中考数学重难点专题讲座
第三讲动态几何问题
【前言】
从历年中考来看，动态问题经常作为压轴题目出现，得分率也是最低的。动态问题一
般分两类，一类是代数综合方面，在坐标系中有动点，动直线，一般是利用多种函数交叉求
解。另一类就是几何综合题，在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对
考生的综合分析能力进行考察。所以说，动态问题是中考数学当中的重中之重，只有完全掌握，才有机会拼高分。在这一讲，我们着重研究一下动态几何问题的解法，
第一部分真题精讲
【例1】(2010，密云，一模)
如图，在梯形A BCD中，AD II BC , AD =3 , DC =5 , BC =10，梯形的高为 4 .动点
M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动•设运动的时间为t (秒).
(1 )当M N II AB时，求t的值；
(2)试探究：t为何值时，△M NC为等腰三角形.
【思路分析1】本题作为密云卷压轴题，自然有一定难度，题目中出现了两个动点，很
多同学看到可能就会无从下手。但是解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没在动，通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解。对于大多数题目来说，都有一个由动转静的瞬间,
就本题而言，M , N是在动，意味着BM,MC以及DN,NC都是变化的。但是我们发现，和这些动态的条件密切相关的条件DC,BC长度都是给定的，而且动态条件之间也是有关系的。
5，
8
所以当题中设定 MN//AB 时，就变成了一个静止问题。由此，从这些条件出发，列出方程,
自然得出结果。
【解析】
解：（1）由题意知，当 M 、N 运动到t 秒时，如图①，过D 作DE II AB 交BC 于E 点,
角形内，将动态问题转化成平行时候的静态问题）
10 —2t t
50 .解得t 10—35 17 【思路分析2】第二问失分也是最严重的，很多同学看到等腰三角形，理所当然以为是
MN=NC 即可，于是就漏掉了 MN=MC,MC=CN 这两种情况。在中考中如果在动态问题当中 碰见等腰三角形，一定不要忘记分类讨论的思想，两腰一底一个都不能少。具体分类以后, 就成为了较为简单的解三角形问题，于是可以轻松求解
【解析】
（2）分三种情况讨论:
① 当M N 二NC 时，如图②作NF _BC 交BC 于F ,则有M C =2FC 即.（利用等腰三角 形底边高也是底边中线的性质）
「sin Z C
二 co s
2 5 解得
t
则四边形 ABED 是平行四边形.
AB II DE , AB II M N
II M N .
（根据第一讲我们说梯形内辅助线的常用做法，成功将 MN 放在三
M C NC
EC C D
（这个比例关系就是将静态与动态联系起来的关键）
10 -2t
3t
=2
②当MN =MC 时，如图③，过M 作MH _CD 于H .
贝V CN =2CH ,
60
・・t
1 7
③当MC =CN 时，
贝U10 -2t =t .
1 0
t =—
3 •
25 60 10 综上所述，当t 、 或一时，△ MNC 为等腰三角形.
8 17 3
【例2】(2010，崇文，一模)
在厶ABC 中，/ ACB=45o .点D (与点B 、C 不重合)为射线 BC 上一动点，连接 AD ,
以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形 ADEF .
(1) 如果AB=AC .如图①，且点 D 在线段BC 上运动.试判断线段 CF 与BD 之间的
位置关系，并证明你的结论.
(2) 如果AB 工AC ,如图②，且点D 在线段BC 上运动.(1)中结论是否成立，为什么？
(3) 若正方形ADEF 的边DE 所在直线与线段 CF 所在直线相交于点 P ,设AC = 4、一？, BC =3 , CD=x ，求线段CP 的长.(用含x 的式子表示
)
・・t -2
3
4
【思路分析1】本题和上题有所不同，上一题会给出一个条件使得动点静止，而本题并 未给出那个“静止点”，所以需要我们去分析由 D 运动产生的变化图形当中，什么条件是不
动的。由题我们发现，正方形中四条边的垂直关系是不动的，
于是利用角度的互余关系进行 传递，
就可以得解。
【解析】： (1)结论：CF 与BD 位置关系是垂直;
证明如下： AB=AC ，/ ACB=45o ，•/ ABC=45o .
由正方形 ADEF 得 AD=AF , v/ DAF= / BAC =90o ,
•••/ DAB= / FAC ,•••△ DAB FAC , /./ ACF= / ABD .
•••/ BCF= / ACB+ / ACF= 90o .即 CF 丄 BD .
【思路分析2】这一问是典型的从特殊到一般的问法，那么思路很简单，就是从一般中
然后一样求解。
(2) CF 丄BD .⑴中结论成立.
理由是：过点 A 作AG 丄AC 交BC 于点G ,• AC=AG
可证：△ GAD CAF •••/ ACF= / AGD=45o
/ BCF= / ACB+ / ACF= 90o . 即 CF 丄 BD
【思路分析3】这一问有点棘手，D 在BC 之间运动和它在 不一样的，
所以已给的线段长度就需要分情况去考虑到底是
利用相似三角形的比例关系即可求出 CP.
(3)过点A 作AQ 丄BC 交CB 的延长线于点 Q ,
构筑一个特殊的条件就行，于是我们和上题一样找 AC 的垂线，就可以变成第一问的条件, BC 延长线上运动时的位置是 4+X 还是4-X 。分类讨论之后 B
