切线方程，可设切点坐标，由切点坐标得到切线方程，再将P 点的坐标代入确定切点。特别地，如果曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线平行与y 轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为0x x =。 5. 导数的物理意义： 质点做直线运动的位移S 是时间t 的函数()S t ，则()V S t '=表示瞬时速度，()a v t '=表示瞬时加速度。 二、导数的运算 1. 常见函数的导数： （1）()kx b k '+=(k , b 为常数)； （2）0C '=(C 为常数)； （3）()1x '=； （4）2()2x x '=； （5）32()3x x '=； （6）211()x x '=-； （7 ）'； （8）1()ααx αx -'=（α为常数）；导数及其应用(知识点总结)
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