2020-2021学年高二人教版物理选修3-4学案：第十一章 1 简谐运动 Word版含解析

第十一章

机械振动

1

简谐运动

一、弹簧振子及其位移—时间图象

1．弹簧振子

(1)平衡位置：振子原来静止时的位置．

(2)机械振动：振子在平衡位置附近所做的往复运动，简称振动．

(3)弹簧振子：它是小球和弹簧组成的系统的总称，是一个理想化模型．

2．弹簧振子的位移—时间图象

建立坐标系：以小球的平衡位置为坐标原点，沿着它的振动方向建立坐标轴．小球在平衡位置右边时它对平衡位置的位移为正，在左边时为负．

如图所示，把一个有孔的小球装在弹簧的一端，弹簧的另一端固定，小球穿在光滑杆上能够自由滑动，把小球拉向右方，然后放开，小球将如何运动？它的运动有什么特点？

提示：小球做往复运动，其运动具有周期性和对称性．其位移随时间周期性变化，其加速度、速度也随时间周期性变化．

二、简谐运动及其图象

如果质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图象(x-t图象)是一条正弦曲线，这样的振动叫做简谐运动．简谐运动是最简单、最基本的振动．弹簧振子的振动就是简谐运动．

如图所示为某弹簧振子的振动图象，它是一条正弦曲线．有的同学说既然其振动图象是正弦曲线，那么其运动轨迹也应该是正弦曲线，结合水平方向的弹簧振子讨论一下，这种说法对吗？为什么？

提示：不对，因为振动图象不是运动轨迹，而是振子相对于平衡位置的位移随时间的变化规律，如图所示，水平方向的弹簧振子振动时，振子在A′—O—A之间往复运动，则其运动轨迹是线段A′A.

考点一 弹簧振子

1．平衡位置：做往复运动的物体能够静止的位置．

2．机械振动：物体在平衡位置附近所做的往复运动，是一种机械振动，简称振动．振动的轨迹可能是直线，也可能是曲线．

3．弹簧振子

(1)构造：用一根没有质量的弹簧一端固定，另一端连接一个可视为质点的小球．如下图

所示．

弹簧振子是小球和弹簧所组成的系统的名称，但有时也把其中的小球称为弹簧振子或简称振子.

(2)弹簧振子的特点

质量 弹簧质量比小球质量小得多，可以认为质量只集中于振子(小球)上

体积 弹簧振子中与弹簧相连的小球的体积要足够小，可以认为小球是一个质点

阻力 在振子振动过程中，忽略弹簧与小球受到的各种阻力

【拓展延伸】弹簧振子的平衡位置，一定在弹簧的原长位置吗？

不一定．如图所示，用手把钢球向上托起一段距离，然后释放，钢球便上下振动，其振动的平衡位置不在弹簧的原长位置，而是在弹力与重力的合力为零的位置．

【例1】 (多选)下列说法正确的是( )

A．做简谐运动的物体一定做机械振动

B．机械振动就是简谐运动

C．简谐运动就是弹簧振子的运动

D．简谐运动是机械振动中最简单、最基本的一种

【导思】 1.什么是机械振动？

2．什么是简谐运动？

3．机械振动与简谐运动有什么联系？

【解析】 简谐运动是机械振动的一种最基本、最简单的振动形式．振动物体的位移—时间图象遵从正弦函数规律的振动形式，都是简谐运动，弹簧振子的振动只是简谐运动中的一种，故A、D正确，C错误；做简谐运动的物体一定做机械振动，但机械振动不一定都是简谐运动，如果位移—时间图象不满足正弦规律，则不是简谐运动，故B错误．

【答案】 AD

关于机械振动的位移和平衡位置，以下说法正确的是( B )

A．平衡位置就是物体振动范围的中心位置

B．机械振动的位移总是以平衡位置为起点的位移

C．机械振动的物体运动的路程越大，发生的位移也越大

D．机械振动的位移是指振动物体偏离平衡位置最远时的位移

解析：平衡位置是物体可以静止的位置，所以应与受力有关，与是否为振动范围的中心位置无关，所以选项A不正确；振动位移是以平衡位置为起点，到质点所在位置的有向线段，振动位移随时间而变化，振子偏离平衡位置最远时，振动位移最大，所以选项C、D不正确，只有选项B正确．

考点二 弹簧振子的位移—时间图象

1．弹簧振子的位移

(1)振子在某时刻的位移：从平衡位置指向振子在该时刻位置的有向线段．若规定振动质点在平衡位置右侧时位移为正，则它在平衡位置左侧时位移为负．

(2)振子在某段时间内的位移：由初位置指向末位置的有向线段．

(3)振子在某时刻的位移与在某段时间内的位移的区别：振子在某时刻的位移方向总是背离平衡位置．如图所示，振子在AA′之间振动，O为平衡位置，t1时刻振子在M点的位移为xM，t2时刻振子在N点的位移为xN，而振子在Δt＝t2－t1时间内的位移为xMN，方向如图所示．

通常说的振子的位移是指某时刻的位移，即振子相对平衡位置的位移.因此在研究振动时，字母x具有双重含义：它既表示小球的位置坐标，又表示振子在某时刻的位移.

2．弹簧振子的位移—时间图象(x-t图象)

(1)图象的建立：用横坐标表示物体运动的时间t，纵坐标表示振动物体运动过程中相对平衡位置的位移x，建立坐标系，如右图所示．

(2)图象的应用

①任一时刻质点离开平衡位置的位移：某时刻振子偏离平衡位置的位移可用该时刻振子所在的位置的坐标来表示．

如下图所示，在t1时刻振子的位移为x1；t4时刻振子的位移为－x4.

振子在两端点的位移最大(如上图中的t2、t5时刻)，在平衡位置的位移为零(如上图中的t3时刻)，此时位移即将改变方向．

②速度：跟运动学中的含义相同，在所建立的坐标轴(也称为“一维坐标系”)上，速度的正、负号表示振子运动方向与坐标轴的正方向相同或相反．

如图所示，在x坐标轴上，设O点为平衡位置，A、B为位移最大处，则在O点速度最大，在A、B两点速度为零．

速度和位移是彼此独立的两个物理量，如振动物体通过同一个位置，其位移的方向是一定的，而其速度方向却有两种可能两个“端点”除外：指向或背离平衡位置，且振子在两“端点”速度改变方向.

【例2】 某一弹簧振子的振动图象如下图所示，则由图象分析在3t0和6t0两时刻振子运动的速度方向．

【导思】 1.如何利用弹簧振子的位移—时间图象分析振子的位移？

2．根据振子位移变化情况能分析出振子的速度方向吗？

3．位移—时间图象的斜率表示什么物理意义？

4．能根据位移—时间图象的斜率分析振子的速度方向吗？

【解析】 解法一：从图象上可以看出从3t0到6t0这段时间内振子的位移沿x轴正向越来越大，因此振子是从平衡位置开始沿x轴正方向运动，速度方向是沿x轴正方向，3t0时刻速度方向沿x轴正方向.6t0时刻振子到达最大位移处速度变为0.

解法二：位移—时间图象的斜率表示运动物体的速度，故只要找出3t0和6t0时刻的斜率就可判断振子速度的方向.3t0时刻斜率是正的，故3t0时刻振子速度方向沿x轴正方向.6t0时刻斜率是零，故6t0时刻振子速度为0.

(多选)如图甲所示，一弹簧振子在A、B间振动，取向右为正方向，振子经过O点时开始计时，其振动的x-t图象如图乙所示．则下列说法中正确的是( AC )

A．t2时刻振子在A点

B．t2时刻振子在B点

C．在t1～t2时间内，振子的位移在增大

D．在t3～t4时间内，振子的位移在减小

解析：振子在A点和B点时的位移最大，由于取向右为正方向，所以振子运动到A点有正向最大位移，在B点有负向最大位移，则t2时刻，振子在A点，t4时刻，振子在B点，故选项A正确，B错误；振子的位移是以平衡位置为起点，所以在t1～t2和t3～t4时间内振子的位移都在增大，故选项C正确，D错误．

考点三 简谐运动及其图象

1．简谐运动

如果质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图象(x-t图象)是一条正弦曲线，这样的振动叫做简谐运动．

(1)简谐运动是最基本、最简单的振动．

(2)简谐运动的位移随时间按正弦规律变化，所以它不是匀变速运动，应为变力作用下的非匀变速运动．

2．简谐运动的图象

图象的意义：如右图所示，简谐运动的x-t图象描述的是做简谐运动的质点的位移随时间的变化规律，反映了振动质点各个时刻偏离平衡位置的位移．

(1)图象反映的是做简谐运动的质点的位移随时间的变化规律，它不是质点的运动轨迹，简谐运动的图象和运动轨迹是完全不同的两个概念．例如，弹簧振子沿一直线做往复运动，其轨迹为直线，而它的振动图象却是正弦曲线．

(2)从图象能看出质点的位移随时间的变化是不均匀的，这是振子只受弹簧弹力的作用做变加速运动的体现．

3．简谐运动的特点

简谐运动具有对称性：如图所示，物体在A与B间运动，O点为平衡位置，C和D两点关于O点对称，则有：

(1)时间的对称

tOB＝tBO＝tOA＝tAO，tOD＝tDO＝tOC＝tCO，tDB＝tBD＝tAC＝tCA.

(2)速度的对称

①物体连续两次经过同一点(如D点)的速度大小相等，方向相反．

②物体经过关于O点对称的两点(如C、D两点)的速度大小相等，方向可能相同，也可能相反．

(3)位移的对称

物体经过关于O点对称的两点，位移大小相等，方向相反，xC＝－xD，xA＝－xB.

1位移大小的变化规律：向着平衡位置运动时，位移越来越小，平衡位置处等于零，两端点处最大.

2速度动能大小的变化规律：向着平衡位置运动，速度动能越来越大，平衡位置处最大，最大位移处动能为零.

【例3】 (多选)如图，是用频闪照相的方法获得的弹簧振子的位移—时间图象，下列有关该图象的说法正确的是( )

A．该图象的坐标原点建立在振子的平衡位置

B．从图象可以看出振子在振动过程中是沿t轴方向移动的

C．为了显示振子在不同时刻偏离平衡位置的位移，让底片沿垂直x轴方向匀速运动

D．图象中振子的疏密显示出相同时间内振子位置变化的快慢不同

【导思】 由图可直观地获得以下信息：①O时刻振子的位置；②振子的振动方向；③底片的运动方向(t轴负方向)；④振子速度的变化情况等．

【解析】 由图象可知，O时刻振子位移为0，故位于平衡位置，选项A正确；振子只在x轴上振动，选项B错误，C正确；图象中两相邻振子之间的时间间隔相同，疏处说明其位置变化快，密处说明其位置变化慢，故选项D正确．

本题易误选B，初学者由于对图象意义理解不到位，常误认为振子沿t轴方向移动．

【答案】 ACD