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函数与极限测试题及答案(二)

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函数与极限测试题（二）

一. 选择题

1.设F()x是连续函数()fx的一个原函数，""NM表示“M的充分必要条件是N”，则必有( ).

（A）F()x是偶函数()fx)是奇函数. （B）F()x是奇函数()fx是偶函数.

（C）F()x是周期函数()fx是周期函数. （D）F()x是单调函数()fx是单调函数

2．设函数,11)(1xxexf则( )

（A） 0x，1x都是()fx的第一类间断点.

（B） 0x，1x都是()fx的第二类间断点

（C） 0x是()fx的第一类间断点，1x是()fx的第二类间断点.

（D） 0x是()fx的第二类间断点，1x是()fx的第一类间断点.

3．设1xfxx，01x、，，则1[]()ffx ( )

A） 1x B） x11 C） X1 D） x

4．下列各式正确的是 ( )

A）

0lim11(1+ )xxx B）0lim1(1+ )xxex

C） lim1(1)xxex D）lim1(1)xxex

5．已知9)(limxxaxax，则a( )。

A.1； B.； C.3ln； D.3ln2。

6．极限：xxxx)11(lim( )

A.1； B.； C.2e； D.2e。

7．极限：xlim332xx=（ ）

A.1； B.； C.0； D.2． 8．极限：xxx11lim0=（ ）

A.0； B.； C

21； D.2．

9. 极限：)(lim2xxxx=（ ）

A.0； B.； C.2； D.

21．

10．极限: xxxx2sinsintanlim30=（ ）

A.0； B.； C.

161； D.16．

二. 填空题

11．极限12sinlim2xxxx= ； 12.

0arctanlimxxx= ；

13. 若)(xfy在点0x连续，则)]()([limxfxfxx= ；

14. 0sin5limxxx ； 15. nnn)21(lim ；

16. 若函数23122xxxy，则它的间断点是

17. 绝对值函数 ,0;()0,0;,0.xxfxxxxx x

其定义域是 ，值域是 。

18.符号函数 1,0;0,0;()sgn1,0.xxfxxx其定义域是 ，值域是三个点的集合 。

19无穷小量是 。

20. 函数()yfx在点0x连续，要求函数()yfx满足的三个条件是 。

三. 计算题

21.求).111(lim0xexxx ； 22.设1()32,xfex求()fx(其中0x)；

23.求522(3)limxxxx； 24.求1()1limxxxx；

25.求220sinlimtan2(3)xxxxx； 26. 已知9)(limxxaxax，求a的值； 27. 计算极限nnnn1)321(lim ；28.求2lg521xfxxx它的定义域。

29. 判断下列函数是否为同一函数：

⑴22()sincosfxxx=＋与 g1x= ； ⑵11)(2xxxf与1)(xxg；

⑶21)(xxf与1)(xxg； ⑷21xxf与1)(xxg；

⑸2yax与2sat。

30. 已知函数2()1fxx， 求1(())32fxffxff、、；

31. 求 746153lim22nnnnn； 32. 求 221limnnn；

33. 求 )1(limnnn； 34. 求 nnnnn3232lim。

35. 判断下列函数在指定点的是否存在极限

⑴

2,2,1xxxxy ，2x ； ⑵

0,310,sinxxxxy ，0x 。

36.求31lim3xx； 37. 求93lim23xxx；

38.求xxx11lim0； 39.求当x→∞时，下列函数的极限112323xxxxy。

40. 求当x时，函数11232xxxxy的极限。

41.求xxx3sinlim0； 42.求20cos1limxxx；

43.求311limnnn； 44.求nnn211lim；

45.求xxkx)11(lim； 46.求xxx11lim；

47.求xxkx101lim 。 48. 研究函数0,10,sin)(xxxxxf在点00x=处的连续性。

49. 指出函数11)(xxf在点x=1处是否间断，如果间断，指出是哪类间断点。

50. 指出函数0,00,1)(xxxxf在点0x=处是否间断，如果间断，指出是哪类间断点。

51. 指出函数0,10,)(2xxxxf在点0x=处是否间断，如果间断，指出是哪类间断点。

52.求xxx)1ln(lim0；

53.求xxxxln11lim21；

54. 试证方程3223230xxx－＋－＝在区间[1，2]至少有一根。

55. 求xxxx2sinsintanlim30。

56. 试证正弦函数sinyx在区间 (-∞， +∞) 内连续。

57. 函数00xxfxxxx，，ll；在点0x处是否连续？

58. 函数1sin0()00xxxfxx， ， ；是否在点0x连续？

59. 求极限 xaxx1lim0.

函数与极限测试题答案（二）

一.选择题

1.A 【分析】 本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案.

【详解】 方法一：任一原函数可表示为xCdttfxF0)()(，且).()(xfxF

当为偶函数时，有)()(xFxF，于是)()1()(xFxF，即 )()(xfxf，也即)()(xfxf，可见为奇函数；反过来，若为奇函数，则xdttf0)(为偶函数，从而xCdttfxF0)()(为偶函数，可见(A)为正确选项.

【评注】 函数与其原函数的奇偶性、周期性和单调性已多次考查过. 请读者思考与其原函数的有界性之间有何关系?

2. D【分析】 显然0x，1x为间断点，其分类主要考虑左右极限.

【详解】 由于函数在0x， 1x点处无定义，因此是间断点.且 )(lim0xfx，所以0x为第二类间断点；

0)(lim1xfx，1)(lim1xfx，所以1x为第一类间断点，故应选(D).

【评注】 应特别注意：1lim1xxx，.1lim1xxx 从而11limxxxe，.0lim11xxxe

3 - 8 CACCAC

8.∵x→∞时，分母极限为令，不能直接用商的极限法则。先恒等变形，将函数“有理化”：

原式 = 21111lim)11()11)(11(lim00xxxxxxx. （有理化法）

9 -10 DC

10.解：原式161821lim)2()cos1(tanlim32030xxxxxxxx.

注 等价无穷小替换仅适用于求乘积或商的极限，不能在代数和的情形中使用。如上例中若对分子的每项作等价替换，则原式0)2(lim30xxxx.

二.填空题

11. 2； 12. 1； 13.0； 14.5； 15.2e； 16.12x、；17.),( ),0[；

18. ),( }1,0,1{；

19.在某一极限过程中，以0为极限的变量，称为该极限过程中的无穷小量

20.①函数=yfx在点0x处有定义；②0 xx时极限0lim()xxfx存在；③极限值与函数值相等，即00lim()()xxfxfx。

三. 计算题

21.【分析】 ""型未定式，一般先通分，再用洛比达法则.

【详解】 )1(1lim)111(lim200xxxxxexexxxex=2201limxexxxx =xexxx221lim0=.2322lim0xxe

22. 3ln1,0fxxx ； 23.3e； 24.2e； 25.61； 26.3ln；27. 3

28. 解：由20x＋解得2x；由x－10解得1x；由520x解得2.5x；

所以函数的定义域为2.5>21xxx｛｜且｝或表示为2,11,2.5。

29. ⑴、⑸是同一函数，因为定义域和对应法则都相同，表示变量的字母可以不同。⑵⑶不是同一函数，因为它们的定义域不相同。⑷不是同一函数，因为它们对应的函数值不相同，即对应法则不同。

30.解：221112fxxxx；222421112ffxfxxxx＝＝＝；

2323121099ffff＝＝＝ 。

31.解：222222n22746153lim746153lim746153limnnnnnnnnnnnnnnnn

210060031lim71lim46lim1lim1lim53lim22nnnnnnnnnn；

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（完整版）函数与极限习题与答案

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第⼀章 函数与极限

（A ）

⼀、填空题 1、设x x x f lg lg 2)(+-=

，其定义域为 。2、设)1ln()(+=x x f ，其定义域为 。

3、设)3arcsin()(-=x x f ，其定义域为 。

4、设)(x f 的定义域是[0，1]，则)(sin x f 的定义域为 。

5、设)(x f y =的定义域是[0，2] ，则)(2

x f y =的定义域为 。

6、43

2lim

23=-+-→x k

x x x ，则k= 。 7、函数x

x

y sin =

有间断点 ，其中 为其可去间断点。 8、若当0≠x 时 ，xx

x f 2sin )(= ，且0)(=x x f 在处连续 ，则=)0(f 。

9、=++++++∞→)21(lim 222n

n n

n n n n n Λ 。

10、函数)(x f 在0x 处连续是)(x f 在0x 连续的 条件。

11、=++++∞→352352)

23)(1(lim x

x x x x x 。 12、3)

2

1(lim -∞

→=+e n

kn

n ，则k= 。

13、函数2

31

22+--=x x x y 的间断点是 。

14、当+∞→x 时，x1

是⽐3-+x 15、当0→x 时，⽆穷⼩x --11与x 相⽐较是 ⽆穷⼩。 16、函数xe y 1=在x=0处是第 类间断点。

17、设1

1

3

--=

x x y ，则x=1为y 的 间断点。 18、已知33=??

πf ，则当a 为 时，函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处连续。

19、设??

>+<=0)1(02sin )(1x ax x x

x

x f x 若)(lim 0

x f x →存在 ，则a= 。 20、曲线2sin 2

-+=x

x

x y ⽔平渐近线⽅程是 。 21、1

14)(2

2-+

-=

x x x f 的连续区间为 。

22、设??

>≤+=0

,cos 0

,)(x x x a x x f 在0=x 连续 ，则常数

高中数学函数的极限与连续练习题及参考答案2023

高中数学函数的极限与连续练习题及参考答案2023

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题目一：函数极限

1. 计算以下极限：

a) lim(x→2) (x^2 + 3x - 4)

b) lim(h→0) [(4+h)^2 - 16]/h

c) lim(x→∞) [(x+1)/(x-1)]^2

d) lim(x→0) (1/x - 1)/(1 - sqrt(1 + x))

解答：

a) 将x代入函数，得到：lim(x→2) (2^2 + 3*2 - 4) = 8

b) 将h代入函数，得到：lim(h→0) [(4+0)^2 - 16]/0 = 0

c) 当x趋向于正无穷大时，[(x+1)/(x-1)]^2 = 1

d) 将x代入函数，得到：lim(x→0) (1/0 - 1)/(1 - sqrt(1)) = undefined

题目二：连续函数

2. 判断以下函数在给定区间是否连续：

a) f(x) = x^2 - 5x + 6, 在区间[1, 5]上

b) g(x) = √(x + 2), 在区间[-2, 3]上

c) h(x) = 1/(x-2), 在区间(-∞, 2)上 解答：

a) 函数f(x)是一个二次函数，对于任意实数x，f(x)都是连续的。因此，f(x)在区间[1, 5]上连续。

b) 函数g(x)是一个开根号函数，对于非负实数x，g(x)都是连续的。在区间[-2, 3]上，g(x)的定义域为[-2, ∞)，因此在该区间上连续。

c) 函数h(x)在x=2处的定义域为无穷，因此在该点不连续。在区间(-∞, 2)上除x=2之外的点，h(x)为一个连续函数。

题目三：函数极限的性质

3. 判断以下命题的真假，并简要说明理由：

a) 若lim(x→a) f(x) = L，且L≠0，则lim(x→a) [f(x)]^2 = L^2。

b) 若lim(x→a) f(x) = L，且f(x) > 0，那么lim(x→a) 1/f(x) = 1/L。

函数与极限测试题及答案

函数与极限测试题及答案

函数与极限测试题（三）

一、选择题（每小题4分，共20分）

1、 当0x时，（ ）无穷小量。

A 1sinxx B 1xe C lnx D 1sinxx

2、点1x是函数311()1131xxfxxxx 的（ ）。

A 连续点 B 第一类非可去间断点 C 可去间断点 D 第二类间断点

3、函数()fx在点0x处有定义是其在0x处极限存在的（ ）。

A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D 无关条件

4、已知极限22lim()0xxaxx，则常数a等于（ ）。

A -1 B 0 C 1 D 2

5、极限201limcos1xxex等于（ ）。

A  B 2 C 0 D -2

二、填空题（每小题4分，共20分）

1、21lim(1)xxx=_______。

2、 当0x时，无穷小ln(1)Ax与无穷小sin3x等价，则常数A=_______。

3、 已知函数()fx在点0x处连续，且当0x时，函数21()2xfx，则函数值(0)f=_______。

4、 111lim[]1223(1)nnn=_______。

5、 若lim()xfx存在，且sin()2lim()xxfxfxx，lim()xfx=_______。

三、解答题

1、（7分）计算极限 222111lim(1)(1)(1)23nn

2、（7分）计算极限 30tansinlimxxxx

3、（7分）计算极限 123lim()21xxxx

4、（7分）计算极限 201sin1lim1xxxxe

5、（7分）设3214lim1xxaxxx 具有极限l，求,al的值

函数与极限测试题及标准答案(二)

函数与极限测试题及标准答案(二)

函数与极限测试题及答案(二)

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3 函数与极限测试题（二）

一. 选择题

1.设F()x是连续函数()fx的一个原函数，""NM表示“M的充分必要条件是N”，则必有( ).

（A）F()x是偶函数()fx)是奇函数. （B）F()x是奇函数()fx是偶函数.

（C）F()x是周期函数()fx是周期函数. （D）F()x是单调函数()fx是单调函数

2．设函数,11)(1xxexf则( )

（A） 0x，1x都是()fx的第一类间断点.

（B） 0x，1x都是()fx的第二类间断点

（C） 0x是()fx的第一类间断点，1x是()fx的第二类间断点.

（D） 0x是()fx的第二类间断点，1x是()fx的第一类间断点.

3．设1xfxx，01x、，，则1[]()ffx ( )

A） 1x B） x11 C） X1 D） x

4．下列各式正确的是 ( )

A）

0lim11(1+ )xxx B）0lim1(1+ )xxex

C） lim1(1)xxex D）lim1(1)xxex

5．已知9)(limxxaxax，则a( )。

A.1； B.； C.3ln； D.3ln2。