数学培优 专题25 平面几何的最值问题_答案
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专题25 平面几何的最值问题
例1125提示：当CM⊥AB时，CM值最小，CM＝125ACBCAB例2如图，B′M＋MN的最小值为点B′到AB的距离B′F，BE＝45ABBCACcm，BB′＝85cm，AE＝2222204585ABBEcm．在△ABB′中，由12BB′•AE＝12AB•B′F，得B′F＝16cm．故BM＋MN的最小值为16cm．例3由△APD∽△BPQ，得APADBPBQ，即BQ＝baxADBPAPx，∴AP＋BQ＝x＋abbx．∵x＋abx≥22abxabx，∴当且仅当x＝abx即x＝ab时，上式等号成立．故当AP＝ab时，AP＋BQ最小，其最小值为2ab－b．例4⑴22125l，22l＝49，l1＜l2，故要选择路线l较短．⑵2221lhr，2222lhr，2221244llrrh．当r＝244h时，2212ll，当r＞244h时，2212ll，当r＜244h时，2212ll．例5设DN＝x，PN＝y，则S＝xy，由△APQ∽△ABF，得41242yx即x＝10－2y，代入S＝xy得S＝xy＝y(10－2y)，即S＝－2252522y，因3≤y≤4，而y＝52不在自变量y的取值范围内，所以y＝52不是极值点，当y＝3时，S(3)＝12，当y＝4时，S(4)＝8，故Smax＝12．此时，钢板的最大利用率21214212＝80%．例6设PD＝x(x＞1)，则PC＝21x，由Rt△PCD∽△PAB，得AB＝211CDPAxPCx，令y＝AB•S△PAB，则y＝12AB×PA×AB＝2121xx，求y的最小值，有下列不同思路：①配方：y＝21212242121xxxx，∴当1221xx，即当x＝3时，y有最小值4．②运用基本不等式：y＝122221xx
32 1221xx＋2＝4，∴当12x＝21x，即当x＝3时，y有最小值4. ③借用判别式，去分母，得x2＋2（1－y）x＋1＋2y＝0，由△＝4（1－y）2－4（1＋2y）＝4y（y－4）≥0，得y≥4，∴y的最小值为4.
A级
1. 17 提示：当两张纸条的对角重合时，菱形周长最大.
2. 8 3. 744.D 5. D 6. B
7. C提示：当点P与点D重合时，四边形ACBP的周长最大.
8. （1）连结ME，过N作NF⊥AB于F，可证明Rt△EB A≌Rt△MNF，得MF＝AE＝x.∵ME2＝AE2＋AM2，故MB2＝x2＋AM2，即（2－AM）2＝x2＋AM2，AM＝1－14x2，∴S＝2AMDN×AD＝2AMAF×2＝AM＋AM＋MF＝2 AM＋AE＝2（1－14x2）＋x＝－12x2＋x＋2.
（2）S＝－12（x2－2 x＋1）＋52＝－12（x－1）2＋52.故当AE＝x＝1时，四边形ADNM的面积最大，此时最大值为52.
9. （1）BC长为23r.（2）提示：连结BD. （3）过点B作BM⊥AD于M，由（2）知四边形ABCD为等腰梯形，从而BC＝AD－2 AM＝2r－2 AM.由△BAM∽△DAB，得AM＝2ABAD＝22xr，∴BC＝2r－2xr.同理，EF＝2 r－2xr.l＝4 x＋2（2 r－2xr）＝－xr（x－r）2＋6 r（0＜x＜2 r）..当x＝r时，l取得最大值6 r.
10. （1）∵∠APE＝∠ADQ，∠AEP＝∠AQD，∴△APE∽△ADQ.（2）由△APE∽△ADQ，△PDF∽△ADQ，S△PEF＝12S□PEQF，得S△PEF＝－13x2＋x＝－13（x－32）2＋34.故当x＝32时，即P是AD的中点时，S△PEF取得最大值，（3）作A关于直线BC的对称点A′，连结DA′交BC于Q，则这个Q点就是使△ADQ周长最小的点，此时Q是BC的中点.
11. （1）点P恰好在BC上时，由对称性知MN是△ABC的中位线，∴当MN＝12BC＝3时，点P在BC上.（
2）由已知得△ABC底边上的高h＝225-3＝4. ①当0＜x≤3时，如图1，连结AP并延长交BC于点D，AD与MN交于点O.
由△AMN∽△ABC，得AO＝23x，y＝S△PMN＝S△AMN＝12·x·23x＝13x2即y＝13x2.当＝3时，y的值最大，最大值是3.②当3＜x＜6时，如图2，设△PMN与BC相交于点E，F，AP与BC相交于D.由①中知AO＝23x，∴AP＝43x，∴PD＝AP－AD＝43x－4，∵△PEF∽△ABC.，∴PEFABCSS＝(PDAD)2＝(4434x)2，即PEFABCSS＝2-3)9x（.∵S△ABC＝12，∴S△PEF＝43（x－3）2.∴y＝S△AMN－S△PEF＝13x2－43（x－3）2＝－x2＋8x－12＝－（x－4）2＋4.故当x＝4时，y的最大值为4.综上，当x＝4时，y的值最大，最大值为4.
B级
1.8 82 32 提示：当∠CAB＝∠ACD＝90°时，四边形ABCD的面积达到最大值.
2. 0＜r≤1 提示：设BC＝a，CA＝b，AB＝c，b＋c＝23（r＋1），又12bcsin60°＝S△ABC＝12（a＋b＋c）r，即12bc·32＝12［23＋23（r＋1）］r，.bc＝4r（r＋2）. b，c为方程x2－23（r＋1）x＋4r（r＋2）＝0的两个根，由△≥0，得（r＋1）≤22.因r＞0，r＋1＞0，故r＋1≤2，即0＜r≤1. 3. 249－3提示：过P作垂直于OP的弦AB，此时弓形面积最小.
4. 13提示：设ADAB＝x，则BDBA＝1－x＝CGCA，ADGABCSS＝x2，BDEABCSS＝（1－x）2＝CFGABCSS，S梯形DEFG＝1―x2―2（1－x）2＝－3（x－23）2＋13.
5. 312a提示：当OA＝OB时，OC的长最大. 6. C
7. （1）由Rt△ABP∽Rt△PCQ，得BPCQ＝ABCP，即xy＝44x，y＝－14（x－2）2＋1（0＜x＜4）.当x＝2时, y最大值＝1cm.（2）由14＝－14（x－2）2＋1，得x＝（2＋3）cm或（2－3）cm.
8. 当过A，B两点的圆与x轴正半轴相切时，切点C为所求.作O′D⊥A B于D.，O′D 2＝ O′B
2－BD 2＝2()2ab－2()2ab＝ab，O′D＝ab故点C坐标为（ab，0）.
9. （1）如图，延长CB到L，使BL＝DN，则Rt△ABL≌Rt△ADN，得AL＝AN，∠1＝∠2，又∵N＝2―CN―CM＝DN＋BM＝BL＋BM＝ML，且AM＝AM，∠NAL＝∠DAB＝90°.∴△AMN≌△AML，故∠MAN＝∠MAL＝902＝45°. （2）设CM＝x，CN＝y，MN＝z，则2222222,2,xyzxyzxyzxyz，于是，（2―y―z）2＋y2＝z2.整理得2y2＋（2z－4）y＋（4－4z）＝0.∵y＞0，故△＝4（z－2）2－32（1－z）≥0，即（z＋2＋22）（z＋2－22）≥0.又∵z＞0，故z≥22－2，当且仅当x＝y＝2－2时等号成立.由于S△AMN＝S△AML＝12·ML·AB＝12 MN×1＝2z，因此，△AMN的面积的最小值为2－1.
10. （1）提示：证明△ADF∽△BAC.（2）①AB＝15，BC＝9，∠ACB＝90°，∴AC＝22ABBC＝2215912，∴CF＝AF＝6，∴19632702yxxx．
②∵BC＝９（定值），∴△PBC的周长最小，就是PB＋PC最小，
由（1）知，点C关于直线DE的对称点是点A，所以PB＋PC＝PB＋PA，故只要求PB＋PA最小．显然当P、A、B三点共线时PB＋PA最小，此时DP＝DE，PB＋PA＝AB．
由（1），角∠ADF＝∠FAE，∠DFA＝∠ACB＝90°，得△DAF∽△ABC．
EF∥BC，得AE＝BE＝12AB＝152，EF＝92．∴AF∶BC＝AD∶AB，即6∶9＝AD∶15，∴AD＝10．Rt△ADF中，AD＝10，AF＝6，∴DF＝8．∴DE＝DF＋FE＝8＋92＝252．
∴当x＝252时，△PBC的周长最小，此时y＝1292．
11．（1）令k＝1，得y＝x＋2；令k＝2，得y＝2x＋6，联立解得x＝4，y＝2，故定点（4，2）．（2）取x＝0，得OB＝2－4k（k＜0），取y＝0，得OA＝420kkk．于是△ABO的面积114224022kSOAOBkkk，化简得28820kSk．由28640S≥得2160SS≥，故S≥16．将S＝16代入上述方程，得k＝12．故当k＝12，S值最小．
12．（1）如图，延长EF交AC于点D，DF∥BC，Rt△ADF∽Rt△ACB，AE＝AC＝x，2222DExxyxyy，222xyyyxyx，2x－2y－xy＝22xxyy，两边平方整理得(x2＋2x＋2)y2－(x3＋2x2＋4x)y＋2x2＝0．解得2222xyxx(y＝x舍去) ． （2）由（1）222122222yxx≤．当且仅当2xx，即2x时，上式等号成立．故当2x时，y去最大值21．
