推理证明复习讲义

学必求其心得，业必贵于专精

- 1 - 2.1。1 合情推理

1．归纳推理

（1）概念：由某类事物的□01部分对象具有某些特征，推出该类事物的错误!全部对象都具有这些特征的推理,或由错误!个别事实概括出错误!一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳)．

(2)特征：归纳推理是由错误!部分到错误!整体、由错误!个别到错误!一般的推理．

（3）一般步骤：第一步，通过观察个别情况发现某些错误!相同性质；第二步，从已知的错误!相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想)．

2．类比推理

（1)概念：由两类对象具有某些□，11类似特征和其中一类对象的某些错误!已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．

(2)特征：类比推理是由错误!特殊到错误!特殊的推理．

(3)一般步骤：第一步，找出两类事物之间的错误!相似性或错误!一致性;第二步,用一类事物的错误!性质去推测另一类事物的错误!性质,得出学必求其心得，业必贵于专精

- 2 - 一个明确的命题(猜想）．

3．合情推理

（1)含义

归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过错误!观察、错误!分析、错误!比较、错误!联想，再进行错误!归纳、错误!类比，然后提出错误!猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．

(2)合情推理的过程

错误!→错误!→错误!→错误!

归纳推理与类比推理的区别与联系

区别：归纳推理是由特殊到一般的推理；类比推理是由个别到个别的推理或是由特殊到特殊的推理．

联系：在前提为真时，归纳推理与类比推理的结论都可真或可假．

1．判一判(正确的打“√"，错误的打“×”）

（1）统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，这种估计属于类比推理．( )

(2）类比推理得到的结论可以作为定理应用. （ ） 学必求其心得，业必贵于专精

- 3 - (3)归纳推理是由个别到一般的推理．( )

答案 （1）× （2）× (3）√

1．合情推理

(1)归纳推理

①定义：从个别事实中推演出一般性的结论，称为归纳推理(简称归纳法)．

②特点：归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．

(2)类比推理

①定义：根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理(简称类比法)．

②特点：类比推理是由特殊到特殊的推理．

(3)合情推理

合情推理是根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程．归纳推理和类比推理都是数学活动中常用的合情推理．

2．演绎推理

(1)演绎推理

一种由一般性的命题推演出特殊性命题的推理方法称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．

(2)“三段论”是演绎推理的一般模式

①大前提——已知的一般原理；

②小前提——所研究的特殊情况；

③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．

【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．( × )

(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．( √ ) (3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．( × )

(4)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．( √ )

(5)一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式是an＝n(n∈N*)．( × )

(6)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．( × )

1．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝________.

答案 123

解析 从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，依据此规律，a10＋b10＝123.

学必求其心得，业必贵于专精

- 1 - 2.3 数学归纳法

1．数学归纳法的内容如下:一个错误!与正整数有关的命题，如果(1）错误!当n取第一个值n0（例如n0＝1或n0＝2等）时结论正确,(2）错误!假设当n＝k（k∈N*，且k≥n0)时结论正确,能够证明当n＝k＋1时结论也正确,那么可以断定错误!这个命题对n∈N＊且n≥n0的所有正整数都成立．

2．数学归纳法的步骤中，第一步的作用是错误!递推的基础，第二步的作用是错误!递推的依据．

3．数学归纳法实质上是错误!演绎推理法的一种，它是一种错误!严格的证明方法，它只能错误!证明结论,不能发现结论，并且只能证明错误!与正整数相关的命题．

4．常把归纳法和数学归纳法结合起来,形成错误!归纳—猜想-证明的思想方法，既可以错误!发现结论，又能错误!给出严格的证明，组成一套完整的数学研究的思想方法．

5．用数学归纳法证明命题时，两步错误!缺一不可，并且在第二步的推理证明中必须用错误!归纳假设，否则不是数学归纳法．

学必求其心得，业必贵于专精

- 2 - 对数学归纳法本质的理解

数学归纳法可能与同学们以前所接触的证明方法差别很大，为了达到“知其然,知其所以然”的效果，可对比以下问题理解数学归纳法的实质．

(1）有n个骨牌排成如图所示的一排,现推倒第一张骨牌，会有什么现象?

（2）要使骨牌全部倒下，骨牌的摆放有什么要求？(骨牌的间距不大于骨牌的高度）

（3)这样做的原因是什么？这样摆放可以达到什么样的效果?(前一张骨牌倒下，适当的间距导致后一张骨牌也倒下）

（4）如果推倒的不是第一张骨牌，而是其他位置上的某一张骨牌，能使所有的骨牌倒下吗？

(5）能够成功地推倒排成一排的骨牌的条件是什么？(通过观察和学必求其心得，业必贵于专精

- 3 - 思考，可以得到的结论是:①第一张骨牌被推倒；②若某一张骨牌倒下，则其后面的一张骨牌必定倒下）

错误!错误!错误!错误!错误!错误!…

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直接证明

[对应学生用书P26]

1．若实数a，b满足a＋b＝3，证明：2a＋2b≥42.

证明：因为2a＋2b≥22a·2b＝22a＋b，

又a＋b＝3，所以2a＋2b≥223＝42.

故2a＋2b≥42成立．

问题1：本题利用什么公式？

提示：基本不等式．

问题2：本题证明顺序是什么？

提示：从已知到结论．

2．求证：3＋22<2＋7.

证明：要证明3＋22<2＋7，

由于3＋22>0,2＋7>0，

只需证明(3＋22)2<(2＋7)2，

展开得11＋46<11＋47，只需证明6<7，显然6<7成立．

所以3＋22<2＋7成立．

问题1：本题证明从哪里开始？

提示：从结论开始．

问题2：证题思路是什么？

提示：寻求上一步成立的充分条件．

1．直接证明

(1)直接从原命题的条件逐步推得命题成立，这种证明通常称为直接证明．

(2)直接证明的一般形式 word

2 / 10 本题条件已知定义已知公理已知定理⇒…⇒本题结论．

2．综合法和分析法

直接证明 定义 推证过程

综合法

从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止．这种证明方法称为综合法 已知条件⇒…⇒…⇒结论

分析法 从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止，这种证明方法称为分析法

结论⇐…⇐…⇐已知条件

1．综合法是从“已知”看“可知”逐步推向未知，由因导果通过逐步推理寻找问题成立的必要条件．它的证明格式为：因为×××，所以×××，所以×××……所以×××成立．

2．分析法证明问题时，是从“未知”看“需知”，执果索因逐步靠拢“已知”，通过逐步探索，寻找问题成立的充分条件．它的证明格式：要证×××，只需证×××，只需证×××……因为×××成立，所以×××成立．

[对应学生用书P27]

综合法的应用

[例1] 已知a，b，c∈R，且a＋b＋c＝1，求证：a2＋b2＋c2≥13.