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1.弹性力学和材料力学在研究对象上的区别？材料力学的研究对象是杆状构件，即长度远大于宽度和厚度的构件；弹性力学除了研究杆状构件外，还研究板、壳、块，甚至是三维物体等，研究对象要广泛得多。
2.理想弹性体的五点假设？连续性假设，完全弹性假设，均匀性假设，各向同性假定，小位移和小变形的假定。
3.什么叫轴对称问题，采用什么坐标系分析？为什么？工程实际中，对于一些几何形状、载荷以及约束条件都对称于某一轴线的轴对称体，其体内所有的位移、应变和应力也都对称于此轴线，这类问题称为轴对称问题。
通常采用圆柱坐标系r、θ、z分析。
这是因为，当弹性体的对称轴为z轴时，所有的应力分量、应变分量和位移分量都将只是r和z的函数，而与无θ关。
4.梁单元和杆单元的区别？杆单元只能承受拉压荷载，梁单元那么可以承受拉压弯扭荷载。
具体的说，杆单元其实就是理论力学常说的二力杆，它只能在结点受载荷，且只有结点上的荷载合力通过其轴线时，杆件才有可能平衡，像均布荷载、中部集中荷载等是无法承当的，通常用于网架、桁架的分析；而梁单元那么根本上适用于各种情况〔除了楼板之类〕，且经过适当的处理〔如释放自由度、耦合等〕，梁单元也可以当作杆单元使用。
5.薄板弯曲问题与平面应力问题的区别？平面应力问题与薄板弯曲问题的弹性体几何形状都是薄板，但前者受力特点是平行于板面且沿厚度均布载荷作用，变形发生在板面内；后者受力特点是垂直于板面的力的作用，板将变成有弯有扭的曲面。
平面应力问题有三个独立的应力分量和三个独立的应变分量，薄板弯曲问题每个结点有三个自由度，但是只有一个是独立的其余两个可以被它表示。
6.有限单元法结构刚度矩阵的特点？对称性，奇异性，主对角元恒正，稀疏性，非零元素呈带状分布。
7.有限单元法的收敛性准那么？完备性要求，协调性要求。
完备性要求：如果出现在泛函中场函数的最高阶导数是m阶，那么有限元解收敛的条件之一是单元内场函数的试探函数至少是m次完全多项式，或者说试探函数中必须包括本身和直至m阶导数为常数的项，单元的插值函数满足上述要求时，我们称单元是完备的。
《有限元法》复习题一. 单选题1.平面刚架单元坐标转换矩阵的阶数为（ ） A ．2⨯2 B ．2⨯4 C ．4⨯4 D ．6⨯62.图示的四根杆组成的平面刚架结构，用杆单元进行有限元分析，单元和节点的划分如图示，则总体刚度矩阵的大小为（ ） A.8⨯8阶矩阵 B.10⨯10阶矩阵 C.12⨯12阶矩阵 D.16⨯16阶矩阵3.坐标转换矩阵可归类为（ ）A.正交矩阵B.奇异矩阵C.正定矩阵D.对称矩阵 4.图示弹簧系统的总体刚度矩阵为（ ）A 11112322244434000000k k k k k k k k k k k k k k -⎡⎤⎢⎥-++-⎢⎥⎢⎥-+⎢⎥-+⎣⎦ B. 1111222244434000000k k k k k k k k k k k k k -⎡⎤⎢⎥-+-⎢⎥⎢⎥-+-⎢⎥-+⎣⎦C. 11112323224434340000k k k k k k k k k k k k k k k k -⎡⎤⎢⎥-++--⎢⎥⎢⎥-+-⎢⎥--+⎣⎦D. 1111223224434340000k k k k k k k k k k k k k k k -⎡⎤⎢⎥-+--⎢⎥⎢⎥-+⎢⎥--+⎣⎦5.确定已知三角形单元的局部码为1(e),2(e),3(e)，对应总码依次为3，6，4，则其单元的刚度矩阵中的元素k 24应放在总体刚度矩阵的( )。
A.1行2列B.3行12列C.6行12列D.3行6列 6.对一根只受轴向载荷的杆单元，k 12为负号的物理意义可理解为（ ） A.当节点2沿轴向产生位移时，在节点1引起的载荷与其方向相同 B.当节点2沿轴向产生位移时，在节点1引起的载荷与其方向相反 C.当节点2沿轴向产生位移时，在节点1引起的位移与其方向相同 D.当节点2沿轴向产生位移时，在节点1引起的位移与其方向相反7.平面桁架中，节点3处铅直方向位移为已知，若用置大数法引入支承条件，则应将总体刚度矩阵中的（ ）A.第3行和第3列上的所有元素换为大数AB.第6行第6列上的对角线元素乘以大数AC.第3行和第3列上的所有元素换为零D.第6行和第6列上的所有元素换为零 8.在任何一个单元内（ ）A.只有节点符合位移模式B.只有边界点符合位移模式C.只有边界点和节点符合位移模式D.单元内任意点均符合位移模式 9.平面应力问题中(Z 轴与该平面垂直)，所有非零应力分量均位于（ ） A.XY 平面内 B.XZ 平面内 C.YZ 平面内 D.XYZ 空间内 12.刚架杆单元与平面三角形单元（ ）A.单元刚度矩阵阶数不同B.局部坐标系的维数不同C.无任何不同D.节点截荷和位移分量数不同 13.图示平面结构的总体刚度矩阵［Ｋ］和竖带矩阵［K *］的元素总数分别是（ ）A.400和200B.400和160C.484和200D.484和160 14.在有限元分析中，划分单元时，在应力变化大的区域应该（ ）A.单元数量应多一些，单元尺寸小一些B.单元数量应少一些，单元尺寸大一些C.单元数量应多一些，单元尺寸大一些D.单元尺寸和数量随便确定 15.在平面应力问题中，沿板厚方向（ ）A.应变为零，但应力不为零B.应力为零，但应变不为零C.应变、应力都为零D.应变、应力都不为零16.若把平面应力问题的单元刚度矩阵改为平面应变问题的单元刚度矩阵只需将（ ） A. E 换成E/(1-μ2)，μ换成μ/(1-μ2) B. E 换成E/(1-μ2)，μ换成μ/(1-μ) C. E 换成E/(1-μ)，μ换成μ/(1-μ2) D. E 换成E/(1-μ)，μ换成μ/(1-μ) 17.图示三角形单元非节点载荷的节点等效载荷为（ ） A.F yi =-100KN F yj =-50KN F yk =0 B. F yi =-80KN F yj =-70KN F yk =0 C. F yi =-70KN F yj =-80KN F yk =0 D. F yi =-50KN F yj =-100KN F yk =018.半斜带宽矩阵r 行s 列的元素对应于竖带矩阵元素( )。
(华南理工大学)有限元设计复习大礼包(五套套题+答案)3．列出应力-应变之间的物理方程（6分）4．列出应力－外力之间的运动平衡方程（3分）5．弹性力学的求解方法有哪几种？（2分）1在解析法的基础上进行近似数值分析。
第一步，对连续体力学问题建立基本微分方程；第二步，对基本微分方程采用近似的数值解法。
代表：有限差分法。
2在力学模型上进行近似的数值计算。
第一步，将连续体简化为有限个单元组成的离散化模型；第二步，对离散化模型求出数值解答。
代表：有限元法，边界元法，无网格法，…6.有限元法分析工程问题的基本步骤（6分）问题类型判别：静强度问题，动强度问题，对问题的适当的合理的简化，在前处理器上建立计算实体模型选择单元类型：一个问题可以是一种单元，也可以几种单元，单元种类有：实体单元，板单元，梁单元 划分网格：划分，检验密度，细化， 定义材料属性 定义施加载荷，定义边界条件，例如：摩擦、约束、接触 用求解器求解在后处理器上，显示、查看分析结果 分析求解结果误差.二．计算题（20分）[][][]7)-(1 )(1)(1)(1⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫+-=+-=+-=y x z z z x y y z y x x E E Eσσμσεσσμσεσσμσε8)-(1 111zx zx yz yz xy xy GG G τγτγτγ===，，1)5(1222222--⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂t w f z y x t v f z y x t u f z y x z z zy zx y yz y yx x yz xy x ρσττρτστρττσq ＝80KN/m ，分别用材料力学有限元解法：U1＝25/9mmU2=40/9mm假设线单元数为3个的情况，平衡方程有3个： i=1时，i=2时, i=3时， )2x (Lx EA q EA x)dx q(L EAN (x)dxu 2xx-=-==⎰⎰X )(L EA q dX du x -==X)(L EAq Eεx x -==)X X (L u )x ( u u 1i i1i i 1i ----+==22 1 a EAqu u 2=-23 2 1 a EAq u u 2u =-+-23 2 aEA2q u u =+-EAqa 25u 21 =EAqa 28u 22=EAqa 29u 23 =U3=5mm. 三．推导题1.推导三节点三角形平面单元的位移函数（16分）2.推导三节点三角形平面单元的单元刚度矩阵（15分）3.在上题基础上分析整体刚度矩阵并计算该平面应力问题。
有限元试题及答案一、选择题1. 有限元方法是一种用于求解工程和物理问题的数值技术，其核心思想是将连续域划分为有限数量的离散子域。
以下哪项不是有限元方法的特点？A. 网格划分B. 边界条件处理C. 局部近似D. 整体求解答案：D2. 在有限元分析中，以下哪项不是网格划分的常见类型？A. 三角形网格B. 四边形网格C. 六边形网格D. 圆形网格答案：D3. 对于线性弹性问题，以下哪种元素类型不适用于有限元分析？A. 线性三角形元素B. 二次三角形元素C. 线性四边形元素D. 三次四边形元素答案：D二、填空题1. 在有限元分析中，单元刚度矩阵的计算通常涉及到单元的_________。
答案：形状函数2. 有限元方法中，边界条件可以分为_________和_________。
答案：Dirichlet边界条件；Neumann边界条件3. 有限元软件通常采用_________方法来求解大型稀疏方程组。
答案：迭代三、简答题1. 简述有限元方法的基本步骤。
答案：有限元方法的基本步骤包括：- 定义问题的几何域和边界条件。
- 将几何域划分为有限数量的小单元。
- 为每个单元定义形状函数。
- 计算单元刚度矩阵和载荷向量。
- 组装全局刚度矩阵和载荷向量。
- 施加边界条件。
- 求解线性方程组，得到节点位移。
- 计算单元应力和应变。
2. 为什么在有限元分析中需要进行网格划分？答案：网格划分是有限元分析中的一个重要步骤，因为它允许将连续的几何域离散化，使得问题可以被数值方法求解。
通过网格划分，可以： - 简化复杂几何形状的分析。
- 适应不同的材料属性和边界条件。
- 提供足够的细节以捕捉应力和位移的局部变化。
- 减少计算复杂度，提高求解效率。
四、计算题1. 假设有一个平面应力问题，已知材料的弹性模量E=210GPa，泊松比ν=0.3。
请计算一个边长为10mm的正方形单元在单轴拉伸下的单元刚度矩阵。
答案：单元刚度矩阵\[ K \]可以通过以下公式计算：\[K = \frac{E}{(1-\nu^2)} \int_{\Omega} \left[ B^T B \right] d\Omega\]其中，\( B \)是应变-位移矩阵，\( \Omega \)是单元的面积。
1.两种平面问题的根本概念和根本方程；答：弹性体在满足一定条件时，其变形和应力的分布规律可以用在某一平面内的变形和应力的分布规律来代替，这类问题称为平面问题。
平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。
平面应力问题设有张很薄的等厚薄板，只在板边上受到平行于板面并且不沿厚度变化的面力，体力也平行于板面且不沿厚度变化。
由于平板很薄，外力不沿厚度变化，因此在整块板上有：，，剩下平行于XY面的三个应力分量未知。
平面应变问题设有很长的柱体，支承情况不沿长度变化，在柱面上受到平行于横截面而且不沿长度变化的面力，体力也如此分布。
平面问题的根本方程为：平衡方程几何方程物理方程〔弹性力学平面问题的物理方程由广义虎克定律得到〕•平面应力问题的物理方程平面应力问题有•平面应变问题的物理方程平面应变问题有在平面应力问题的物理方程中，将E替换为、替换为，可以得到平面应变问题的物理方程；在平面应变问题的物理方程中，将E替换为、替换为，可以得到平面应力问题的物理方程。
2弹性力学中的根本物理量和根本方程；答：根本物理量有：空间弹性力学问题共有15个方程，3个平衡方程，6个几何方程，6个物理方程。
其中包括6个应力分量，6个应变分量，3个位移分量。
平面问题共8个方程，2个平衡方程，3个几何方程，3个物理方程，相应3个应力分量，3个应变分量，2个位移分量。
根本方程有：1.平衡方程及应力边界条件：平衡方程：边界条件：2.几何方程及位移边界条件：几何方程：边界条件：3.物理方程:3.有限元中使用的虚功方程。
对于刚体，作用在其上的平衡力系在任意虚位移上的总虚功为0，这就是刚体的平衡条件，或者称为刚体的虚功方程。
对于弹性变形体，其虚位移原理为：在外力作用下处于平衡的弹性体，当给予物体微小的虚位移时，外力的总虚功等于物体的总虚应变能。
设想一处于平衡状态的弹性体发生了任意的虚位移,相应的虚应变为,作用在微元体上的平衡力系有〔X,Y,Z〕和面力。
外力的总虚功为实际的体力和面力在虚位移上所做的功，即：在物体产生微小虚变形过程中，整个弹性体内应力在虚应变上所做的功为总虚应变能，即：其中为弹性体单位体积内的应力在相应的虚应变上做的虚功，由此得到虚功方程：4.节点位移，单元位移及它们的关系。
有限元考试试题及答案一、简答题（5道，共计25 分）。
1. 有限单元位移法求解弹性力学问题的基本步骤有哪些？（5 分）答：（1）选择适当的单元类型将弹性体离散化；（2）建立单元体的位移插值函数；（3）推导单元刚度矩阵；（4）将单元刚度矩阵组装成整体刚度矩阵；（5）代入边界条件和求解。
2. 在划分网格数相同的情况下，为什么八节点四边形等参数单元精度大于四边形矩形单元？（5 分）答：在对于曲线边界的边界单元，其边界为曲边，八节点四边形等参数单元边上三个节点所确定的抛物线来代替原来的曲线，显然拟合效果比四边形矩形单元的直边好。
3. 轴对称单元与平面单元有哪些区别？（5 分）答：轴对称单元是三角形或四边形截面的空间的环形单元，平面单元是三角形或四边形平面单元；轴对称单元内任意一点有四个应变分量，平面单元内任意一点非零独立应变分量有三个。
4. 有限元空间问题有哪些特征？（5 分）答：（1）单元为块体形状。
常用单元：四面体单元、长方体单元、直边六面体单元、曲边六面体单元、轴对称单元。
（2）结点位移3 个分量。
（3）基本方程比平面问题多。
3 个平衡方程，6 个几何方程，6 个物理方程。
5. 简述四节点四边形等参数单元的平面问题分析过程。
（5）分）答：（1）通过整体坐标系和局部坐标系的映射关系得到四节点四边形等参单元的母单元，并选取单元的唯一模式；（2 ）通过坐标变换和等参元确定平面四节点四边形等参数单元的几何形状和位移模式；（3 ）将四节点四边形等参数单元的位移模式代入平面问题的几何方程，得到单元应变分量的计算式，再将单元应变代入平面问题的物理方程，得到平面四节点等参数单元的应力矩阵；（4）用虚功原理求得单元刚度矩阵，最后用高斯积分法计算完成。
二、论述题（3 道, 共计30 分）。
1. 简述四节点四边形等参数单元的平面问题分析过程。
（10 分）答：（1）通过整体坐标系和局部坐标系的映射关系得到四节点四边形等参单元的母单元，并选取单元的唯一模式；（2）通过坐标变换和等参元确定平面四节点四边形等参数单元的几何形状和位移模式；（3）将四节点四边形等参数单元的位移模式代入平面问题的几何方程，得到单元应变分量的计算式，再将单元应变代入平面问题的物理方程，得到平面四节点等参数单元的应力矩阵；（4）用虚功原理求得单元刚度矩阵，最后用高斯积分法计算完成。
1、何为有限元法？其基本思想是什么？有限元法是一种基于变分法而发展起来的求解微分方程的数值计算方法，该方法以计算机为手段，采用分片近似，进而逼近整体的研究思想求解物理问题。
基本思想是化整为零集零为整。
2、为什么说有限元法是近似的方法，体现在哪里？有两点：用离散单元的组合体来逼近原始结构，体现了几何上的近似；而用近似函数逼近未知变量在单元内的真实解，体现了数学上的近似。
3、单元、节点的概念？节点：表达实际结构几何对象之间相互连接方式的概念单元：网格划分中的每一个小部分称为单元，网格间相互联结点称为节点4、有限元法分析过程可归纳为几个步骤？结构离散化、单元分析、整体分析5、有限元方法分几种？本课程讲授的是哪一种？位移法、力法、混合法本课程讲授位移法6、弹性力学的基本变量是什么？何为几何方程、物理方程及虚功方程？弹性矩阵的特点？弹性力学变量:外力、应力、应变和位移。
描述弹性体应变分量与位移分量之间的方程称为几何方程；物理方程描述应力分量与应变分量之间的关系；弹性体上外力在虚位移发生过程中所做的虚功与储存在弹性体内的需应变能相等。
弹性矩阵由材料的弹性模量和泊松比确定，与坐标位置无关。
7、何为平面应力问题和平面应变问题？平面应力问题：在结构上满足a几何条件：研究对象是等厚度薄板。
b载荷条件：作用于薄板上的载荷平行于板平面且沿厚度方向均匀分布，而在两板面无外力作用。
平面应变问题：满足a几何条件：长柱体，即长度方向的尺寸远远大于横截面的尺寸，且横截面沿长度方向不变。
b载荷条件：作用于长柱体结构上的载荷平行于横截面且沿纵向方向均匀分布，两端面不受力两条件的弹性力学问题。
1、何为结构的离散化？离散化的目的？何为有限元模型？①离散化:把连续的结构看成由有限个单元组成的集合体。
②目的：建立有限元计算模型③通常把由节点,单元及相应的节点载荷和节点约束构成的模型称为有限元模型2、结构离散化时，划分单元数目的多少以及疏密分布，将直接影响到什么？确定单元数量的原则？通常如何设置节点？①单元的数量要根据计算精度的要求和计算机的容量来确定，因此在保证精度的前提，力求采用较少的单元。
有限元考试复习资料（含习题答案）1试说明用有限元法解题的主要步骤。
（1）离散化：将一个受外力作用的连续弹性体离散成一定数量的有限小的单元集合体，单元之间只在结点上互相联系，即只有结点才能传递力。
（2）单元分析：根据弹性力学的基本方程和变分原理建立单元结点力和结点位移之间的关系。
（3）整体分析：根据结点力的平衡条件建立有限元方程，引入边界条件，解线性方程组以及计算单元应力。
（4）求解方程，得出结点位移（5）结果分析，计算单元的应变和应力。
2.单元分析中,假设的位移模式应满足哪些条件,为什么?要使有限元解收敛于真解，关键在于位移模式的选择，选择位移模式需满足准则：（1）完备性准则：（2）连续性要求。
P210面简单地说，当选取的单元既完备又协调时，有限元解是收敛的，即当单元尺寸趋于0时，有限元解趋于真正解，称此单元为协调单元；当单元选取的位移模式满足完备性准则但不完全满足单元之间的位移及其导数连续条件时，称为非协调单元。
3.什么样的问题可以用轴对称单元求解？在工程问题中经常会遇到一些实际结构，它们的几何形状、约束条件和外载荷均对称某一固定轴，我们把该固定轴称为对称轴。
则在载荷作用下产生的应力、应变和位移也都对称此轴。
这种问题就称为轴对称问题。
可以用轴对称单元求解。
4.什么是比例阻尼?它有什么特点?其本质反映了阻尼与什么有关?答:比例阻尼:由于多自由度体系主振型关于质量矩阵与刚度矩阵具有正交性关系，若主振型关于阻尼矩阵亦具有正交性,这样可对多自由度地震响应方程进行解耦分析。
比例阻尼的特点为具有正交性。
其本质上反应了阻尼与结构物理特性的关系。
5.何谓等参单元?等参单元具有哪些优越性?①等参数单元(简称等参元)就是对坐标变换和单元内的参变量函数(通常是位移函数)采用相同数目的节点参数和相同的插值函数进行变换而设计出的一种单元。
①优点:可以很方便地用来离散具有复杂形体的结构。
由于等参变换的采用使等参单元特性矩阵的计算仍在单元的规则域内进行，因此不管各个积分形式的矩阵表示的被积函数如何复杂，仍然可以方便地采用标准化的数值积分方法计算。
1.两种平面问题的基本概念和基本方程；答：弹性体在满足一定条件时，其变形和应力的分布规律可以用在某一平面内的变形和应力的分布规律来代替，这类问题称为平面问题。
平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。
平面应力问题设有张很薄的等厚薄板，只在板边上受到平行于板面并且不沿厚度变化的面力，体力也平行于板面且不沿厚度变化。
由于平板很薄，外力不沿厚度变化，因此在整块板上有：，，剩下平行于XY面的三个应力分量未知。
平面应变问题设有很长的柱体，支承情况不沿长度变化，在柱面上受到平行于横截面而且不沿长度变化的面力，体力也如此分布。
平面问题的基本方程为：平衡方程几何方程物理方程（弹性力学平面问题的物理方程由广义虎克定律得到）•平面应力问题的物理方程平面应力问题有•平面应变问题的物理方程平面应变问题有在平面应力问题的物理方程中，将E替换为、替换为，可以得到平面应变问题的物理方程；在平面应变问题的物理方程中，将E替换为、替换为，可以得到平面应力问题的物理方程。
2弹性力学中的基本物理量和基本方程；答：基本物理量有：空间弹性力学问题共有15个方程，3个平衡方程，6个几何方程，6个物理方程。
其中包括6个应力分量，6个应变分量，3个位移分量。
平面问题共8个方程，2个平衡方程，3个几何方程，3个物理方程，相应3个应力分量，3个应变分量，2个位移分量。
基本方程有：1.平衡方程及应力边界条件：平衡方程：边界条件：2.几何方程及位移边界条件：几何方程：边界条件：3.物理方程:3.有限元中使用的虚功方程。
对于刚体，作用在其上的平衡力系在任意虚位移上的总虚功为0，这就是刚体的平衡条件，或者称为刚体的虚功方程。
对于弹性变形体，其虚位移原理为：在外力作用下处于平衡的弹性体，当给予物体微小的虚位移时，外力的总虚功等于物体的总虚应变能。
设想一处于平衡状态的弹性体发生了任意的虚位移,相应的虚应变为,作用在微元体上的平衡力系有（X,Y,Z）和面力。
外力的总虚功为实际的体力和面力在虚位移上所做的功，即：在物体产生微小虚变形过程中，整个弹性体内应力在虚应变上所做的功为总虚应变能，即：其中为弹性体单位体积内的应力在相应的虚应变上做的虚功，由此得到虚功方程：4.节点位移，单元位移及它们的关系。
（自己写的，没找到答案）答：节点位移：坐标系中各个单元节点在各自的自由度上产生的移动。
单元位移：反应单元内个点的位移量的函数表达。
关系：单元位移可由节点位移差值构造，即通过节点位移构造单元位移函数，从而反应单元内个点的位移。
5.单元位移函数的概念与性质答：由弹性力学知，如果弹性体的位移分量是坐标的己知函数，就可由几何方程求得应变分量，再由弹性方程求得应力分量。
但是，如果仅知道弹性体(或单元)中几个点(例如节点)的位移分量的数值，是不能直接求得其应变分量和应力分量的。
为了能用节点位移分量表示单元上的应变、应力等，首先就必须把单元上任一点的位移分量表示为坐标的某种函数。
当然，这些函数在上述几个节点上的数值，应当等于其己知值。
这种做法，实际上是假定单元上各点按某种模式变形，各点的位移值则是由己知点(节点)按这种模式插值取得。
采用的函数称为位移函数或位移模式。
（对于一个复杂的弹性体，想要用某种连续函数来描述整体内任一点的位移是不大可能的。
但当把弹性体离散化为许多细小的单元，则在一个单元的局部范围内是可以把某一点的位移近似地表达为其坐标函数的，这一表达式就是单元位移模式或者叫单元位移函数。
）性质：1.在单元节点上的形态函数的值为1或者02.在单元中的任一点上，三个形态函数之和等于1.用来计算三角形面积时，要注意单元节点的排列顺序，当三个节点i，j，m取逆时针顺序时，A>0，反之小于0.6.节点力、等效节点力节点力：通过节点来传递的力。
利用虚功方程建立刚度方程，把作用在每个单元上的载荷都移置到各节点之后，各单元所受的力就只有通过节点传递的节点力。
节点力在节点的的虚位移上所做的虚功等于单元内部应力在虚应变上所做的虚功。
等效节点力：按照有限元法的离散思想，外载荷必须作用在节点上，而实际的外载荷由往往并不是通过节点作用的。
因此，必须将这些非节点载荷按照一定的原则移置到节点上，即所谓的等效节点载荷处理。
这种移置必须满足静力等效原则，因为只有这样才能使得这种移置所引起的误差只局限于局部，而不至于影响整体结构的应力状态（圣文南原理）。
通常对刚体而言的静力等效是指移置前后的两个载荷系统在任一轴上的投影之和彼此相等，对任一轴的力矩之和也彼此相等。
但是对于具有三个或者三个以上节点的弹性体单元，若按刚体静力等效原则来移置载荷，其结果不是唯一的。
在有限元法中，是按虚功等效的原则来移置，即移置前的原载荷与移置后的节点载荷在任意虚位移上的虚功相等。
在一定的位移函数下，这样移置的结果是唯一的。
结点位移内部各点位移应变应力结点力(1)单元分析(4)(3)(2)⎫++=y a x a a u 321用结点位移表示单元的应变的表达式为{}⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∂∂+∂∂∂∂∂∂=εm m j j ii m mjjii m j i m j iv u v u v u b c b c b c c 0c 0c 00b 0b 0bA 21x v yu y v x u e}]{B [}{δ=ε[][]mj i B B B B =单元的虚位移可以用结点的虚位移表示为 {}e*δ{}{}eN f **][δ= 由物理方程，可以得到单元的应力表达式为应力矩阵{}[]{}[][]{}eB D D δεσ==[][][]B D S =[][]mj iS S S S ={} 2100010112⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=μμμμE D {} )1(22100011011)21)(1()1(⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----+-=μμμμμμμμμE D 将应力用结点位移表示出有 令 则{}[][]{}e δB D σ={}{}⎰⎰=eTeδy [D][B]tdxd [B]F []⎰⎰=y[D][B]tdxd [B]K Te {}[]{}e e e δK F =8.单元刚度矩阵的物理意义性质物理意义：单位节点的位移分量所引起的节点力。
例如：k m n 是表示当单元第n 个自由度产生单位位移而其他自由度固定时，在第m 个自由度产生的节点力。
（具体参数在PPT 上，没打出来）表示结点S(S=i,j,m)在水平方向、垂直方向产生单位位移时，在结点r(r=i,j,m)上分别所要施加的水平结点力和垂直结点力的大小。
例如表示结点j 在垂直方向产生单位位移时，在结点i 所需要施加的水平结点力的大小。
性质：（1）、[k]e 是对称阵。
其元素之间有如下关系：k rs =k sr ，这一特性是由弹性力学中的功的互等定理所决定的。
（2）、[k]e 是奇异阵。
[k]e 的每一行每一列元素之和均为0，其物理意义就是：在无约束条件下，单元可做刚体运动。
根据行列式性质，可知值也为0。
9.整体刚度矩阵的物理意义性质物理意义：刚度矩阵中的元素是刚度系数，即由单位结点位移引起的结点力。
性质：（1）、总刚度矩阵是对称矩阵。
（2）、总刚度矩阵呈稀疏带状分布。
因为任一节点只与绕它的相邻单元发生联系，所以[k]中的每一行含有大量的零元素，而非零元素往往分布在对角线主元素的附近。
（3）、总刚度矩阵式奇异阵。
10.有限元的基本原理及解题过程；基本原理：有限元法是将连续体理想化成为有限个单元集合而成，这些单元仅在有限个节点上相连接，亦即用有限个单元的集合来代替原来具有无限个自由度的连续体。
由于有限元单元的分割和节点的配置非常灵活，它可以适用于任意复杂的几何形状，处理不同的边界条件。
在有限元单元集合体的基础上，对每一单元假设一个简单的位移函数来近似模拟其位移分布规律，通过虚位移原理求得每个单元的平衡方程，即建立起单元节点力和节点位移之间的关系。
最后把所有的单元的这种特性关系集合起来，就可建立整个物体的平衡方程组。
考虑边界条件后，解此方程组求得节点位移，并计算出各单元应力。
解题过程：（1）、首先绘出结构集合简图，在此基础上将结构离散化。
包括划分单元跟等效节点载荷。
（2）、其次进行单元分析。
计算每个单元的刚度矩阵。
根据各单元所受载荷，利用载荷移置公式，得到每个单元的等效节点力载荷。
（3）、组装总刚度矩阵，组集结构节点载荷矩阵，引入约束条件，解线性方程组，即可求得包括已知节点位移分量在内的全部节点位移。
（4）、最终求得单元应力和节点应力。
整理计算结果并绘制出结构变形图及各种应力分量的等值曲线图。
11.等参元的概念及单元分析过程；首先导出关于局部坐标系的规整形状的单元（母单元）的高阶位移模式的形函数，然后利用形函数进行坐标变换，得到关于整体坐标系的复杂形状的单元（子单元），如果子单元的位移函数插值结点数与其位置坐标变换结点数相等，其位移函数插值公式与位置坐标变换式都用相同的形函数与结点参数进行插值，则称其为等参元12.轴对称三节点三角形单元、四节点四面体单元、8节点六面体单元的形函数、自由度。
答：1、轴对称三节点三角形单元的自由度为6 。
其形函数为：其中2、四节点四面体单元自由度为12 。
其形函数为：其中3、8节点六面体单元自由度为24 。
其形函数为：其中式中,,——单元节点i的坐标。
14. 杆单元与梁单元的区别。
答：按照力学理论，有些杆件可以简化为只能承受轴向力的杆，有些杆件可以简化为既能承受轴向力又能承受弯矩的梁。
在有限元方法中，将模拟杆的单元称为杆单元，将模拟梁的单元称为梁单元。
所以它们的区别就是能否承受弯矩。
15. 杆单元与梁单元的刚度矩阵推导。
16.弹性力学薄板问题的基本假设，基本物理量和基本方程。
答：基本假设：（1）、变形前垂直于中面的直法线在变形后仍是弹性曲面的法线。
（2）、板的中面只发生弯曲变形，没有面内的伸缩变形，即无平行于中面的变形。
（3）、忽略沿厚度方向的挤压变形。
即z方向上应力应变均为0 。
基本物理量及基本方程：（1）位移：（2）应变：（3）应力：（4）内力矩：17.四节点薄板单元（矩形单元）的自由度。
答：矩形板单元有四个角节点，每个节点有三个参数：挠度，以及绕x 、y 轴的转角，所以总共有12个自由度。
18.为什么要引入等参单元的局部坐标系？有什么特点和好处？答：以四节点单元为例，在建立位移模式时出现一个新问题：如果直接用x ，y 坐标系下的双线性位移模式，由于任意四边形单元的边界与坐标轴不平行，因此位移沿边界呈二次函数变化，单元在公共边界上不满足协调性。
因此须建立一种新的局部坐标系ξ-η坐标系，使得4条边上有一个局部坐标为常数（±1），即所谓的局部坐标系。
