1.弹性力学平面应力问题有什么几何特征、载荷特征和应力特征？
答：（1）几何特征：等厚度的薄板；（2）载荷特征：体力作用于体内，面力和约束作用于板边， 三者均平行于板中面，沿板厚不变；（3）应力特征：由于外力、约束沿z 向不变，应力中只有平面
存在且仅为（x ，y ）函数。
2.简要叙述平面应力问题有限元位移法分析步骤，并给出主要公式。
答：
3.单元刚度矩阵中任意一个元素Krs 的物理意义是什么？
答： 为第s 个位移分量为单位1，其余位移为零时需要在施加的第r 个节点力，也即第s 结点的位移对第r 结点力的贡献。
4.有限元解弹性力学问题要保证解答收敛性，单元位移多项式满足什么条件？
答：包含刚体平移和转动；包含常应变；可证满足相邻单元公共边界上的连续性条件。
5.试说明三角形单元、四节点四边形单元的解答是收敛的。
答： 三角形单元、四节点四边形单元的位移函数中包含了常数项和一次项，所以包含了刚体位移和 常应变；当考虑相邻单元公共边界时，两种单元类型的相邻单元公共边界共用两个节点，而此时的位移函数一个自变量为常数，位移函数经退化为两个未知系数，即f=Bx+C 或f=By+C 的形式，刚好可以由公共的两个节点位移条件位移确定。故解答是收敛的。
6.单元刚度方程 反映的物理意义是什么？推导方法有哪些？
答：反映了单元节点位移与节点力之间的关系(结点平衡法，虚位移原理，最小势能原理)
7.有限元位移法分析弹性力学平面问题时如果采用四边形八结点曲边单元，选取的位移函数多项式包括那些项(用直角坐标x , y 表示)？
答：主要包含常数项C ，线性项x , y ，二次项x 2, xy, y 2，三次项x 2y , xy 2。
rs k 12312344565678u a a x a y u x y xy
v a a x a y
v x y xy
αααααααα=++=+++=++=+++三角形单元四边形单元()()()
[]{}{}e e e k F δ=
8.简要叙述平面刚架有限元分析步骤，给出主要公式。 答：
9.根据平面刚架单元刚度矩阵元素的物理意义推导具体表示式。
答：Krs 为第s 个位移分量为单位1，其余位移为零时需要在施加的第r 个节点力，单
元位移分量和单元节点力分量为 以 ＝1k12=k42=0，根据材料力学的悬臂梁挠度公式，
233222132i i k l k l v EI EI θ==-有，2232312EI k k l =
=由此算出，62
32
126,EI EI k l l -= 同理得到
10.六面体八结点空间单元位移函数多项式包含那些项？满足收敛条件吗？
答：包含1，x ，y ，z ，xy ，xz ，yz ，xyz 八项，满足收敛条件：包含了常数项和一次项所以包含了刚体位移和常应变，而考虑相邻单元公共面时，位移函数将退化为四个未知系数，即f=By+Cz+Dyz+E ，刚好可以由公共面的四个节点位移条件位移确定。故解答是收敛的。
T ()T {
}{}{}{}e i i i j j j d u v u v F X Y m X Y m θθ==i v 3
2322
3
()
323
222
00001261260
0646200[00001261260062640
e EA
EA
l
l EI EI EI EI l l l l EI EI EI EI l l
l l k EA
EA l l EI EI EI EI l l l l EI EI EI EI l l l
l
??-???
???-??????-?
?=??-??????---???
???-???
?
11.一维杆单元如图，设位移模式为12()u x x αα=+，试推导出单元刚度矩阵()[]e k 。设单元长度为l ，横截面积为A ，材料弹性模量为E 。
i
j
u u 图1
解：
12.试采用平面桁架的有限元法，计算图示桁架A 点的位移和各杆的轴力。已知
5210kN EA =?。
图2
解：(1)单元划分及节点编号如图所示，局部坐标由小节点号指向大节点号；
()()()1212112121211(),[0,]
(0),(),()/()(),[0,]()1123e x x u x x x l u u u l u u u u l
u u x
u x u x l l
u x x u x x u
x
ααααεσ=+∈====-+-+=+
∈??
?=-???=
=?拉压杆的应变为常数，故位移函数为一次函数
由两个节点位移条件求得系数
所以位移函数为：
单元应变：
单元应力：
，即
()[]()[]{}
1
2_
_
()12211
212()}1//[45]11[]=
11x T T
e e E E N N l l l l l l l F l EA F l EA l u u F F k u u EA k l ε==??=????????????
?=-=?=-=-??
??-??
再由材力：，，解得
(2)局部坐标系中的单元刚度矩阵计算如下：
[][][]12121111=
(5)(4)1111EA EA k k l m k l m l l --????====????--????
①③
②
， (3)坐标转换矩阵[T]：
cos sin 00[T]0
0cos sin α
αα
α??=?
???
(4) 整体坐标系中的单元刚度矩阵计算如下：
2222
2222
cos cos sin -cos -cos sin cos sin sin -cos sin -sin [k][T][k][T]-cos -cos sin cos cos sin -cos sin -sin cos sin sin T
EA l αααααααααααααααααααααααα??
????==
????
????
4343cos cos 10cos 5
sin sin sin 55
αααααα-=
=====又单元①,,单元②,,③单元,。
[]
]3316-12-161612-16-12-12912 129-12-91.610=1.610-161216-16-12161212-9-12-12-9129k k ???
??????=????????
???
1
3 (5)
[]11
11
142
2
222433
33334
123123414243
44444425.6-19.20000-25.6
19.2-19.214.4000019.2-14.4000050000-50000
00000
00=110000025.619.225.6-19.200000019.214.4-19.214.4-25.619.2-500
25.6k k k k K k k k k k k k k ??????=???????++??
-19.2101.2019.2
-14.4
-19.214.4
028.8??
??????
??
????
?
?
????
??
????
(6)引入边界条件并得到修正刚度矩阵：
*3112233101.20=110028.80,1-6K u v u v u v ?????????
?
?
======将行和列元素置零得修正刚度矩阵
(7)利用修正刚度方程求解节点位移：
44**35
4444101.200=P 1100 3.510028.81u u K u v v v -???????????===?????????????????
??，即，解得， (8)求解轴力：
[][]()
()()()()()1114444
-51{d}[T]{d},{F}{d}cos sin 00[T]{d}00cos sin 004/5 -3/5-4/53/50410=0-4/53/5 4/5-3/531.511110e e e e e e x y x y u v k EA k l F F u v αααα==????
??
????==???????-????-???
??
????
????????=????????????????
①
①
①①由可得
14.84-0.840.84=-0.84F F ?????
?????
????
????①受拉受压于是
13. 图3
（1
）采用子块叠加的方法在形式上给出结构的整体刚度矩阵[]K 。
表2 子块元素列表
()()
()[][[][][e ii ij e e ji jj k k k k k ?=???
(1)(1)1112(1)(1)(2)(2)
21222224(3)(3)3334(2)(3)(2)(3)(4)(4)424344444446(5)(5)
5556(4)
(5)
(4)(5)64656666[][]0000
[][][]0
[]0000[][]00
[]0[][][][][]0
[]
0000[][]0
[][][][]k k k k k k k k K k k k k k k k k k k k k ???+???
=?++???+???
?
??
???
?
（2）试说明为了引入边界支承，如何修改整体刚度矩阵和载荷向量？
解：① 将[K]中第3s-2行和3s-2列的对角线元素改为1，其元素改为0； 将载荷列矢量{P}中的第s 个元素改为0. ② 按上述方法对[K]的3s-1行和列进行修改，对{P}的第3s-1行修改 ③ 按上述方法对[K]的3s 行和列进行修改，对{P}的第3s 进行修改
（3）图中整体结点编号是否为最佳编法？
解：回答是否定的。可以按以下原则为结点编号：因边角结点所在的单元数少，可以通 过比较结点所属的单元数组的大小，使结点所属的单元数组最小的结点编号为0，依次进行编号。
14.图4示为梁单元，设挠度为三次函数
231233()w x x x x αααα=+++ 端点条件为
(0),()i i w w w l w ==,0d (0)d i x w x θθ=??== ???,d ()d j x l
w l x θθ=??
== ??? (1)试确定系数(1,2,3,4)i i α=，并将挠度w 转化为无量纲坐标/x l ξ=的形式。
解：将端点条件代入到挠度方程中，得
1i w α= 2i αθ= 231234j w l l l αααα+++= 223423j l l αααθ++=
s
u =0s
v
=0
s
θ=
即： 解得系数为：
122
333410
000100=10
1
23i i j j w w l l
l l
l αθαααθ??
?????????????
?????????????????????????
12332
4[()2()]/[(2)3()]/i
i
i j i j i j i j w l w w l l w w l ααθαθθαθθ===++-=-+--
将系数代入挠曲线方程并令x l ξ=：
(2)
图2
解：
1(0)(1)(0)(1)
123430d d d ,,,d d s r rs i i j j
s
N N EI k N H N H N H N H l ξξξ=====?其中刚度系数： 求得
(0)(1)(0)
(1)[]{}
i i i i j j j j w H w H H w H H d θθ=+++=(0)23
(1)223(0)232
1322
3i i j
H l l
H l l H l l ξξξξξξξ=+-=+-=-+ε=-{}
d *T *T *T
T
2
2*T 2220T 221*T 3220{}{}{}{}d d {}{}d d d d {}{}d d d d d d {}d {}
d d l A
V
l
A
d F x A x A
H H d E y d x A
x x EI
H H d d l εσεσξξξ==????=?????????????? ?=???? ???????
????
????T
2213220d d []d d d EI H H k l ξξξ?????? ?=????
???????
?令： *
{}{}[]{}d F k d =由虚位移的任意性，可得223
221261266462[]1261266264l l l l l l EI k l l l l l l l -??
??
-??=??
---??
-??
??
15.用平面刚架的有限元位移法求解下列刚架的结点位移和内力，并画出内力图。
323223
()
(1)322000
1261260
064620
0[][]=[]000012600620
0e EA
EA
l
l
EI EI EI EI l l l l EI EI EI EI l l
l l k k k EA
EA l l EI EI l l EI EI l l ??
-
???
?
??-??
????-?
?
=??-??
??
?--??
???
(1)利用插值函数，根据虚位移原理推得局部坐标系中的单元，刚度矩阵
(2)300003000
0012300123003010003050=300003000001230012303050
30100-??
??
-??
??
-??
-????
---??
-?
(2)坐标转换矩阵为：
(3)(1)(2)4300
0030003012030
01230000300
0030
1000305030010030
050[],[]1030000
3000012
030
120300123001230030000
30000
3050
30
100
20
05030
100k k --??
??-??????
--==?
??
?----????????----?
??
?--????
(4)整体刚度矩阵的集成
所以整体刚度矩阵为
(2)(1)(2)[t][0][T][0][t]??=????4312030300001203031230012300300
0200030503005030000000[]1012
30000 100
00012
030K ---??
??----?????
??
??
?=?
??
???对称
(5)形成荷载向量（节点荷载和等效结节点荷载）
(1)T 0{}{0,12,10,0,12,10}F =-(2)T
0{}{0,4,5,0,4,5}F =-(1)(1)T T
00{}[]{}{0,12,10,0,12,10}p T F =-=---(2)(2)(2)T
00{}[]{}{4,0,5,4,0,5}T p T F =-=-(1)0(1)0(1)0{}{}{0},{}j i p P p ????=??????(2)0(2)(2)00(2){}{}{},{0}i j p P p ????=??????(1)(2)00(2)
00(1)
0{}{}{}{0}{}{}{0}j i j
i p p P p p ??+????=+????+????
T
0{}{4,12,5,0,12,10,4,0,5}P =-----T
0{}{}{}{10,10,10,0,12,10,4,0,5}a P P P =+=---- 1112422333312030
1031230102001001000 000
000000000000000001
000001
00001
0001
001
100u v u v u v θθθ-??????
??????--????????????-????????????
?????
?=?????
?
????
?
????????????????????????????
??????
???对称{}**
[K ]{}
d P =(6)引入边界条件得到修正刚度方程 (7)
单元的杆端力： {}
(1)
11.100610.13024.0385kN 11.100613.869813.8373F ??
??????=??-??????-??
{}
(2)
8.13032.89953.5358kN 8.13055.10059.0384F ??
??
??
??=??-??????-??
3.7129
3.5358
9.0384
4.0385
13.3873
轴力图(kN) 剪力图(kN) 弯矩图（kN)
5m
15
11 2.70022.710110m
5.1485u v θ-????
????=-?????????
-?
???解得位移：
16.图5所示为一等腰直角三角形单元，设弹性模量为 1.0E =，波松比0μ=，试求： （1）、形函数矩阵[N ] （2）、几何矩阵[B ]
解：三角形单元的节点坐标、节点位移、结点荷载及内部位移函数为
根据三角形单元内部位移函数和结点位移条件，求解下列线性方程组
145236111111i i j j m m i i i i j j j j m m m m u v u v u v a a a a a a x y x y x y x y x y
x y
???
??????????????????
??
??????????????????????
??
???????????????????????????????
??
??????
??
?????
?
?
?
==
2)=?由线性方程组的求解方法分母，解出系数向量，最后
[]123456,)a a a a a a x y 将系数并整理可得
{}{}00010002i
j k e i j m i
i j j m
m x y xy u x v y b b b c c c d c b c b c u b v y x εεεγ?????
??????????===??????????????
??
?
??????+??????
???
应变[]2000000101011000001010000101101a a B a a a a a a a a --????
????=-=-?
???????----????
几何矩阵
T T 123456(0,)(0,0)(,0)
{}{}{}{}i i j j m m i i j j m m i a j m a d u v u v u v F X Y X Y X Y u a a x a y v a a x a y
===++=++(){}
(){}
1
212111
0000
i i i m m i i i m m
i j i j i j u a b x c y c y u v a b x c y c y v a a b b a c c a =
+++?=+++?
其中，合并后的系数的代数余子式
17.图6所示为一平面区域的三角形网格划分，试进行单元和节点编号，使整体刚度矩阵的带宽最小，计算出半带宽（半带宽=（最大结点码的差值-1）?2），并标出整体刚度矩阵中的零元素。
解：节点编码如图所示，半带宽=(10-6+1) ?2=10，非零元素为
18. 4
1
(,)i i i N y ξη=
其中((,)ξη为无量纲曲线坐标，且有11ξ-≤≤，11η-≤≤。i N (,)ξη是(,)ξη的已知函数。试给出用曲线坐标(,)ξη表示的单元的实际面积微元d d d A x y =。
解：
所以
用曲线坐标(,)ξη表示的单元的实际面积微元d d d A x y =应该放在两个坐标系中求解。
()
()
*()T ()*()T ()
*()T
T ()
()T {}{}{}{}d d {}[][][]{}d d [][][][]e e e e e e A e e A e d F t x y d B D B d t x y k B D B t εσ=
==?
??
??
由虚位移原理推得单元刚度矩阵
1
2321(1)(1)4
1
(1)(1)
41
(1)(1)41
(1)(1)
4N N N N ξηξηξηξη=--=+-=
++=-+i i
i
i
x N x y N y
==∑∑，/,/x a y b
ξη==
19．图7示平板，厚度为0.1m, 几何尺寸、边界约束、载荷如图所示，忽略体力作用。试求出结构的节点载荷向量，并给出位移边界条件。
2
0q =x
图7
36988211111
(1)3(1221)32102106111112111
(2)6(1212+21)210321032105111111
(3)9(121)3
1(4)8(21(5)8(2y y y y y F F F F F =-????+???=-
=-???+????????=-
=-????+??=-
=-?=-?解：节点——节点——节点——节点——节点——{}112111=000201012P u v u ?---?
?==所以节点的荷载向量位移边界条件为 20 水平力0()(1/)q y q y l =-4个单元，试计算出等 效结点载荷分量1010202030304
040,,,,,,,x y x y x y x x F F F F F F F F ；给出结点位移的边界条件。
q x
/2
l /2
l /2
l /2
l
21．图9所示为一高深悬臂梁，右端均布面内p 作用，材料弹性模量为E ，泊松比
0μ=，梁的厚度为t 。假设将梁划分为图示两个单元。根据弹性力学平面问题的有
00
100000
20000
40102030304044556611(1)1322224
21111(2)2(++)=322232222224
5211(3)4(+)=322222224
x x x y y x y y q
q lt l F t q q q
q lt l l l F t q q
q lt l l F t F F F F F u v u v u v =????==?????????=??????===========节点——节点——节点——其他分量为零位移边界条件为
限元位移法求解节点的位移。在求解过程中要求给出下列结果： （1）、单元刚度矩阵(1)[]k ，(2)[]k ； （2）、整体刚度矩阵[]K ； （3）、等效节点载荷0{}P ； （4）、位移边界条件； （5）、最终求解方程 **[]{}{}K P δ=； （6）、节点位移1122,,,u v u v
2
1kN/m p =1m
x
42
111
1(2,1)(0,1)
=11i
j m i
j m i j m i
j
m
i
j
m
i
j m m i
j m m i j
m m a a a b b b x x x c c c y y y i j a a a b b b c c c ????
??????
?对应值刚好是的代数余子式单元——，；三角形面积单元解：(1)形函——数系数系数(1)
(2)
200-1100-220001[]0202212000010100011[]000=00020222012120i
i i j k i
j m i i
j
j
m
m b B c b b b B c c c c b c b c b ??????=????????
?????=-?????--????-????
=-???????--??
?几何矩阵几何矩阵[][][]2(1)(1)(1)(2)(2)(2)1010010=01011000.5002[][][]=[][][]100001100101000102110100002002122000.500202
0T T E D E k B D B t k B D B t E μμμμ?????
??????
?
???=
????
-?
???-????
?
?
=?=?
?????
?-????-??=-?
???-????????-?
?-??弹性矩阵按平面应力问题取
20
2
001212
022*******
29
28801212002424000
80
8Et t -????--?
?????---???=????---????--????--??-??
(2)根据以上表格集成整体刚度矩阵
[]60-42-2002090-82-1-20-406-200-222-8-29000-1-2
-20060-4080-100-292-800-20-4260-2
2
-1
-8
9K Et ?????????????=???????????
(3)等效节点荷载计算
1'00000000000000{}t td -d -01112000110i i T l j e j m m N N N t P N P ds s t s N N N ??????????????????
????????????====????????????-????????
????????????
????????
????
(4)位移边界条件u3=v3=u4=v4=0
(5)修正刚度矩阵：将K 中的5—8行和列置零
{}1122-1
1*1*
2260-420090-8-/2-406-2082-8-29-/2(6)60-420 1.39090-8-/2-681==
,
-406-202-8-29-/2u v t Et u t v u v t u Et E t K d P v ??????
????????????=
????????????????????
?????????????????????????????????=???????????
??所以即节点位移
.61-1.39-6.94??
??????
????
22.平面刚架如图9所示。根据如中所给信息，准备计算时的输入数据。分别给出 下列矩阵： (1) 整体结点与局部结点之间的关系矩阵: LND(NE,2)
解：()()1142
45, ,3254565
3
6i j ele ele ele ele ele ????????==?
?????????
LND NE 2LND 52单元个数 (2) 结点载荷信息矩阵：PJ(NPJ,4)
解：()()4604, ,-8020X Y M ????
??==????
??
PJ NPJ 4PJ 24节点号有载荷的结点个数 (3) 非结点载荷信息矩阵: PF(NPF,4)
()()1142, 3,22 2.5-542 2.5-5??
?
???==???
??
?
PF NPF 4PF 4所在单元类型位置
大小解：非节点载荷个数荷载类型中，1、2、3、4分别代表均布载荷、集中力、力偶、轴向力
(4) 支承信息矩阵: JCS (NS,4)
解：()()1111 , 3,2111311110X Y M ????
?
?==????
?
?JCS NS 4JCS 4约束节点约束约束约束约束个数为是，为否
2kN/m
5m
5m
4m
补充1：虚位移原理推导结构力学单位力法，进而推导解超静定问题未知反力正则方程。
111122133112112222330022111,2,...()
1*==0()
1*=,=0=0
n n P n n P l
i i l
n n M M x dx EI
M M i n X X X X X X X X X x n dx EI
ij δδδδδδδδδδδ=+++++?+++++=??+??
?
因为原结构在多余未知力（解除约束）处的位移为零，根据虚位移原理，有
若多余未知力为项，则有，根据基本体系弯矩图，求解系，…………
……
…数矩阵…
22333 =0
n nn n P ij i j X X X δδδ++++?——表示位移的方位；表示产生位移…的原因。
00200002=1()()()1*=()l l l l
F M w x M M dw x d w x M d M d M dx dx EI dx θ??===???? 根据虚位移原理：单位外力在原结构虚位移上所做的虚功等于虚变形能（即在上所做的功），即
补充2
X 3,Δ3
1、有限元法是近似求解（连续）场问题的数值方法。 2、有限元法将连续的求解域（离散），得到有限个单元，单元与单元之间用（节点）相连。 3、从选择未知量的角度看，有限元法可分为三类（位移法力法混合法）。 4、以（节点位移）为基本未知量的求解方法称为位移量。 5、以（节点力）为基本未知量的求解方法称为力法。 7、直梁在外力作用下，横截面上的内力有（剪力）和（弯矩）两个。 8、平面刚架结构在外力作用下，横截面上的内力有（剪力）、（弯矩）、（轴力）。 9、进行直梁有限元分析，节点位移有（转角）、（挠度）。 10、平面刚架有限元分析，节点位移有（转角）、（挠度）、（？？？）。 11、在弹性和小变形下，节点力和节点位移关系是（）。 12、弹性力学问题的方程个数有（15）个，未知量个数有(15)个。 13、弹性力学平面问题方程个数有（8），未知数（8）个。 15h、几何方程是研究（应变）和（位移）关系的方程。 16、物理方程描述（应力）和（应变）关系的方程。 17、平衡方程反映（应力）和（位移）关系的方程。 18、把进过物体内任意一点各个（截面）上的应力状况叫做（该点）的应力状态。
19、形函数在单元节点上的值，具有本点为（1），他点为零的性质，并在三角形单元的后一节点上，三个形函数之和为（1）。 20、形函数是（三角形）单元内部坐标的（线性位移）函数，它反映了单元的（位移）状态。 21、节点编号时，同一单元相邻节点的（编号）尽量小。 25、单元刚度矩阵描述了（节点力）和（节点位移）之间的关系。矩形单元边界上位移是（线性）变化的。 从选择未知量的角度来看，有限元法可分为三类，下面那种方法不属于其中（ C ）。 力法 B、位移法 C、应变法 D、混合法 下面对有限元法特点的叙述中，哪种说法是错误的（ D ）。可以模拟各种几何形状负责的结构，得出其近似值。 解题步骤可以系统化，标准化。 容易处理非均匀连续介质，可以求解非线性问题。 需要适用于整个结构的插值函数。 几何方程研究的是（ A ）之间关系的方程式。 应变和位移 B、应力和体力 C、应力和位移 D、应力和应变 物理方研究的是（ D ）之间关系的方程式。 应变和位移 B、应力和体力 C、应力和位移 D、应力和应变 平衡方程研究的是（ C ）之间关系的方程式。
1．针对下图所示的3个三角形元，写出用完整多项式描述的位移模式表达式。 2．如下图所示，求下列情况的带宽: a)4结点四边形元； b)2结点线性杆元。 3．对上题图诸结点制定一种结点编号的方法，使所得带宽更小。图左下角的四边形在两种不同编号方式下，单元的带宽分别是多大 4．下图所示，若单元是2结点线性杆单元，勾画出组装总刚后总刚空间轮廓线。系统的带宽是多大按一右一左重新编号（即6变成3等）后，重复以上运算。
5．设杆件1－2受轴向力作用，截面积为A，长度为L，弹性模量为E，试写出 杆端力F 1，F 2 与杆端位移 2 1 ,u u之间的关系式，并求出杆件的单元刚度矩阵)(] [e k 6．设阶梯形杆件由两个等截面杆件○1与○2所组成，试写出三个结点1、2、3的 结点轴向力F 1，F 2 ，F 3 与结点轴向位移 3 2 1 , ,u u u之间的整体刚度矩阵[K]。 7．在上题的阶梯形杆件中，设结点3为固定端，结点1作用轴向载荷F 1 =P，求各结点的轴向位移和各杆的轴力。
8． 下图所示为平面桁架中的任一单元，y x ,为局部坐标系，x ，y 为总体坐标系，x 轴与x 轴的夹角为θ。 （1） 求在局部坐标系中的单元刚度矩阵 )(][e k （2） 求单元的坐标转换矩阵 [T]； （3） 求在总体坐标系中的单元刚度矩阵 )(][e k 9．如图所示一个直角三角形桁架，已知27/103cm N E ?=，两个直角边长度 cm l 100=，各杆截面面积210cm A =，求整体刚度矩阵[K]。
10．设上题中的桁架的支承情况和载荷情况如下图所示，按有限元素法求出各结点的位移与各杆的力。 11．进行结点编号时，如果把所有固定端处的结点编在最后，那么在引入边界条件时是否会更简便些 12．针对下图所示的3结点三角形单元，同一网格的两种不同的编号方式，单元的带宽分别是多大
1.结点的位置依赖于形态，而并不依赖于载荷的位置（×） 2.对于高压电线的铁塔那样的框架结构的模型化处理使用梁单元。√ 3.平面应变单元也好，平面应力单元也好，如果以单位厚来作模型化处理的话会得到一样的答案（×） 4.用有限元法不可以对运动的物体的结构进行静力分析（×） 5.一般应力变化大的地方单元尺寸要划的小才好（√） 6.四结点四边形等参单元的位移插值函数是坐标x、y的一次函数√ 7.在三角形单元中其面积坐标的值与三结点三角形单元的结点形函数值相等。√ 8.等参单元中Jacobi行列式的值不能等于零。√ 9.四边形单元的Jacobi行列式是常数。× 10.等参元是指单元坐标变换和函数插值采用相同的结点和相同的插值函数。√ 11.有限元位移模式中，广义坐标的个数应与单元结点自由度数相等√ 12.为了保证有限单元法解答的收敛性，位移函数应具备的条件是位移函数必须能反映单元的刚体位移和常量应变以及尽可能反映单元间的位移连续性。√ 13.在平面三结点三角形单元中，位移、应变和应力具有位移呈线形变化，应力和应变为常量特征。√ 1.梁单元和杆单元的区别？(自己分析:自由度不同)杆单元只能承受拉压荷载，梁单元则可以承受拉压弯扭荷载。具体的说，杆单元其实就是理论力学常说的二力杆，它只能在结点受载荷，且只有结点上的荷载合力通过其轴线时，杆件才有可能平衡，像均布荷载、中部集中荷载等是无法承担的，通常用于网架、桁架的分析；而梁单元则基本上适用于各种情况（除了楼板之类），且经过适当的处理（如释放自由度、耦合等），梁单元也可以当作杆单元使用。 2.有限单元法结构刚度矩阵的特点？对称性，奇异性，主对角元恒正，稀疏性，非零元素呈带状分布。 3.有限单元法的收敛性准则？完备性要求，协调性要求。位移模式要满足以下三个条件包含单元的刚体位移。当结点位移由体位移引起时，弹性体内不会产生应变。包含单元的常应变。与位置坐标无关的应变。位移模式在单元内要连续，在相邻单元之间的位移必须协调。当选择多项式来构成位移模式时，单元的连续性总得到满足，单元的协调性就是要求单元之间既不会出现开裂也不会出现重叠的现象。。 4.任何一个有限元分析问题都是空间问题，什么情况下可以简化为平面问题？轴对称问题？空
《工程中的有限元方法》复习提纲 第1章引言 1.简要论述求解工程问题的一般方法和步骤； 图1-1 工程问题的一般求解步骤 2.简要论述有限元方法求解问题的一般步骤
3.说明ANSYS中关于单位制的使用问题 第2章弹性力学问题有限元分析 4.出一道由单刚组装总刚的问题 5.为什么位移有限元得到的应力结果的精度低于位移结果？在当前计算结 果的基础上如何进一步提高应力结果的精度？ 6.弹性力学平面问题包括＿＿＿＿和＿＿＿＿两类，举例说明； 7.平面问题三角常应变有限元中形函数之和为＿＿＿＿； 8.什么是命令流文件？编写命令流文件的方法有哪些？如何调试你编写的 命令流文件？结构分析时采用命令流文件的方式有哪些好处？ 第3章单元分析 9.有限元解的收敛准则是什么？进行简单的解释。 10.以下几条曲线，哪条对应的计算过程是收敛的？ 11.常见的力学问题中，哪些属于C0问题？哪些属于C1问题？二者有什么 不同？ 12.为什么ANSYS等商用软件中只提供最高二阶的单元，而没有更高阶的 单元？
13.Serendipity单元和Lagrange矩形单元相比，其不同点在哪里？有什么优 点和缺点？ 14.提高有限元计算精度的三种方法是什么？进行简要的阐述。 15.等参变换中的Jacob矩阵有什么物理意义？其行列式又有什么几何意 义？ 16.什么是完全积分、减缩积分和选择积分？ 17.什么情况下会出现剪切自锁问题？如何解决这个问题？ 18.什么情况下会出现体积自锁问题？如何解决这个问题？ 19.为什么有时候需要采用减缩积分？减缩积分可能带来什么问题？如何解 决这个问题？ 第4章桁架结构有限元分析 20.给定一个微分方程，如何建立其等效积分形式和等效积分弱形式？二者 区别在哪里？为什么后者在数值分析中得到更多的应用？ 21.不同的加权余量法的区别在哪里？什么是加权余量法的伽辽金格式？ 22.自然边界条件和强制边界条件的区别是什么？为何这样命名？举例说明 在应力分析和温度场分析时自然边界条件和强制边界条件分别是什么？ 23.为什么基于最小势能原理的有限元解是下限解，即总体位移和真实值相 比偏小？ 24.会手工计算简单的一维杆件结构，如： 已知p、a、b、EA，用有限元计算两端反力及杆件应力：
有限元试题及答案
一判断题（20分） （×）1. 节点的位置依赖于形态，而并不依赖于载荷的位置 （√）2. 对于高压电线的铁塔那样的框架结构的模型化处理使用梁单元 （×）3. 不能把梁单元、壳单元和实体单元混合在一起作成模型 （√）4. 四边形的平面单元尽可能作成接近正方形形状的单元 （×）5. 平面应变单元也好，平面应力单元也好，如果以单位厚来作模型化 处理的话会得到一样的答案 （×）6. 用有限元法不可以对运动的物体的结构进行静力分析 （√）7. 一般应力变化大的地方单元尺寸要划的小才好 （×）8. 所谓全约束只要将位移自由度约束住，而不必约束转动自由度 （√）9. 同一载荷作用下的结构，所给材料的弹性模量越大则变形值越小（√）10一维变带宽存储通常比二维等带宽存储更节省存储量。 二、填空（20分） 1．平面应力问题与薄板弯曲问题的弹性体几何形状都是薄板，但前者受力特点是：平行于板面且沿厚度均布载荷作用，变形发生在板面内； 后者受力特点是：垂直于板面的力的作用，板将变成有弯有扭的曲面。 2．平面应力问题与平面应变问题都具有三个独立的应力分量：σx，σy，τxy ，三个独立的应变分量：εx，εy，γxy，但对应的弹性体几何形状前者为薄板，后者为长柱体。3．位移模式需反映刚体位移，反映常变形，满足单元边界上位移连续。 4．单元刚度矩阵的特点有：对称性，奇异性，还可按节点分块。
5．轴对称问题单元形状为：三角形或四边形截面的空间环形单元，由于轴对称的特性，任意一点变形只发生在子午面上，因此可以作为二维问题处理。6．等参数单元指的是：描述位移和描述坐标采用相同的形函数形式。等参数单元优点是：可以采用高阶次位移模式，能够模拟复杂几何边界，方便单元刚度矩阵和等效节点载荷的积分运算。 7．有限单元法首先求出的解是节点位移，单元应力可由它求得，其计算公式为。（用符号表示即可） 8．一个空间块体单元的节点有 3 个节点位移： u，v，w 9．变形体基本变量有位移应变应力基本方程平衡方程物理方程几何方程 10.实现有限元分析标准化和规范化的载体就是单元
1、何为有限元法？其基本思想是什么？ 有限元法是一种基于变分法而发展起来的求解微分方程的数值计算方法，该方法以计算机为手段，采用分片近似，进而逼近整体的研究思想求解物理问题。 基本思想是化整为零集零为整。 2、为什么说有限元法是近似的方法，体现在哪里？ 有两点：用离散单元的组合体来逼近原始结构，体现了几何上的近似；而用近似函数逼近未知变量在单元内的真实解，体现了数学上的近似。 3、单元、节点的概念？ 节点：表达实际结构几何对象之间相互连接方式的概念 单元：网格划分中的每一个小部分称为单元，网格间相互联结点称为节点 4、有限元法分析过程可归纳为几个步骤？ 结构离散化、单元分析、整体分析 5、有限元方法分几种？本课程讲授的是哪一种？ 位移法、力法、混合法本课程讲授位移法 6、弹性力学的基本变量是什么？何为几何方程、物理方程及虚功方程？弹性矩阵的特点？ 弹性力学变量:外力、应力、应变和位移。 描述弹性体应变分量与位移分量之间的方程称为几何方程；物理方程描述应力分量与应变分量之间的关系；弹性体上外力在虚位移发生过程中所做的虚功与储存在弹性体内的需应变能相等。 弹性矩阵由材料的弹性模量和泊松比确定，与坐标位置无关。 7、何为平面应力问题和平面应变问题？ 平面应力问题：在结构上满足a几何条件：研究对象是等厚度薄板。b载荷条件：作用于薄板上的载荷平行于板平面且沿厚度方向均匀分布，而在两板面无外力作用。 平面应变问题：满足a几何条件：长柱体，即长度方向的尺寸远远大于横截面的尺寸，且横截面沿长度方向不变。b载荷条件：作用于长柱体结构上的载荷平行于横截面且沿纵向方向均匀分布，两端面不受力两条件的弹性力学问题。 1、何为结构的离散化？离散化的目的？何为有限元模型？ ①离散化:把连续的结构看成由有限个单元组成的集合体。②目的：建立有限元计算模型③通常把由节点,单元及相应的节点载荷和节点约束构成的模型称为有限元模型2、结构离散化时，划分单元数目的多少以及疏密分布，将直接影响到什么？确定单元数量的原则？通常如何设置节点？
1.针对下图所示的3个三角形元,写出用完整多项式描述的位移模式表达式。 ２.如下图所示,求下列情况的带宽: a)4结点四边形元; b)2结点线性杆元。 ３、对上题图诸结点制定一种结点编号的方法,使所得带宽更小。图左下角的四边形在两种不同编号方式下,单元的带宽分别就是多大? 4、下图所示,若单元就是2结点线性杆单元,勾画出组装总刚后总刚空间轮廓线。系统的带宽就是多大?按一右一左重新编号(即6变成3等)后,重复以上运算。
５. 设杆件1-2受轴向力作用,截面积为Ａ,长度为Ｌ,弹性模量为Ｅ,试写出杆端力Ｆ１,F 2与杆端位移21,u u 之间的关系式,并求出杆件的单元刚度矩阵)(][e k 6、设阶梯形杆件由两个等截面杆件＼o ＼a ｃ(○,1)与错误!所组成,试写出三个结点1、2、3的结点轴向力F 1,F 2,Ｆ3与结点轴向位移321,,u u u 之间的整体刚度矩阵［K]。 7. 在上题的阶梯形杆件中,设结点3为固定端,结点1作用轴向载荷F 1=Ｐ,求各结点的轴向位移与各杆的轴力。 8、 下图所示为平面桁架中的任一单元,y x ,为局部坐标系,ｘ,y 为总体坐标系,x 轴与x 轴的夹角为 。 (1) 求在局部坐标系中的单元刚度矩阵 )(][e k (2) 求单元的坐标转换矩阵 ［T]; (３) 求在总体坐标系中的单元刚度矩阵 )(][e k
９.如图所示一个直角三角形桁架,已知27/103cm N E ?=,两个直角边长度cm l 100=,各杆截面面积210cm A =,求整体刚度矩阵［K ］ 。 10. 设上题中的桁架的支承情况与载荷情况如下图所示,按有限元素法求出各结点的位移与各杆的内力。
计算力学试题答案 1. 有限单元法和经典Ritz 法的主要区别是什么？ 答：经典Ritz 法是在整个区域内假设未知函数，适用于边界几何形状简单的情形；有限单元法是将整个区域离散，分散成若干个单元，在单元上假设未知函数。有限单元法是单元一级的Ritz 法。 2、单元刚度矩阵和整体刚度矩阵各有什么特征？刚度矩阵[K ]奇异有何物理意义？在求解问题时如何消除奇异性？ 答：单元刚度矩阵的特征：⑴对称性⑵奇异性⑶主元恒正⑷平面图形相似、弹性矩阵D 、厚度t 相同的单元，e K 相同⑸e K 的分块子矩阵按结点号排列，每一子矩阵代表一个结点，占两行两列，其位置与结点位置对应。 整体刚度矩阵的特征：⑴对称性⑵奇异性⑶主元恒正⑷稀疏性⑸非零元素呈带状分布。 []K 的物理意义是任意给定结构的结点位移所得到的结构结点力总体上满足力和力矩的平衡。 为消除[]K 的奇异性，需要引入边界条件，至少需给出能限制刚体位移的约束条件。 4. 何为等参数单元？为什么要引入等参数单元？ 答：等参变换是对单元的几何形状和单元内的场函数采用相同数目的结点参数及相同的插值函数进行变换，采用等参变换的单元称之为等参数单元。 借助于等参数单元可以对于一般的任意几何形状的工程问题和物理问题方便地进行有限元离散，其优点有：对单元形状的适应性强；单元特性矩阵的积分求解方便（积分限标准化）；便于编制通用化程序。 5、对于平面4节点（线性）和8节点（二次）矩形单元，为了得到精确的刚度矩阵，需要多少个Gauss 积分点？说明理由。 答：对于平面4节点（线性）矩形单元： (,)i N ξη∝1,,,ξηξη T B DB 221,,,,,ξηξηξη∝ =J 常数 所以2m = 因而积分点数为：22?矩阵 对于平面8节点（二次）矩形单元： (,)i N ξη∝22221,,,,,,ξηξηξηξη T B DB 221341,,,,,,ξηξηξηη∝ =J 常数 所以4m = 因而积分点数为：33?矩阵 ⑴矩形、正方形、平行四边形=J 常数 2、总刚度矩阵[K]的任一元素k ij 的物理意义是什么？如何解释总刚度矩阵的奇异性和带状稀疏性？ 答：K 中元素的ij K 物理意义：当结构的第j 个结点位移方向上发生单位位移，而其它结点位移方向上位移为零时，需在第i 个结点位移方向上施加的结点力大小。 奇异性：K =0,力学意义是对任意给定结点位移所得到结构结点力总体上是满足力和力矩的平衡。 反之，给定任意满足力和力矩平衡结点载荷P ，由于K 的奇异性却不能解得结构的位移a ,因而结构仍可能发生任意的刚体位移。为消除[]K 的奇异性，结构至少需给出能限制刚体位移的约束条件。 带状稀疏性：由于连续体离散为有限个单元体时，每个结点的相关单元只是围绕在该结点周围为数甚少的几个，一个结点通过相关单元与之发生关系的相关结点也只是它周围的少数几个，因此虽然总体单元数和结点数很多，结构刚度矩阵的阶数很高，但刚度系数中非零系数却很少，即为总刚度矩阵的稀疏性。另外，只要结点编号是合理的，这些稀疏的非零元素将集中在以主对角线为中心的1 1.52 m n +≥=141 2.522 m n ++≥==
1、何为有限元法其基本思想是什么 有限元法是一种基于变分法而发展起来的求解微分方程的数值计算方法，该方法 以计算机为手段，采用分片近似，进而逼近整体的研究思想求解物理问题。 基本思想是化整为零集零为整。 2、为什么说有限元法是近似的方法，体现在哪里 有两点：用离散单元的组合体来逼近原始结构，体现了几何上的近似；而用近似 函数逼近未知变量在单元内的真实解，体现了数学上的近似。 3、单元、节点的概念 节点：表达实际结构几何对象之间相互连接方式的概念 单元：网格划分中的每一个小部分称为单元，网格间相互联结点称为节点 4、有限元法分析过程可归纳为几个步骤 结构离散化、单元分析、整体分析 5、有限元方法分几种本课程讲授的是哪一种 位移法、力法、混合法本课程讲授位移法 6、弹性力学的基本变量是什么何为几何方程、物理方程及虚功方程弹性矩阵的特点 弹性力学变量 : 外力、应力、应变和位移。 描述弹性体应变分量与位移分量之间的方程称为几何方程；物理方程描述应力分 量与应变分量之间的关系；弹性体上外力在虚位移发生过程中所做的虚功与储存在弹 性体内的需应变能相等。 弹性矩阵由材料的弹性模量和泊松比确定，与坐标位置无关。 7、何为平面应力问题和平面应变问题 平面应力问题：在结构上满足 a 几何条件：研究对象是等厚度薄板。 b 载荷条件：作用于薄板上的载荷平行于板平面且沿厚度方向均匀分布，而在两板面无外力作 用。 平面应变问题：满足 a 几何条件：长柱体，即长度方向的尺寸远远大于横截面的尺寸，且横截面沿长度方向不变。 b 载荷条件：作用于长柱体结构上的载荷平行于横截面且沿纵 向方向均匀分布，两端面不受力两条件的弹性力学问题。 1、何为结构的离散化离散化的目的何为有限元模型 ①离散化 : 把连续的结构看成由有限个单元组成的集合体。②目的：建立有限元 计算模型③通常把由节点 , 单元及相应的节点载荷和节点约束构成的模型称为有限元模 型
有限元法基础试题（A ） 一、填空题（5×2分） 1.1单元刚度矩阵e T k B DBd Ω = Ω? 中，矩阵B 为__________，矩阵D 为___________。 1.2边界条件通常有两类。通常发生在位置完全固定不能转动的情况为_______边界，具体指定有限的非零值位移的情况，如支撑的下沉，称为_______边界。 1.3内部微元体上外力总虚功： ()(),,,,e x x xy y bx xy x y y by d W F u F v dxdy δστδτσδ??=+++++??+(),,,,x x y y xy y x u v u u dxdy σδσδτδδ??+++??的表达式中，第一项为____________________的虚功，第二项为____________________的虚功。 1.4弹簧单元的位移函数1N +2N =_________。 1.5 ij k 数学表达式：令j d =_____，k d =_____，k j ≠，则力i ij F k =。 二、判断题（5×2分） 2.1位移函数的假设合理与否将直接影响到有限元分析的计算精度、效率和可靠性。（ ） 2.2变形体虚功原理适用于一切结构（一维杆系、二维板、三位块体）、适用于任何力学行为的材料（线性和非线性），是变形体力学的普遍原理。 （ ） 2.3变形体虚功原理要求力系平衡，要求虚位移协调，是在“平衡、协调”前提下功的恒等关系。 （ ） 2.4常应变三角单元中变形矩阵是x 或y 的函数。 （ ） 2.5 对称单元中变形矩阵是x 或y 的函数。 （ ） 三、简答题（26分） 3.1列举有限元法的优点。（8分） 3.2写出有限单元法的分析过程。（8分） 3.3列出3种普通的有限元单元类型。（6分） 3.4简要阐述变形体虚位移原理。（4分） 四、计算题（54分） 4.1对于下图所示的弹簧组合，单元①的弹簧常数为10000N/m ，单元②的弹簧常数为20000N/m ，单元③的弹簧常数为10000N/m ，确定各节点位移、反力以及单元②的单元力。（10分） 4.2对于如图所示的杆组装，弹性模量E 为10GPa ，杆单元长L 均为2m ，横截面面积A 均为2×10-4m 2，弹簧常数为2000kN/m ，所受荷载如图。采用直接刚度法确定节点位移、作用力和单元②的应力。（10分）
1、何为有限元法？其基本思想是什么? 有限元法是一种基于变分法而发展起来的求解微分方程的数值计算方法，该方法以计算机为手段，采用分片近似，进而逼近整体的研究思想求解物理问题。 基本思想是化整为零集零为整。 2、为什么说有限元法是近似的方法，体现在哪里? 有两点：用离散单元的组合体来逼近原始结构，体现了几何上的近似；而用近似函数逼近未知变量在单元内的真实解，体现了数学上的近似。 3、单元、节点的概念? 节点：表达实际结构几何对象之间相互连接方式的概念 单元：网格划分中的每一个小部分称为单元，网格间相互联结点称为节点 4、有限元法分析过程可归纳为几个步骤? 结构离散化、单元分析、整体分析 5、有限元方法分几种？本课程讲授的是哪一种? 位移法、力法、混合法本课程讲授位移法 6、弹性力学的基本变量是什么？何为几何方程、物理方程及虚功方程？弹性矩阵的特点？ 弹性力学变量：外力、应力、应变和位移。 描述弹性体应变分量与位移分量之间的方程称为几何方程；物理方程描述应力分量与应变分量之间的关系；弹性体上外力在虚位移发生过程中所做的虚功与储存在弹性体内的需应变能相等。 弹性矩阵由材料的弹性模量和泊松比确定，与坐标位置无关。 7、何为平面应力问题和平面应变问题? 平面应力问题：在结构上满足a几何条件：研究对象是等厚度薄板。b载荷条件: 作用于薄板上的载荷平行于板平面且沿厚度方向均匀分布，而在两板面无外力作用。 平面应变问题：满足a几何条件：长柱体，即长度方向的尺寸远远大于横截面的尺寸，且横截面沿长度方向不变。b载荷条件：作用于长柱体结构上的载荷平行于横截面且沿纵向方向均匀分布，两端面不受力两条件的弹性力学问题。 1、何为结构的离散化？离散化的目的？何为有限元模型? ①离散化：把连续的结构看成由有限个单元组成的集合体。②目的：建立有限元计算模型③通常把由节点，单元及相应的节点载荷和节点约束构成的模型称为有限元模型 2、结构离散化时，划分单元数目的多少以及疏密分布，将直接影响到什么？确定单元数量的原则？通常如何设置节点？
《有限元分析基础》复习题 1. 有限元法有什么特点和优势？ 2. 简述有限元法的基本步骤和基本思想。 3. 有限元法有哪些热点问题？ 4. 单元、节点、节点力和节点载荷分别是指什么？ 5. 简要分析选择位移函数的一般原则。 6. 简要分析有限元法的收敛准则。什么叫协调元、非协调元和完备元？ 7. 什么叫虚功原理和最小势能原理？并列出其一般表达式。 8. 分别列出平面杆、平面梁单元的形状函数列阵、应变矩阵和应力矩阵，并说明其 中各符号的含义。 9. 写出平面杆单元的坐标变换矩阵，并给出局部坐标系下单元刚度矩阵与总体坐标 系下单元刚度矩阵的变换关系，并说明其中各符号的含义。 10. 试用最小势能原理推导杆、平面梁单元的刚度方程，并给出单元刚度矩阵的具 体表达式，并说明其中各符号的含义。 11. 简要分析Mises等效应力准则，并说明其中各符号的含义。 12. 简述二维连续体问题虚功原理及其具体表达，并说明其中各符号的含义。 13. 列出二维连续体问题的单元平衡方程、几何方程以及物理方程，并说明其中各 符号的含义。 14. 试用最小势能原理推导二维连续体问题的单元刚度方程，并说明其中各符号的 含义。 15. 简述达朗贝尔原理，并给出二维问题的具体表达，说明其中各符号的含义。 16. 列出结构动力学方程和特征方程，并说明其中各符号的含义。 17. 给出结构振动平面弹性问题的几何方程和物理方程，说明其中各符号的含义， 并分析其与静力学问题的不同之处。 18. 简述一致质量矩阵和集中质量矩阵的含义，并用杆单元加以说明。 19. 简要分析传热过程分析的重要意义。 20. 给出热传导问题的控制方程，并说明其中各符号的含义。 21. 连续体的热问题包括哪两个部分？并分析其相互影响。 22. 列出下图所示2杆桁架结构各单元在总体坐标中的刚度矩阵，并将其组装成总 体刚度矩阵，再求出各节点位移。其中，θ=45o，X2=10×106 N，Y2=5×106 N，杆1横截面积为A1=0.15 m2，杆2横截面积为Array A2=0.1 m2，弹性模量为E=210 GPa，杆2的 长度为1 m。
一、 简答题（共40分，每题10分） 1. 论述单元划分应遵循的原则。 2. 说明形函数应满足的条件。 3. 说明四边形等参数单元中“等参数”的含义，即为什么要引入等参数单元。 4. 阐述边界元法的主要优缺点。 二、 计算题（共60分，每题20分） 1. 一杆件如图3所示，杆件上方固定后，在下方受垂直向下的集中力作用，已 知：杆件材料的杨氏模量2 721/100.3in lbf E E ?==，截面积2125.5in A =， 2275.3in A =，长度in L L 1221==，集中力lbf P 100=，用有限元方法求解B 点 和C 点位移。备注：（1）1 lbf （磅力，libra force ） = N 。（2）杨氏模量、弹性 模量、Young 氏弹性模量具有相同含义（10分） 2. 如图2 所示，有一正方形薄板，沿对角承受压力作用，厚度t=1m ，载荷 F=20KN/m ，设泊松比μ=0，材料的弹性模量为E ，试求它的应力分布。（15分） 学院 专业 学号 姓名 y 图1
图2 3. 图示结点三角形单元的124边作用有均布侧压力q，单元厚度为t，求单元的等效结点荷载。 图3
一、简答题 1. 答： 1）合理安排单元网格的疏密分布 2）为突出重要部位的单元二次划分 3）划分单元的个数 4）单元形状的合理性 5）不同材料界面处及荷载突变点、支承点的单元划分 6）曲线边界的处理，应尽可能减小几何误差 7）充分利用结构及载荷的对称性，以减少计算量 2. 答： 形函数应满足的三个条件： a.必须能反映单元的刚体位移，就是位移模式应反映与本单元形变无关的由 其它单元形变所引起的位移。 b.能反映单元的常量应变，所谓常量应变，就是与坐标位置无关，单元内所 有点都具有相同的应变。当单元尺寸取小时，则单元中各点的应变趋于相 等，也就是单元的形变趋于均匀，因而常量应变就成为应变的主要部分。 c.尽可能反映位移连续性；尽可能反映单元之间位移的连续性，即相邻单元 位移协调。 3. 答： 含义：所谓的等参数单元，就是在确定单元形状的插值函数和确定单元位移场的插值函数中采用了完全相同的形函数。 意义：构造出一些曲边地高精度单元，以便在给定地精度下，用数目较少地单元，解决工程实际地具体问题。 4. 答： 有限单元法是基于变分原理的里兹（Ritz）法的另一种形式，从而使里兹法分析的所有理论基础都适用子有限单元法，确认了有限单元法是处理连续介质问题的一种普遍方法．利用变分原理建立有限元方程和经典里兹法的主要区别是有限单元法假设的近似函数不是在全求解域而是在单元上规定的，面且事先不要求满足任何边界条件，因此它可以用来处理很复杂的连续介质问题。有限单元法中所利用的主要是伽辽金（Galerkin）法。它可以用于已经知道问题的微分方程和
2012年度弹性力学与有限元分析复习题及其答案 (绝密试题) 一、填空题 1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。 2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相适应。 3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相适应。 4、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切应力。应力及其分量的量纲是L -1MT -2。 5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。 6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。 7、已知一点处的应力分量100=x σMPa ，50=y σMPa ，5010=xy τ MPa ，则主应力=1σ150MPa ，=2σ0MPa ，=1α6135' 。 8、已知一点处的应力分量， 200=x σMPa ，0=y σMPa ，400-=xy τ MPa ， 则主应力=1σ512 MPa ，=2σ-312 MPa ，=1α-37°57′。 9、已知一点处的应力分量，2000-=x σMPa ，1000=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ1052 MPa ，=2σ-2052 MPa ，=1α-82°32′。 10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。 11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。 12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。 13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。 14、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学位移法进行求解。其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。 15、每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部分是由于其他单元发生了形变而连带引起的。 16、每个单元的应变一般总是包含着两部分：一部分是与该单元中各点的位置坐标有关的，是各点不相同的，即所谓变量应变；另一部分是与位置坐标无关的，是各点相同的，即所谓常量应变。 17、为了能从有限单元法得出正确的解答，位移模式必须能反映单元的刚体位移和常量应变，还应当尽可能反映相邻单元的位移连续性。 18、为了使得单元内部的位移保持连续，必须把位移模式取为坐标的单值连续函数，为
1.两种平面问题的基本概念和基本方程； 答：弹性体在满足一定条件时，其变形和应力的分布规律可以用在某一平面内的变形和应力的分布规律来代替，这类问题称为平面问题。平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。 平面应力问题 设有张很薄的等厚薄板，只在板边上受到平行于板面并且不沿厚度变化的面力，体力也平行于板面且不沿厚度变化。 由于平板很薄，外力不沿厚度变化，因此在整块板上有：，，剩下平行于XY面的三个应力分 量未知。 平面应变问题 设有很长的柱体，支承情况不沿长度变化，在柱面上受到平行于横截面而且不沿长度变化的面力，体力也如此分布。平面问题的基本方程为： 平衡方程 几何方程 物理方程（弹性力学平面问题的物理方程由广义虎克定律得到） ?平面应力问题的物理方程 平面应力问题有 ?平面应变问题的物理方程 平面应变问题有 在平面应力问题的物理方程中，将E替换为、替换为，可以得到平面应变问题的物理方程；在平面应变
问题的物理方程中，将E替换为、替换为，可以得到平面应力问题的物理方程。 2弹性力学中的基本物理量和基本方程； 答：基本物理量有： 空间弹性力学问题共有15个方程，3个平衡方程，6个几何方程，6个物理方程。其中包括6个应力分量，6个应变分量，3个位移分量。 平面问题共8个方程，2个平衡方程，3个几何方程，3个物理方程，相应3个应力分量，3个应变分量，2个位移分量。 基本方程有： 1.平衡方程及应力边界条件： 平衡方程： 边界条件： 2.几何方程及位移边界条件： 几何方程： 边界条件： 3.物理方程: 3.有限元中使用的虚功方程。 对于刚体，作用在其上的平衡力系在任意虚位移上的总虚功为0，这就是刚体的平衡条件，或者称为刚体的虚功方程。 对于弹性变形体，其虚位移原理为：在外力作用下处于平衡的弹性体，当给予物体微小的虚位移时，外力的总虚功等于物体的总虚应变能。设想一处于平衡状态的弹性体发生了任意的虚位移,相应的虚应变为 ,作用在微元体上的平衡力系有（X,Y,Z）和面力。外力的总虚功为实际的体力和面力在虚位移上所做的功，即： 在物体产生微小虚变形过程中，整个弹性体内应力在虚应变上所做的功为总虚应变能，即：
有限元考试试题及答案 一、简答题（5道，共计25分）。 1.有限单元位移法求解弹性力学问题的基本步骤有哪些？（5分） 答：（1）选择适当的单元类型将弹性体离散化； （2）建立单元体的位移插值函数； （3）推导单元刚度矩阵； （4）将单元刚度矩阵组装成整体刚度矩阵； （5）代入边界条件和求解。 2. 在划分网格数相同的情况下，为什么八节点四边形等参数单元精度大于四边形矩形单元？（5分） 答：在对于曲线边界的边界单元，其边界为曲边，八节点四边形等参数单元边上三个节点所确定的抛物线来代替原来的曲线，显然拟合效果比四边形矩形单元的直边好。 3.轴对称单元与平面单元有哪些区别？（5分） 答：轴对称单元是三角形或四边形截面的空间的环形单元，平面单元是三角形或四边形平面单元；轴对称单元内任意一点有四个应变分量，平面单元内任意一点非零独立应变分量有三个。 4.有限元空间问题有哪些特征？（5分） 答：（1）单元为块体形状。常用单元：四面体单元、长方体单元、直边六面体单元、曲边六面体单元、轴对称单元。（2）结点位移3个分量。（3）基本方程比平面问题多。3个平衡方程，6个几何方程，6个物理方程。 5.简述四节点四边形等参数单元的平面问题分析过程。（5）分） 答：（1）通过整体坐标系和局部坐标系的映射关系得到四节点四边形等参单元的母单元， 并选取单元的唯一模式； （2）通过坐标变换和等参元确定平面四节点四边形等参数单元的几何形状和位移模式；
（3）将四节点四边形等参数单元的位移模式代入平面问题的几何方程，得到单元应变 分量的计算式，再将单元应变代入平面问题的物理方程，得到平面四节点等参 数单元的应力矩阵； （4）用虚功原理求得单元刚度矩阵，最后用高斯积分法计算完成。 二、论述题（3道,共计30分）。 1. 简述四节点四边形等参数单元的平面问题分析过程。（10分） 答：（1）通过整体坐标系和局部坐标系的映射关系得到四节点四边形等参单元的母单元，并选取单元的唯一模式； （2） 通过坐标变换和等参元确定平面四节点四边形等参数单元的几何形状和位移模式； （3）将四节点四边形等参数单元的位移模式代入平面问题的几何方程，得到单元应变 分量的计算式，再将单元应变代入平面问题的物理方程，得到平面四节点等参 数单元的应力矩阵； （4）用虚功原理求得单元刚度矩阵，最后用高斯积分法计算完成。 2.轴对称问题的简单三角形单元是否是常应力，常应变？为什么？（10分） 答：不是常应力和常应变。 因为应变与位移分量的关系式为: ? ?????????????? ? ?????????????? ???? =????????????????????????+??????=??? ???????????=w u 010r r u r u }{rz z r r z z r r w z u z w γεεεεθ,这里除含有微分算符外，还包含了r 的倒数项1/r ,则即使位移模式为线性的，但由于该项的存在，使得应变与坐标有关， 即不会是常应变。应力应变的物理关系为{ }[]{}εσD = ，由于应变不是常应变，则所求得的应力也不会是常应力。
有限元复习资料 1．简述有限单元法的应用范围 答：①工程地质现象机制的研究；②工程区岩体应力边界条件或区域构造力的反馈；③工程岩土体位移场和应力场的模拟；④岩土体稳定性模拟 2．简述有限元单元法的基本原理 答：有限元单元法是随着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种现代计算方法。它是50年代首先在连续体力学领域----飞机结构静，动态特性分析中应用的一种由此奥的数分析方法，随后很快广泛的应用于求解热传导。电磁场、流体力学等连续性问题。有限元分析计算的思路和做法可归纳如下： ①物体离散化 将整个工程结构离散为由各个单元组成的计算模型，这一步称作单元剖分。离散散后单元与单元之间利用单元的节点相互连接起来；单元节点的设置、性质、树木等应是问题的性质，描述变形形态的需要和计算进度而定（一般情况但愿划分月息则描述变形情况月精确，及月接近实际变形，但计算两越大）。所以有限元中分析的结构已不是原有的物体或结构物，而是同新材料的由众多单元以一定方式连接成的离散物体。这样，用有限元分析计算所获得的结果只是近似的。如果划分单元数目非常多而又合理，则所获得的结果就与实际情况相符合。 ②单元特性分析 A．选择位移模式 在有限单元法中，选择节点位移为基本未知量称为位移法；选择节点力作为基本未知量时称为力法；取一部分节点力和一部分节点位移作为基本未知量时称为混合法。位移法易于实现计算机自动化，所以，在有限单元法中位移法应用范围最广。当采用位移法时，物体或结构离散化之后，就可把单元总的一些物理量如位移，应变和应力等由节点位移来表示。这时可以对单元中位移的分布采用一些能逼近原原函数的近似函数予以描述。通常，有限元法我们就将位移作为坐标变量的简单函数。这种函数称为位移模式或位移函数，如y=a其中a 是待定系数，y是与坐标有关的某种函数。 B．分析但愿的力学性质 根据单元的材料性质、形状、尺寸、节点数目、位置及其含义等，找出单元节点力和节点位移的关系式，折中单元分析中的关键一部。此时需要应用弹性力学中的几何方程和物理方程来来建立力和位移的方程式，从而导出单元刚度矩阵，这是有限元法的基本步骤之一。C．计算等效节点力 物体离散化后，假定力是通过节点从一个单元传递到另一个单元。但是，对于实际的连续题，力是从单元的公共边传递到另一个单元中去的。因而，这种作用在单元辩解上的表面力、体积力和集中力都需要等效的移动节点上去，也就是用等效的节点力来代替所有作用在单元上的力。 ③单元组集 利用结构力的平衡条件和边界条件把各个单元按原来的结构重新连接起来，形成整体的有限元方程 ④求解未知节点位移 解有限元方程式得出位移。这里，可以根据方程的具体特点来选择合适的计算方法。通过上述分析，可以看出，有限单元法的基本思想是“一分一合”，分是为了进行单元分
一 判断题（20分） （×）1. 节点的位置依赖于形态，而并不依赖于载荷的位置 （√）2. 对于高压电线的铁塔那样的框架结构的模型化处理使用梁单元 （×）3. 不能把梁单元、壳单元和实体单元混合在一起作成模型 （√）4. 四边形的平面单元尽可能作成接近正方形形状的单元 （×）5. 平面应变单元也好，平面应力单元也好，如果以单位厚来作模型化 处理的话会得到一样的答案 （×）6. 用有限元法不可以对运动的物体的结构进行静力分析 （√）7. 一般应力变化大的地方单元尺寸要划的小才好 （×）8. 所谓全约束只要将位移自由度约束住，而不必约束转动自由度 （√）9. 同一载荷作用下的结构，所给材料的弹性模量越大则变形值越小 （√）10一维变带宽存储通常比二维等带宽存储更节省存储量。 二、填空（20分） 1．平面应力问题与薄板弯曲问题的弹性体几何形状都是 薄板 ，但前者受力特点是： 平行于板面且沿厚度均布载荷作用 ，变形发生在板面内； 后者受力特点是： 垂直于板面 的力的作用，板将变成有弯有扭的曲面。 2．平面应力问题与平面应变问题都具有三个独立的应力分量： σx ，σy ，τxy ，三个独立的应变分量：εx ，εy ，γxy ，但对应的弹性体几何形状前者为 薄板 ，后者为 长柱体 。3．位移模式需反映 刚体位移 ，反映 常变形 ，满足 单元边界上位移连续 。 4．单元刚度矩阵的特点有：对称性 ， 奇异性 ，还可按节点分块。 5．轴对称问题单元形状为：三角形或四边形截面的空间环形单元 ，由于轴对称的特性，任意一点变形只发生在子午面上，因此可以作为 二 维问题处理。 6．等参数单元指的是：描述位移和描述坐标采用相同的形函数形式。等参数单元优点是：可以采用高阶次位移模式，能够模拟复杂几何边界，方便单元刚度矩阵和等效节点载荷的积分运算。 7．有限单元法首先求出的解是 节点位移 ，单元应力可由它求得，其计算公式为 {}{} [][]e D B σδ=。（用符号表示即可） 8．一个空间块体单元的节点有 3 个节点位移： u ，v ，w 9．变形体基本变量有位移应变应力 基本方程 平衡方程 物理方程 几何方程 10.实现有限元分析标准化和规范化的载体就是单元
江西理工大学研究生考试试卷 一、 简答题（共4 0分， 每题10分） 1. 论述单元划分应遵循的原则。 2. 说明形函数应满足的条件。 3. 说明四边形等参数单元中“等参数”的含义，即为什么要引入等参数单元。 4. 阐述边界元法的主要优缺点。 二、 计算题（共60分，每题20分） 1.一杆件如图3所示，杆件上方固定后，在下方受垂直向下的集中力作用，已知：杆件材 料的杨氏模量2721/100.3in lbf E E ?==，截面积2125.5in A =，2 275.3in A =，长度 in L L 1221==，集中力lbf P 100=，用有限元方法求解B 点和C 点位移。备注：（1）1lbf （磅力，libraforce ）=。（2）杨氏模量、弹性模量、Young 氏弹性模量具有相同含义（10 分） 2.如图2 t=1m ，载荷F=20KN/m ，设泊松比μ=015分） 3.图示结点三角形单元的q ，单元厚度为t ，求单元的等效结点荷载。 学院专业学号姓名 y
图3
一、简答题 1.答： 1）合理安排单元网格的疏密分布 2）为突出重要部位的单元二次划分 3）划分单元的个数 4）单元形状的合理性 5）不同材料界面处及荷载突变点、支承点的单元划分 6）曲线边界的处理，应尽可能减小几何误差 7）充分利用结构及载荷的对称性，以减少计算量 2.答： 形函数应满足的三个条件： a.必须能反映单元的刚体位移，就是位移模式应反映与本单元形变无关的由其它单元形 变所引起的位移。 b.能反映单元的常量应变，所谓常量应变，就是与坐标位置无关，单元内所有点都具有 相同的应变。当单元尺寸取小时，则单元中各点的应变趋于相等，也就是单元的形变趋于均匀，因而常量应变就成为应变的主要部分。 c.尽可能反映位移连续性；尽可能反映单元之间位移的连续性，即相邻单元位移协调。 3.答： 含义：所谓的等参数单元，就是在确定单元形状的插值函数和确定单元位移场的插值函数中采用了完全相同的形函数。 意义：构造出一些曲边地高精度单元，以便在给定地精度下，用数目较少地单元，解决工程实际地具体问题。 4.答： 有限单元法是基于变分原理的里兹（Ritz）法的另一种形式，从而使里兹法分析的所有理论基础都适用子有限单元法，确认了有限单元法是处理连续介质问题的一种普遍方法．利用变分原理建立有限元方程和经典里兹法的主要区别是有限单元法假设的近似函数不是在全求解域而是在单元上规定的，面且事先不要求满足任何边界条件，因此它可以用来处理很复杂的连续介质问题。有限单元法中所利用的主要是伽辽金（Galerkin）法。它可以用于已经知道问题的微分方程和边界条件，但变分的泛函尚未找到或者根本不存在的情况，因而进一步扩大了有限单元法的应用领域。 三十多年来，有限单元法的应用已由弹性力学平面问题扩展到空间问题、板壳问题，由