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湖南省长郡中学2020届高三数学上学期第一次月考(开学考试)试题 理

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长郡中学2020届高三月考试卷（一）

数学（理科）

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设复数121izii，则z（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3

2.已知集合240Axxx，1{327}18xBx，2,CxxnnN，则ABCUI（ ）

A．2,4 B．0,2

C．0,2,4 D．2,xxnnN

3.若定义在R上的偶函数fx满足2fxfx且0,1x时，fxx，则方程3logfxx的零点个数是（ ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

4.计算sin133cos197cos47cos73的结果为（ ）

A．12 B．12 C. 22 D．32

5.已知A、B、P是双曲线22221xyab上不同的三点，且A、B连线经过坐标原点，若直线PA、PB的斜率乘积3PAPBkk，则该双曲线的离心率为（ ）

A．2 B．3 C.2 D．3

6.某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念，制定节能减排的目标，先调查了用电量y（单位：千瓦·时）与气温x（单位：℃）之间的关系，随机选取了4天的用电量与当天气温，并制作了以下对照表：

x（单位：℃） 17 14 10 1 y（单位：千瓦·时）

24 34 38 64

由表中数据得线性回归方程：ˆˆ2yxa，则由此估计：当某天气温为2℃时，当天用电量约为（

）

A．56千瓦·时 B．62千瓦·时

C. 64千瓦·时 D．68千瓦·时

7.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（ ）

A．5003 B．100023 C.1253 D．12523

8.知平面向量ar，br满足3aabrrr，且2ar，1br，则向量ar与br夹角的正弦值为（ ）

A．12 B．32 C.12 D．32

9.设,abR，则“20aba”是“ab”的（ ）

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

10.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（ ）

A．112 B．114 C. 115 D．118

11.过抛物线24yx焦点的直线l与抛物线交于A、B两点，与圆2221xyr交于C、D两点，若有三条直线满足ACBD，则r的取值范围为（ ） A．3(,)2 B．(2,) C.

3(1,)2 D．3(,2)2

12.设函数1xfxex，函数,0gxmxmm，若对任意的12,2x，总存在22,2x，使得12fxgx，则实数m的取值范围是（ ）

A．213,3e B．21,3e

C.1,3 D．2,e

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.设,xy满足约束条件3310xyxyy，则yzx的最大值为 ．

14.《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术。得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟。”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：222233，333388，44441515，55552424，则按照以上规律，若8888nn具有“穿墙术”，则n ．

15.已知nS是等比数列na的前n项和，若存在*mN，满足29mmSS，2511mmamam，则数列na的公比为 ．

16.如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中，阴影部分的面积为 ．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.在ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且3cos23cosaCbcA.

（1）求角A的大小； （2）若2a，求ABC面积的最大值.

18. 如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADAB，//ABDC，2ADDCAP，1AB，点E为棱PC的中点.

（1）证明：BEPD；

（2）若F为棱PC上一点，满足BFAC，求二面角FABD的余弦值.

19. 某家电公司销售部门共有200名销售员，每年部门对每名销售员都有1400万元的年度销售任务.已知这200名销售员去年完成的销售额都在区间2,22（单位：百万元）内，现将其分成5组，第1组、第2组、第3组、第4组、第5组对应的区间分别为2,6，6,10，10,14，14,18，18,22，并绘制出如下的频率分布直方图.

（1）求a的值，并计算完成年度任务的人数；

（2）用分层抽样的方法从这200名销售员中抽取容量为25的样本，求这5组分别应抽取的人数；

（3）现从（2）中完成年度任务的销售员中随机选取2名，奖励海南三亚三日游，求获得此奖励的2名销售员在同一组的概率.

20. 已知椭圆22122:10xyCabab的左右顶点是双曲线222:13xCy的顶点，且椭圆1C的上顶点到双曲线2C的渐近线的距离为尝 （1）求椭圆1C的方程；

（2）若直线l与1C相交于12,MM两点，与2C相交于12,QQ两点，且125OQOQuuuuruuuur，求12MM的取值范围.

21. 已知函数ln,mxfxmRx，1x.

（1）讨论fx的单调区间；

（2）若fxmx恒成立，求m的取值范围.

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为12xtyat（其中t为参数）.在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的极坐标方程为4cos.

（1）分别写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；

（2）若直线l与圆C相切，求实数a的值.

23.选修4-5：不等式选讲

设函数()fxxaxa.

（1）当1a时，解不等式()4fx；

（2）若()6fx在xR上恒成立，求a的取值范围.

长郡中学2020届高三月考试卷（一）

数学（理科）参考答案

一、选择题

1-5:DCCBC 6-10:ADDAC 11、12：BD

二、填空题

13.13 14. 63 15.2 16.22e

三、解答题

17.【解析】（1）由正弦定理可得：3sincos2sincos3sincosACBACA.

从而可得：3sin2sincosACBA，即3sin2sincosBBA

又B为三角形内角，所以sin0B，于是3cos2A，

又A为三角形内角，所以6A.

（2）由余弦定理：2222cosabcbcA得：22342232bcbcbcbc，

所以如423bc，所以1sin232ABCSbcA，ABC面积的最大值为23..

18.【解析】依题意，以点A为原点，以AB、AD、AP为轴建立空间直角坐标系如图，

可得1,0,0B，2,2,0C，0,2,0D，0,0,2P，

由E为校PC的中点，得1,1,1E，

（1）向量0,1,1BEuuur，0,2,2PDuuur，

故0,BEPDuuuruuurBEPD

（2）1,2,0BCuuur.2,2,2CPuuur，2,2,0ACuuur.1,0,0ABuuur，

由点F在棱PC上，设,01CFCPAuuuruuur， 故12,22,2BFBCCFBCCPuuuruuuruuuruuuruuur，

由BFAC，得0BFACuuuruuur.

因此，2122220，34

即113(,,)222BFuuur，

设1,,nxyzur为平面FAB的法向量，

即1100nABnBFuruuururuuur,即01130222xxyz

不妨令1z，可得10,3,1nur为平面FAB的一个法向量，

取平面ABD的法向量20,0,1nuur，

则121212110cos,1010nnnnnnuruururuururuur

所以二面角FABD的余获值为1010

19.【解析】（1）∵0.020.080.09241a，∴0.03a

完成年度任务的人数为2420048a

（2）第1组应抽取的人数为0.024252，

第2组应抽取的人数为0.084258.

第3组应抽取的人数为0.094259，

第4组应抽取的人数为0.034253，

第5组应抽取的人数为0.034253

（3）在（2）中完成年度任务的销售员中，第4组有3人，记这3人分别为123,,AAA；第5组有3人，记这3人分别为123,,BBB；

从这6人中随机选取2名，所有的基本事件为12AA，13AA，11AB，12AB，13AB，23AA.21AB，22AB，23AB，

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湖南省长郡中学2019届高三上学期第一次月考(开学考试)数学(理)试题 含答案

湖南省长郡中学2019届高三上学期第一次月考(开学考试)数学(理)试题 含答案

长郡中学2019届高三月考试卷（一）

数学（理科）

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设复数121izii，则z（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3

2.已知集合240Axxx，1{327}18xBx，2,CxxnnN，则ABC（ ）

A．2,4 B．0,2

C．0,2,4 D．2,xxnnN

3.若定义在R上的偶函数fx满足2fxfx且0,1x时，fxx，则方程3logfxx的零点个数是（ ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

4.计算sin133cos197cos47cos73的结果为（ ）

A．12 B．12 C. 22 D．32

5.已知A、B、P是双曲线22221xyab上不同的三点，且A、B连线经过坐标原点，若直线PA、PB的斜率乘积3PAPBkk，则该双曲线的离心率为（ ）

A．2 B．3 C.2 D．3

6.某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念，制定节能减排的目标，先调查了用电量y（单位：千瓦·时）与气温x（单位：℃）之间的关系，随机选取了4天的用电量与当天气温，并制作了以下对照表：

x（单位：℃） 17 14 10 1

y（单位：千瓦·时） 24 34 38 64

由表中数据得线性回归方程：ˆˆ2yxa，则由此估计：当某天气温为2℃时，当天用电量约为（ ）

A．56千瓦·时 B．62千瓦·时

湖南省长沙市第一中学2020届高三上学期第一次月考数学(理科)试题 Word版含答案

湖南省长沙市第一中学2020届高三上学期第一次月考数学(理科)试题 Word版含答案

长沙市一中2020届高三月考试卷(一）

数学（理科）

长沙市一中高三理数备课组组稿

时量：120分钟 满分:150分

一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={3|),(xyyx}，A={xyyx|),(}，则BA的元素个数是A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

2.已知i为虚数单位，Ra，若复数iaaz)1(的共轭复数z在复平面内对应的点位于第一象限，且5zz,则z

A. 2-i B.-l + 2i C.-1-2i D.-2+3i

3.设Rx，则“1<2x”是“1

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

4.已知向量a=(l，0)，b=(-3,4)的夹角为,则2sin等于

A. 257 B. 257 C. 2524 D. 2524

5.设43432,24log,18logcba，则cba,,的大小关系是

A. a

6.函数||lg)33()(xxfxx的图象大致为 （D)

7.运行如图所示的程序框图，若输出的S的值为101，则判断框中可以填

A. i>200? B. i>201?

C. i>202? D. i>203?

8.中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动

物 (鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种.现有十二生肖的吉祥物各一个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、兔、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取的礼物都满意，那么不同的选法有

A. 50 种 B. 60 种

C. 70 种 D. 90 种

9.将函数)62sin(2)(xxf的图象向左平移6个单位长度得到函数的图象，则下列说法正确的是(C)

2020届湖南省长郡中学高三第一次模拟考试数学(理)试卷

2020届湖南省长郡中学高三第一次模拟考试数学(理)试卷

- 1 - 2020届湖南省长郡中学高三第一次模拟考试

数学（理科）试卷

★祝考试顺利★

注意事项：

1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第I卷客观题

一、选择题：(本大题共12题，每小题5分，共60分)

21.A|,|(1)A()A [0,1] B [0,1) C (-,1) D(-,1)xyxxBxylnxB已知集合=集合,求

xf.21,log1,22xxxx，21ff求

1.A 21.B 41.C 2.D

mbbabma,,1,32,1.3和向量向量

213.A 67.B 67.C 213.D

湖南省2020届高三上学期月考试题数学(理)

湖南省2020届高三上学期月考试题数学(理)

答案第1页，总11页 2020届高三月考

数学（理科）试题

测试时间：120分钟 卷面总分：150分

注意事项：

1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选择其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设,aRi为虚数单位.若复数2(1)zaai是纯虚数，则复数3aii在复面上对应的点的坐标为（ ）

3, 2A.（-） 32B.（，-） 3,1C.（） 31D.（， ）

2．已知集合2222log4,3200AxyxBxxmxmm，若BA，则实数m的取值范围为（ ）

A．4， B．4， C．2， D．2，

3．已知31sin,cos,,43为锐角，则sin的值为（ ）

A．372212 B．321412 C．372212 D．321412

4．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31．5尺，前九个节气日影长之和为85．5尺，则立夏日影长为（ ）

A．1．5尺 B．2．5尺 C．3．5尺 D．4．5尺

5．已知函数22,2()1(3),24xxfxxx，则定积分41()fxdx的值为( )

A．948 B．144 C．12 D．324

6．已知6cos()43，则sin2的值为（ ）

A．13 B．23 C．13 D．23 7．若定义在𝑅上的偶函数𝑓(𝑥)满足𝑓(𝑥+2)=𝑓(𝑥)且𝑥∈[0,1]时，𝑓(𝑥)=𝑥，则方程5()logfxx的零点个数是（ ）

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