y s
y(t)
s=-k(y+y s )
w=mg F(t)=-m y
§1 单自由度体系的自由振动
一、无阻尼的自由振动：
如下图，以单自由度体系为例，设此梁上的集中质量为m ，其重量为W mg =，梁由于质量的重力引起的质量处的静力位移用s y 表示，与s y 相应的质量位置称为质量的静力平衡位置。若此质量受到扰动离开了静力平衡位置，当扰动除去后，则体系将发生振动，这样的振动称为体系的自由振动。由于振动的方向与梁轴垂直，故称为横向振动。在此，只讨论微小振幅的振动，由振动引起的内力限于材料的弹性极限以内，用以表示质量运动的方程将为线性微分方程。
1、建立运动方程
建立运动方程常用的基本原理是达朗伯原理（亦称惯性力法或动静法）。
今考虑在振动过程的某一瞬时t ，设质量在此瞬时离开其平衡位置的位移为y ，取质量为隔离体，则在质量上作用有三种力：质量的重量W ，杆件对质量的弹性恢复力S 和惯性力F(t)。根据达朗伯原理，这三个力应成平衡，即 W+S+F(t)＝0 （1） 在弹性体系中，弹性恢复力S 为 ()s k y y s =-+
上式中的K 为一常数，称为刚度系数，代表简支梁上使质量在运动方向产生单位位移时需要加在质量上的沿质量运动方向的集中力的量值。式中负号表示s 的指向和位移的方向相反。
而 1
y s W k
=⋅ 即 y s W k =⋅
因此，将()s k y y s =-+和y s W k =⋅代入式（1）得
()0F t ky =-+ （2）
上式表明，如果以静力平衡位置作为计算位移的起点，则建立体系的运动方程时，可以不考虑重力W 的影响。这对其他体系的振动（包括受迫振动）也同样适用。
将22()d y
F t m dt =-代入式（2）得：
22()0d y
m ky t dt
+= 令2
k m ω= dy
y dt
= （速度） 22d y y dt =（加速度） 则 22()0d y
m ky t dt
+= 可变为 20y y ω+= （3）
此为单自由度体系无阻尼自由振动的运动方程，它反映了这种振动的一般规律。
若采用柔度法建立运动方程（建立位移方程），以静力平衡位置作
为计算位移的起点，则梁在质量m 处除惯性力22()d y
F t m dt
=-这个假想的
外荷载作用外，再无其他外力作用。所以由达朗伯原理可知，梁在集中质量m 处任一运动瞬时的位移为
22()()d y y t F t m dt δδ==- 即 1
()0m y y t δ
+= （4）
式中δ为一常数，代表简支梁上集中质量处在质量的运动方向作用单位荷载时所产生的静力位移。δ称为结构的柔度系数，它与刚度系数k 的关系为 1k
δ= 则（4）式可变为 20y y ω+=
式中 21k
m m ωδ=
= 与建立质量动平衡方程所得的结果相同。 2、运动方程的解
式（3）为二阶常系数线性微分方程，其通解为
12()cos sin y t c t c t ωω=+ （5） 取()y t 对时间的一阶导数，则该体系在任一瞬时的速度为 12()()sin s y t v t c t c co t ωωωω==-+ 式中的常数1c 和2c 可由初始条件得出。
设0t =时，0(0)y y = 0(0)v v = 则10c y = 0
2v c ω
=
代入（5）得
0()cos sin v y t y t t ωωω
=+
（6）
00()sin cos y t y t v t ωωω=-+ （7） 在以上各式中，0y 及0v 各称为初始位移和初速度。 式（6）也可写成单项式：
()sin()y t A t ωε=+ （8） 再将其展开得：
()sin cos cos sin y t A t A t ωεωε=+ （9）
比较（6）和（9）得
0sin y A ε=
cos v A εω
=
2A = 00
arctan(
)y v ωε= 式()sin()y t A t ωε=+表示一简谐振动，A 代表最大的位移，称为振幅；ε称为初相角，最大位移的初相角均决定于质量的初位移及初速度。在简谐振动中，位移、速度和加速度等物理量均按正弦或余弦规律变化，而正弦或余弦函数是周期函数，所以它们都是周期振动，每经历一定时间，结构出现前后同一运动状态（包括位置、速度等）所需的时间间隔称为振动周期，用符号T 表示。
由式（8）可知，在时间由t 经过2T π
ω
=
以后，该式变为
2()sin ()sin()y t A t A t πωεωεω⎡⎤
=++=+⎢⎥⎣⎦
即在时间由t 经过2T π
ω
=后，结构出现前后相同的运动状态，故周期T
为2T π
ω
=，单位为秒。
令1
f T
=
，f 为频率。则2f ωπ=，ω称为圆频率，也为自振频率。
据2k
m ω=
得
ω==== 此为单自由度体系无阻尼自由振动时自振频率的计算公式。由上式可以看出，自振频率只与反映结构固有属性的结构刚度和质量有关，而与外界引起自由振动的初始条件无关，所以也常将自振频率称为固有频率。结构在振动过程中的许多动力特性，都与反映结构固有属性的自振频率
