第4章序列特征分析讲解

第 4 章谱分析方法§1 绪论一．时间序列模型：通过分析自相关就获得描述与预测时间序列可能够用模型的第一印象。

如 y t - f y t- 1 = a t 这里 y t 与 y t- 1相关性较大，而与 y t- 2 相关较弱，为什么？二．分析时间序列的两种方法频谱法，时间序列法-Box Jenkins 方法三．时间序列模型的五个特征(最重要的)描述趋势有多种方法1．趋势y t = a + dt+ m t t = 1,2, , n 确定性趋势y t - y t- 1 = d+ m t - m t- 1 随机趋势2．季节性： y t- y t-1= a1D1,t+a2D2,t+...+a s D s,t+ m t t = 1,2, ............... , nD s,t 是季节哑变量，定义为T= 1,2, .. , ND s,t=1，t=(T- 1)S+s， S = 1,2,..., SD s,t = 0 其它3．异常观测值异常观测值：在时间序列中，可能有一个或几个点，会对时间序列的建模与预测起到重要的作用。

这样的数据点称为奇异观测值。

4．条件异方差异常观测值倾向于成群出现，这个现象称为波动性集聚( vilatility clustering ) 条件异方差22(y t- y t-1) =a+r(y t-1- y t-2) +m t t= 3,4,..., n5．非线性：状态依赖——机制转换特征§2 谱分析一．时间序列分析的方法1 时序分析方法：也就是时序建模方法，ARMA 等，也就是原序列的时间顺序不变。

2 频谱建模方法：单变量频谱建模技术就是时间序列看作是有不同频率的正弦和余弦波组成。

其基本思想是：把时间序列看作是互不相关的周期(频率)分量的叠加，通过研究和比较各分量的周期变化，以充分揭示时间序列的频域结构，掌握其主要波动特征。

做法：对某个时间序列剔除趋势和季节因素后的循环项(平稳)进行谱估计，根据估计出的普密度函数，找出序列中的主要频率分量，从而把 握该序列的周期波动特征。

第四章 ARMA模型的特性
4.1 格林函数和平稳性
一、线性常系数差分方程及其解的一般形式 先回忆线性常系数微分方程及其解的结构：
y(t ) a0 y(t ) u(t )
可转化为
y(t ) u(t ) y(t 1) a0 1 a0 其中 a0
将上述方程中的近似号改为等号，实数t改为自然数k， a0’就用a0表示，则得到一阶线性常系数差分方程
它的特征方程为： n an1 n1 ... a1 a0 0
设特征方程有不相等n个根
1, 2 ,..., n
k C ii i 1 n
则齐次方程的通解为：y (k )
若特征方程有一个l 重根，不妨设为 1 ... l 则齐次方程的通解为:
y(k ) (C1 C2 k ... Cl k l 1 )1k Ci ik
1 1 2 1 , C2 , C1 C2 1 C1 1 2 2 1 C1 C2 于是 X t at 1 1 B 1 2 B
j j j j C1 (1B) C2 (2 B) at C11 C22 at j j 0 j 0 j 0 G j at j
即：
X a
j 0

j 1 t j

k

t
t k 1
ak
上式右端是驱动函数at 的线性组合，显示了系统对现在以 及过去扰动的记忆
若
1 1，则
随着 j 的增大而缓慢减小，表明系统的记忆较强；
1j
若
1 0 ，则
随着 j 的增大而急剧减小，表明系统的记忆较弱； 客观地描述了系统的动态性

Lyapunov Exponents
f
• Quantifies separation in time between trajectories, assuming rate of growth (or decay) is exponential in time, as: n
1 i lim ln( eig J(p)) n n p 0
估计吸引子维数的算法，需要大量的数据点作为输入，当这些点的 输入被选择为最大化的包含吸引子信息情况下，输入数据点的数量可以减 少。（由Holzfuss和Mayer—kress 1986年提出） 重构相空间所需要解决的关键问题，就是确定重构维数m。 在重构相空间维数未知的情况下，可用以下方法获得： 令 nr 为重构空间的维数。首先把nr （或m）设置为1，计算重构吸引子 的维数Dcap，然后增加 nr （或m）的大小，并重复计算重构吸引子的维数 Dcap,直到Dcap不再改变为止（如曹书p103），最后的Dcap是正确的相 关维数，产生正确的Dcap的最小 nr (m) 即重构空间的最小维数m.
Time delay embedding
Differs from traditional experimental measurements
Provides detailed information about degrees of freedom beyond the scalar measured Rests on probabilistic assumptions - though not guaranteed to be valid for any particular system Reconstructed dynamics are seen through an unknown “smooth transformation” Therefore allows precise questions only about invariants under “smooth transformations” It can still be used for forecasting a time series and “characterizing essential features of the dynamics that produced it”

随机序列模型

（2）采用信息准则法判别模型阶数


在实际应用中，很难利用自相关函数来确定模型的合 理阶数。较为简便的方法是，所选定的阶数应使得信 息准则的数值达到最小。 对于信息准则，一般应用赤池（Akaike）准则信息准 则（AIC）和许瓦兹（Schwarz）贝叶斯信息准则 (SBIC)。
随机序列模型

3、参数估计

对一个 A R ( p ) 模型，我们常用条件最小二乘法来估计其参数， 条件最小二乘是从第 p 1 个观测值开始的。

4、模型验证

对实际数据所时拟合的模型，要仔细地验证它的合理性。若模 型是合理的，其残差序列应该是白噪声。残差的样本自相关函 数和Ljung-Box统计量可用来检验 t 与一个白噪声的接近程度。 A模型， R ( p ) Ljung-Box统计量 Q 渐进服从自由度为 (m ) 对 m-p的 2 分布。如果所拟合的模型经经验验证是不合理的，那么就需要 对它进行修正。

随机序列模型

一、自回归模型（AR）

若一个时间序列可表示为 y y t 0 1 t 1 t
（4.12）
2


E(t ) 0 ， v a r(t ) t 为白噪声， 其中， ，则称 r t 为一阶自回归过 程，或简称为 A R (1) 。 自回归模型是时间序列 y t 表示为它的先前值与一个误差项 t 的线 p 是自回归参数，它表明每 1 、 2 ， ， 性函数。在p阶自回归中， 改变一个单位时间值时，对 y t 所产生的影响，它是根据样本观测 值来估计的参数。
随机序列模型


[案例说明4-1]上证指数收益率的AR建模