实对称阵对角化(课后微改)

且与对角阵相似。
1
2
3
A
PP 1
1 3
7 0 2
1 2 2
P (1,2 ,3) 2 2 1
2 1 2
0 5 2
2 2 6
P 1
1 9
1 2 2
2 2 1
2 1 2
例2：设1，1，1是三阶实对称方阵 A的3个特征值，
1 （1，1，1）T ,2 （2，2，1）T 是A的属于特征值1的
m
征向量i1,i2 , ,iri；(i 1,2, , m),由性质知 ri n. i 1
(iii) 用施密特正交化方法将每一个重特征值i所对应的 ri个线性无关的特征向量i1,i2 , ,iri；(i 1,2, , m) 先正交化再单位化为i1,i2 , ,iri；(i 1,2, , m)， 它们仍为属于i的特征向量。
1 0 1
1 0 1
2
2
Q 0 1 0
1 2
0
1 2
A, P或Q及三者的互求
已知A，可以求出 A的特征值及特征向量，从而可以
判断A能否与对角阵相似，并在相似时求出对角阵及相
似变换矩阵P.
P1AP
1
, 1,
, n为A的特征值；
n
P (P1, , Pn ), P1, , Pn为A的特征向量。
2 (
2, 5
1 5
,0)T
，3
(2 35
,
4 35
,
5 35
)T
Q 1 2
1
3
3
2 3
2 3
2 5
1 5
0
2
3 5
4
35 5
35
Q

便有P1APPTAP
注意中对角元的排列次序与P中列向量的排列次序相对应
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习题4-3, P154
5 1 2 4 相似 4 设矩阵 A 2 x 2 与 y 4 2 1 4 求x y 并求一个正交阵P 使P1AP
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2 1 求An 例4.2设 A 1 2 解 因为|AE|(1)(3) 所以A的特征值为11 23
对应11 解方程(AE)x0 得p1(1 1)T 对应13 解方程(A3E)x0 得p2(1 1)T 于是有可逆矩阵P(p1 p2) 及diag(1 3) 使
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小结 :实对称矩阵的性质
定理4.1 实对称阵的特征值为实数
定理4.2 实对称阵的对应于不同特征值的特征向量正交. 设1 2是实对称阵A的两个特征值 p1 p2是对应的特 征向量 若12 则p1与p2正交 定理4.3 设A为n阶实对称阵 是A的特征方程的k重根 则对应特 征值恰有k个线性无关的特征向量 定理4.4 设A为n阶实对称阵 则必有正交阵P 使P1APPTAP 其中是以A的n个特征值为对角元的对角矩阵
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0 1 1 例4.1 设 A 1 0 1 求正交阵 P 使P1AP为对角阵 1 1 0 解 由|AE|(1)2(2) 得特征值12 231
对应12 解方程(A2E)x0 得基础解系1(1 1 1)T 将1单位化 得 p1 1 ( 1, 1, 1)T 3 对应231 解方程 (AE)x0 即 x1 +x2－x30 2(1 1 0)T 3(1 0 1)T 得基础解系 将2 3正交化、单位化得
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0 1 1 例4.1 设 A 1 0 1 求正交阵 P 使P1AP为对角阵 1 1 0

。
−1 1 p1 = −1 3 1
对应
λ2 = λ3 = 1 ，解方程 ( A− I )x = 0
−1 −1 1 1 1 −1 ( A − I ) = −1 −1 1 → 0 0 0 1 1 −1 0 0 0
− P = ( p1 , p 2 , p 3 ) = −
有
−2 0 0 P −1 AP = PT AP = ∧ = 0 1 0 0 0 1
。
，便有
P AP = P AP = ∧
T
−1
∧ 中对角元的排列次序应与
P中列向量的排列次序相对应。 中列向量的排列次序相对应。 中列向量的排列次序相对应
，注意
例1。设 。
0 −1 1 A = −1 0 1 1 1 0
，
求一个正交阵P 使 P−1AP =∧ 求一个正交阵 解：由
( A + 2I ) x = 0
2 −1 1 1 0 1 ( A + 2 I ) = −1 2 1 → 0 1 1 1 1 2 0 0 0
ξ
− 1 = − 1 1
，
得基础解系
1
，将
ξ λi I ) x = 0 的基础解系。得 的基础解系。
个线性无关的特征向量。 个线性无关的特征向量。再把它们 正交化、单位化，因 正交化、单位化，
k1 + L + k s = n
故可得n个两两正交的单位特征向量。 故可得 个两两正交的单位特征向量。 个两两正交的单位特征向量
（3）将这 个两两正交的单位特征向量 ）将这n个两两正交的单位特征向量 构成正交矩阵P， 构成正交矩阵 ，便有

的个数恰好是 λ i作为A的特征值的重数；
（3）将 λ i (i 1,2,,r) 的所有标准正交的特征向 量构成一组Rn的标准正交基 p1,p2,,pn;
（4）取p (p1,p2,,pn ), 则P为正交矩阵且使得 pTAp p1Ap为对角阵，对角线上的元素为 相应特征向量的特征值。
例13
1, 1
再单位化得
1
2
p2
1 3
1,p3 1
1
6
1 , 1
0
取
p p1,p,p3
1 2
1 2
1 3
2 6
1 3
1 6
,
1 3
1 6
2
可以验证，仍有
p1Ap
4
.
4
此例说明所求正交矩阵不唯一。
2 0
0 1
0 x1 0 1 x2 0,
解得基础解系为
0 1
,
0 1 1 x3 0
1
0
单位化得单位特征向量 p1
1 2
.
1 2
对于 λ 2 λ 3 4, 由 (A λ 2E)x 0, 即
0 0 0 1
0 1
x1 x2
0 0,
解得基础解系为
1 0,
把它们标准正交化， 就可得到 ri 个单位正交的 特征向量组，由 r1 r2 rs n 知，这样的 特征向量共有n个，又由性质2知，A的属于不同 特征值的特征向量是正交的，故这n个单位特征 向量两两正交，以它们为列向量构成正交矩阵P， 并有p1Ap p1p diag(λ 1,λ 2,,λ n ), 其中 λ 1,λ 2,,λ n 为A的n个特征值。
0 1 .
0 1 1 x3 0
0 1