2018届江苏省常州高三上学期期末数学(理)试题(解析版)

2018届江苏省常州高三上学期期末数学（理）试题一、填空题1．若集合{}2,0,1A =-， {}2| 1 B x x =>，则集合A B ⋂=________.【答案】{}2-【解析】由题意，得{}2,0,1A =-， {}()()2| 1 ,11,B x x ∞∞=>=--⋃+，则{}2A B ⋂=-.2．命题“[]0,1x ∃∈， 210x -≥”是________命题（选填“真”或“假”）. 【答案】真【解析】当1x =时， 210x -≥成立，即命题“[]0,1x ∃∈， 210x -≥”为真命题. 3．若复数z 满足221z i z ⋅=+（其中i 为虚数单位），则z =________. 【答案】1【解析】设i,,z a b a b =+∈R ，则由22i 1z z ⋅=+，得2222i 1b a a b -+=++， 则2221{20b a b a -=++=，解得0{1a b ==-，即i z =-，即1z =.4．若一组样本数据2015， 2017， x ， 2018， 2016的平均数为2017，则该组样本数据的方差为【答案】2【解析】因为该组样本数据的平均数为2017，所以201520172018201620175x ++++=，解得2019x =，则该组样本数据的方差为()()()()()222221201520172015S ⎡⎤=-+-+-+-+-⎣⎦1025==. 5．如图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是________.【答案】7【解析】由程序框图，得运行过程如下： 23624,3;4642,5A n A n =======；5306422017,7A n ==>=，结束循环，即输出的n 的值是7.6．函数()1ln f x x=的定义域记作集合D ，随机地投掷一枚质地均匀的正方体骰子（骰子的每个面上分别标有点数1， 2， ⋅⋅⋅， 6），记骰子向上的点数为t ，则事件“t D ∈”的概率为________.【答案】56【解析】要使函数()1ln f x x=有意义，则ln 0x ≠且0x >，即0x >且1x ≠，即()()0,11,D =⋃+∞，随机地投掷一枚质地均匀的正方体骰子，记骰子向上的点数为t ，则{}1,2,3,4,5,6t ∈，则事件“t D ∈”的概率为56P =. 7．已知圆锥的高为6，体积为8，用平行于圆锥底面的平面截圆锥，得到的圆台体积是7，则该圆台的高为_______.【答案】3【解析】设该圆台的高为h ，由题意，得用平行于圆锥底面的平面截圆锥，得到的小圆锥体积是1，则6162h -==，解得3h =，即该圆台的高为3. 点睛：本题考查圆锥的结构特征；在处理圆锥的结构特征时可记住常见结论，如本题中用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面的面积之比是两个圆锥高的比值的平方，所得两个圆锥的体积之比是两个圆锥高的比值的立方．8．各项均为正数的等比数列{}n a 中，若234234a a a a a a =++，则3a 的最小值为________.【解析】因为{}n a 是各项均为正数的等比数列，且234234a a a a a a =++，所以33324a a a a -=+，则3332432a a a a a -=+≥=，即()23330a a -≥，即2333,a a ≥≥3a点睛：本题考查等比中项和基本不等式的应用；在处理等比数列中，往往考查等比数列的性质的应用，如：在等比数列{}n a 中，若2m n p q t +=+=，则2m n p q t a a a a a ==.9．在平面直角坐标系xOy 中，设直线l ： 10x y ++=与双曲线C ： 22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线都相交且交点都在y 轴左侧，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是________.【答案】(【解析】易知双曲线C ： 22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线方程为by x a =±，联立10{x y by xa++==，得a x a b =-+，联立10{ x y by xa++==-，得a x b a =-，由题意，得0a b a <-，即a b >，c >，即1ca <<，即双曲线C 的离心率e的取值范围是(.10．已知实数x ， y 满足0,{220, 240,x y x y x y -≤+-≥-+≥则x y +的取值范围是________.【答案】4,83⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】令x y z +=，将x y z +=化为y x z =-+，作出可行域和目标函数基准直线y x =-（如图所示），当直线y x z =-+向右上方平移时，直线y x z =-+在y 轴上的截距z 增大，由图象，得当直线y x z =-+过点2233A （，）时， z 取得最小值43，当直线y x z =-+过点()44B ，时， z 取得最大值8，即x y +的取值范围为483⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.11．已知函数()ln f x bx x =+，其中b R ∈，若过原点且斜率为k 的直线与曲线()y f x =相切，则k b -的值为________.【答案】1e【解析】因为()ln f x bx x =+，所以()1f x b x'=+，设过原点且斜率为k 的直线与曲线()y f x =相切于点()000,ln x bx x +，则切线方程为()()00001ln y bx x b x x x ⎛⎫-+=+- ⎪⎝⎭，因为该切线过原点，所以()()000ln 1bx x bx -+=-+，解得00ln 1,e x x ==，即1ek b =+，即1ek b -=.点睛：本题考查导数的几何意义；在利用导数的几何意义求曲线的切线时，要注意“曲线在某点处的切线”和“过某点的切线”的区别，“在某点处的切线”，即该点就是切点，且在曲线上，但“过某点的切线”，则该点不一定在曲线上，且也不一定是切点.12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数()sin y x ωϕ=+ (0,0)ωϕπ><<的图像与x 轴的交点A ， B ，C 满足2OA OC OB +=，则ϕ=________.【答案】34π【解析】不妨设0x ωϕ+=， πx ωϕ+=， 2πx ωϕ+=，得π2π,,B A C x x x ϕϕϕωωω--=-==，由2OA OC OB +=，得3π22ϕϕωω-=，解得3π4ϕ=.13．在ABC ∆中， 5AB =， 7AC =， 3BC =， P 为ABC ∆内一点（含边界），若满足()14BP BA BC R λλ=+∈，则BA BP ⋅的取值范围为________．【答案】525,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】由余弦定理，得2225371cos 2532B +-==-⨯⨯，因为P 为ABC ∆内一点（含边界），且满足()14BP BA BC R λλ=+∈，所以30,4λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则14BA BP BA BA BC λ⎛⎫⋅=⋅+ ⎪⎝⎭212515525,44284BA BA BC λλ⎡⎤=+⋅=-∈⎢⎥⎣⎦. 14．已知ABC ∆中，AB AC == ABC ∆所在平面内存在点P 使得22233PB PC PA +==，则ABC∆面积的最大值为__________．【解析】设2BC a =，以BC 所在直线为x 轴、其中垂线OA 所在直线为y 轴建立直角坐标系（如图所示），则()()(,0,,0,B a C a A -，设(),P x y ，由22233PB PCPA +==，得222((3{(1x x yy y x +++=+=，即22222232{31x y a x y a +=-+-+-=，则2722{ 11a y -=≤≤，则()()222323aa --≤-+即()()2227232232a a a --≤-≤-+解得a ≤，即241232ABC S a a a ∆=⨯=-，即ABC ∆.二、解答题15．已知ABC ∆中， a ， b ， c 分别为三个内角A ， B ， C 的对边，sin cos +C c B c =，（1）求角B ；（2）若2b ac =，求11tan tan A C+的值. 【答案】(1) 3B π=；(2)【解析】试题分析：（1）先由正弦定理将边角关系转化为角角关系，再利用配角公式进行化简求解；（2）由正弦定理将边边关系转化为角角关系，再利用同角三角函数基本关系式、两角和的正弦公式进行求解. 试题解析：（1sin cos C B c =+sin cos sin sin B C B C C ==，ABC ∆中， sin 0C >cos 1B B -=，所以1sin 62B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 5666B πππ-<-<，66B ππ-=，所以3B π=；（2）因为2b ac =，由正弦定理得2sin sin sin B A C =，11tan tan A C += cos cos sin sin A C A C += cos sin sin cos sin sin A C A C A C + ()sin sin sin A C A C+= ()sin sin sin B A C π-= sin sin sin BA C =所以211sin 1tan tan sin sin B A C B B +==== . 16．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形， PC ⊥平面ABCD ， PB PD =，点Q 是棱PC 上异于P 、C 的一点.（1）求证： BD AC ⊥；（2）过点Q 和AD 平面截四棱锥得到截面ADQF （点F 在棱PB 上），求证： //QF BC .【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析. 【解析】试题分析：（1）先利用面面垂直的性质和等腰三角形的“三线合一”得到线线垂直，再利用线面垂直的判定定理证明线面垂直，进而得到线线垂直；（2）先利用线面平行的判定定理证明线面平行，再利用线面平行的性质定理进行证明. 试题解析：（1）证明： PC ⊥平面ABCD ， BD ⊂平面ABCD ，所以BD PC ⊥，记AC ， BD 交于点O ，平行四边形对角线互相平分，则O 为BD 的中点，又PBD ∆中， PB PD =，所以BD OP ⊥，又P C O P P ⋂=， PC ， OP ⊂平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC ，又AC ⊂平面PAC 所以BD AC ⊥；（2）四边形ABCD 是平行四边形，所以//AD BC ，又AD ⊄平面PBC ， BC ⊂平面PBC ，所以//AD 平面PBC ，又AD ⊂平面ADQF ，平面ADQF ⋂平面PBC QF =，所以//AD QF ，又//AD BC ，所以//QF BC .17．已知小明（如图中AB 所示）身高1.8米，路灯OM 高3.6米， AB ， OM 均垂直于水平地面，分别与地面交于点A ， O .点光源从M 发出，小明在地上的影子记作'AB .（1）小明沿着圆心为O ，半径为3米的圆周在地面上走一圈，求'AB 扫过的图形面积； （2）若3OA =米，小明从A 出发，以1米/秒的速度沿线段1AA 走到1A ， 13OAA π∠=，且110AA =米. t 秒时，小明在地面上的影子长度记为()f t （单位:米），求()f t 的表达式与最小值.【答案】(1) 27π平方米；(2) ()f t =， 010t <≤，当32t =（秒）时， ()f t（米）.【解析】试题分析：（1）先由线线平行得到比例线段，再利用圆的面积公式进行求解；（2）先利用余弦定理得到函数表达式，再利用二次函数的最值问题进行求解. 试题解析：（1）由题意//AB OM ，则' 1.81' 3.62AB AB OB OM ===， 3OA =，所以'6OB =， 小明在地面上的身影'AB 扫过的图形是圆环，其面积为226327πππ⨯-⨯=（平方米）；（2）经过t 秒，小明走到了0A 处，身影为00'A B ，由(1)知000'12A B AB OB OM ==，所以 ()000'f t A B OA ===化简得()f t =， 010t <≤， ()f t =，当32t =时， ()f t.答： ()f t =， 010t <≤，当32t =（秒）时， ()f t（米）.18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ： 22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F ，点A 是椭圆的左顶点，过原点的直线MN 与椭圆交于M ， N 两点（M 在第三象限），与椭圆的右准线交于P 点.已知AM MN ⊥，且243OA OM b ⋅=.（1）求椭圆C 的离心率e ； （2）若103AMN POE S S a ∆∆+=，求椭圆C 的标准方程. 【答案】(1)e =(2) 22182x y +=. 【解析】试题分析：（1）联立方程，得到交点坐标，再利用平面向量的数量积求出椭圆的离心率；（2）先利用（1）结果写出M 的坐标和右准线方程，写出直线MN 的方程，得到相关点的坐标，利用三角形的面积公式进行求解.试题解析：（1）由题意22222221{ 22x y a ba a x y +=⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，消去y 得22220c x ax b a ++=，解得1x a =-， 222ab x c =- 所以22M ab x c =- (),0a ∈-， M A OA OM x x ⋅= 22243ab a b c ==， 2234c a =，所以e =（2）由（1）2,3M b ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，右准线方程为x =， 直线MN的方程为y =，所以P ⎫⎪⎪⎝⎭， 12POF P S OF y ∆=⋅2== 2AMN AOM S S ∆∆==22M OA y b ⨯==，所以22103a =，2203b =，所以b =a =椭圆C 的标准方程为22182x y +=.19．已知各项均为正数的无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1a a =（其中a 为常数），()()111n n nS n S n n +=+++ ()*n N ∈.数列{}n b满足)*n b n N =∈.（1）证明数列{}n a 是等差数列，并求出{}n a 的通项公式；（2）若无穷等比数列{}n c 满足：对任意的*n N ∈，数列{}n b 中总存在两个不同的项s b ， t b ()*,s t N ∈使得s n t b c b ≤≤，求{}n c 的公比q .【答案】(1) 22n a n a =-+；(2) 1q =.【解析】试题分析：（1）仿写式子，两式相减得到212n n a a ++=+，利用等差数列的定义和通项公式进行求解；（2）构造数列，利用递减数列得到取值范围，利用数列是特殊的函数，利用导数研究其单调性，利用s n t b c b ≤≤确定公比的取值.试题解析：（1）方法一：因为()()111n n nS n S n n +=+++①， 所以()()()()211212n n n S n S n n +++=++++②，由②-①得， 21(+1)S n n n nS ++- ()()()12121n n n S n S n +=+-+++， 即()21n n S ++= ()()()122121n n n S n S n ++-+++，又10n +>， 则2122n n n S S S ++=-+，即212n n a a ++=+.在()()111n n nS n S n n +=+++中令1n =得， 12122a a a +=+，即212a a =+. 综上，对任意*n N ∈，都有12n n a a +-=， 故数列{}n a 是以2为公差的等差数列. 又1a a =，则22n a n a =-+.方法二：因为()()111n n nS n S n n +=+++，所以111n nS S n n+=++，又11S a a ==， 则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以a 为首项， 1为公差的等差数列， 因此1nS n a n=-+，即()21n S n a n =+-. 当2n ≥时， 122n n n a S S n a -=-=-+，又1a a =也符合上式，故()*22n a n a n N =-+∈.故对任意*n N ∈，都有12n n a a +-=，即数列{}n a 是以2为公差的等差数列.（2）令12122n n n a e a n a+==+-+，则数列{}n e 是递减数列，所以211n e a <≤+. 考察函数1(1)y x x x =+>，因为22211'10x y x x-=-=>，所以1y x x =+在()1,+∞上递增，因此()14222n n e e a a <+≤++，从而n b =∈⎝.因为对任意*n N ∈，总存在数列{}n b 中的两个不同项s b ， t b ，使得s n t b c b ≤≤，所以对任意的*nN ∈都有n c ∈⎝，明显0q >.若1q >，当1log n ≥+时，有111n n n c c q--=>≥若01q<<，当1log n ≥+时， 有11n n c c q -=≤1n -≤故1q =.20．已知函数()()2ln xf x x a =+，其中a 为常数.（1）若0a =，求函数()f x 的极值；（2）若函数()f x 在()0,a -上单调递增，求实数a 的取值范围；（3）若1a =-，设函数()f x 在()0,1上的极值点为0x ，求证： ()02f x <-.【答案】(1)当x = ()f x 的极大值为12e，无极小值；(2) 122a e -≤-；(3)证明见解析.【解析】试题分析：（1）求导，利用导函数的符号变化得到函数的单调性，进而得到函数的极值；（2）求导，将函数在某区间上单调递增转化为导函数非负恒成立，分离参数，构造函数，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题；（3）连续两次求导，分别通过研究导函数的符号变化研究函数的极值，再作差构造函数，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，再利用求导进行求解. 试题解析：（1）当0a =时， ()ln xf x x=，定义域为()0,+∞， ()312ln 'xf x x -=，令()'0f x =，得x =xf  x 0, e 0e1 2ee , f '  x极大值 当 x  e 时， f  x  的极大值为1 ，无极小值. 2ea  2lnx x （2） f '  x   ，由题意 f '  x   0 对 x   0, a  恒成立. 3  x  a 1x   0, a  ，   x  a   0 ，3 1a  2lnx  0 对 x   0, a  恒成立， x a  2 xlnx  x 对 x   0, a  恒成立.令 g  x   2xlnx  x ， x   0, a  ，则 g '  x   2lnx  1， ①若 0   a  e 1 2，即 0  a  e1 2，则 g '  x   2lnx  1  0 对 x   0, a  恒成立， g  x   2xlnx  x 在  0, a  上单调递减，则 a  2  a  ln  a    a  ， 0  ln  a  ，  a  1 与 a  e ②若  a  e 当0  x  e 当e 1 2  1 2 1 2  1 2矛盾，舍去；，即 a  e1 2，令 g '  x   2lnx  1  0 ，得 x  e1 2，时， g '  x   2lnx  1  0 ，  g  x   2xlnx  x 单调递减， x  a 时， g '  x   2lnx  1  0 ，  g  x   2xlnx  x 单调递增， 1 2当 x  e时，   g  x   min  g  e 1 21 1     1  1 2 2 2   2e  ln  e   e  2e 2 ，    a  2e .综上 a  2e .（3）当 a  1 时， f  x  1 21 2lnx x  12， f ' x x  1  2 xlnx x  x  13，令 h  x   x 1  2xlnx ， x   0,1 ， 则 h '  x   1  2  lnx 1  2lnx  1 ，令 h '  x   0 ，得 x  e 1 2，①当 e1 21     x  1 时， h '  x   0 ， h  x   x 1 2xlnx 单调递减， h  x    0, 2e 2  1 ，   f ' x x  1  2 xlnx x  x  1 1 23 1  单调递减，且 f  x   f  e 2  .  0 恒成立，  f  x   2    x  1lnx②当 0  x  e时， h '  x   0 ， h  x   x 1  2xlnx 单调递增，1 1    1  1  1  2 2 2 2  h  e   e  1  2e  ln  e   2e 2  1  0    2  e 2  1  2e 2  ln e 2 又h e  5 1  0 ， e2 1   存在唯一 x0   0, e 2  ，使得 h  x0   0 ，  f '  x0   0 ，  当 0  x  x0 时， f '  x0   0 ，  f  x  1 2lnx x  12单调递增，当 x0  x  e时， f '  x0   0 ，  f  x  lnx x  12单调递减，且 f  x   f  e 1 2 ， 由①和②可知， f  x  lnx x  1lnx2在  0, x0  单调递增，在  x0 ,1 上单调递减， 当 x  x0 时， f  x   x  12取极大值.h  x0   x0 1 2x0lnx0  0 ，  lnx0  f  x0   lnx0x0  1 ， 2 x0 x0  121 1 ，  2 2 x0  x0  1 1 1  2  x0    2 2 2 1    1 1 1  1   2 又 x0   0, 2e  ，  2  x0       ,0  ，  f  x0    2 . 2 2 2  2   1 1    2  x0    2 2 21．在 【答案】中，N 是边 AC 上一点，且 .，AB 与的外接圆相切，求的值．【解析】试题分析：记 试题解析：记外接圆为 ，利用圆的切割线定理和相似三角形进行求解. 、 分别是圆 的切线和割线，所以 ，外接圆为 ，又，所以与相似，所以，所以， 22．已知矩阵 A  . 4 2  不存在逆矩阵，求：  a 1（1）实数 a 的值； （2）矩阵 A 的特征向量. 【答案】(1) a  2 ；(2)答案见解析. 【解析】试题分析： （1）根据题意，将问题转化为行列式为 0 进行求解； （2）利用特征向量的定义进行求解. 试题解析： （1）由题意42  0 ，即 4  2a  0 ，解得 a  2 ； a1（2） 4 2  0 ，即    4  1  4  0 ，所以  2  5  0 ，解得 1  0 ， 2  5 2   14 x  2 y  0 2 x  y  0 x  2y  0 2 x  4 y  0， y  2 x ，属于 1  0 的一个特征向量为 1  0 时， {1 ；  2 2  5 时， {， x  2 y ，属于 1  0 的一个特征向量为   .2 1 23．在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线 C 的参数方程为{x  2cos  1   （  为参数） ，直线 l 的极坐标方程为  sin      2 ，直线 l 与曲线 C 交于 M ， N 两 y  2sin 4 点，求 MN 的长. 【答案】 14 . 【解析】试题分析：先消参得到曲线的直角坐标方程，利用极坐标和直角坐标方程的互化公式得到直线的直角 坐标方程，再利用弦长公式进行求解. 试题解析：曲线 C ： x  12 y2  4 ， 直 线 l ：x  y  2  0 ， 圆 心 C 1, 0  到直线 l 的距离为d1 0  2 12  121 2 2 2 ，所以弦长 MN  2 r  d  2 4   14 . 2 2a 3  b3  ab . a 2  b224．已知 a  0 ， b  0 ，求证:【答案】证明见解析. 【解析】试题分析：利用排序不等式进行证明. 试 题 解 析 ： 证 明 ： a  0 ， b  0 ， 不 妨 设 a  b  0 ， 则 a2  b2 ， a2  b2 ， 由 排 序 不 等 式 得5 5 1 1a a b b a b b a   ab . 2 2 a b a 2  b2 25．已知正四棱锥 P  ABCD 的侧棱和底面边长相等，在这个正四棱锥的 8 条棱中任取两条，按下列方式定义a a  b b  a b  b a ，所以5 2 1 2 5 2 1 2 5 2 1 2 5 2 1 25 21 25 21 25 21 25 21 2随机变量  的值： 若这两条棱所在的直线相交，则  的值是这两条棱所在直线的夹角大小（弧度制） ； 若这两条棱所在的直线平行，则   0 ； 若这两条棱所在的直线异面，则  的值是这两条棱所在直线所成角的大小(弧度制). （1）求 P   0 的值； （2）求随机变量  的分布列及数学期望 E   . 【答案】(1)1 ；(2)答案见解析. 14【解析】试题分析：先利用题意得到几何体的结构特征，写出变量的所有可能求值，写出基本事件数； （1）利 用古典概型的概率公式进行求解； （2）列表得到分布列，再利用期望公式进行求解. 试题解析：根据题意，该四棱锥的四个侧面均为等边三角形，底面为正方形，容易得到 PAC ， PBD 为等 腰直角三角形，  的可能取值为： 0 ， 有 3  4  2  4  20 种；   （1） P   0   （2） P   2   2 ， ，共 C8  28 种情况，其中：   0 时，有 2 种；   时， 3 2 3时，有 2  4  6 种；2 1  ； 28 14 4  16 5  6 3   ， P      ，  3 28 7 2  28 14 根据（1）的结论，随机变量的分布列如下表：P01 14 35 7 23 14根据上表， E    0  26． 记  x  1   x  （1）求 Sn ； （2）若1  5  3 29      . 14 3 7 2 14 84 1 1  * 2 的展开式中含 x 项的系数为 Sn ， 含 x 项的系数为 Tn .    x  （ n  2 且 n  N ） 2 n  Tn  an 2  bn  c ，对 n  2,3, 4 成立，求实数 a, b, c 的值； Sn（3）对（2）中的实数 a, b, c 用数字归纳法证明：对任意 n  2 且 n  N * ，Tn  an2  bn  c 都成立. Snn 1 2 ；(2) a  1 ， b   1 ， c   1 ；(3)证明见解析. 【答案】(1) S n  4 12 6  n  1!【解析】试题分析： （1）利用多项式相乘和组合数公式进行求解； （2）代入前三项，得到关于 a, b, c 的三元一 次方程组进行求解； （3）利用数学归纳法进行求解.n 1 1  2    n 2 .  试题解析： （1） S n  n!  n  1!（2）T2 2 T 11 T 7  ， 2  ， 4  ， S3 6 S2 3 S4 23  4a  2b  c 2 11 则{  9a  3b  c 6 7  16a  9b  c 2解得 a 1 1 1 ， b ， c ， 4 12 6（3）①当 n  2 时，由（2）知等式成立；* ②假设 n  k （ k  N ，且 k  2 ）时，等式成立，即Tk 1 2 1 1  k  k ； Sk 4 12 6当 n  k  1 时，由 f  x    x  1   x  1 1  1       x     x   2 k  k 1  1  1  1    [ x  1   x      x  ]   x   k  k 1  2   1  1     Sk x  Tk x 2    x   k 1   k! k 1  1 1 2 1 1  1 Tk  2 1  k  k   ， 知 Tk 1  S k   k 1 12 6   k  1!  k  1  4所以Tk 1 S k 1k 1 2 1  1  1 k 2  1 k  1     k  3k  5  k  1!  12 6   k  3k 2  k  2   k 1  4   ，  k  1     12  k 11  k 2 12     2  k!又k  3k  5  1 1 1 2 ，等式也成立；  k  1   k  1   4 12 6 12Tn  an2  bn  c 成立. Sn综上可得，对任意 n  2 且 n  N * ，都有。