正余弦定理复习课件-PPT课件

题型一 利用正弦定理、余弦定理解三角形
【例 1】 (1)在△ABC 中，已知 a＝2，b＝ 6，A＝45°，
则满足条件的三角形有( )
A．1 个
B．2 个
C．0 个
D．无法确定
(2)在△ABC 中，已知 sin A∶sin B＝ 2∶1，c2＝b2＋ 2bc， 则三内角 A，B，C 的度数依次是________．
π A＝ 3 .
由题意得21bcsin A＝3sain2 A，a＝3，所以 bc＝8. 由余弦定理得 b2＋c2－bc＝9， 即(b＋c)2－3bc＝9.由 bc＝8，得 b＋c＝ 33. 故△ABC 的周长为 3＋ 33.
【思维升华】 (1)对于面积公式 S＝21absin C＝21acsin B＝12 bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．
π 又 0<B<π，∴B＝ 3 . (2)因为 a＝2，c＝ 2， 所以由正弦定理可知，sin2 A＝sin2C， 故 sin A＝ 2sin C.
又B＝π－(A＋C)， 故sin B＋sin A(sin C－cos C) ＝sin(A＋C)＋sin Asin C－sin Acos C ＝sin Acos C＋cos Asin C＋sin Asin C－sin Acos C ＝(sin A＋cos A)sin C ＝0. 又C为△ABC的内角， 故sin C≠0， 则sin A＋cos A＝0，即tan A＝－1.
又 A∈(0，π)，所以 A＝3π 4 .
从而
sin
C＝
1 2sin
A＝
22×
22＝12.
由 A＝3π 4 知 C 为锐角，故 C＝π6 .
故选 B.
π 【答案】 (1) 3 (2)B

2
2
5
10
(2)[2021全国卷乙]记△ ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，面积为
3 ， B ＝60°， a 2＋ c 2＝3 ac ，则 b ＝
1
2
[解析] 由题意得 S △ ABC ＝ ac sin B ＝
2 2
3
ac ＝
4
.
3 ，则 ac ＝4，所以 a 2＋ c 2＝3 ac ＝
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
a＜b sinA
解的个数
无解
a＝b sinA
⑪ 一解
b sin A＜a＜b
⁠
⑫
两解
⁠
a≥b
⑬ 一解
⁠
a＞b
a≤b
一解
无解
3. 三角形中常用的面积公式
△ ABC 中，角 A ， B ， C 对应的边分别为 a ， b ， c .则：
1
(1) S ＝ ah ( h 表示边 a 上的高)；
(2，8) .
⁠
2 + 1 > 0，
1
[解析] ∵2 a ＋1， a ，2 a －1是三角形的三边，∴ > 0，
解得 a ＞ .显然2 a
2
2 − 1 > 0，
＋1是三角形的最大边，则要使2 a ＋1， a ，2 a －1构成三角形，需满足 a ＋2 a －1
＞2 a ＋1，解得 a ＞2.设最大边对应的角为θ(钝角)，则 cos θ＝
(
D )
A. 1
B. 2
C. 5
D. 3
[解析] 由余弦定理得 AC 2＝ AB 2＋ BC 2－2 AB ·BC ·cos B ，得 BC 2＋2 BC －15＝

87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。 爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格] 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根] 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔·普劳斯特] 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。――[罗丹] 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰] 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候――。[叔本华] 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。――[梭罗] 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。――[威廉·彭] 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔·卡内基] 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。――[约翰·罗伯克] 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳·厄尔曼] 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝·C·科尔顿] 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔·卡内基] 110.每天安静地坐十五分钟·倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。――[艾瑞克·佛洛姆] 111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。－－[坎伯] 112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。――[布鲁克斯] 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根·皮沙尔·史密斯] 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。

(3)△ABC的三边分别为m，n，√m2+mn+n2，求△ABC的最大角；
(4)在△ABC中，b=12,∠A=30°，∠B=120°，求边c.
【举一反三】

1. 在△ABC中，b=2，c= ，∠B= ，求∠C；

2. 在△ABC中，a=32，b=16 ，A=2B，求边c；
3. 在△ABC中，a=5，b=3，a、b两边夹角的余弦是方程5x2-7x-6=0其中一根 , 求边c；
a
b
c
________=________=________=2R
sinA
sinB
sinC
正弦定理的应用：
(1)已知两角和一边，求其他元素；
(2)已知两边和其中一边所对的角，求其他元素.
三、三角形的面积
三角形的面积，等于它的任意两边及其夹角的正弦乘积的一半.
1 bcsinA
1 absinC
1 acsinB
(2)在△ABC中，a=2 ，c= ，∠B=105°，则S△ABC=__________；
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题型3
判断三角形的形状
【例3】 在△ABC中，判断以下情况三角形的形状：
(1)a=10 ，b=5，c=9 ；
(2)sin2A+sin2B=sin2C ；
(3)a:b:c= : : ；


4. 在△ABC中，a=1，c= ，cosC= ，求(1)sin(A+B)的值；(2)b的值.
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题型2
三角形面积公式的应用


【例2】在△ABC中，∠B= ，a= ，b=12，则△ABC的面积是________；