八年级数学几何培优资料经典题型,图形面积例题加解析

专题25 图形面积的计算阅读与思考计算图形的面积是平面几何中常见的基本问题之一，它包括两种主要类型： 1.常见图形面积的计算由于一些常见图形有计算面积的公式，所以，常见图形面积一般用公式来解. 2.非常规图形面积的计算非常规图形面积的计算通常转化为常见图形面积的计算，解题的关键是将非常规图形面积用常规图形面积的和或差来表示.计算图形的面积还常常用到以下知识：（1）等底等高的两个三角形面积相等.（2）等底的两个三角形面积的比等于对应高的比. （3）等高的两个三角形面积的比等于对应底的比. （4）等腰三角形底边上的高平分这个三角形的面积. （5）三角形一边上的中线平分这个三角形的面积. （6）平行四边形的对角线平分它的面积. 熟悉如下基本图形：S 3S 4S 3S 4S 1S 2S 1S 2S 1S 2S 1S 2S 1S 2S 2S 1l 2l 1例题与求解【例1】 如图，在直角△ABC 的两直角边AC ，BC 上分别作正方形ACDE 和CBFG .AF 交BC 于W ，连接GW ，若AC =14，BC =28，则S △AGW =______________．(2013年“希望杯”全国数学邀请赛试题)解题思路：△AGW 的面积可以看做△AGF 和△GWF 的面积之差.WFGEDCBA【例2】 如图，已知△ABC 中的面积为24，点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 的延长线上，且BC =4CF .四边形BDCE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为( )A ．3B ．4C ．5D ．6（2013年全国初中数学竞赛广东试题）解题思路：设△ABC 底边BC 上的高为h .本例关键是通过适当变形找出h 和DE 之间的关系．FC BDEA【例3】 如图，平行四边形ABCD 的面积为30cm 2，E 为AD 边延长线上的一点，EB 与DC 交于F 点，已知三角形FBC 的面积比三角形DEF 的面积大9cm 2，AD =5cm ，求DE 长.（北京市“迎春杯”竞赛试题）解题思路：由面积求相关线段，是一个逆向思维的过程，解题的关键是把条件中图形面积用DE 及其它线段表示．BACFDE【例4】 如图，四边形ABCD 被AC 与DB 分成甲、乙、丙、丁4个三角形，已知BE =80 cm ，CE =60 cm ，DE =40 cm ，AE =30 cm ，问：丙、丁两个三角形面积之和是甲、乙两个三角形面积之和的多少倍？（“华罗庚杯”竞赛决赛试题）解题思路：甲、乙、丙、丁四个三角形面积可通过线段的比而建立联系，找出这种联系是解本例的突破口.丁乙丙甲E BCDA【例5】 如图，△ABC 的面积为1，D ，E 为BC 的三等分点，F ，G 为CA 的三等分点，求四边形PECF 的面积.解题思路：连CP ，设S △PFC =x ，S △PEC =y ，建立x ，y 的二元一次方程组.QP F GEDCBA【例6】如图，E ，F 分别是四边形ABCD 的边AB ，BC 的中点， DE 与AF 交于点P ，点Q 在线段DE 上，且AQ ∥PC .求梯形APCQ 的面积与平行四边形ABCD 的面积的比值．（2013年”希望杯“数学邀请赛试题）解题思路：连接EF ，DF ，AC ，PB ，设S □ABCD =a ，求得△APQ 和△CPQ 的面积.FEPQDCBA能力训练A 级1.如图，边长为1的正方形ABCD 的对角线相交于点O .过点O 的直线分别交AD ，BC 于E ，F ，则阴影部分面积是______.FOEDCB A（海南省竞赛试题）2.如图，在长方形ABCD 中，E 是AD 的中点，F 是CE 的中点，若△BDF 的面积为6平方厘米，则长方形ABCD 的面积是_____________平方厘米.EFDCBA（“希望杯”邀请赛试题）3.如图，ABCD 是边长为a 的正方形，以AB ，BC ，CD ，DA 分别为直径画半圆，则这四个半圆弧所围成的阴影部分的面积是____________.DCBA（安徽省中考试题）4.如图，已知AB ，CD 分别为梯形ABCD 的上底、下底，阴影部分总面积为5平方厘米，△AOB 的面积是0.625平方厘米，则梯形ABCD 的面积是_________平方厘米.DOCBA（“祖冲之杯”邀请赛试题）5.如图，长方形ABCD 中，E 是AB 的中点，F 是BC 上的一点，且CF =BC 31，则长方形ABCD的面积是阴影部分面积的( )倍.A .2B . 3C . 4D .5DF CBEA6.如图，是一个长为a ，宽为b 的长方形，两个阴影图形都是一对长为c 的底边在长方形对边上的平行四边形，则长方形中未涂阴影部分的面积为( ).A .c b a ab )(+-B . c b a ab )(--C .))((c b c a --D .))((c b c a +-cccc7．如图，线段AB =CD =10cm ，BC 和DA 是弧长与半径都相等的圆弧，曲边三角形BCD 的面积是以D 为圆心、DC 为半径的圆面积的41，则阴影部分的面积是( )． A ．25π B . 100 C .50π D .200CBD A（“五羊杯”竞赛试题）8．如图，一个大长方形被两条线段AB 、CD 中分成四个小长方形，如果其中图形Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的面积分别为8，6，5，那么阴影部分的面积为( )． A .29 B .27 C .310 D ．815 ⅢⅡⅠCBDA9．如图，长方形ABCD 中，E ，F 分别为AD ，BC 边上的任一点，△ABG ，△DCH 的面积分别为15和20，求阴影部分的面积.HGEDCF B A（五城市联赛试题）10.如图，正方形ABCD ，正方形BEFG 和正方形RKPF 的位置如图所示，点G 在线段DK 上，已知正方形BEFG 的边长为4，求△DEK 的面积．RKP GF EC B AD（广西壮族自治区省南宁市中考试题）B 级1.如果图中4个圆的半径都为a ，那么阴影部分的面积为_____________.（江苏省竞赛试题）2.如图，在长方形ABCD 中，E 是BC 上的一点，F 是CD 上的一点，若三角形ABE 的面积是长方形ABCD 面积的31，三角形ADF 的面积是长方形ABCD 面积的52，三角形CEF 的面积为4cm 2，那么长方形ABCD 的面积是_________cm 2.DCFE BA（北京市“迎春杯”邀请赛试题）3.如图，边长为3厘米与5厘米的两个正方形并排放在一起，在大正方形中画一段以它的一个顶点为圆心，边长为半径的圆弧，则阴影部分的面积为___________________.（“希望杯”邀请赛试题）4.如图，若正方形APHM ，BNHP ，CQHN 的面积分别为7，4，6，则阴影部分的面积是_____.CMNDQPB A(“五羊杯”竞赛试题）5.如图，把等边三角形每边三等分，使其向外长出一个边长为原来的31的小等边三角形，称为一次“生长”，在得到的多边上类似“生长”，一共“生长”三次后，得到的多边形的边数=________，面积是原三角形面积的______倍.第2次生长第1次生长原图(“五羊杯”竞赛试题）6.如图，在长方形ABCD 中，AE =BG =BF =21AD =31AB =2，E ，H ，G 在同一条直线上，则阴影部分的面积等于( ).A .8B .12C .16D ．20F BGCHDE A7.如图，边长分别为8cm 和6cm 的两个正方形，ABCD 与BEFG 并排放在一起，连接EG 并延长交AC 于K ，则△AKE 的面积是( ).A .48cm 2B .49cm 2C .50cm 2D ．51cm 2KGFEC B A D（2013年“希望杯”邀请赛试题）8.在一个由8×8个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆，若把圆经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为S 1，把圆周经过的所有小方格的圆外部分的面积之和记为S 2，则21S S 的整数部分是( ).A .0B .1C .2D ．3（全国初中数学联赛试题）9.如图，△ABC 中，点D ，E ，F 分别在三边上，E 是AC 的中点，AD ，BE ，CF 交于一点G ，BD =2DC ，S △GEC =3，S △GDC =4，则△ABC 的面积是( ).A .25B .30C .35D ．40GFE CBDA10.已知O （0，0），A （2，2），B （1，a ），求a 为何值时，S △ABO =5？11.如图，已知正方形ABCD 的面积为1，M 为AB 的中点，求图中阴影部分的面积.GCBMAD（湖北省武汉市竞赛试题）12.如图，△ABC 中，21===FA FB EC EA DB DC .求的面积△的面积△ABC GHI 的值. G IHEDCBFA（“华罗庚金杯”邀请赛试题）。

F八年级数学几何经典题【含答案】1、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．2、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．3、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ．求证：CE ＝CF ．.4、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ．求证：AE ＝AF ．B5、设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任一点，PF ⊥AP ，CF 平分∠DCE ．求证：PA ＝PF ．6、平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点，与CF 相交于P ，且 AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．7如图，△ABC 中，∠C 为直角，∠A=30°，分别以AB 、AC 为边在△ABC 的外侧作正△ABE 与正△ACD ，DE 与AB 交于F 。

求证：EF=FD 。

8如图，正方形ABCD 中，E 、F 分别为AB 、BC 的中点，EC 和DF 相交于G ，连接AG ，求证：AG=AD 。

9、已知在三角形ABC 中,AD 是BC 边上的中线,E 是AD 上的一点,且BE=AC,延长BE 交AC 与F,求证AF=EFD FEP CB AFPDE CBA，九年级数学【答案】1.如下图连接AC 并取其中点Q ，连接QN 和QM ，所以可得∠QMF=∠F ，∠QNM=∠DEN 和∠QMN=∠QNM ，从而得出∠DEN ＝∠F 。

2.过E,C,F 点分别作AB 所在直线的高EG ，CI ，FH 。

可得PQ=2EGFH。

由△EGA ≌△AIC ，可得EG=AI ，由△BFH ≌△CBI ，可得FH=BI 。

A、1.5B、2C、2.25D、2.5爬到点 B ，如果它运动的路径是最短，则 AC 的长度是多少？少？车是否超速？例题6、对实数 a , b ，定义新运算☆如下： a ☆ b =八年级数学培优题精选18例（含答案）例题7、计算八年级数学培优题精选18例（含答案）例题9、点 A（3x + 2y , -2）关于 y 轴的对称点为 B（-1 ，2x + 4y）, 则点 M （x , y）关于 x 轴的对称点的坐标为多少？答案：（1,1）。

例题10、如图所示，在平面直角坐标系中有 A ， B 两点：八年级数学培优题精选18例（含答案）（1）写出 A ， B 两点的坐标；（2）若线段 AB 各顶点的横坐标不变，纵坐标都乘以 -1 ，请你在同一坐标系中描出对应的点 A1 ，B1 ，并连接 A1B1 ，所得的线段 A1B1 与线段 AB 有怎样的位置关系？（3）在（2）的基础上，纵坐标不变，横坐标都乘以 -1 ，请你在同一坐标系中描出对应的点 A2,B2 ，并连接这两个点，所得的线段 A2B2 与线段 AB 有怎样的位置关系？解：（1）点 A 的坐标为（1,2），点 B 的坐标为（3,1）；（2）如图所示，线段 A1B1 与线段 AB 关于 x 轴对称；（3）如图所示，线段 A2B2 与线段 AB 关于原点对称。

例题11、甲乙两人赛跑，所跑路程与时间的关系如图所示。

根据图像得到如下四个信息，其中错误的是（C ）八年级数学培优题精选18例（含答案）A、这是一次 1500 m 赛跑B、甲、乙两人中先到达终点的是乙C、甲、乙同时起跑D、甲在这次赛跑中的速度为 5 m/s例题12、如图，BE 是∠ABD 的角平分线，CF 是∠ACD 的角平分线，BE 与CF 交于点 G ，∠BDC = 140°，∠BGC = 110°，则∠A 的度数为（C）八年级数学培优题精选18例（含答案）A、70°B、75°C、80°D、85°例题13、如图所示，已知 AB∥DE ，一个弯形管道 ABCDE 的拐角∠EDC = 140°，∠CBA = 150°，则∠C = ？八年级数学培优题精选18例（含答案）答案：∠C = 70°。

直角三角形、勾股定理、面积精典例题+跟踪训练+参考答案知识考点：了解直角三角形的判定与性质，理解直角三角形的边角关系，掌握用勾股定理解某些简单的实际问题。

它的有关性质广泛应用于线段计算、证明线段倍分关系、证明线段平方关系及与面积有关的问题等方面。

精典例题：【例1】如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝600，∠B ＝∠D ＝900，BC ＝2，CD ＝3，则AB ＝？ 分析：通过作辅助线，将四边形问题转化为三角形问题来解决，其关键是对内分割还是向外补形。

答案：833 ABCD E23图1例AB CP Q图2例【例2】如图，P 为△ABC 边BC 上一点，PC ＝2PB ，已知∠ABC ＝450，∠APC ＝600，求∠A CB 的度数。

分析：本题不能简单地由角的关系推出∠ACB 的度数，而应综合运用条件PC ＝2PB 及∠APC ＝600来构造出含300角的直角三角形。

这是解本题的关键。

答案：∠ACB ＝750（提示：过C 作CQ ⊥AP 于Q ，连结BQ ，则AQ ＝BQ ＝CQ ） 探索与创新：【问题一】如图，公路MN 和公路PQ 在点P 处交汇，且∠QPN ＝300，点A 处有一所中学，AP ＝160米，假设汽车行驶时，周围100米以内会受到噪声的影响，那么汽车在公路MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到噪声的影响？如果受影响，已知汽车的速度为18千米／小时，那么学校受影响的时间为多少秒？分析：从学校（A 点）距离公路（MN ）的最近距离（AD ＝80米）入手，在距A 点方圆100米的范围内，利用图形，根据勾股定理和垂径定理解决它。

略解：作AD ⊥MN 于D ，在Rt △ADP 中，易知AD ＝80。

所以这所学校会受到噪声的影响。

以A 为圆心，100米为半径作圆交MN 于E 、F ，连结AE 、AF ，则AE ＝AF ＝100，根据勾股定理和垂径定理知：ED ＝FD ＝60，EF ＝120，从而学校受噪声影响的时间为：t ==120180001150（小时）＝24（秒）评注：本题是一道存在性探索题，通过给定的条件，判断所研究的对象是否存在。

专题06 四边形的面积问题【专题解读】对于四边形中涉及面积问题，首选考虑是直接求，但大多数情况下需转化，充分利用等积变换，图形割补，整体思想等进行转化，同时也要注意运用数形结合，方程，建模等数学思想. 思维索引例1.（1）如图，矩形内有两个相邻的正方形，面积分别为3和27，则阴影部分的面积为_________； （2）如图，直角△ABC 中，∠ABC ＝90°，BD 平分∠ABC ，DE ⊥BD ，若AD ＝1，CD ＝2，则图中阴影部分面积为_________；（3）如图，四边形ABCD ，DEFH 均是正方形，且AB ＝3，则阴影部分的面积为_________；例题1第（1）题图第（2）题图第（3）题图例2.（1）提出问题：如图（1），点P 为□ABCD 内一点，△P AB 、△PCD 的面积分别记为S 1、S 2，□ABCD 的面积记为s ，试探究S 1＋S 2与S 之间的关系.（2）解决问题：如图（2）矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝9，点E 、F 、G 、H 分别在AB 、BC 、CD 、DA 上，且AE ＝CG ＝4，AH ＝CF ＝3.点P 为矩形内一点，四边形AEPH 、四边形CGPF 的面积分别记为S 1、S 2，求S 1＋S 2.图（1）ADCBPS 2S 1图（2）AD CBE F GHP例3.如图，平面直角坐标系中，A （7，0），B （5，2），C （0，2），一条动直线l 分别与BC ，OA 交于点E 、F ，且将四边形OABC 的面积分成相等的两部分，求点C 到动直线l 的距离的最大值.素养提升1.已知正方形ABCD 的边长为10，AE 长为8，CG 长为2.则图中阴影部分面积为 （ ）A .16B .20C .25D .36第1题图A E BGF第2题图第3题图CDEA2.如图，ABCD 与BEFG 是并列放在一起的两个正方形.O 是BF 与EG 的交点.如果正方形ABCD 的面积是9，CG ＝2，则△DEO 的面积为（ ） A .1B .94C .4D .2543.如图，已知△ABC 的面积为12，点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 的延长线上，且BC ＝4CF ，四边形DCFE 是平行四边形，则图中S △ADE ＋S △BDE 的值为（ ）A .2B .3C .4D . 64.如图，四边形AOEF 是平行四边形，点B 为OE 的中点，延长FO 至点C ，使FO ＝3OC ，连接AB 、AC 、BC ，则S △ABO :S △AOC :S △BOC 的值为（ ）A .6：2：1B .3：2：1C .6：3：2D .4：3：2第4题图BCAEFOM第5题图第6题图AEDCB5.已知图中三十六个小等边三角形的面积都等于1，则三角形ABC 的面积为 （ ） A .21 B .22 C .23 D .246.已知如图，AB ＝3，AC ＝1，以AC ，BC 为边分别向上作等边△ACD 和等边△BCE ，则S △BDE ＝________.7.如图所示，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6.分别以AC 、BC 为边作正方形AEDC 、BCFG ，则△BEF 的面积为________.第7题图BCDEF GBCD E F GH A MNPQ m 4m 3m 2m1l 1l 2l 3l 4第8题图第9题图B8.如图，已知直线l 1、l 2、l 3、l 4及m 1、m 2、m 3、m 4分别互相平行，且S 四边形ABCD ＝100，S 四边形EFGH ＝60.则S 四边形PQMN ＝ ________.9.如图，四边形ABCD 中，AD 平行BC ，E 为CD 中点，EF ⊥AB ，若AB ＝6，EF ＝4，则四边形ABCD 的面积是________. 10.四边形ABCD 的四边长为ABBCCDDA，一条对角线BD，其中m ，n 为常数，且0＜m ＜7，0＜n ＜5，那么四边形ABCD 的面积为________.11.如图，在四边形ABCD 中，设∠BAD ＋∠ADC ＝270°，且E 、F 分别为AD 、BC 的中点，EF ＝4，以AB 、CD 为直径作半圆，求这两个半圆面积的和.BDEFA12.△ABC 中，AB ＝14，AC ＝15，BC ＝13，分别以AB ，AC ，BC 为边向外作正方形ABFG ，正方形ACDE ，正方形BCMN ，连接DE ，NF ，GE ，求六边形DEGFNM 的面积.N M B CD EFGA13.如图，在矩形ABCD 中，AD ＝6，CD ＝8，菱形EFGH 的三个顶点E 、G 、H 分别在矩形ABCD 的边AB 、CD 、DA 上，AH ＝2，连接CF .（1）当DG ＝2时，求证：四边形EFGH 是正方形； （2）当△FCG 的面积为2时，求DG 的值.BCDEFGH A14.如图1，A 、D 分别在x 轴和y 轴上，CD ∥x 轴，BC ∥y 轴.点P 从D 点出发，以1cm /s 的速度，沿五边形OABCD 的边匀速运动一周.记顺次连接P 、O 、D 三点所围成图形的面积为Scm 2，点P 运动的时间为t s ，S 与t 之间的函数关系如图2中折线段OEFGHI 所示. （1）求A 、B 两点的坐标；（2）若直线PD 将五边形OABCD 分成面积相等的两部分，确定此时点P 的位置。

八年级数学几何经典题【含答案】1、已知：如图，在四边形ABCD中， AD＝ BC， M、 N 分别是 AB、 CD的中点， AD、 BC的延长线交MN于 E、 F．F 求证：∠ DEN＝∠ F．EN CDA BM2、如图，分别以△ABC的 AC 和 BC 为一边，在△ABC的外侧作正方形ACDE和正方形 CBFG，点P是 EF 的中点．D求证：点 P 到边 AB的距离等于 AB的一半．GECPFA QB3、如图，四边形ABCD为正方形， DE∥ AC， AE＝ AC， AE与 CD相交于 F．求证： CE＝CF．ADF EB C.4、如图，四边形ABCD为正方形， DE∥ AC，且 CE＝ CA，直线 EC交 DA延长线于F．求证： AE＝AF．A DFB CE5、设 P 是正方形ABCD一边 BC上的任一点，PF⊥ AP， CF平分∠ DCE．A求证： PA＝PF．D FBP C E 6、平行四边形ABCD中，设 E、F 分别是 BC、 AB 上的一点， AE 与 CF 相交于 P，且AE＝ CF．求证：∠ DPA＝∠ DPC．A DFPB E C7 如图，△ ABC中，∠ C为直角，∠ A=30°，分别以AB、AC为边在△ ABC的外侧作正△ ABE与正△ACD， DE与 AB交于 F。

求证： EF=FD。

8 如图，正方形 ABCD中，E、F 分别为 AB、BC的中点， EC和 DF 相交于 G，连接 AG，求证： AG=AD。

9、已知在三角形ABC中 ,AD 是 BC边上的中线 ,E 是 AD上的一点 , 且 BE=AC,延长 BE交 AC与 F, 求证AF=EF，九年级数学【答案】1. 如下图连接 AC并取其中点 Q，连接 QN和 QM，所以可得∠QMF=∠F，∠QNM=∠DEN和∠QMN=∠ QNM，从而得出∠DEN＝∠ F。

2. 过 E,C,F 点分别作 AB 所在直线的高 EG ，CI ，FH 。

八年级上数学培优练习（一）: 三角形（1） 1、△ABC 的内角为∠A ，∠B ，∠C ，且∠1=∠A+∠B ，∠2=∠B+∠C ，∠3=∠A+∠C ，则∠1、∠2、∠3中( )A ．至少有一个锐角 ；B ．一定都是钝角；C ．至少有两个钝角；D ．可以有两个直角；2、如图，在等腰△ABC 中，AB=AC ，∠A=130°，将它向右平移到△DEF 的位置，使AB=BE ，若BD 和AF 相交于点M ，则∠BMF 等于( ) A ．130° B ．142.5° C ．150° D ．1553.如上图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ∥BC ，点E 是AD 中点，点F 是CD 上一点，若8=∆ABE S ， 3=∆DEF S ，则___________=∆BEF S 4.△ABC 中，AB=BC ，在BC 上取点N 和M (N 比M 更靠近B)，使得NM=AM 且∠MAC=∠BAN ，则∠CAN=( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°5.周长为P 的三角形中，最长边m 的取值范围是 ( )A ．23P m P <≤B ．23P m P <<C ．23P m P ≤<D ．23P m P ≤≤ 6．各边长均为整数且三边各不相等的三角形的周长小于13，这样的三角形个数共有( ) A ．5个 B ．4个 C ．3个 D ．2个7．等腰三角形的周长为24cm ，腰长为xcm ，则x 的取值范围是________．8．不等边三角形中，如果有一条边长等于另外两条边长的平均值，那么，最大边上的高与最小边上的高的比值k 的取值范围是( )A ．143<<kB ．131<<kC ． 1<k<2D ．121<<k 9．已知三角形的三边的长a 、b 、c 都是整数，且a ≤b<c ，若b=7，则这样的三角形有( )A ．14个B ．28个C ．21个D ．49个10．如果三角形的一个外角大于这个三角形的某两个内角的2倍，那么这个三角形一定是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．直角或钝角三角形11.如下图，在△ABC 中，BC>AC ，∠A=60°，D 、E 分别为AB 、AC 的中点，若PC 平分∠ACB ，PD 平分∠ADE ，则∠DPC=___________B A F12.如上图，在直角三角形ABC的两直角边AC、BC上分别作正方形ACDE和CBFG，连接DG，连接AF交BC于W，连接GW。

八年级期期末复习综合提优压轴训练：几何专题1、（1）操作发现：如图①,D是等边△ABC边BA上一动点（点D与点B不重合）,连接DC,以DC为边在BC上方作等边△DCF,连接AF．你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗?并证明你发现的结论．（2）类比猜想：如图②,当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时,其他作法与（1）相同,猜想AF 与BD在（1）中的结论是否仍然成立?（3）深入探究：Ⅰ．如图③,当动点D在等边△ABC边BA上运动时（点D与点B不重合）连接DC,以DC为边在BC上方、下方分别作等边△DCF和等边△DCF′,连接AF、BF′,探究AF、BF′与AB有何数量关系?并证明你探究的结论．Ⅱ．如图④,当动点D在等边△边BA的延长线上运动时,其他作法与图③相同,Ⅰ中的结论是否成立?若不成立,是否有新的结论?并证明你得出的结论．2、我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边。

（1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称；（2）如图（1），已知格点（小正方形的顶点）O（0，0），A（3，0），B（0，4）请你画出以格点为顶点，OA，OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB；（3）如图（2），将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，连结AD，DC，∠DCB=30°。

求证：DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形。

3、已知：如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，DE、DF分别交AC于E，交BC于F，且DE⊥DF．（1）如果CA=CB，求证：AE2+BF2=EF2；（2）如图2，如果CA＜CB，（1）中结论AE2+BF2=EF2还能成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．4、已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．（1）如图，D为AC上任一点，连接BD，过A点作BD的垂线交过C点与AB平行的直线CE于点E．求证：BD=AE．（2）若点D在AC的延长线上，如图，其他条件同（1），请画出此时的图形，并猜想BD与AE是否仍然相等？说明你的理由．5、已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是，QE与QF的数量关系式；（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．6、如图，已知△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，∠BAD=∠BCE=90°，点M为DE的中点，过点E 与AD平行的直线交射线AM于点N．（1）当A，B，C三点在同一直线上时（如图1），求证：M为AN的中点；（2）将图1中的△BCE绕点B旋转，当A，B，E三点在同一直线上时（如图2），求证：△ACN为等腰直角三角形；（3）将图1中△BCE绕点B旋转到图3位置时，（2）中的结论是否仍成立？若成立，试证明之，若不成立，请说明理由．【解析1】解：（1）AF=BD；证明如下：∵△ABC是等边三角形（已知），∴BC=AC，∠BCA=60°（等边三角形的性质）；同理知，DC=CF，∠DCF=60°；∴∠BCA﹣∠DCA=∠DCF﹣DCA，即∠BCD=∠ACF；在△BCD和△ACF中，BC=AC, ∠BCD=∠ACF,DC=FC，∴△BCD≌△ACF（SAS），∴BD=AF（2）证明过程同（1），证得△BCD≌△ACF（SAS），则AF=BD所以，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，AF=BD仍然成立；（3）Ⅰ．AF+BF′=AB；证明如下：由（1）知，△BCD≌△ACF（SAS），则BD=AF；同理△BCF′≌△ACD （SAS），则BF′=AD，∴AF+BF′=BD+AD=AB；Ⅱ．Ⅰ中的结论不成立．新的结论是AF=AB+BF′；证明如下：在△BCF?和△ACD中，BC=AC, ∠BCF’=∠ACD,F’C=DC，∴△BCF′≌△ACD（SAS），∴BF′=AD,又由（2）知，AF=BD；∴AF=BD=AB+AD=AB+BF′，即AF=AB+BF′。

数学几何是初中数学的一个重要部分，也是学生们比较容易感到困惑的一个知识点。

通过典型例题的学习，可以帮助学生掌握数学几何的解题方法，提高他们的解题能力。

下面就一些典型的数学几何例题进行详细讲解，希望能够对广大学生有所帮助。

【例题一】已知直角三角形ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=12cm，求AC的长度。

解题思路：1. 根据勾股定理，直角三角形的斜边长度可以通过其两条直角边的长度求得。

2. AC的长度即为三角形ABC的斜边长度，可以使用勾股定理求解。

具体步骤：1. 根据勾股定理，AC的长度可以通过AB和BC的长度求得，即AC²=AB²+BC²。

2. 代入数据，得到AC²=5²+12²=25+144=169。

3. 开平方，得到AC=√169=13cm。

AC的长度为13cm。

离心力计算题：一杯长10cm，杯口宽4cm的杯子内装满水，该杯子立在旋转盘上，旋转盘以每秒200转的角速度匀速旋转，求杯口边缘的水滴的离心力。

解题思路：1. 离心力是一个物体在旋转运动时产生的一种惯性力，可以通过公式计算得出。

2. 对于杯口边缘的水滴，可以看作是在旋转盘上做匀速圆周运动，因此可以利用离心力的公式进行计算。

具体步骤：1. 离心力的公式为F=mω²r，其中m为物体的质量，ω为角速度，r 为旋转半径。

2. 首先计算出水滴的质量，然后根据旋转盘的角速度和杯子的半径计算出离心力的大小。

这里就不再罗列具体计算步骤，具体计算过程略。

最后得出水滴的离心力为XXX。

【例题三】已知矩形ABCD中，AB=8cm，BC=6cm，P是AB的中点，E是BC 上一点，使得PE⊥AB，求PE的长度。

解题思路：1. 首先利用矩形的性质和垂直平分线的性质进行分析。

2. 利用相似三角形的性质，通过比较辅助线的长度来求解PE的长度。

具体步骤：1. 由矩形的性质可知，AD=BC=6cm，同时由垂直平分线的性质可知，PE=EC，且PE⊥AB。

初二数学经典几何题型1．已知：如图， P 是正方形ABCD内点，∠ PAD＝∠ PDA＝ 150．求证：△ PBC是正三角形．证明以下。

第一， PA=PD，∠ PAD=∠ PDA=（180° - 150°）÷2=15°，∠PAB=90° - 15°=75°。

A D 在正方形ABCD以外以 AD为底边作正三角形ADQ，连结PQ，则P∠P DQ=60°+15°=75°，相同∠ PAQ=75°，又 AQ=DQ,，PA=PD，因此△PAQ≌△ PDQ，那么∠ PQA=∠PQD=60°÷ 2=30°，在△ PQA中，∠A PQ=180° - 30° - 75°=75°=∠ PAQ=∠ PAB，于是 PQ=AQ=AB，明显△ PAQ≌△ PAB，得∠ PBA=∠PQA=30°，PB=PQ=AB=BC，∠ PBC=90° - 30°=60°，因此△PBC是正三角形。

BC2.已知：如图，在四边形 ABCD中， AD＝BC，M、N 分别是 AB、CD的中点， AD、BC的延伸线交 MN于 E、F．求证：∠ DEN＝∠ F．F证明 : 连结 AC,并取 AC的中点 G,连结 GF,GM.又点 N为 CD的中点 , 则 GN=AD/2;GN∥ AD,∠GNM=∠ DEM;(1)同理 :GM=BC/2;GM∥ BC,∠ GMN=∠ CFN;(2)又 AD=BC,则 :GN=GM,∠ GNM=∠ GMN故. : ∠ DEM=∠ CFN.3、如图，分别以△ABC的 AC和 BC为一边，在△ ABC的外侧作正方形的中点．求证：点 P 到边 AB的距离等于 AB的一半．EN CDA BMACDE和正方形CBFG，点 P 是 EF证明：分别过 E、 C、 F 作直线 AB 的垂线，垂足分别为 M、 O、 N，在梯形 MEFN中， WE平行 NF由于 P为 EF 中点， PQ平行于两底因此 PQ为梯形 MEFN中位线，因此 PQ＝（ ME＋ NF） /2又由于，角 0CB＋角 OBC＝90°＝角 NBF＋角 CBO因此角 OCB=角 NBF而角 C0B＝角 Rt＝角 BNFCB=BF因此△ OCB全等于△ NBF△MEA全等于△OAC（同理）因此 EM＝ AO， 0B＝ NF因此 PQ=AB/2.4、设 P 是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA＝∠ PDA．求证：∠DGCEP FA Q BPAB＝∠ PCB．过点 P作 DA的平行线，过点 A 作 DP的平行线，二者订交于点E；连结 BE由于 DP//AE， AD//PE因此，四边形 AEPD为平行四边形A D 因此，∠ PDA=∠AEP已知，∠ PDA=∠PBAP因此，∠ PBA=∠AEP因此， A、 E、 B、 P 四点共圆B C因此，∠ PAB=∠PEB由于四边形 AEPD为平行四边形，因此：PE//AD，且 PE=AD而，四边形 ABCD为平行四边形，因此：AD//BC，且 AD=BC因此， PE//BC ，且 PE=BC即，四边形 EBCP也是平行四边形因此，∠ PEB=∠PCB因此，∠ PAB=∠PCB5.P 为正方形ABCD内的一点，而且PA＝ a， PB＝ 2a， PC=3a正方形的边长．解：将△ BAP绕 B 点旋转 90°使 BA 与 BC重合， P 点旋转后到 Q点，连结 PQ 由于△ BAP≌△ BCQ因此 AP＝ CQ， BP＝ BQ，∠ ABP＝∠ CBQ，∠ BPA＝∠BQC 由于四边形 DCBA是正方形因此∠ CBA＝90°，因此∠ ABP＋∠ CBP＝90°，因此∠ CBQ＋∠ CBP＝90°即∠ PBQ＝90°，因此△ BPQ是等腰直角三角形因此 PQ＝√ 2*BP，∠ BQP＝ 45由于 PA=a， PB=2a， PC=3a因此 PQ＝2√2a， CQ＝ a，因此 CP^2＝ 9a^2， PQ^2＋CQ^2＝ 8a^2＋ a^2＝9a^2因此 CP^2＝ PQ^2＋ CQ^2，因此△ CPQ是直角三角形且∠ CQA＝90°因此∠ BQC＝90°＋ 45°＝ 135°，因此∠BPA＝∠ BQC＝135°作 BM⊥ PQ则△ BPM是等腰直角三角形因此 PM＝ BM＝PB/√2＝2a/ √2＝√ 2a因此依据勾股定理得：AB^2＝AM^2＋ BM^2＝(√2a＋ a)^2 ＋( √2a)^2＝[5 ＋2√2]a^2A DPBC因此 AB＝[ √(5 ＋2√2)]a6.一个圆柱形容器的容积为 V 立方米，开始用一根小水管向容器内灌水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管２倍的大水管灌水。

2019-2020一次函数与几何图形面积培优题（含解析）1．如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P从点A出发，在正方形的边上沿A→B→C的方向运动到点C停止，设点P的运动路程为x（cm），在下列图象中，能表示△ADP的面积y（cm2）关于x（cm）的函数关系的图象是（）A．B．C．D．2．已知一次函数y=kx+b（k≠0）图象过点（0，2），且与两坐标轴围成的三角形面积为2，则一次函数的解析式为( )A．y= x+2 B．y= ﹣x+2 C．y= x+2或y=﹣x+2 D．y= - x+2或y = x-23．在平面直角坐标系中，过点（1,2）作直线l，若直线l与两坐标轴围成的三角形面积为4，则满足条件的直线l的条数是（）A.5B.4C.3D.24．如图1，点F从菱形ABCD的顶点A出发，沿A→D→B以1cm/s的速度匀速运动到点B，图2是点F运动时，△FBC的面积y（cm2）随时间x（s）变化的关系图象，则a的值为（）A.5B.2C.52D.255．直线y=﹣2x+b与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则b的值为_________．6．已知一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点（3，﹣3），且与直线y=﹣43x平行，求此一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形的面积_____．7．如图，直线l1的函数解析式为y=﹣2x+4，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A、B，直线l1、l2交于点C．（1）求直线l2的函数解析式；（2）求△ADC的面积；（3）在直线l2上是否存在点P，使得△ADP面积是△ADC面积的2倍？如果存在，请求出P坐标；如果不存在，请说明理由．8．如图，平面直角坐标系中，直线AB：y=﹣x+b交y轴于点A，交x轴于点B，S△AOB=8．（1）求点B的坐标和直线AB的函数表达式；（2）直线a垂直平分OB交AB于点D，交x轴于点E，点P是直线a上一动点，且在点D的上方，设点P的纵坐标为m．①用含m的代数式表示△ABP的面积；②当S△ABP=6时，求点P的坐标；③在②的条件下，在坐标轴上，是否存在一点Q，使得△ABQ与△ABP面积相等？若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．9．如图，直线l1：y1=﹣x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P（m，3）为直线l1上一点，另一直线l2：y2=12x+b过点P．（1）求点P坐标和b的值；（2）若点C是直线l2与x轴的交点，动点Q从点C开始以每秒1个单位的速度向x轴正方向移动．设点Q的运动时间为t秒．①请写出当点Q在运动过程中，△APQ的面积S与t的函数关系式；②求出t为多少时，△APQ的面积小于3；③是否存在t的值，使△APQ为等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．10．已知：如图，一次函数334y x=+的图象分别与x轴、y轴相交于点A、B，且与经过点C（2，0）的一次函数y=kx+b的图象相交于点D，点D的横坐标为4，直线CD与y轴相交于点E．（1）直线CD的函数表达式为；（直接写出结果）（2）点Q为线段DE上的一个动点，连接BQ．①若直线BQ将△BDE的面积分为1：2两部分，试求点Q的坐标；②将△BQD沿着直线BQ翻折，使得点D恰好落在直线AB下方的坐标轴上,请直接写出点Q的坐标: .11．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数43y x=与一次函数7y x=-+的图像交于点A．（1）求点A的坐标；（2）在y轴上确定点M，使得△AOM是等腰三角形，请直接写出点M的坐标；（3）如图，设x轴上一点P（a，0），过点P作x轴的垂线（垂线位于点A的右侧），分别交43 y x =和7y x =-+的图像于点B 、C ，连接OC ，若BC =145OA ，求△ABC 的面积及点B 、点C 的坐标； （4）在（3）的条件下，设直线7y x =-+交x 轴于点D ，在直线BC 上确定点E ，使得△ADE 的周长最小，请直接写出点E 的坐标．12．如图,一次函数y=kx+b 的图象经过点A(8,0)，直线y=-3x+6与x 轴交于点B,与y 轴交于点D,且两直线交于点C(4,m).(1)求m 的值及一次函数的解析式；(2)求△ACD 的面积。

八年级数学几何经典题【含答案】1、已知:如图,在四边形ABCD MN 于E 、F. 求证:∠DEN ＝∠F.2、如图,分别以△ABC 的AC 与是EF 的中点.求证:点P 到边AB 3、如图,四边形ABCD 为正方形求证:CE ＝CF. 、4、如图,四边形ABCD 为正方形求证:AE ＝AF.5、设P 就是正方形ABCD 一边求证:PA ＝PF.6、平行四边形ABCD 中,设E 、AE ＝CF.求证:∠DPA ＝∠DPC.7如图,△ABC 中,∠C 为直角,∠A=30°,分别以AB 、AC 与正△ACD,DE 与AB 交于F 。

求证:EF=FD 。

D8如图,正方形ABCD中,E、F分别为AB、BC的中点,EC与DF相交于G,连接AG,求证:AG=AD。

9、已知在三角形ABC中,AD就是BC边上的中线,E就是AD上的一点,且BE=AC,延长BE交AC 与F,求证AF=EF,九年级数学【答案】1、如下图连接AC并取其中点Q,连接QN与QM,所以可得∠QMF=∠F,∠QNM=∠DEN与∠QMN=∠QNM,从而得出∠DEN＝∠F。

2、过E,C,F 点分别作AB 所在直线的高EG,CI,FH 。

可得PQ=2EG FH+。

由△EGA ≌△AIC,可得EG=AI,由△BFH ≌△CBI,可得FH=BI 。

从而可得PQ=2AI BI += 2AB ,从而得证。

3、顺时针旋转△ADE,到△ABG,连接CG 、 由于∠ABG=∠ADE=900+450=1350从而可得B,G,D 在一条直线上,可得△AGB ≌△CGB 。

推出AE=AG=AC=GC,可得△AGC 为等边三角形。

∠AGB=300,既得∠EAC=300,从而可得∠A EC=750。

又∠EFC=∠DFA=450+300=750、可证:CE=CF。

4、连接BD作CH⊥DE,可得四边形CGDH就是正方形。

由AC=CE=2GC=2CH,可得∠CEH=300,所以∠CAE=∠CEA=∠AED=150,又∠FAE=900+450+150=1500,从而可知道∠F=150,从而得出AE=AF。

多乘多与图形面积1．如图 正方形卡片A 类 B 类和长方形卡片C 类若干张 如果要拼一个长为（a ＋2b ） 宽为（3a ＋b ）的大长方形 则需要C 类卡片（ ）张．A ．5B ．6C ．7D ．8 【答案】C【分析】根据整式的乘法法则：（a ＋2b ）（3a ＋b ）＝3a 2＋7ab ＋2b 2 可知 需要面积为ab 的卡片7张．【详解】解：∵（a ＋2b ）（3a ＋b ）＝3a 2＋7ab ＋2b 2∵一张C 类卡片的面积为ab∵需要C 类卡片7张．故选：C ．【点睛】本题考查整式的乘法 理解用图形面积表示多项式与多项式的乘法运算是解题的关键． 2．如图可以通过不同的方法计算图形的面积 可以得到一个数学等式．这个大正方形边长为a ＋b ＋c 用()2a b c ++可求得其面积．同时 大正方形的面积也等于6个长方形和3个正方形的面积之和；已知a ＋b ＋c ＝8 22226a b c ++= 则ab ＋bc ＋ac 的值是（ ）A ．34B ．23C ．20D ．19【答案】D【分析】根据题设提到的大正方形的面积的两种计算方法可得一个关于,,a b c 的等式 再将已知等式的值代入计算即可得．【详解】解：由正方形的面积公式得：这个大正方形的面积为()2a b c ++这个大正方形的面积也等于6个长方形和3个正方形的面积之和∴这个大正方形的面积为222222ab bc ac a b c +++++ ()2222222ab bc ac a b c a b c ∴+=++++++222826,a a c b c b +++=+=2222268ab bc ac ++=∴+ 解得19ab bc ac ++=故选：D ．【点睛】本题考查了多项式乘多项式与图形面积 根据图形面积的两种计算方法建立数学等式是解题关键．3．通过计算比较图1 图2中阴影部分的面积 可以验证的计算式子是（ ）A ．a （b －x ）＝ab －axB ．b （a －x ）＝ab －bxC ．（a －x ）（b －x ）＝ab －ax －bxD ．（a －x ）（b －x ）＝ab －ax －bx ＋x 2【答案】D【分析】要求阴影部分面积 若不规则图形可考虑利用大图形的面积减去小图形的面积进行计算 若规则图形可以直接利用公式进行求解．【详解】解：图1中 阴影部分＝长（a －x ）宽（b －x ）的长方形面积∵阴影部分的面积＝（a －x ）（b －x ）图2中 阴影部分＝大长方形面积－长a 宽x 长方形面积－长b 宽x 长方形面积＋边长x 的正方形面积∵阴影部分的面积＝ab －ax －bx ＋x 2∵（a －x ）（b －x ）＝ab －ax －bx ＋x 2．故选：D ．【点睛】点评：本题考查多项式乘多项式 单项式乘多项式 整式运算 需要利用图形的一些性质得出式子 考查学生观察图形的能力．正确观察图形是解题的关键．4．挪威数学家阿贝尔 年轻时就利用阶梯形 发现了一个重要的恒等式——阿贝尔公式：如图是一个简单的阶梯形 可用两种方法把图形分割成为三个长方形．利用它们之间的面积关系 可以得到：112233a b a b a b ++=（ ）A ．()()()()12312121233a b b a a b b a a a b -++-+++B ．()()()()11212121232a b b a a b b a a a b -++-+++C ．()()()()11212231233a b b a a b b a a a b -++-+++D ．()()()()12312231232a b b a a b b a a a b -++-+++ 【答案】C 【分析】通过用两种方法把图形分割成为三个长方形．利用它们之间的面积关系 从而列式求解．【详解】解：如图ABMC DMNE FNHG APDC PQFE QBHG S S S S S S ++=++矩形矩形矩形矩形矩形矩形11223311212231233()()()()a b a b a b a b b a a b b a a a b ∴++=-++-+++故选：C ．【点睛】本题考查整式的混合运算 准确识图 通过用两种方法把图形分割成为三个长方形．利用它们之间的面积关系列出等式是解题关键．5．“数形结合”思想是一种常用的数学思想 其中“以形助数”是借助图形来理解和记忆数学公式．例如 根据图1的面积可以说明多项式的乘法运算（2a +b ）（a +b ）＝2a 2+3ab +b 2 那么根据图2的面积可以说明多项式的乘法运算是（ ）A ．（a +3b ）（a +b ）＝a 2+4ab +3b 2B ．（a +3b ）（a +b ）＝a 2+3b 2C ．（b +3a ）（b +a ）＝b 2+4ab +3a 2D ．（a +3b ）（a ﹣b ）＝a 2+2ab ﹣3b 2 【答案】A【分析】根据大长方形的面积（长为3a b +、宽为a b +）等于1个边长为a 的小正方形的面积、4个长方形的面积（长为a 、宽为b ）、3个边长为b 的小正方形的面积之和即可得出答案．【详解】解：由图可知 22(3)()43a b a b a ab b ++=++故选：A ．【点睛】本题考查了多项式乘法与图形面积 读懂题意 理解几个图形的面积之间的联系是解题关键．6．如图 甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示最大长方形面积的方法：①（2a +b ）（m +n ）；②2a （m +n ）+b （m +n ）；③m （2a +b ）+n （2a +b ）；④2am +2an +bm +bn ．你认为其中正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【分析】根据不同方法表示出长方形的面积 进而逐项分析即可．【详解】根据长方形的面积可表示长为2a b + 宽为m n +的长方形 则面积为()()2a b m n ++故①正确；将长方形表示成2个宽为a 长为m n + 1个长为b 宽为m n +的长方形 则面积为2()()a m n b m n +++ 故②正确；将长方形表示成为长为2a b +和宽分别为,m n 的两个长方形 其面积为()()22a b m a b n +++ 故③正确将长方形表示成6个小长方形 则面积为2am +2an +bm +bn 故④正确．故选D【点睛】本题考查了多项式的乘法与图形面积关系 掌握多项式的乘法是解题的关键．7．用如图的正方形和长方形卡片若干张 拼成一个长为2a +b 宽为（a +b ）的矩形 需要B 类卡片 _____张．【答案】3【分析】先求出长为2a +b 宽为a +b 的矩形面积 然后对照A 、B 、C 三种卡片的面积 进行组合．【详解】解：长为2a +b 宽为a +b 的矩形面积为22(2)()23a b a b a ab b ++=++A 图形面积为2aB 图形面积为abC 图形面积为2b则可知需要A 类卡片2张 B 类卡片3张 C 类卡片1张．故答案为：3．【点睛】本题主要考查多项式的乘法运算 熟练掌握运算法则是解题的关键．8．如图 大正方形ABCD 的边长为a 小正方形CEFG 的边长为b 则阴影部分的面积是_____ ；9．如图（图中长度单位：m ）阴影部分的面积是_____m 2（用含x 的式子表示）面积表达式是_____次三项式．【答案】 236x x ++ 二【分析】由阴影部分的面积等于大的长方形的面积减去小的长方形的面积可得第一空的答案；再结合多项式的项与次数可得第二空的答案.【详解】解：阴影部分的面积322x x x2256236,x x x x x 236x x ++有三项 最高次项是2,x所以236x x ++是二次三项式故答案为：236x x ++ 二【点睛】本题考查的是图形面积与多项式的乘法运算之间的关系 多项式的次数与项的概念 理解多项式的乘法运算与图形面积之间的关系是解本题的关键.10．如图 现有正方形卡片A 类、B 类和长方形卡片C 类各若干张 如果要拼一个长为()3a b + 宽为()32a b +的大长方形 那么需要C 类卡片的张数是___________；【答案】11【分析】按照长方形面积公式计算所拼成的大长方形的面积 再对比卡片的面积 即可得解．【详解】解：∵（a ＋3b ）（3a ＋2b ）＝3a 2＋11ab ＋6b 2∵一张C 类卡片的面积为ab ∵需要C 类卡片11张．故答案为：11．【点睛】本题考查了多项式乘多项式在几何图形问题中的应用 属于基础知识的考查 比较简单．11．通过计算几何图形的面积可以得到一些恒等式 根据如图的长方形面积写出的恒等式为______．【答案】2222a a b a ab【分析】由题意知 大长方形的面积等于2a 乘以（a ＋b ） 面积也等于四个小图形的面积之和 从而建立两种算法的等量关系．【详解】解：由题意得：222222a a ba ab ab a a ab 故答案为：2222a a b a ab ．【点睛】本题考查了单项式乘多项式的几何解释 列出面积的两种不同表示方法是解题的关键．12．如图 甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示该长方形面积的多项式：①2（a+b ）（m+n ）；②2a （m+n ）+b （m+n ）；③m （2a+b ）+n （2a+b ）；④2am+2mn+bm+bn 你认为其中正确的有______【答案】②③④【分析】根据图形中各个部分的面积得出答案即可．【详解】解：表示该长方形面积的多项式有：纵向三个大长方形面积之和：②2a （m+n ）+b （m+n ）；横向两个大长方形面积之和：③m （2a+b ）+n （2a+b ）；六块小长方形面积之和：④2am+2mn+bm+bn ；故答案为：②③④．【点睛】本题考查了多项式乘以多项式、单项式乘以多项式和单项式乘以单项式 能正确根据图形列出算式是解此题的关键．三、解答题13．如图 某市修建了一个大正方形休闲场所 在大正方形内规划了一个正方形活动区 连接绿地到大正方形四边的笔直小路如图所示．已知大正方形休闲场所的边长为6a 米 四条小路的长与宽都为b 米和2b 米．阴影区域铺设草坪 草坪的造价为每平米30元．(1)用含a 、b 的代数式表示草坪（阴影）面积并化简．(2)若a ＝6 b ＝6 计算草坪的造价． 2624b ab 平方米222236236244a b a ab b2624b ab 平方米；（2）解：草坪的造价为：()26624663019440-⨯+⨯⨯⨯=元． 【点睛】本题考查了面积的计算及代数式的求值 解题关键先求出代数式并化简 最后将已知条件代入即可得出答案．14．小明计划用三种拼图将长为(520)a b +米 宽为(315)a b +米的客厅铺上一层漂亮的图案．其中A 和B 两种拼图为正方形 C 为长方形 边长如图所示．如果拼图不允许切割 请你帮助小明计算一下：(1)分别需要A B 和C 三种拼图多少块？(2)若A B 和C 三种拼图的单价分别为5元 3元 2元 且购买任意一种拼图的数量超过100块时 这种拼图的价格按照八折优惠 求小明的总花费． 【答案】(1)需要A B 和C 三种拼图分别为：15块 300块 135块(2)小明的总花费为1011元【分析】（1）根据题意求出（5a ＋20b ）（3a ＋15b ）即可得出答案；（2）根据（1）中的A B 和C 三种拼图块数乘以对应的单价即可求出答案．（1）解：由题意得：（5a ＋20b ）（3a ＋15b ）＝15a 2＋75ab ＋60ab ＋300b 2＝15a 2＋135ab ＋300b 2∵SA ＝a 2 SB ＝ b 2 SC ＝ab∵分别需要A B 和C 三种拼图15块 300块 135块．（2）解：15×5＋300×3×0.8＋135×2×0.8＝75＋720＋216＝1011（元）答：小明的总花费为1011元．【点睛】本题主要考查了整式的乘法 有理数的混合运算 熟练掌握多项式乘多项式法则 是解题的关键．15．如图 在长为3a +2 宽为2b -1的长方形铁片上 挖去长为2a +4 宽为b 的小长方形铁片(1)求剩余部分面积．(2)求出当a ＝3 b ＝2时的面积． 【答案】(1)432ab a --(2)13【分析】（1）首先利用大长方形的面积减去小长方形的面积列出整式 然后化简 即可得出结果；（2）根据（1）中算出的结论 把a ＝3 b ＝2代入并计算 即可得出结论．（1）解：剩余部分的面积为：(32)(21)(24)a b b a +--+643224ab b a ab b =+----432ab a =--．（2）解：当32a b ==，时原式432332=⨯⨯-⨯-2492=--13=．【点睛】本题考查了多项式乘以多项式与图形面积、代数式求值 解本题的关键在正确列出阴影部分面积的代数式．16．如图 将一个边长为a b +的正方形图形分割成四部分（两个正方形和两个长方形） 请认真观察图形．解答下列问题：(1)根据图中条件．试通过两种方法求出该图形的总面积 并用公式的形式将两种关系表达出来；(2)当图中的(),0a b a b >>满足2257a b += 12ab =．求a b +的值． 【答案】(1)222()2a b a ab b +=++(2)a b +的值为9【分析】（1）用两种方法计算四边形的面积即可得出相应等式；（2）利用（1）中结论得出9a b +=± 根据题意即可得出结果．（1）解：∵2()()()a b a a S b b =++=+四边形 22222ab a b S ab a ab b =+++=++四边形∵222()2a b a ab b +=++．（2）∵2257a b += 12ab =∵222()25721281a b a b ab +=++=+⨯=即9a b +=±∵0a b >>∵9a b += 即a b +的值为9．【点睛】题目主要考查完全平方公式的应用及变形计算 熟练掌握完全平方公式是解题关键．17．（1）已知三个连续的奇数 若中间那个为n 求这三个奇数的积．（2）求图中阴影部分的面积．【答案】（1）34n n -（2）223.5a【分析】（1）分别表示出另外两个奇数 再相乘即可．（2）阴影部分面积可看作是大长方形的面积减去两个空白部分的面积 据此可求解．【详解】（1）解：由题意可知：()()3224n n n n n -⨯⨯+=-（2）解：()()22.533323 2.523.5S a a a a a a a a a a =+++++-⨯⨯=阴影【点睛】本题考查了多项式乘以多项式的法则 组合图形的面积 熟练找出 阴影部分有哪几部分的和或差得到的解答本题的关键．18．如图 请用两种不同的方法求阴影部分的面积．【答案】4a 2+2ab +3b 2．【分析】方法1：阴影部分的面积=大长方形的面积-中间空白部分的小方形的面积；方法2：阴影部分的面积=三个小方形的面积和．【详解】解：方法1：阴影部分的面积=(a +3b +a )(2a +b )-2a •3b=(2a +3b )(2a +b )-6ab=4a 2+2ab +6ab +3b 2-6ab=4a 2+2ab +3b 2；方法2：阴影部分的面积=2•2a •a +b (a +3b +a )=4a 2+b (2a +3b )=4a 2+2ab +3b 2．【点睛】本题考查了整式乘法的应用 用于培养学生的观察图形的能力和计算能力．19．某学校教学楼前有一块长为(62)a b +米 宽为(42)a b +米的长方形空地要铺地砖 如图所示空白的A 、B 两正方形区域是草坪 不需要铺地砖．两正方形区域的边长均为()a b +米．请你求出要铺地砖的面积是多少？【答案】要铺地砖的面积是（22a 2+16ab +2b 2）平方米【分析】根据题意列出算式 再利用多项式乘多项式的法则进行计算 即可得出答案．【详解】解：（6a +2b ）（4a +2b ）-2（a +b ）2=24a 2+20ab +4b 2-2a 2-4ab -2b 2=（22a 2+16ab +2b 2）平方米答：要铺地砖的面积是（22a 2+16ab +2b 2）平方米．【点睛】本题考查了多项式乘多项式 根据题意正确列出算式是解决问题的关键．20．当我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积时 可以得到一个等式 例如 由图1 可得等式：（a +2b ）（a +b ）＝a 2﹣3ab +2b 2．(1)由图2 可得等式： ．(2)利用（1）中所得到的结论 解决下面的问题：已知a +b +c ＝12 ab +bc +ac ＝28 求a 2+b 2+c 2的值；(3)计算（2a +b ）（a +3b ）＝ ．利用图3中的纸片（足够多） 画出一种拼图 使该拼图可用来验证上面的等式（要求图中有长度和面积的标识）【答案】(1)2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++；(2)88；(3)22273a ab b ++ 作图见解析【分析】（1）根据图2 利用直接求与间接法分别表示出正方形面积 即可确定出所求等式；（2）根据（1）中结果 求出所求式子的值即可；（3）先计算多项式乘以多项式 然后根据等式 作出相应图形即可．（1）解：2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++；故答案为：2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++；（2）a +b +c ＝12 ab +bc +ac ＝28222a b c ∴++()2()2a b c ab ac bc =++-++212228=-⨯14456=-88=；（3）（2a +b ）（a +3b ）=2222263273a ab ab b a ab b +++=++故答案为：22273a ab b ++作图如下：【点睛】此题考查了多项式乘以多项式与几何图形的面积 代数式求值问题 熟练掌握运算法则是解本题的关键．。

F八年级数学几何经典题【含答案】1、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ． 求证：∠DEN ＝∠F ．2、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点． 求证：点P 到边AB 的距离等于ABB3、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ．求证：CE ＝CF ．.4、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ．求证：AE ＝AF ．5、设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任一点，PF求证：PA ＝PF ．E6、平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点，AE 与CF 相交于P ，且AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．7如图，△ABC 中，∠C 为直角，∠A=30°，分别以AB 、AC 为边在△ABC 的外侧作正△ABE 与正△ACD ，DE 与AB 交于F 。

求证：EF=FD 。

8如图，正方形ABCD 中，E 、F 分别为AB 、BC 的中点，EC 和DF 相交于G ，连接AG ，求证：AG=AD 。

FPDE CBA9、已知在三角形ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD上的一点,且BE=AC,延长BE交AC与F,求证AF=EF，九年级数学【答案】1.如下图连接AC 并取其中点Q ，连接QN 和QM ，所以可得∠QMF=∠F ，∠QNM=∠DEN 和∠QMN=∠QNM ，从而得出∠DEN ＝∠F 。

2.过E,C,F 点分别作AB 所在直线的高EG ，CI ，FH 。

可得PQ=2EGFH。

由△EGA ≌△AIC ，可得EG=AI ，由△BFH ≌△CBI ，可得FH=BI 。

从而可得PQ=2AI BI=2AB，从而得证。