专转本数学知识点
- 格式：doc
- 大小：1.32 MB
- 文档页数：10
1 第一章 极限与连续
代数公式：222()2abaabb； 33223()33abaababb；
22()()ababab； 3322()()ababaabb；
三角公式：同角关系：sincsc1；cossec1；tancot1；sintancos；
22sincos1；221tansec；221cotcsc；
倍角关系：sin22sincos；2222cos2cossin2cos112sin；22tantan21tan；
降幂公式：21cos2sin2； 21sin2cos2．
一、函数的概念：
1、函数的定义域：（1）分式：分母0； （2）偶次根式：被开方式0；
（3）对数式：真数式0； （4）arcsinx、arccosx：11x；
2、函数的解析式：xfy
3、反函数：xfyyfx1xfy1
函数xfy与反函数xfy1：定义域与值域互换；图形关于直线xy对称．
4、奇偶性：对任意xD，若xfxf，则xf为偶函数，偶函数图形关于y轴对称；
若xfxf，则xf为奇函数，奇函数图形关于原点对称．
5、整理函数表达式的技巧：
（1）有理化：例：()11fxxx ； 2()1fxxxx ；
（2）拆分：例：211x；2123xx；1(21)(31)xx；21(1)(1)xx；32211xxx．
二、极限：
1、极限类型：
（1）lim0(||1)nnqq；
（2）01001101,lim0,,nnnmmxmanmbaxaxanmbxbxbnm
代入法： 0()fx；
“0c”型：；
若()fx是多项式的商，则因式分解，约去零因子；
若()fx的分子或分母含无理式，则有理化约去零因子；
（3）0lim()xxfx “00”型： 若()fx含三角式，用第一个重要极限?sin()lim1()xxx（()0x）；
洛必达法则：00()()limlim()()xxxxfxfxgxgx （亦可用于““型）；
等价代换：0x时，sinxx～；tanxx～；arctanxx～；arcsinxx～；
21cos2xx～；xex～；ln(1)xx～；(1)(0)xx～；
“1”型： 用第二个重要极限1()?lim[1()]xxxe（()0x）；
（4）无穷小性质：无穷小×有界函数=无穷小；（常见有界函数：sin、cos、arctan、arccot）
（5）其它类型：（如夹逼准则等）
夹逼准则：若nnnyxz（nN时）且limlimnnnnyza，则limnnxa．
2 2、无穷小的比较：设?lim0x，?lim0x
（1）若?lim0x，则称是比高阶的无穷小，记作()o，或称是比低阶的无穷小；
（2）若?lim0xC，则称与是同阶无穷小；当1C时，称与是等价无穷小，记作～．
三、连续：
1、连续：00lim()()xxfxfx （
000lim()lim()()xxxxfxfxfx ） 或 0lim0xy；
2、间断点：第一类间断点（可去间断点、跳跃间断点）；第二类间断点（无穷间断点、振荡间断点等）；
3、零点定理：设()fx在[,]ab上连续，且()()0fafb，则至少有一点(,)ab，使得()0f．
第二章 导数
一、导数基本概念：
1、导数定义：00000000()()()()()limlimlimxxxfxxfxfxfxyfxxxxx
特殊地：0()(0)(0)limxfxffx
2、导数的几何意义：切线斜率0()kfx
切线方程：000()()()yfxfxxx；法线方程：0001()()()yfxxxfx；
3、微分定义：()()dydfxfxdx
4、微分的几何意义：当y是曲线的纵坐标的增量时，dy就是切线的纵坐标对应的增量；
5、关系：有定义无关有极限连续可导可微
有切线
二、导数和计算：
1、公式：
（1）()0c； （2）1()xx； （3）()lnxxaaa； （4）()xxee；
（5）1(log)lnaxxa； （6）1(ln)xx； （7）(sin)cosxx； （8）(cos)sinxx；
（9）2(tan)secxx； （10）2(cot)cscxx； （11）(sec)sectanxxx； （12）(csc)csccotxxx；
（13）21(arcsin)1xx；（14）21(arccos)1xx；（15）21(arctan)1xx； （16）21(arccot)1xx．
法则：()uvuv； ()uvuvuv； ()()cucuc为常数；
3 2uuvuvvv； 21vvv； [()]()()fxfux
2、高阶导数：2222()dydffxydxdx，，，，……
公式：()(sin)sin()2nnxx； ()(cos)cos()2nnxx；
3、隐函数求导：方程两边对x求导，只含x的项直接求导，只含y的项对y求导后乘y；
4、参数方程求导：()()xxtyyt， ()()dyytdxxt，22()ddydydtdxdxxt
三、导数的应用：
1、函数的单调性、极值：
（1）驻点：若0()0fx，则0x叫做函数()fx的驻点（又叫稳定点）；
（2）单调性：(,)xab，（1）若0)(xf，则()fx单调增加；
（2）若0)(xf，则()fx单调减少；
（3）极值：（极值点必是驻点或不可导点）
①第一充分条件：在点0x处，)(xf左增右减，则)(0xf为极大值；
)(xf左减右增，则)(0xf为极小值；
②第二充分条件：0()0fx，0)(0xf，则)(0xf为极大值；
0()0fx，0)(0xf，则)(0xf为极小值．
2、曲线的凹凸性、拐点：
（1）凹凸性：(,)xab，（1）若()0fx，则曲线()fx凹；
（2）若()0fx，则曲线()fx凸；
（2）拐点：（拐点必是0)(xf或)(xf不存在的点）
在0x的左右凹凸转变，则点))(,(00xfx为拐点；
3、渐近线：若limxya，则有水平渐近线ya； 若limxay，则有垂直渐近线xa；
4、最值：
（1）求出(,)ab内所有驻点及不可导点，计算这些点及两端点处的函数值，取其最大、最小值；
（2）设变量并写出自变量的范围，列函数关系，求其导数并求驻点，若唯一驻点，则即为所求；
5、微分中值定理：
（1）罗尔定理：若()fx在[,]ab上连续；在(,)ab内可导；()()fafb，则至少有一点(,)ab，使得()0f．
（2）拉格朗日中值定理：若()fx在[,]ab上连续；在(,)ab内可导，则至少有一点(,)ab，使得()()()fbfafba．
6、不等式的证明：
常用方法：（构造函数）：（1）中值定理：（2）单调性；（3）最值．
4 第三章 不定积分
一、不定积分的定义与性质：
1、原函数：若()()Fxfx（或()()dFxfxdx），则()Fx为()fx的一个原函数；
2、()()Fxfx（或()()dFxfxdx） ()()fxdxFxC ；
3、()()fxdxfx或()()fxdxdfxdx；()()FxdxFxC或()()dFxFxC；
二、不定积分的计算：
1、基本积分公式：
（1）0dxC； （2）dxxC； （3）111xdxxC； （4）1ln||dxxCx；
（5）xxedxeC； （6）(0,1)lnxxaadxCaaa；
（7）cossinxdxxC； （8）sincosxdxxC；
（9）2sectanxdxxC； （10）2csccotxdxxC；
（11）sectansecxxdxxC； （12）csccotcscxxdxxC；
（13）21arcsin1dxxCx； （14）21arctan1dxxCx.
2、不定积分的运算法则：
()()()()fxgxdxfxdxgxdx； ()()(0)kfxdxkfxdxk；
3、积分法：
（1）直接积分法：对被积函数进行恒等变形；
（2）凑微分法（第一换元法）：fxxdxfxdx；
（3）直接换无法（第二换元法）：()()[()]()[()]()xtfxdxftdtfttdt设；
①根式代换：设axbt；
②三角代换：含22ax，设sinxat； 含22ax，设tanxat；
含22xa，设secxat；
（4）分部积分法：udvuvvdu；
v的选择：优先axe、sinax、cosax；其次x；不考虑对数和反三角；
*（5）杂例：含绝对值的函数和分段函数的不定积分．
第四章 定积分
一、定积分的几何意义：在][ba，上0xf时，bafxdxA（曲边梯形面积）
二、定积分的性质
性质1 ()0aafxdx； ()()baabfxdxfxdx；
性质2
00,()()2()()aaafxfxdxfxdxfx若是奇函数，若是偶函数 ；
