一元二次方程 (思维导图+资料)

1、 会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程

2、 经历探究将一般一元二次方程化成（)0()2nnmx形式的过程，进一步理解配方法的意义

3、 在用配方法解方程的过程中，体会转化的思想。

重点：使学生掌握配方法，解一元二次方程

难点：把一元二次方程转化为的（x＋m）2= n（n≥0）形式

二、知识准备

1、 请说出完全平方公式。

（a＋b）2 = （a-b）2 =

2、 用直接开平方法解下例方程：

（1） （2）134)5(2x （1）16442xx （2）13425102xx

三、学习过程

问题1、请你思考方程5)3(2x与0462xx 有什么关系，如何解方程0462xx呢？

问题2、能否将方程0462xx转化为（nmx2)的形式呢？

由此可见，只要先把一个一元二次方程变形为（x＋m）2= n的形式（其中m、n都是常数），如果n≥0，再通过直接开平方法求出方程的解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。

（1）2x－4x＋3＝0. （2）x2＋3x－1 = 0

四、知识梳理

问题1：配方法解一元二次方程的作用是什么？配方法时要注意什么？

问题2、配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？

达标检测一

1、填空：

（1）x2+6x+ =(x+ )2；(2)x2-2x+ =(x- )2；

(3)x2-5x+ =(x- )2；(4)x2+x+ =(x+ )2；

(5)x2+px+ =(x+ )2；

2、将方程x2+2x-3=0化为(x+m)2=n的形式为 ；

3、用配方法解方程x2+4x-2=0时，第一步是 ，第二步是 ，第三步是 ，解是 。

1、用配方法解一元二次方程x2+8x+7=0，则方程可变形为（ ）

A.(x-4)2=9 B.(x+4)2=9

C.(x-8)2=16 D.(x+8)2=57

2、、已知方程x2-5x+q=0可以配方成(x-25 )2=46的形式，则q的值为（ ）

A.46 B.425 C. 419 D. -419

3、、已知方程x2-6x+q=0可以配方成(x-p )2=7的形式，那么q的值是（ ） A.9 B.7 C.2 D.-2

4、、用配方法解下列方程：

（1）x2-4x=5； （2）x2-100x-101=0；

（3）x2+8x+9=0； （4）y2+22y-4=0；

5、试用配方法证明：代数式x2+3x-23的值不小于-415。

1、用配方法解下列方程：

(1)x2-6x-16=0； (2)x2+3x-2=0；

2、请你思考方程x2-25x+1=0与方程2x2-5x+2=0有什么关系？

三、学习内容

问题1、如何解方程2x2-5x+2=0？ 01832xx -01432xx

四、知识梳理

问题1：对于二次项系数不为1的一元二次方程，用配方法求解时要注意什么？

问题2、：用配方法解一元二次方程的步骤是什么？

系数化一，移项，配方，开方，解一元二次方程

1、填空：

(1)x2-31x+ =(x- )2, (2)2x2-3x+ =2(x- )2.

2、用配方法解一元二次方程2x2-5x-8=0的步骤中第一步是 。

3、方程2(x+4)2-10=0的根是 .

4、用配方法解方程2x2-4x+3=0，配方正确的是（ ）

A.2x2-4x+4=3+4 B. 2x2-4x+4=-3+4

C.x2-2x+1=23+1 D. x2-2x+1=-23+1

5、用配方法解下列方程：

（1）04722tt； （2）xx6132

1、用配方法解下列方程，配方错误的是（ ） A.x2+2x-99=0化为(x+1)2=100 B.t2-7t-4=0化为(t-27)2=465

C.x2+8x+9=0化为(x+4)2=25 D.3x2-4x-2=0化为(x-32)2=910

2、a2+b2+2a-4b+5=(a+ )2+(b- )2

2、用配方法解下列方程：

(1)2x2+1=3x； (2)3y2-y-2=0；

3、试用配方法证明：2x2-x+3的值不小于823. 4、已知(a+b)2=17，ab=3.求(a-b)2的值.

一、知识目标

1、 会用公式法解一元二次方程

2、体验用配方法推导一元二次方程求根公式的过程，明确运用公式求根的前提条件是b2－4ac≥0

3、在公式的推导过程中培养学生的符号感

重点：掌握一元二次方程的求根公式，并应用它熟练地解一元二次方程

难点：求根公式的结构比较复杂，不易记忆；系数和常数为负数时，代入求根公式常出符号错误

二、知识准备

1、用配方法解一元二次方程的步骤是什么？

2、 用配方法解下例方程

（1）02722xx （2）05422xx

三、学习内容

问题1：如何解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c = 0（a≠0）？

回顾用配方法解数字系数的一元二次方程的过程，让学生分组讨论交流，达成共识：

因为0a，方程两边都除以a，得 20bcxxaa

移项，得 2bcxxaa

配方，得 222)2()2(22abacabxabx••

即 2224()24bbacxaa 问题2、为什么在得出求根公式时有限制条件b2－4ac≥0？

当240bac，且0a时，2244baca大于等于零吗？

让学生思考、分析，发表意见，得出结论：当240bac时，因为0a，所以240a，从而22404baca

到此，你能得出什么结论？

让学生讨论、交流，从中得出结论，当240bac时，一般形式的一元二次方程20(0)axbxca的根为2422bbacxaa，即242bbacxa。

由以上研究的结果，得到了一元二次方程20(0)axbxca的求根公式：242bbacxa （240bac）

这个公式说明方程的根是由方程的系数a、b、c所确定的，利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a、b、c的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。

例 6 解下列方程：

⑴ x2＋3x＋2 = 0 ⑵ 2 x2－7x = 4

四、知识梳理

引导学生总结：

1、用公式法解一元二次方程时要注意什么？

2、任何一个一元二次方程都能用公式法求解吗？举例说明。

3、若解一个一元二次方程时，b2－4ac＜0，请说明这个方程解的情况。

五、达标检测

达标检测一

1、把方程4-x2=3x化为ax2+bx+c=0(a≠0)形式为 ，b2-4ac= .

2、方程x2+x-1=0的根是 。

3、用公式法解方程2x2+43x=22,其中求的b2-4ac的值是（ ）

A.16 B. 4 C. 32 D.64

4、用公式法解方程x2=-8x-15，其中b2-4ac= ，方程的根是 .。 5、用公式法解方程3x2+4=12x，下列代入公式正确的是（ ）

A.x1.2=21214412 B. x1.2=21214412

C. x1.2=21214412 D. x1.2=64814412

达标检测二

1、把方程(2x-1)(x+3)=x2+1化为ax2 + bx + c = 0的形式，b2-4ac= ，方程的根是 .

2、方程042xx的解为 ．

3、方程(x-1)(x-3)=2的根是（ ）

A. x1=1,x2=3 B.x=223 C.x=23 D.x=-223

4、已知y=x2-2x-3，当x= 时，y的值是-3

5、用公式法解下列方程：

（1）x2-2x-8=0； （2）x2+2x-4=0；

（3）2x2-3x-2=0； （4）3x(3x-2)+1=0.

4、 已知等腰三角形的底边长为9，腰是方程210240xx的一个根，求这个三角形的周长。

一、学习目标

1、用公式法解一元二次方程的过程中，进一步理解代数式b2－4ac对根的情况的判断作用

2、能用b2－4ac的值判别一元二次方程根的情况

3、在理解根的判别式的过程中，体会严密的思维过程

重点：一元二次方程根与系数的关系

难点：由一元二次方程的根的情况求方程中字母系数的取值

一、知识准备

1、 一元二次方程ax2＋bx＋c = 0（a≠0）当240bac时，X1,2 =

2、 解下例方程：

（1）x2 -4x+4=0 （2）2x2 -3x -4=0 (3) x2+3x+5=0

三、学习内容

1、情境创设

1、引导学生思考：不解方程，你能判断下列方程根的情况吗？

⑴ x2＋2x－8 = 0 ⑵ x2 = 4x－4 ⑶ x2－3x = －3

2、探索活动

1、一元二次方程根的情况与一元二次方程中二次项系数、一次项系数及常数项有关吗？能否根据这个关系不解方程得出方程的解的情况呢？

例 解下列方程：

⑴ x2＋x－1 = 0 ⑵ x2－23x＋3 = 0 ⑶ 2x2－2x＋1 = 0

分析：本题三个方程的解法都是用公式法来解，由公式法解一元二次方程的过程中先求出b2－4ac的值可以发现它的符号决定着方程的解。

3、 你能得出什么结论？

由此可以发现一元二次方程ax2＋bx＋c = 0（a≠0）的根的情况可由b2－4ac来判定：