不等式的基本性质教学设计-教案第一章：不等式的概念与基本性质1.1 不等式的定义介绍不等式的概念，理解不等号（>，<，≥，≤）的含义举例说明不等式的表示方法1.2 不等式的基本性质性质1：如果a>b，a+c>b+c（加法性质）性质2：如果a>b且c>0，ac>bc（乘法性质，正数）性质3：如果a>b且c<0，ac<bc（乘法性质，负数）性质4：如果a>b且c≥0，a-c>b-c（减法性质）第二章：不等式的运算2.1 不等式的加减法运算展示不等式的加减法运算规则，举例说明练习题：求解下列不等式组的解集2.2 不等式的乘除法运算介绍不等式的乘除法运算规则，注意正负数的处理练习题：求解下列不等式组的解集第三章：不等式的解法3.1 简单不等式的解法介绍简单不等式的解法，如直接解、移项、合并同类项等练习题：求解下列简单不等式的解集3.2 不等式组的解法介绍不等式组的解法，如图像法、区间法等练习题：求解下列不等式组的解集第四章：不等式的应用4.1 实际问题中的不等式举例说明不等式在实际问题中的应用，如距离问题、分配问题等练习题：解决下列实际问题中的不等式4.2 不等式的优化问题介绍不等式在优化问题中的应用，如最大值、最小值问题练习题：解决下列优化问题中的不等式第五章：不等式的综合练习5.1 不等式的综合应用综合运用不等式的基本性质、运算和解法解决实际问题练习题：解决下列综合应用问题中的不等式5.2 复习与总结复习不等式的概念、基本性质、运算和解法总结不等式的重要性和在数学中的应用第六章：不等式的标准形式6.1 不等式的标准形式介绍不等式的标准形式：x ≤a 或x ≥a说明标准形式在解不等式组中的重要性6.2 标准形式的不等式解法展示如何将不等式转换为标准形式练习题：将给定的不等式转换为标准形式并求解第七章：不等式的绝对值7.1 不等式中的绝对值解释绝对值在不等式中的含义和作用举例说明绝对值不等式的解法7.2 绝对值不等式的解法展示绝对值不等式的解法步骤练习题：求解含有绝对值的不等式第八章：不等式的函数关系8.1 不等式与函数的关系探讨不等式与函数之间的关系举例说明如何通过函数图像解决不等式问题8.2 函数图像下的不等式解法介绍如何利用函数图像求解不等式练习题：利用函数图像解决给定的不等式问题第九章：不等式的不等式系统9.1 不等式系统的概念介绍不等式系统的概念及其解法说明不等式系统在实际问题中的应用9.2 不等式系统的解法展示如何解不等式系统练习题：求解给定的不等式系统第十章：不等式的拓展与应用10.1 不等式的拓展探讨不等式在其他数学领域的应用介绍不等式的相关拓展知识10.2 不等式的实际应用分析不等式在现实生活中的应用练习题：解决实际生活中的不等式问题教案总结：本教案涵盖了不等式的基本概念、性质、运算、解法、应用以及拓展等内容。
bds01_2. 1不等式的基本性质课题名称 2.1不等式的基本性质课时 1 课型新授一教学目标知识与技能：1. 了解不等式的基本性质.2. 会用不等式的基本性质作一些简单的判断.3. 巩固解一元一次不等式（组）的技能，并能正确地写出不等式（组）的解集过程与方法：1. 通过一些生活的实例和情境，使不等式性质更通俗易懂.2.对初中学过的一元一次不等式（组）进行回顾，作好新知识学习的铺垫和衔接.情感态度与价值观：1. 不等式的学习使学习认识自然的一种有效途径，从而更好地为科技创新服务.2.不等量在大千世界中无处不在，通过学习使学生从中发现规律、掌握规律，推动社会的进步与发展.二教学重点与难点教学重点：1. 不等式的基本性质，以及它的简单应用.教学难点：1. 一元一次不等式组的求解，并能用集合表示相应的解集.三教学方法参与式教学和启发式教学相结合. 四教学手段多媒体课件bds01、黑板等.五教学过程【新课导入】不等号的由来:现实世界中存在着大量的不等关系，如何用符号来表示呢? 为了寻求一套表示“大于”或“小于”的符号，数学家们曾绞尽脑汁.英国数学家哈里奥特(T. Harriot，1560—1621)首先创用符号“>”表示“大于”，“<”表示“小于”，这就是现在通用的大于号和小于号.与哈里奥特同时代的数学家们也创造了一些表示大小关系的符号，但都因书写起来十分繁琐而被淘汰.【英】哈里奥特(T. Harriot，1560—1621)当表达一个数(或量)大于或等于另一个数(或量)时，把“>”和“= ”有机地结合起来得到符号“≥”，读做“大于等于”，有时也称为“不小于”. 同样，把符号“≤”读做“小于等于”，有时也称为“不大于”.在现实世界里充满着大小关系：路程的长短、时间的多少、物体的轻重、温度的高低……，这些不等关系时刻围绕在我们的身旁，我们要去面对和处理这些不等关系，因此，处理不等关系与处理等量问题是同样重要的.如图：小陈在家电商场电视机专柜做营销，在他负责的专柜中有A、B、C三款电视机.不等关系举例：以下填写（大于；小于；等于）已知A款价格大于B款价格，1. 若B款价格大于C款价格，则A款价格大于C款价格；2. 若在促销活动中，A、B两款电视机同时降价200元，则降价后的A款价格大于降价后的B款价格；3. 若在促销活动中，A、B两款电视机同时打八折，则打折后的A款价格大于打折后的B款价格.【双基讲解】1. 不等式的三个基本性质（1）若A款价格大于B款价格，B款价格大于C款价格，则A款价格大于C款价格.不等式的传递性，亦即不等式性质1：若a>b，b>c，则a>c.2. 不等式的三个基本性质（2）若A、B两款电视机同时降价200元，则降价后的A款价格> 降价后的B款价格.不等式性质2：不等式的两边同时加上(或减去)同一个实数，不等号的方向不变.亦即：若a>b，则a+m>b+m.3. 不等式的三个基本性质（3）若A、B两款电视机同时打八折，则打折后的A款价格> 打折后的B款价格.不等式性质3：不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；亦即：若a>b，m>0，则am>bm；不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向要改变. 亦即：若a>b，m<0，则am<bm.练一练：用前面学习的不等式性质，看看下面不等式中的x应该是什么范围的数？(1) x-5>0 (2) 0. 5x<8让我们回顾一下：一元一次不等式、一元一次不等式组只含有一个未知数，并且未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式.其解法的一般步骤是：去分母，去括号，移项，化成ax>b(或ax<b)的形式(其中a≠0)，再根据性质3，得到不等式的解.由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组. 不等式组中所有不等式的解集的交集叫做这个不等式的解集. 其解法步骤是：先求出不等式组中每个不等式的解集，然后求出所有不等式解集的交集，就得到这个不等式组的解集.【示范例题】例1 解不等式1122xx->+，并将解集在数轴上表示出来.解去分母，得1122 x x⎛⎫->+⎪⎝⎭去括号，得x-1>2x+1 移项，得-x>2两边同乘以-1，得x< -2所以，原不等式的解集是 (),2-∞-. 例2 解不等式组536263x x x x-<-⎧⎨-≤-⎩，并将解集在数轴上表示出来.解 由原不等式组 536263x x x x -<-⎧⎨-≤-⎩得 2148x x >⎧⎨≤⎩即 122x x ⎧>⎪⎨⎪≤⎩所以，原不等式的解集是1,22⎛⎤ ⎥⎝⎦.【巩固练习】课堂练习2.11. 解下列不等式，并将解集在数轴上表示出来.(1) 2x-3>7 ； (2) 5332x x +>-. 2. 解下列不等式组，并将解集在数轴上表示出来.(1) 215312x x +>-⎧⎨->⎩； (2)3026x x x-<⎧⎨≤-⎩； (3) 932163x x ->⎧⎪-⎨>⎪⎩； (4) 1253351x x x x -<-⎧⎨->+⎩.六 课堂小结1. 不等式及其三个基本性质：性质1：若a >b ， b >c ，则a >c ；性质2：若a >b ，则a +m >b +m ；性质3：若a >b ，m >0，则am >bm ；若a >b ，m <0，则am <bm .2. 一元一次不等式的解法.3. 一元一次不等式组的解法.七布置作业由老师根据学生的具体情况灵活布置八教学后记根据上课的具体情况，由老师书写教案编制人：王冬波。
不等关系与不等式要点一、符号法则与比较大小实数的符号：任意x R ∈，则0x >（x 为正数）、0x =或0x <（x 为负数）三种情况有且只有一种成立. 两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质：①两个同号实数相加，和的符号不变：符号语言：0,00a b a b >>⇒+>；0,00a b a b <<⇒+<②两个同号实数相乘，积是正数：符号语言：0,00a b ab >>⇒>；0,00a b ab <<⇒>③两个异号实数相乘，积是负数符号语言：0,00a b ab ><⇒<④任何实数的平方为非负数，0的平方为0符号语言：20x R x ∈⇒≥，200x x =⇔=.比较两个实数大小的法则：对任意两个实数a 、b①0b a b a ->⇔>；②0b a b a -<⇔<；③0b a b a -=⇔=.对于任意实数a 、b ,a b >,a b =,a b <三种关系有且只有一种成立.要点二、不等式的性质不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分基本性质有：(1) 对称性：a>b b<a ⇔(2) 传递性：a>b, b>c a>c ⇒(3) 可加性：a b a c b c >⇔+>+ (c ∈R)(4) 可乘性：a>b ，⎪⎩⎪⎨⎧<⇒<=⇒=>⇒>bc ac c bc ac c bc ac c 000运算性质有：(1) 可加法则：,.a b c d a c b d >>⇒+>+(2) 可乘法则：,a b>0c d>0a c b d>0>>⇒⋅>⋅(3) 可乘方性：0,,10n n a b n N n a b +>>∈>⇒>>(4)可开方性：a b 0,n N ,n 1+>>∈>>要点三、比较两代数式大小的方法作差法：任意两个代数式a 、b ，可以作差a b -后比较a b -与0的关系，进一步比较a 与b 的大小. ①0b a b a ->⇔>；②0b a b a -<⇔<；③0b a b a -=⇔=.作商法：任意两个值为正的代数式a 、b ，可以作商a b ÷后比较a b与1的关系，进一步比较a 与b 的大小. ①1b a a b>⇔>；②1b a a b<⇔<； ③1b a a b =⇔=. 中间量法：若a>b 且b>c ，则a>c （实质是不等式的传递性）.一般选择0或1为中间量.利用函数的单调性比较大小若两个式子具有相同的函数结构，可以利用相应的基本函数的单调性比较大小.作差比较法的步骤：第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化为“积”；第三步：定号，就是确定差是大于、等于还是小于0；最后下结论.【典型例题】类型一：用不等式表示不等关系例1.某人有楼房一幢，室内面积共2180m ，拟分割成大、小两类房间作为旅游客房，大房间面积为218m ， 可住游客5人，每名游客每天住宿费40元；小房间每间面积为215m ，可住游客3人，每名游客每天住宿费50元；装修大房间每间需要1000元，装修小房间每间需要600元，如果他只能筹款8000元用于装修，试写出满足上述所有不等关系的不等式.【解析】假设装修大、小客房分别为x 间，y 间，根据题意，应由下列不等关系：（1） 总费用不超过8000元（2） 总面积不超过2180m ；（3） 大、小客房的房间数都为非负数且为正整数.即有：**1800(0(100060080001815))x x N y y N x y x y ≤≥∈≥∈+≤⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩ 即**600(0(534065))x x N y y N x y x y ≤≥∈≥∈+≤⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩此即为所求满足题意的不等式组举一反三：【变式】某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 两种.按照生产的要求，600mm 的数量不能超过500mm 钢管的3倍.怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢？【答案】假设截得500 mm 的钢管 x 根，截得600mm 的钢管y 根.根据题意，应有如下的不等关系：（1）截得两种钢管的总长度不超过4000mm ;（2）截得600mm 钢管的数量不能超过500mm 钢管数量的3倍；（3）截得两种钢管的数量都不能为负.要同时满足上述的三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：类型二：不等式性质的应用例2．已知22ππαβ-≤<≤，求2αβ+，2αβ-的取值范围．【解析】 因为22ππαβ-≤<≤，所以424παπ-≤<，424πβπ-<≤. 两式相加，得222παβπ+-<<. 因为424πβπ-<≤，所以424πβπ-≤-<，则222παβπ--≤<. 又α＜β，所以02αβ-<，则022παβ--≤<.举一反三：【变式1】【变式】已知23,14a b <<<<，求（1）,a b - (2)a b的取值范围.【答案】（1）22a b -<-<；（2）132a b<<【变式2】已知实数x ，y 满足1311x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩，则4x+2y 的取值范围是________。
2.1等式性质与不等式性质（二）1.请你梳理等式的基本性质,写出它的对称性、传递性、加减性、乘除性的关系式.(1)对称性:如果a=b,那么;(2)传递性:如果a=b,b=c,那么;(3)加减性:如果a=b,那么;(4)可乘性:如果a=b,那么;(5)可除性:如果a=b,c≠0,那么.2.类比等式的基本性质,你能猜想不等式的性质，并加以证明吗？(1)对称性:(2)传递性:证明：（3）可加性:证明：几何解释：由性质3可得：不等式中任何一项可以改变符合后移到不等式的另一侧。
因为：（4）可乘性:证明：（5）同向可加性：证明：（6）同向同正可乘性：证明：（7）可乘方性：试用文字语言叙述上述性质。
例1、对于实数a,b,c,判断下列结论是否正确:(1)若a>b,则ac2>bc2;(2)若a<b<0,则a2>ab>b2;(3)若c>a>b>0,则;(4)若a>b,,则a>0,b<0;(5)若a<b<0,则.变式训练一：：判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.①在一个不等式的两边同乘一个非零实数,不等式仍然成立.()②同向不等式具有可加性和可乘性.()③若两个数的比值大于1,则分子上的数就大于分母上的数.()④当x>-3时,一定有<-. ()⑤若a>b,则. ()例2、若a>b>0,c<d<0,e<0,求证:.变式训练二：已知a,b,x,y都是正数,且,x>y,求证:.例3如果3<a<7,1<b<10,试求a+b,3a-2b,的取值范围变式训练三：已知-4≤a-b≤-1,-1≤4a-b≤5,求9a-b的取值范围.巩固练习：3.若a>b,则下列各式正确的是()A.a-2>b-2B.2-a>2-bC.-2a>-2bD.a2>b24.(多选题)若a>b,x>y,则下列不等式错误的是()A.a+x>b+yB.a-x>b-yC.ax>byD.5.若实数a、b满足条件a>b,则下列不等式一定成立的是()A. B.a2>b2 C.ab>b2 D.a3>b36.已知a,b,c满足c<b<a,且ac<0,则下列选项不一定成立的是()A. B.>0 C. D.<09.某学习小组,调查鲜花市场价格得知,购买2只玫瑰与1只康乃馨所需费用之和大于8元,而购买4只玫瑰与5只康乃馨所需费用之和小于22元.设购买2只玫瑰花所需费用为A元,购买3只康乃馨所需费用为B元,则A,B的大小关系是()A.A>BB.A<BC.A=BD.A,B的大小关系不确定10.用不等号填空:(1)若a>b,则ac2bc2.(2)若a+b>0,b<0,则b a.(3)若a>b,c<d,则a-c b-d.11.已知1≤a≤2,3≤b≤6,则3a-2b的取值范围为.12.若-≤α<β≤,则的取值范围为.13.已知三个不等式:①ab>0;②;③bc>ad.以其中两个作条件,余下一个为结论,能组成哪几个正确的不等式命题?14.设f(x)=ax2+bx,且1≤a-b≤2,2≤a+b≤4,求4a-2b的取值范围.15.已知a>b>0,c<d<0.求证:.。
