2017-2018学年宁夏银川唐徕回民中学高一下学期期中考试数学试题 Word版缺答案

2017-2018学年宁夏银川市唐徕回民中学高二（下）月考数学试卷（文科）一、选择题（共60分）1．有这样一段演绎推理“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误2．作直线运动的某物体，其位移s与时间t的关系为s=3t﹣t2，t∈[0，+∞），则其初速度为（）A．0 B．3 C．﹣2 D．3﹣2t3．函数y=x4﹣2x2+5的单调减区间为（）A．（﹣∞，﹣1）及（0，1）B．（﹣1，0）及（1，+∞）C．（﹣1，1）D．（﹣∞，﹣1）及（1，+∞）4．执行如图所示的程序框图，则输出的S值为（）A．3 B．6 C．7 D．105．设复数z1=2﹣i，z2=1﹣3i，则复数+的虚部等于（）A．1 B．﹣1 C．D．﹣6．定义A*B，B*C，C*D，D*A的运算分别对应下图中的（1），（2），（3），（4），那么，图中A，B可能是下列（）的运算的结果．A．B*D，A*D B．B*D，A*C C．B*C，A*D D．C*D，A*D7．某公司要在某一规划区域内筹建工厂，拆迁与工程设计可同时进行，如果工程设计分为土建设计与设备采购两个部分，两者可同时进行；拆迁和土建设计进行完才能进行厂房建设，厂房建设和设备采购进行完才能进行设备安装调试，最后才能进行试生产．上述过程的工序流程图如图．则设备采购，厂房建设，土建设计，设备安装与图中①②③④处正确的对应次序应为（）A．①②③④B．①④②③C．②③①④D．①③②④8．利用独立性检验来考虑两个分类变量X和Y是否有关系时，通过查阅下表来确定断言“X 和Y有关系”的可信度，如果k＞5.024，那么就有把握认为“X和Y有关系”的百分比为（）P（K2＞k）0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.0050.001k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.87910.828A．25% B．75% C．2.5% D．97.5%9．已知函数f（x）=ax3﹣x2+x﹣5在（﹣∞，+∞）上既有极大值，也有极小值，则实数a 的取值范围为（）A．a＞B．a≥C．a＜且a≠0 D．a≤且a≠0 10．如果圆柱的轴截面周长为定值4，则圆柱体积的最大值为（）A．πB．πC．πD．π11．函数f（x）=lnx﹣x2的极值情况为（）A．无极值B．有极小值，无极大值C．有极大值，无极小值D．不确定12．某考察团对全国10大城市进行职工人均工资水平x（千元）与居民人均消费水平y（千元）统计调查发现，y与x具有相关关系，回归方程为=0.66x+1.562．若某城市居民人均消费水平为7.675（千元），估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为（）A．83% B．72% C．67% D．66%二、填空题（共20分）13．在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y=x3﹣10x+3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线斜率为2，则点P的坐标为．14．若a1，a2，a3，a4∈R+，有以下不等式成立：，，．由此推测成立的不等式是．（要注明成立的条件）15．在同一坐标系中，将曲线4x2+9y2=36变为曲线x′2+y′2=1的伸缩变换是．16．已知函数f（x）=﹣x3+ax在区间（﹣1，1）上是增函数，则实数a的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知复数z1满足（z1﹣2）（1+i）=1﹣i（i为虚数单位），复数z2的虚部为2，且z1•z2是实数，求z2．18．已知x∈R，a=x2﹣1，b=2x+2．求证a，b中至少有一个不小于0．1）求直线与圆ρ=2ccosθ（c＞0）相切的条件；（2）求曲线θ=0，和ρ=4所围成图形的面积．20．在2013年春节期间，某市物价部门，对本市五个商场销售的某商品一天的销售量及其价格进行调查，五个商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：价格x 9 9.5 10 10.5 11销售量y 11 10 8 6 5通过分析，发现销售量y对商品的价格x具有线性相关关系．（1）求销售量y对商品的价格x的回归直线方程；（2）欲使销售量为12，则价格应定为多少．附：在回归直线中，=﹣．21．若函数f（x）=ax3﹣bx+4，当x=2时，函数f（x）有极值为，（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（x）=k有3个解，求实数k的取值范围．22．已知函数f（x）=x2+lnx．（1）求函数f（x）在[1，e]上的最大值和最小值；（2）求证：当x∈（1，+∞）时，函数f（x）的图象在g（x）=x3+x2的下方．2014-2015学年宁夏银川市唐徕回民中学高二（下）3月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共60分）1．有这样一段演绎推理“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误考点：进行简单的演绎推理．专题：阅读型．分析：本题考查的知识点是演绎推理的基本方法及整数的，在使用三段论推理证明中，如果是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误，我们分析的其大前提的形式：“有些…”，不难得到结论．解答：解：∵大前提的形式：“有些有理数是真分数”，不是全称，∴不符合三段论推理形式，∴推理形式错误，故选C．点评：演绎推理的主要形式就是由大前提、小前提推出结论的三段论推理．三段论推理的依据用集合论的观点来讲就是：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S 中所有元素都具有性质P．三段论的公式中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况；这两个判断联合起来，揭示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断结论．演绎推理是一种必然性推理，演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系．因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论．2．作直线运动的某物体，其位移s与时间t的关系为s=3t﹣t2，t∈[0，+∞），则其初速度为（）A．0 B．3 C．﹣2 D．3﹣2t考点：实际问题中导数的意义．专题：计算题．分析：因为物体运动的瞬时速度是位移s与时间t的函数的导数，所以对位移公式求导，而初速度就是时间取第一个值0时的瞬时速度，所以只需求出t等于0时的瞬时速度即可．解答：解：∵位移s与时间t的关系为s=3t﹣t2，∴s′=3﹣2t，当t=0时，s′=3，∴物体的初速度为3故选B点评：本题主要考查导数的物理意义，物体运动的瞬时速度是位移s与时间t的函数的导数．3．函数y=x4﹣2x2+5的单调减区间为（）A．（﹣∞，﹣1）及（0，1）B．（﹣1，0）及（1，+∞）C．（﹣1，1）D．（﹣∞，﹣1）及（1，+∞）考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的概念及应用．分析：先求出函数的导数，通过讨论x的范围，从而求出函数的递减区间．解答：解：y′=4x3﹣4x=4x（x+1）（x﹣1），x∈（﹣∞，﹣1）时，y′＜0，x∈（﹣1，0）时，y′＞0，x∈（0，1）时，y′＜0，x∈（1，+∞）时，y′＞0，∴函数的递减区间是（﹣∞，﹣1），（0，1），故选：A．点评：本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道基础题．4．执行如图所示的程序框图，则输出的S值为（）A．3 B．6 C．7 D．10考点：程序框图．专题：操作型．分析：根据已知的框图，可知程序的功能是利用循环累加循环变量n的值到累加变量S，并在循环变量n值大于3时，输出累加结果．解答：解：当n=0时，S=0，不满足退出循环的条件，n=1；当n=1时，S=1，不满足退出循环的条件，n=2；当n=2时，S=3，不满足退出循环的条件，n=3；当n=3时，S=4，不满足退出循环的条件，n=4；当n=1时，S=10，满足退出循环的条件，故输出的S值为10故选D点评：本题考查的知识点是程序框图，当程序的运行次数不多时，我们多采用模拟程序运行的方法得到程序的运行结果．5．设复数z1=2﹣i，z2=1﹣3i，则复数+的虚部等于（）A．1 B．﹣1 C．D．﹣考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：根据复数的基本运算进行化简即可．解答：解：∵z2=1﹣3i，∴，则+==+==，则复数+的虚部等于1，故选：A．点评：本题主要考查复数的基本运算，比较基础．6．定义A*B，B*C，C*D，D*A的运算分别对应下图中的（1），（2），（3），（4），那么，图中A，B可能是下列（）的运算的结果．A．B*D，A*D B．B*D，A*C C．B*C，A*D D．C*D，A*D考点：进行简单的合情推理．专题：探究型．分析：根据已知图象与运算的关系，进行必要的分析归纳，找出规律，猜想未知的图象与运算的关系．解答：解：通过观察可知：A表示“﹣”，B表示“□”，C表示“|”，D表示“○”，图中的（A）、（B）所对应的运算结果可能是B*D，A*C，故选B．点评：本题考查的是归纳推理的应用，方法是根据已知图象与运算的关系，进行必要的分析归纳，找出规律，猜想未知的图象与运算的关系，属于中档题．归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性（猜想）．7．某公司要在某一规划区域内筹建工厂，拆迁与工程设计可同时进行，如果工程设计分为土建设计与设备采购两个部分，两者可同时进行；拆迁和土建设计进行完才能进行厂房建设，厂房建设和设备采购进行完才能进行设备安装调试，最后才能进行试生产．上述过程的工序流程图如图．则设备采购，厂房建设，土建设计，设备安装与图中①②③④处正确的对应次序应为（）A．①②③④B．①④②③C．②③①④D．①③②④考点：流程图的作用．专题：算法和程序框图．分析：根据题意，得出该工程的工序流程图是设备采购→土建设计→厂房建设→设备安装→设备调试→试生产，由此得出正确的选项．解答：解：根据题意知，工程设计分为土建设计与设备采购两个部分；拆迁和土建设计进行完才能进行厂房建设，厂房建设和设备采购进行完才能进行设备安装，进行设备调试，最后才能进行试生产；所以，上述过程的工序流程图是设备采购→土建设计→厂房建设→设备安装→设备调试→试生产．故选：D．点评：本题考查了工序流程图的应用问题，是基础题目．8．利用独立性检验来考虑两个分类变量X和Y是否有关系时，通过查阅下表来确定断言“X 和Y有关系”的可信度，如果k＞5.024，那么就有把握认为“X和Y有关系”的百分比为（）P（K2＞k）0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.0050.001k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.87910.828A．25% B．75% C．2.5% D．97.5%考点：独立性检验的应用．专题：计算题．分析：根据所给的观测值，与所给的临界值表中的数据进行比较，而在观测值表中对应于5.024的是0.025，有1﹣0.025的把握认为“X和Y有关系”，得到结果．解答：解：∵k＞5、024，而在观测值表中对应于5.024的是0.025，∴有1﹣0.025=97.5%的把握认为“X和Y有关系”，故选D．点评：本题考查独立性检验的应用，是一个基础题，这种题目出现的机会比较小，但是一旦出现，就是我们必得分的题目．9．已知函数f（x）=ax3﹣x2+x﹣5在（﹣∞，+∞）上既有极大值，也有极小值，则实数a 的取值范围为（）A．a＞B．a≥C．a＜且a≠0 D．a≤且a≠0考点：利用导数研究函数的极值．专题：导数的概念及应用．分析：先求导函数，根据函数在区间（﹣∞，+∞）内既有极大值，又有极小值，故导函数为0的方程有不等的实数根，可求实数a的取值范围．解答：解：求导函数：f′（x）=3ax2﹣2x+1，∵函数f（x）=ax3﹣x2+x﹣6既有极大值又有极小值，∴a≠0，且△=4﹣12a＞0，∴a＜且a≠0．故选：C．点评：本题的考点是函数在某点取得极值的条件，主要考查学生利用导数研究函数极值的能力，关键是将问题转化为导函数为0的方程有不等的实数根．10．如果圆柱的轴截面周长为定值4，则圆柱体积的最大值为（）A．πB．πC．πD．π考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：空间位置关系与距离．分析：设圆柱的底面半径为r，高为h，则4r+2h=4，即2r+h=2，利用基本不等式，可求圆柱体积的最大值．解答：解：设圆柱的底面半径为r，高为h，则4r+2h=4，即2r+h=2，∴2r+h=r+r+h≥3，∴r2h≤（）3，∴V=πr2h≤π，∴圆柱体积的最大值为π，故选：A．点评：本题考查圆柱的体积，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．11．函数f（x）=lnx﹣x2的极值情况为（）A．无极值B．有极小值，无极大值C．有极大值，无极小值D．不确定考点：利用导数研究函数的极值．专题：导数的概念及应用．分析：求出函数定义域，在定义域内解方程y′=0，再判断方程根左右两侧导数的符号，据极值定义可作出判断．解答：解：函数的定义域为（0，+∞），y′=﹣2x=，令y′=0，得x=，当0＜x＜时，y′＞0，当x＞时，y′＜0，所以当x=时函数取得极大值，没有极小值，故选：C．点评：本题考查利用导数研究函数函数的极值，属基础题，正确理解导数与函数极值的关系是解决问题的基础．12．某考察团对全国10大城市进行职工人均工资水平x（千元）与居民人均消费水平y（千元）统计调查发现，y与x具有相关关系，回归方程为=0.66x+1.562．若某城市居民人均消费水平为7.675（千元），估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为（）A．83% B．72% C．67% D．66%考点：线性回归方程．专题：阅读型．分析：把y=7.675代入回归直线方程求得x，再求的值．解答：解：当居民人均消费水平为7.675时，则7.675=0.66x+1.562，即职工人均工资水平x≈9.262，∴人均消费额占人均工资收入的百分比为×100%≈83%．故选：A．点评：本题考查了回归直线方程的应用，熟练掌握回归直线方程变量的含义是解题的关键．二、填空题（共20分）13．在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y=x3﹣10x+3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线斜率为2，则点P的坐标为（﹣2，15）．考点：导数的几何意义．专题：导数的概念及应用．分析：先设切点P（x0，y0）（x0＜0），根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=x0处的导数，从而求出切线的斜率，建立方程，解之即可．解答：解：设P（x0，y0）（x0＜0），由题意知：y′|x=x0=3x02﹣10=2，∴x02=4．∴x0=﹣2，∴y0=15．∴P点的坐标为（﹣2，15）．故答案为：（﹣2，15）点评：本题考查了导数的几何意义，以及导数的运算法则和已知切线斜率求出切点坐标，本题属于基础题．14．若a1，a2，a3，a4∈R+，有以下不等式成立：，，．由此推测成立的不等式是（当且仅当a1=a2=…=a n时取等号）．（要注明成立的条件）考点：归纳推理．专题：推理和证明．分析：根据所给的几个不等式归纳出左边、右边的规律，根据此规律可归纳出第n个不等式．解答：解：由题意得，，，，…，观察可得：每个不等式的左边是n个数的平均数，右边n次根号下n个数之积，∴可归纳出第n个不等式：，故答案为：（当且仅当a1=a2=…=a n时取等号）．点评：本题考查归纳推理，难点是根据能够找出式子之间的内在规律，考查观察、分析、归纳的能力，是基础题．15．在同一坐标系中，将曲线4x2+9y2=36变为曲线x′2+y′2=1的伸缩变换是．考点：伸缩变换．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：曲线4x2+9y2=36可化为，利用将曲线4x2+9y2=36变为曲线x′2+y′2=1，即可得出结论．解答：解：曲线4x2+9y2=36可化为，∵将曲线4x2+9y2=36变为曲线x′2+y′2=1，∴，故答案为：．点评：本题考查函数的图象变换，曲线4x2+9y2=36化为，是解题的关键．16．已知函数f（x）=﹣x3+ax在区间（﹣1，1）上是增函数，则实数a的取值范围是a≥3．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：计算题．分析：根据函数f（x）=﹣x3+ax在区间（﹣1，1）上是增函数，转化成f′（x）=﹣3x2+a≥0，在区间（﹣1，1）上恒成立，然后利用参数分离法将a分离得a≥3x2，使x∈（﹣1，1）恒成立即可求出a的范围．解答：解：由题意应有f′（x）=﹣3x2+a≥0，在区间（﹣1，1）上恒成立，则a≥3x2，x∈（﹣1，1）恒成立，故a≥3．故答案为：a≥3．点评：函数在开区间上的单调增可转化成其导函数恒大于等于0，单调减可转化成其导函数恒小于等于0，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知复数z1满足（z1﹣2）（1+i）=1﹣i（i为虚数单位），复数z2的虚部为2，且z1•z2是实数，求z2．考点：复数代数形式的混合运算．专题：计算题．分析：利用复数的除法运算法则求出z1，设出复数z2；利用复数的乘法运算法则求出z1•z2；利用当虚部为0时复数为实数，求出z2．解答：解：∴z1=2﹣i设z2=a+2i（a∈R）∴z1•z2=（2﹣i）（a+2i）=（2a+2）+（4﹣a）i∵z1•z2是实数∴4﹣a=0解得a=4所以z2=4+2i点评：本题考查复数的除法、乘法运算法则、考查复数为实数的充要条件是虚部为0．18．已知x∈R，a=x2﹣1，b=2x+2．求证a，b中至少有一个不小于0．考点：反证法与放缩法．专题：反证法．分析：假设a＜0，b＜0，则a+b＜0，又a+b=x2﹣1+2x+2=x2+2x+1=（x+1）2≥0，这与假设所得结论矛盾，故假设不成立．解答：证明：假设a，b中没有一个不小于0，即a＜0，b＜0，所以a+b＜0．又a+b=x2﹣1+2x+2=x2+2x+1=（x+1）2≥0，这与假设所得结论矛盾，故假设不成立，所以，a，b中至少有一个不小于0．点评：本题考查用反证法证明数学，推出矛盾是解题的关键．1）求直线与圆ρ=2ccosθ（c＞0）相切的条件；（2）求曲线θ=0，和ρ=4所围成图形的面积．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）直线，化为ax+by=1，圆ρ=2ccosθ（c＞0）化为ρ2=2cρcosθ，利用可得直角坐标方程．利用直线与圆相切的充要条件、点到直线的距离公式即可得出．（2）曲线θ=0，和ρ=4所围成图形是如图所示的扇形．利用扇形的面积计算公式即可得出．解答：解：（1）直线，化为ax+by=1，圆ρ=2ccosθ（c＞0）化为ρ2=2cρcosθ，化为x2+y2=2cx，配方为：（x﹣c）2+y2=c2．可得圆心（c，0），半径r=c．∵直线与圆相切，∴=c，化为b2c2+2ac=1．（2）曲线θ=0，和ρ=4所围成图形是如图所示的扇形．∴=．点评：本题考查了圆的极坐标方程、直线的极坐标方程、直线与圆相切的充要条件、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．在2013年春节期间，某市物价部门，对本市五个商场销售的某商品一天的销售量及其价格进行调查，五个商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：价格x 9 9.5 10 10.5 11销售量y 11 10 8 6 5通过分析，发现销售量y对商品的价格x具有线性相关关系．（1）求销售量y对商品的价格x的回归直线方程；（2）欲使销售量为12，则价格应定为多少．附：在回归直线中，=﹣．考点：线性回归方程．专题：计算题；概率与统计．分析：（1）首先做出两组数据的平均数，利用最小二乘法得到线性回归方程的系数，写出线性回归方程；（2）令y=﹣3.2x+40=12，可预测销售量为12件时的售价．解答：解：（1）由题意知=10，=8，∴b==﹣3.2，a=8﹣（﹣3.2）×10=40，∴线性回归方程是y=﹣3.2x+40；（2）令y=﹣3.2x+40=12，可得x=8.75，∴预测销售量为12件时的售价是8.75元．点评：本题考查求线性回归方程，考查学生的计算能力，是一个基础题．21．若函数f（x）=ax3﹣bx+4，当x=2时，函数f（x）有极值为，（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（x）=k有3个解，求实数k的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；综合题．分析：（1）先对函数进行求导，然后根据f（2）=﹣．f'（2）=0可求出a，b的值，进而确定函数的解析式．（2）根据（1）中解析式然后求导，然后令导函数等于0求出x的值，然后根据函数的单调性与其导函数的正负之间的关系确定单调性，进而确定函数的大致图象，最后找出k的范围．解答：解：（Ⅰ）f′（x）=3ax2﹣b由题意；，解得，∴所求的解析式为（Ⅱ）由（1）可得f′（x）=x2﹣4=（x﹣2）（x+2）令f′（x）=0，得x=2或x=﹣2，∴当x＜﹣2时，f′（x）＞0，当﹣2＜x＜2时，f′（x）＜0，当x＞2时，f′（x）＞0因此，当x=﹣2时，f（x）有极大值，当x=2时，f（x）有极小值，∴函数的图象大致如图．由图可知：．点评：本题主要考查函数的单调性、极值与其导函数之间的关系．导数是高等数学下放到高中的内容，是高考的热点问题，每年必考，要给予充分重视．22．已知函数f（x）=x2+lnx．（1）求函数f（x）在[1，e]上的最大值和最小值；（2）求证：当x∈（1，+∞）时，函数f（x）的图象在g（x）=x3+x2的下方．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）求出导数f′（x），易判断x＞1时f′（x）的符号，从而可知f（x）的单调性，根据单调性可得函数的最值；（2）令F（x）=f（x）﹣g（x）=﹣+lnx，则只需证明F（x）＜0在（1，+∞）上恒成立，进而转化为F（x）的最大值小于0，利用导数可求得F（x）的最大值．解答：（1）解：∵f（x）=x2+lnx，∴f′（x）=2x+，∵x＞1时，f′（x）＞0，∴f（x）在[1，e]上是增函数，∴f（x）的最小值是f（1）=1，最大值是f（e）=1+e2；（2）证明：令F（x）=f（x）﹣g（x）=﹣+lnx，则F′（x）=x﹣2x2+===，∵x＞1，∴F′（x）＜0，∴F（x）在（1，+∞）上是减函数，∴F（x）＜F（1）==﹣＜0，即f（x）＜g（x），∴当x∈（1，+∞）时，函数f（x）的图象总在g（x）的图象下方．点评：本题考查利用导数研究函数在闭区间上的最值及恒成立问题，考查转化思想，恒成立问题往往转化为函数最值解决．。

银川唐徕回民中学2017-2018学年度第二学期期末考试高二年级数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12个小题，每小题共4个选项，其中有且仅有一个选项满足题目要求，每小题5分，共60分）1．下列中，正确的是（ ） A ．若b a >，则bc ac >B. 若b a >，则22bc ac >C. 若b a >，则)(*N n b a n n ∈>D. 若b a >，d c <，则d b c a ->-2. 不等式4|14|>-x 的解集是（ ）A ．43|{-<x x 或}45>x B. }4543|{<<-x x C. }43|{-<x xD. }45|{>x x3. 已知}2|||{≤=x x A ， 4|{≤=x x B }Z x ∈，则A ∩B =（ ）A ．（0，2）B. [0，2]C. {0，2}D. {0，1，2}4. 设b a ,为正数，且b a <，记b a P =，mb m a Q ++=(0>m )，则（ ） A ．Q P = B. Q P >C. Q P <D. Q P ,大小关系不确定5. 若+∈R x ，则函数24xx y +=的最小值是（ ） A ．6 B. 3C. 4D. 26. 极坐标系中，过点（2，3π）且与极轴垂直的直线方程是（ ） A ．θρcos 4-= B. 1cos =θρC. 3sin =θρD. θρsin 3= 7. 圆122=+y x 在伸缩变换⎩⎨⎧='='yy xx 32的作用下，所得方程是（ ） A ．19422='+'y xB. 13222='+'y xC. 14922='+'y xD. 19422='+'y x 8. 参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-=+=21y t t x （t 为参数）所表示的曲线是（ ）A ．一条射线B. 两条射线C. 一条直线D. 两条直线9. 过点（1，1），倾斜角为1350的直线截椭圆4422=+y x 所得的弦长是（ ）A ．522 B.523 C.524D. 210. 世界杯足球赛参赛球队共32支，先分成8个小组进行小组赛，每组4队为单循环赛制，各小组前两名小组出线，则小组赛要进行的比赛场数是（ ）A ．824CB. 824AC. 32D. 6411. 两封信随机地投入到编号为A ，B ，C 的三个空邮筒中，则A 邮筒中信件数x 的数学期望E ()x等于（ ） A ．31B.32 C.92 D.94 12. 下列说法①将一组数据中的每一个数都加上同一个常数后，该组数据方差不变；②设回归直线方程为35ˆ+-=x y，则变量x 每增加1个单位，y 就平均增加5个单位； ③某人射击一次，击中目标的概率为0.6，那么他连续5次射击时，恰有4次击中目标的概率是4.06.0445⨯⨯C其中正确的说法是（ ）A. ①②③B. ①②C. ①③D. ②③二、填空题：（每小题5分，共20分）13. 随机变量x 服从正态分布N （3，1）且P （42≤≤x ）=0.6826，则P （x >4）=________. 14. 设()882210821x a x a x a a x ++++=- ，则=++++8210a a a a _________.15. 已知R b a ∈,，522++=b a A ，)2(2b a B -=，则A ，B 的大小关系是________. 16. 设n m ,为正实数，且1=+n m ，则nm 11+的最小值是_________.三、解答题：（本大题共6小题，共计70分）17.（本小题满分10分，每小题5分）解下列不等式：（1）12652≤--x x（2）4|5||3|>-+-x x18.（本小题满分12分）已知n x x )2(32+的展开式中，倒数第3项的二项式系数为45， （1）求展开式中5x 的项； （2）求二项式系数最大的项.19.（本小题满分12分） 已知10<<x ，0>a 且1≠a ，比较|)1(log |x a -与|)1(log |x a +的大小，写出判断过程.20.（本小题满分12分）直线l 过点P （1，1），倾斜角6πα=，（1）求直线l 的参数方程； （2）若直线l 与曲线C ： ⎩⎨⎧==θθsin 2cos 2y x （θ为参数）相交于A ，B 两点，求|AB|及|PA|·|PB|.21.（本小题满分12分）体积为定值V的圆柱中，底面半径R与高h分别为何值时，圆柱表面积最小？最小面积是多少？22.（本小题满分12分）在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可兑换现金50元，有二等奖券3张，每张可兑换现金10元，其余6张券没有奖，某顾客从这10张券中任取2张，（1）求该顾客中奖的概率；（2）求该顾客获得现金总额ξ（元）的概率分布列；（3）求该顾客获得现金总额ξ（元）的数学期望E（ξ）.。

宁夏银川唐徕回民中学2017-2018学年高二数学下学期期中试题 理（考试时间：120分钟，满分：150分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题列出的四个选项 中，选出符合题目要求的一项。

1. 复数11-i 的模为（ ） A.21B.22C. 2D. 22. 在复平面内，复数i i++11所对应点位于（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 在52)12(xx -的二项展开式中，x 的系数为（ ） A. 10B. -10C. 40D. -404. 执行如图1所示的程序框图，输出S 的值为（ ） A. 1 B. -1 C. 0D. -25. 从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数a ，从{1，2，3}中 随机选取一个数b ，则a b >的概率是（ ） A.51 B.52 C.53 D.54 6. 某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3:3:4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取学生的人数为（ ） A. 15B. 20C. 10D. 257.dx xx )12(132-⎰的值是（ ） A.325B.323 C.326 D.322 8. 设曲线()b x a x f +=ln 和曲线()42+=cx x g 在它们的公共点M （1，2）处有相同的切线，则=++c b a （ ）图1A. 2B. πC. -4D. -29. 已知)2(+=x f y 是偶函数，且当2≠x 时导函数()x f '满足0)()2(>'⋅-x f x ，若32<<a ，则下列不等式中成立的是（ ） A. )(log )3()2(2a f f f a<< B. )2()(log )3(2af a f f << C. )2()3()(log 2af f a f <<D. )3()2()(log 2f f a f a<<10. 学校计划在周一至周四的艺术节上表演《雷雨》、《天籁》、《茶馆》和《马蹄声碎》四部话剧。

2017-2018学年宁夏银川市唐徕回民中学高二（下）4月月考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）1．（5分）正弦函数是奇函数，f（x）＝sin（x2+1）是正弦函数，因此f（x）＝sin（x2+1）是奇函数，以上推理（）A．小前提不正确B．大前提不正确C．结论正确D．全不正确2．（5分）复数Z＝，则|Z|等于（）A．25B．C．D．53．（5分）若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）A．y＝±2x B．C．D．4．（5分）若f（x）＝﹣x3+ax在（0，1）上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．[3，+∞）B．（﹣∞，3]C．（0，3]D．（﹣1，0）5．（5分）相关变量x、y的样本数据如下表：经回归分析可得y与x线性相关，并由最小二乘法求得回归直线方程为＝1.1x+a，则a＝（）A．0.1B．0.2C．0.3D．0.46．（5分）在极坐标系中，过点且垂直于极轴的直线方程为（）A．B．C．D．7．（5分）在同一平面直角坐标系中，经过坐标伸缩变换后，曲线C变为曲线2x′2+8y′2＝1，则曲线C的方程为（）A．50x2+72y2＝1B．9x2+100y2＝1C．25x2+36y2＝1D．8．（5分）下面是关于复数Z＝的四个命题P1：|Z|＝2 P2：Z2＝2iP3：＝1+iP4：Z的虚部为﹣1其中的真命题为（）A．P2，P3B．P2，P4C．P1，P2D．P3，P49．（5分）已知点A（﹣2，3）在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为（）A．﹣B．﹣1C．﹣D．﹣10．（5分）若数列{a n}是等差数列，则数列也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{∁n}是等比数列，且d n也是等比数列，则d n的表达式应为（）A．B．C．D．11．（5分）参数方程（t为参数）表示的曲线是（）A．圆的一部分B．椭圆的一部分C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分12．（5分）若f（x）是定义在R上的可导函数，且满足（x﹣1）f′（x）≥0，则必有（）A．f（0）+f（2）＜2f（1）B．f（0）+f（2）＞2f（1）C．f（0）+f（2）≤2f（1）D．f（0）+f（2）≥2f（1）二、填空题（本题共4题，每小题5分，共20分）13．（5分）双曲线（φ是参数）的渐近线方程为．14．（5分）过椭圆＝1内一点P（3，1），且被这点平分的弦所在直线的方程是．15．（5分）已知正整数对按如下规律排成一列：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），…，则第60个数对是．16．（5分）若直线l与曲线C满足下列两个条件：（i）直线l在点P（x0，y0）处与曲线C相切；（ii）曲线C在点P附近位于直线l的两侧，则称直线l在点P处“切过”曲线C．下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）．①直线l：y＝0在点P（0，0）处“切过”曲线C：y＝x3②直线l：x＝﹣1在点P（﹣1，0）处“切过”曲线C：y＝（x+1）2③直线l：y＝x在点P（0，0）处“切过”曲线C：y＝sin x④直线l：y＝x在点P（0，0）处“切过”曲线C：y＝tan x⑤直线l：y＝x﹣1在点P（1，0）处“切过”曲线C：y＝lnx．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）（1）复数Z 1＝+（10﹣a2）i，Z2＝+（2a﹣5）i，若+Z2是实数，求实数a的值；（2）已知复数Z1满足（Z1﹣2）i＝1+i，复数Z2的虚部为2，且Z1•Z2是实数，求Z2．18．（12分）已知椭圆C：4x2+y2＝1 及直线l：y＝x+m．（1）当m为何值时，直线l与椭圆C有公共点？（2）若直线l与椭圆C交于两点A，B，线段AB的长为，求直线l的方程．19．（12分）（1）已知a、b、c是不全相等的正数，且0＜x＜1．求证：log x+log x+log x＜log x a+log x b+log x c．（2）用反证法证明：若函数f（x）在区间[a，b]上是增函数，则方程f（x）＝0在区间[a，b]上至多只有一个实数根．20．（12分）在极坐标系中，曲线C：ρsin2θ＝2cosθ过点A（5，α）（α为锐角，且tanα＝）作平行于直线θ＝（ρ∈R）的直线l，且l与曲线C交于B，C两点．（1）以极点为原点，极轴为x轴正半轴，相同的单位长度建立平面直角坐标系，写出曲线C和直线l的直角坐标方程；（2）求|BC|．21．（12分）某高校共有学生15000人，其中男生10500人，女生4500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）．（1）应收集多少位女生的样本数据？（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：[0，2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率．（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．附：K2＝．22．（12分）已知f（x）＝ax﹣lnx，x∈（0，e]，g（x）＝，其中e是自然常数，a∈R．（1）讨论a＝1时，函数f（x）的单调性和极值；（2）求证：在（1）的条件下，f（x）＞g（x）+；（3）是否存在实数a使f（x）的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．2017-2018学年宁夏银川市唐徕回民中学高二（下）4月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）1．（5分）正弦函数是奇函数，f（x）＝sin（x2+1）是正弦函数，因此f（x）＝sin（x2+1）是奇函数，以上推理（）A．小前提不正确B．大前提不正确C．结论正确D．全不正确【解答】解：大前提：正弦函数是奇函数，正确；小前提：f（x）＝sin（x2+1）是正弦函数，因为该函数为复合函数，故错误；结论：f（x）＝sin（x2+1）是奇函数，因为该函数为偶函数，故错误．故选：A．2．（5分）复数Z＝，则|Z|等于（）A．25B．C．D．5【解答】解：∵Z＝＝，∴|Z|＝．故选：D．3．（5分）若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）A．y＝±2x B．C．D．【解答】解：由双曲线的离心率，可知c＝a，又a2+b2＝c2，所以b＝a，所以双曲线的渐近线方程为：y＝＝±x．故选：B．4．（5分）若f（x）＝﹣x3+ax在（0，1）上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．[3，+∞）B．（﹣∞，3]C．（0，3]D．（﹣1，0）【解答】解：由题意应有f′（x）＝﹣3x2+a≥0，在区间（﹣1，1）上恒成立，则a≥3x2，x∈（﹣1，1）恒成立，故a≥3．故选：A．5．（5分）相关变量x、y的样本数据如下表：经回归分析可得y与x线性相关，并由最小二乘法求得回归直线方程为＝1.1x+a，则a＝（）A．0.1B．0.2C．0.3D．0.4【解答】解：由题意，＝＝3，＝＝3.6，∵回归直线方程为＝1.1x+a，∴3.6＝1.1×3+a，∴a＝0.3．故选：C．6．（5分）在极坐标系中，过点且垂直于极轴的直线方程为（）A．B．C．D．【解答】解：在直角坐标系中，过点（3，）且与极轴垂直的直线方程是x＝，其极坐标方程为ρcosθ＝，故选：A．7．（5分）在同一平面直角坐标系中，经过坐标伸缩变换后，曲线C变为曲线2x′2+8y′2＝1，则曲线C的方程为（）A．50x2+72y2＝1B．9x2+100y2＝1C．25x2+36y2＝1D．【解答】解：把代入曲线2x′2+8y′2＝1，可得2（5x）2+8（3y）2＝1，化为50x2+72y2＝1，即为曲线C的方程．故选：A．8．（5分）下面是关于复数Z＝的四个命题P1：|Z|＝2 P2：Z2＝2iP3：＝1+iP4：Z的虚部为﹣1其中的真命题为（）A．P2，P3B．P2，P4C．P1，P2D．P3，P4【解答】解：∵Z＝＝．∴|Z|＝，故P1为假命题；Z2＝（﹣1﹣i）2＝2i，故P2为真命题；，故P3为假命题；Z的虚部为﹣1，故P4为真命题．∴真命题是P2，P4．故选：B．9．（5分）已知点A（﹣2，3）在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为（）A．﹣B．﹣1C．﹣D．﹣【解答】解：∵点A（﹣2，3）在抛物线C：y2＝2px的准线上，∴﹣＝﹣2，∴F（2，0），∴直线AF的斜率为＝﹣．故选：C．10．（5分）若数列{a n}是等差数列，则数列也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{∁n}是等比数列，且d n也是等比数列，则d n的表达式应为（）A．B．C．D．【解答】解：∵数列{a n}是等差数列，∴数列＝a1+d也为等差数列∵正项数列{∁n}是等比数列，设首项为c1，公比为q∴＝＝∴是等比数列故选：D．11．（5分）参数方程（t为参数）表示的曲线是（）A．圆的一部分B．椭圆的一部分C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分【解答】解：∴参数方程（t为参数），∴，∴2x2+y2＝4，即＝1，x＞0，y＞0．∴参数方程（t为参数）表示的曲线是椭圆的一部分．故选：B．12．（5分）若f（x）是定义在R上的可导函数，且满足（x﹣1）f′（x）≥0，则必有（）A．f（0）+f（2）＜2f（1）B．f（0）+f（2）＞2f（1）C．f（0）+f（2）≤2f（1）D．f（0）+f（2）≥2f（1）【解答】解：∵（x﹣1）f'（x）≥0∴x＞1时，f′（x）≥0；x＜1时，f′（x）≤0∴f（x）在（1，+∞）为增函数；在（﹣∞，1）上为减函数∴f（2）≥f（1）f（0）≥f（1）∴f（0）+f（2）≥2f（1）故选：D．二、填空题（本题共4题，每小题5分，共20分）13．（5分）双曲线（φ是参数）的渐近线方程为x±y＝0．【解答】解：∵双曲线（φ是参数），sec2φ＝1+tan2φ，∴双曲线的直角坐标方程为y2﹣x2＝1，∴双曲线（φ是参数）的渐近线方程为x±y＝0．故答案为：x±y＝0．14．（5分）过椭圆＝1内一点P（3，1），且被这点平分的弦所在直线的方程是3x+4y ﹣13＝0．【解答】解：设以点P（3，1）为中点的弦两端点为P1（x1，y1），P2（x2，y2），则x1+x2＝6，y1+y2＝2．又＝1，①＝1，②①﹣②得：+＝0又据对称性知x1≠x2，∴以点P（3，1）为中点的弦所在直线的斜率k＝﹣＝﹣，∴中点弦所在直线方程为y﹣1＝﹣（x﹣3），即3x+4y﹣13＝0．故答案为：3x+4y﹣13＝0．15．（5分）已知正整数对按如下规律排成一列：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），…，则第60个数对是（5，7）．【解答】解：按规律分组：第一组（1，1）；第二组（1，2），（2，1）；第三组（1，3），（2，2），（3，1）；…则前10组共有1+2+3+…+10＝55个有序实数对．第60项应在第11组中，即（1，11），（2，10），（3，9），（4，8），（5，7），…，（11，1）中的第5个，因此第60项为（5，7）．故答案为：（5，7）．16．（5分）若直线l与曲线C满足下列两个条件：（i）直线l在点P（x0，y0）处与曲线C相切；（ii）曲线C在点P附近位于直线l的两侧，则称直线l在点P处“切过”曲线C．下列命题正确的是①③④（写出所有正确命题的编号）．①直线l：y＝0在点P（0，0）处“切过”曲线C：y＝x3②直线l：x＝﹣1在点P（﹣1，0）处“切过”曲线C：y＝（x+1）2③直线l：y＝x在点P（0，0）处“切过”曲线C：y＝sin x④直线l：y＝x在点P（0，0）处“切过”曲线C：y＝tan x⑤直线l：y＝x﹣1在点P（1，0）处“切过”曲线C：y＝lnx．【解答】解：对于①，由y＝x3，得y′＝3x2，则y′|x＝0＝0，直线y＝0是过点P（0，0）的曲线C的切线，又当x＞0时y＞0，当x＜0时y＜0，满足曲线C在P（0，0）附近位于直线y＝0两侧，∴命题①正确；对于②，由y＝（x+1）2，得y′＝2（x+1），则y′|x＝﹣1＝0，而直线l：x＝﹣1的斜率不存在，在点P（﹣1，0）处不与曲线C相切，∴命题②错误；对于③，由y＝sin x，得y′＝cos x，则y′|x＝0＝1，直线y＝x是过点P（0，0）的曲线的切线，又x∈时x＜sin x，x∈时x＞sin x，满足曲线C在P（0，0）附近位于直线y＝x两侧，∴命题③正确；对于④，由y＝tan x，得，则y′|x＝0＝1，直线y＝x是过点P（0，0）的曲线的切线，又x∈时tan x＜x，x∈时tan x＞x，满足曲线C在P（0，0）附近位于直线y＝x两侧，∴命题④正确；对于⑤，由y＝lnx，得，则y′|x＝1＝1，曲线在P（1，0）处的切线为y＝x﹣1，设g（x）＝x﹣1﹣lnx，得，当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0．∴g（x）在（0，+∞）上有极小值也是最小值，为g（1）＝0．∴y＝x﹣1恒在y＝lnx的上方，不满足曲线C在点P附近位于直线l的两侧，命题⑤错误．故答案为：①③④．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）（1）复数Z 1＝+（10﹣a2）i，Z2＝+（2a﹣5）i，若+Z2是实数，求实数a的值；（2）已知复数Z1满足（Z1﹣2）i＝1+i，复数Z2的虚部为2，且Z1•Z2是实数，求Z2．【解答】解：（1）复数Z 1＝+（10﹣a2）i，Z2＝+（2a﹣5）i，若+Z2是实数，则﹣（10﹣a2）+（2a﹣5）＝0，解得a＝﹣5或a＝3；经验证，a＝﹣5不满足题意，∴a的值是3；（2）复数Z1满足（Z1﹣2）i＝1+i，∴Z1＝+2＝3﹣i，设复数Z2＝a+2i，则Z1•Z2＝（3﹣i）（a+2i）＝（3a+2）+（6﹣a）i，令6﹣a＝0，解得a＝6，∴Z2＝6+2i．18．（12分）已知椭圆C：4x2+y2＝1 及直线l：y＝x+m．（1）当m为何值时，直线l与椭圆C有公共点？（2）若直线l与椭圆C交于两点A，B，线段AB的长为，求直线l的方程．【解答】解：（1）由，整理得：5x2+2mx+m2﹣1＝0，由已知△≥0，解得：﹣≤m≤；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由（1）得：x1+x2＝﹣，x1x2＝，由|AB|＝＝＝，解得：m＝0，∴直线l的方程为y＝x．19．（12分）（1）已知a、b、c是不全相等的正数，且0＜x＜1．求证：log x+log x+log x＜log x a+log x b+log x c．（2）用反证法证明：若函数f（x）在区间[a，b]上是增函数，则方程f（x）＝0在区间[a，b]上至多只有一个实数根．【解答】证明：（1）要证log x+log x+log x＜log x a+log x b+log x c，只需证log x（••）＜log x（abc）．由已知0＜x＜1，得只需证••＞abc．由公式≥＞0，≥＞0，≥＞0．又∵a，b，c是不全相等的正数，∴••＞••＝abc．即••＞abc成立．∴log x+log x+log x＜log x a+log x b+log x c成立．（2）假设方程f（x）＝0在区间[a，b]上至少有两个不同的实数根α，β，即f（α）＝f（β）＝0．不妨设α＜β，由于函数f（x）在区间[a，b]上是增函数，故f（α）＜f（β），这与f（α）＝f（β）＝0矛盾，所以方程f（x）＝0在区间[a，b]上至多只有一个实数根．20．（12分）在极坐标系中，曲线C：ρsin2θ＝2cosθ过点A（5，α）（α为锐角，且tanα＝）作平行于直线θ＝（ρ∈R）的直线l，且l与曲线C交于B，C两点．（1）以极点为原点，极轴为x轴正半轴，相同的单位长度建立平面直角坐标系，写出曲线C和直线l的直角坐标方程；（2）求|BC|．【解答】解：（1）∵曲线C：ρsin2θ＝2cosθ，∴＝2ρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程为y2＝2x．过点A（5，α）（α为锐角，且tanα＝）作平行于直线θ＝（ρ∈R）的直线l，∴x＝5cosα＝4，y＝5sinα＝3，∴A（4，3），且直线l的斜率为1，∴直线l的直角坐标方程为y﹣3＝x﹣4，即x﹣y﹣1＝0．（2）联立，得x2﹣4x+1＝0，△＝16﹣4＝12＞0，设B（x1，y1），C（x2，y2），则x1+x2＝4，x1x2＝1．∴|BC|＝＝2．21．（12分）某高校共有学生15000人，其中男生10500人，女生4500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）．（1）应收集多少位女生的样本数据？（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：[0，2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率．（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．附：K2＝．【解答】解：（1）300×＝90，所以应收集90位女生的样本数据．（2）由频率分布直方图得1﹣2×（0.100+0.025）＝0.75，所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75．（3）由（2）知，300位学生中有300×0.75＝225人的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时，又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：每周平均体育运动时间与性别列联表结合列联表可算得K2＝＝≈4.762＞3.841所以，有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．22．（12分）已知f（x）＝ax﹣lnx，x∈（0，e]，g（x）＝，其中e是自然常数，a∈R．（1）讨论a＝1时，函数f（x）的单调性和极值；（2）求证：在（1）的条件下，f（x）＞g（x）+；（3）是否存在实数a使f（x）的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）因为，所以当0＜x＜1时，f'（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．当1＜x≤e时，f'（x）＞0，此时函数f（x）单调递增．所以函数f（x）的极小值为f（1）＝1．（2）因为函数f（x）的极小值为1，即函数f（x）在（0，e]上的最小值为1．又，所以当0＜x＜e时，g'（x）＞0，此时g（x）单调递增．所以g（x）的最大值为g（e）＝，所以，所以在（1）的条件下，f（x）＞g（x）+．（3）假设存在实数a，使f（x）＝ax﹣lnx，x∈（0，e]，有最小值3，则，①当a≤0时，f'（x）＜0，f（x）在（0，e]上单调递减，，（舍去），此时函数f（x）的最小值不是3．②当0时，f（x）在（0，]上单调递减，f（x）在（，e]上单调递增．所以f，满足条件．③当时，f（x）在（0，e]上单调递减，，（舍去），此时函数f（x）的最小值是不是3．综上可知存在实数a＝e2，使f（x）的最小值是3．。