导数及其应用(知识点总结)
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导数及其应用 知识点总结
1、函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率:()()2121
f x f x x x -- 2、导数定义:()f x 在点0x 处的导数记作x
x f x x f x f y x x x ∆-∆+='='→∆=)()(lim )(00000;. 3、函数()y f x =在点0x 处的导数的几何意义是曲线
()y f x =在点()()00,x f x P 处的切线的斜率. 4、常见函数的导数公式:
①'C 0=; ②1')(-=n n nx
x ;③x x cos )(sin '=; ④x x sin )(cos '-=; ⑤a a a x x ln )('=;⑥x x e e =')(; ⑦a x x a ln 1)(log '=;⑧x
x 1)(ln '= 5、导数运算法则:
()1 ()()()()f x g x f x g x '''±=±⎡⎤⎣⎦;
()2 ()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=+⎡⎤⎣⎦;
()3()()()()()()()()()20f x f x g x f x g x g x g x g x '⎡⎤''-=≠⎢⎥⎡⎤⎣⎦⎣⎦.
6、在某个区间(),a b 内,若()0f x '>,则函数()y f x =在这个区间内单调递增; 若()0f x '<,则函数()y f x =在这个区间内单调递减.
7、求解函数()y f x =单调区间的步骤:
(1)确定函数()y f x =的定义域; (2)求导数''
()y f x =;
(3)解不等式'()0f x >,解集在定义域内的部分为增区间;
(4)解不等式'()0f x <,解集在定义域内的部分为减区间.
8、求函数()y f x =的极值的方法是:解方程()0f x '=.当()00f x '=时: ()1如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么()0f x 是极大值;
()2如果在0x 附近的左侧()0f x '<,右侧()0f x '>,那么()0f x 是极小值.
9、求解函数极值的一般步骤:
(1)确定函数的定义域 (2)求函数的导数f ’(x)
(3)求方程f ’(x)=0的根
(4)用方程f ’(x)=0的根,顺次将函数的定义域分成若干个开区间,并列成表格
(5)由f ’(x)在方程f ’(x)=0的根左右的符号,来判断f(x)在这个根处取极值的情况
10、求函数()y f x =在[],a b 上的最大值与最小值的步骤是:
()1求函数()y f x =在(),a b 内的极值;
()2将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ,()f b 比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.