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逻辑函数的卡诺图化简法

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. v ..
第十章 数字逻辑基础

补充：逻辑函数的卡诺图化简法
1．图形图象法：用卡诺图化简逻辑函数，求最简与或表达式的方法。卡诺图
是按一定规则画出来的方框图。
优点：有比较明确的步骤可以遵循，结果是否最简，判断起来比较容易。
缺点：当变量超过六个以上，就没有什么实用价值了。
公式化简法优点：变量个数不受限制
缺点：结果是否最简有时不易判断。
2．最小项
（1）
定义：是一个包括所有变量的乘积项，每个变量均以原变量或反变量的

形式出现一次。
注意：每项都有包括所有变量，每个乘积它中每个变量出现且仅出项1次。
如：Y=F（A，B） （2个变量共有4个最小项BA BA BA AB）
Y=F（A，B，C） （3个变量共有8个最小项CBA CBA CBA BCA CBA
CBA CAB
ABC
）

结论： n变量共有2n个最小项。
三变量最小项真值表

（2）最小项的性质
①任一最小项，只有一组对应变量取值使其值为1：
②任意两个最小项的乘种为零；
③全体最小项之和为1。
（3）最小项的编号：把与最小项对应的变量取值当成二进制数，与之相应的
. .. . .. ..
. v ..
十进制数，就是该最小项的编号，用mi表示。

3．最小项表达式——标准与或式
任何逻辑函数都可以表示为最小项之和的形式——标准与或式。而且这种形
式是惟一的，即一个逻辑函数只有一种最小项表达式。
例1．写出下列函数的标准与或式：Y=F(A,B,C)=AB+BC+CA
解：Y=AB(C+C)+BC(A+A)+CA(B+B)
=ABCCBAABCBCAABCCAB
=ABCCBABCACAB
=
3567
mmmm

例2.写出下列函数的标准与或式：CBADABY
解：))()(CBDABAY（
))((CBDBA
DCBCABABA
DCBADCBACBACBABCA
DCBADCBADCBADCBADCBADBCABCDA_

8014567
mmmmmmm
＝
）8,7,6,5,4,1,0(
m

列真值表写最小项表达式。
. .. . .. ..

. v ..
4．卡诺图
（1）．卡诺图及其画法：把最小项按照一定规则排列而构成的方格图。

（2）.构成卡诺图的原则：
①N变量的卡诺图有2n个小方块（最小项）
②最小项排列规则：几何相邻的必须逻辑相邻
逻辑相邻：只有一个变量取值不同其余变量均相同。逻辑相邻的最小项可
以合并。
几何相邻：一是相邻——紧挨的
二是相对——任一行或一列的两头
三是相重——对折起来后位置相重
两个相邻最小项可以相加合并为一项，同时消去互反变量，合并结果为相
同变量。
（3）．二变量卡诺图：对应四个最小项
. .. . .. ..
. v ..
（4）．三变量卡诺图：将八个最小项按照逻辑相邻性填入对应的小方格。
注意：逻辑相邻的两个相邻最小项只有一个变量不同，其它都相同。

（5）四变量卡诺图
对于五变量及以上的卡诺图，由于很复杂，在逻辑函数的化简中很少使用。
5．变量卡诺图中最小项合并的规律
（1）两个相邻最小项合并可以消去一个因子
. .. . .. ..

. v ..
（2）四个相邻最小项合并可以消去两个因子

（3）八个相邻最小项合并可以消去三个因子
6．逻辑函数的卡诺图
（1）逻辑函数的卡诺图的画法

①根据函数的变量个数画出相应的变量卡诺图。
②在函数每一个乘积项所包含的最小项处都填1，其余位置填0或不填。
（2）逻辑函数卡诺图的特点
. .. . .. ..

. v ..
优点：用几何位置的相邻，形象地表达了构成函数的各个最小项在逻辑上的
相邻性。
缺点：当函数变量多于五个时，画图十分麻烦，其优点不复存在，无实用价
值。
（3）举例：
1．DBACBAY
2．DCABBAY
3．CBADCACBCDBY
. .. . .. ..

. v ..
4.利用图形法化简函数

mDCBAF)15,13,12,8,6,5,4,1(),,,(

5.利用图形法化简函数

mF)15,4,111,10,8,43,2,10(，，，
. .. . .. ..

. v ..
6.利用图形法化简函数CBADCACBCDBY

7. 试写出DCBCCBAY的标准与-或式，并画出卡诺图。

（三）、 用卡诺图化简逻辑函数
步骤：①画卡诺图 ②正确圈组 ③写最简与或表达式
. .. . .. ..

. v ..
（四）、具有无关项的逻辑函数的化简
（一）、逻辑函数中的无关项

用“×”（或“d” ）表示
利用无关项化简原则：
. .. . .. ..
. v ..
①、 无关项即可看作“1”也可看作“0”。

②、 卡诺图中，圈组内的“×”视为“1”，圈组外的视为“0”。
例2. 5. 6 为8421BCD码，当其代表的十进制数≥5时，输出为“1”，求Y的最
简表达式。（用于间断输入是否大于5）
解：先列真值表，再画卡诺图

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03第二章-2 卡诺图化简逻辑函数

03第二章-2 卡诺图化简逻辑函数

注意：卡诺图水平方向同一行首尾，同一列 首尾也为逻辑相邻相。
m0 与 m1 、 m2 逻辑相邻。
三变量卡诺图
四变量卡诺图
圆柱面
m0 与 m1 m2 m4 m1 与 m0 m3 m5
球面
均为逻辑相邻 均为逻辑相邻
m0 与 m1 m2 m4 m8 均为逻辑相邻 m1 与 m0 m3 m5 m9 均为逻辑相邻
(1) 在卡诺图构成过程中，变量的 取值按格雷码的顺序排列。 二变量卡诺图
格雷码：相邻两个代码之间只有一位发生变化
B0 A
1
0 m0 m1
1 m2 m3
平面表格
(2) 卡诺图两侧标注的数值代表 的二进制数对应的十进制数即为 格中对应的最小项编号。 (3) 几何位置相邻的最小项也是 逻辑相邻项。 (4) 卡诺图是上下、左右闭合的 图形。
二、用卡诺图表示逻辑函数
由于任何一个逻辑函数都能表示为若干最小 项之和的形式，所以自然也就可以用卡诺图表示 逻辑函数了。 1、逻辑函数→卡诺图 (1) 最小项法 ① 将逻辑函数化为最小项表达式； ② 在卡诺图上与这些最小项对应的位 置上填入1，在其余位置填入0或不填。 这样就得到了表示该逻辑函数的卡诺图。
例1：
Y = ABC + ABC ′ + AB′ = AB(C + C ′) + AB′ = AB + AB′ = A
例2
ABC + A′ + B′ + C ′ ′ = ABC + ( ABC ) = 1 A′BC ′ + AC ′ + B′C ′
例3
= A′BC ′ + ( A + B′)C ′ ′ = A′BC ′ + ( A′B ) C ′ = C ′
逻辑函数的卡诺图化简PPT课件

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Digital Logic Circuit
2. 函数为最大项表达式
第5讲 逻辑函数 的卡诺图化简
Digital Logic Circuit
因为相同编号的最小项和最大项之间存在互补关系，所以使函数值 为0的那些最小项的编号与构成函数的最大项表达式中的那些最大项编号 相同，按这些最大项的编号向卡诺图的相应小方格中填上0，其余方格上 填上1即可。
主要项：把2n个为1的相邻最小项进行合并，若卡诺圈不能再扩大，则圈得的合 并与项称为主要项。
必要项：若主要项圈中至少有一个为1的“特定”最小项没有被其它主要项所覆 盖，则称此主要项为必要项或实质主要项。最简逻辑函数中的与项都是必要项。
冗余项：若主要项圈中不包含有为1的“特定”最小项，或者说它所包含为1的最 小项均已被其它的主要项圈所覆盖，则称其为冗余项或多余项。
对于任意的或与表达式，只要当任意一项的或项为0时，函数 的取值就为0。要使或项为0，只须将组成该或项的原变量用0、反 变量用1代入即可。故填写方法是：首先将每个或项的原变量用0、 反变量用1代入，在卡诺图上找出交叉小方格并填写0；然后在其余 小方格上填写1即可。
例4. 作出函数 F ( A, B,C, D) ( A C)(B D)(C D) 对应的卡诺图。
④写出最简的函数表达式。
演示1
演示2
基本步骤图示
第5讲 逻辑函数 的卡诺图化简
逻辑表达式 Y(A,B,C,D)=m(3,5,7,8,11,12,13,15) 或真值表
Digital Logic Circuit
1
卡诺图
1
AB
CD
00 01 11
10
00 0
0
1
1
01 0
第四讲 逻辑函数的卡诺图化简法

第四讲 逻辑函数的卡诺图化简法

= AB(C + C ) + ABC + ABC = ABC + ABC + ABC + ABC
=m7+m6+m3+m5=∑m（3,5,6,7）
（三）卡诺图的结构 （1）二变量卡诺图 ）
（2）三变量卡诺图 ）
B m0 ABC A m4 ABC m1 ABC m5 ABC C (a) m3 ABC m7 ABC m2 ABC m6 ABC A 0 1 0 4 1 5 3 7 2 6 BC 00 01 11 10
总之， 个相邻的最小项结合， 个取值不同的变量而合并为l 总之，2n个相邻的最小项结合，可以消去n个取值不同的变量而合并为l项。
2．用卡诺图合并最小项的原则（画圈的原则） 用卡诺图合并最小项的原则（画圈的原则）
（1）尽量画大圈，但每个圈内只能含有2n（n=0,1,2,3……）个相邻项。 =0,1,2,3…… 个相邻项。 ……） 尽量画大圈，但每个圈内只能含有2 要特别注意对边相邻性 四角相邻性。 对边相邻性和 要特别注意对边相邻性和四角相邻性。 （2）圈的个数尽量少。 圈的个数尽量少。 （3）卡诺图中所有取值为1的方格均要被圈过，即不能漏下取值为1的最 卡诺图中所有取值为1的方格均要被圈过，即不能漏下取值为1 小项。 小项。 （4）在新画的包围圈中至少要含有1个末被圈过的1方格，否则该包围圈 在新画的包围圈中至少要含有1个末被圈过的1方格， 是多余的。 是多余的。
知识点导入
通过第三讲的学习，我们已经学会了如 何使用代数法来化简逻辑函数，从而使逻 辑电路达到最简洁合理。 这一讲我们将学习逻辑函数的另一种化 简方法——卡诺图化简法，同样可以得到 简方法——卡诺图化简法，同样可以得到 最简逻辑函数，并设计出最简逻辑电路图。
卡诺图化简法一全文

卡诺图化简法一全文


m0
0
m1如何根据输入1变量组 m2合写出相应最2小项？
m3
3
m4
4
m5
5
m6
6
m7
7
例如 ABC 101 5 m5
m4 4 100 ABC
2. 最小项的基本性质
(1) 对任意一最小项，只有一组变量取值使它的值为1，而
其余各种变量取值均使其值为0。 (2) 不同的最小项，使它的值为1的那组变量取值也不同。 (3) 对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为0。 (4) 对于变量的任一组取值，全体最小项的和为1。
每一个与项都是最小项的与或逻辑式称为标 准与或式，又称最小项表达式。
任何形式的逻辑式都可以转化为标准与或式， 而且逻辑函数的标准与或式是唯一的。
[例] 将逻辑式 Y ABC AB C D 化为标准与或式。
解：(1) 利用摩根定律和分配律把逻辑函数式展开为与或式。
Y ABC AB C D ABC AB (C D) ABC ABC ABD 普通与或式，非标准与或式
CD
AB
C D CD CD C D
同一行最 左与最右 AB ABC D ABCD ABCD ABC D
方格相邻
AB ABC D ABCD ABCD ABC D 卡诺图特点： 循环相邻性 AB ABC D ABCD ABCD ABC D
同一列最 上与最下 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ格相邻
AB ABC D ABCD ABCD ABC D
(2) 找出真值表中Y=1 对应的最小项，在 卡诺图相应方格中 填1，其余不填。
BC A 00 01 11 10
0 10 1 3 12
1 14 5 7 16
已 [例] 已知 Y AD AB(C BD)，试画出Y的卡诺图。 知 解：(1) 将逻辑式转化为与或式