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例谈导数在研究函数的单调性中的应用
河南开封第二十五中学（４７５０００） 王付奇
函数是高中数学中极为重要的内容，而导数则是研
究函数性质的重要且有力的ｌＴ具，特别是对于函数的单
调性，以“导数”为工具，能对其进行全面的分析．同时利
用导数研究函数的单调性是导数的最基本、最重要的应
用之一，是进一步研究函数的极值、最值等其他重要性
质的基础．利用导数求函数的单调性的关键是解不等
式，特别是含有参数的不等式既是重点，也是难点．下面
通过例题说明导数在研究函数的单调性中的应用．
一、求函数的单调区间
【例１】 已知＿厂（ ）一 。＋ｎ ＋ ＋ｎ，求 二＝＝ｆｏｒ）
的单调区间．
解：由厂（ ）一ｚ。＋ｎ ＋ ＋“得
厂（ ）一３ｚ ＋２“ ＋１．
（１）当一√３≤＆≤√３时， （ｚ）≥０，则ｆ（ｚ）在
（～ｍ，＋一）上为增函数．
（２）当“＜一√３或“＞√３时，由 （ ，）＝＝＝０得
“＋ 巧 一“、／／ 二 ｚ 一—— ～ ２一—～ ＿。
由厂（ ）＞０得＿厂（ ）在（一。。， ），（ 。，＋ｏｏ）上为
增函数，巾 ， （ｚ）＜０得＿，’（ ）在（ ，ｚ：）上为减函数．
利用导数求函数的单调区间是一类常见问题，其中
含参数的函数的单调性问题既是重点，也是难点．其着
重考查学生对分类讨论的思想方法的理解和掌握，特别
是含参数的一元二次不等式的解法．
二、已知函数单调－陡。求参数的取值范围
【例２】 已知函数厂（ ’）一（ 一２ａｘ）ｅ （ｎ∈Ｒ）在
［～１，１］上是单调函数，求“的取值范围．
解：对函数，、（ ）求导数得
（ ）一（－１， ＋２ｘ ２“ｚ～２ａ）ｅ ．
令 （ ）＝０，得３７ ＋２（１－－ａ） 一２ａ一０，则
一“一１～￣／ｎ。＋１，３７７一＆一１＋￣／ｎ ＋１．
由， （ ）＞０得， （ ）在（一ｃ＝－×＝一， ），（ｚ：，＋ｃ。）上为
1 导数在研究函数中的应用
一、选择题
1．设函数f(x)＝2x＋ln x，则( )
A．x＝12为f(x)的极大值点
B．x＝12为f(x)的极小值点
C．x＝2为f(x)的极大值点
D．x＝2为f(x)的极小值点
2．函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g(x)＝f（x）x在区间(1，＋∞)上一定( )
A．有最小值 B．有最大值
C．是减函数 D．是增函数
3．若函数f(x)＝x3－6bx＋3b在(0，1)内有极小值，则实数b的取值范围是( )
A．(0，1) B．(－∞，1)
C．(0，＋∞) D．(0，12)
4．对于在R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－a)f′(x)≥0，则必有( )
A．f(x)≥f(a) B．f(x)≤f(a)
C．f(x)＞f(a) D．f(x)＜f(a)
5．若函数f(x)＝xx2＋a(a＞0)在[1，＋∞)上的最大值为33，则a的值为( )
A.33 B.3 C.3＋1 D.3－1
二、填空题
6．函数f(x)＝xln x的单调递减区间是________．
7．已知函数f(x)＝x3＋3mx2＋nx＋m2在x＝－1时有极值0，则m＋n＝________．
8．已知函数f(x)＝－12x2＋4x－3ln x在[t，t＋1]上不单调，则t的取值范围是________．
三、解答题
9．(2013·肇庆调研)已知函数f(x)＝ax2＋bln x在x＝1处有极值12. 2 (1)求a，b的值；
(2)判断函数y＝f(x)的单调性并求出单调区间．
10．设函数f(x)＝x＋ax2＋bln x，曲线y＝f(x)过P(1，0)，且在P点处的切线斜率为2.
(1)求a，b的值；
(2)令g(x)＝f(x)－2x＋2，求g(x)在定义域上的最值．
课
例谈导数在研究函数中的应用
３２５６００ 浙江省乐清中学邵旭芬
摘要：导数作为研究函数及其性质的重要工具、高中和大学数学知识之间的衔接，自２０００年进入高考试巷以来，成为了每年必考内容之一。本文作者结 合《课标》对导数教学的要求、近几年高考中的导数考题和自己的实际教学经验，简单分析高考中的导数常考点，以便师生在平时的教学和高考复习中准确把
握重点，有效突破难点。 关键词：导数单调性最值极值点
有关导数的内容，在２０００年开始的新课程试卷命题时，其考试要求都
是很基本的，以后逐渐加深，考查的基本原则是重点考查导数的概念和计
算，力求结合应用问题，不过多地涉及理论探讨和严格的逻辑证明。本部分
的要求一般有三个层次：第一层次是主要考查导数的概念，求导的公式和求 导法则；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的极值、单调区间、证明函
数的增减性等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传
统内容中有关不等式、数列和函数的单调性等有机地结合在一起，在“知识
网络交汇点’．处设计综合题，通过将新课程内容和传统内容相结合，加强了
能力考察力度，使试题具有更广泛的实际意义，更体现了导数作为工具分析
和解决一些函数性质问题的方法，这类问题用传统教材是无法解决的 这个 新增内容已成为高中数学的重点内容与主干知识，也是今后高考考查的热
点题型．下面选解评析几例．
例１．已知函数ｆ（ｘ）－．－ｘ￣一ａｘ２＋３ｘ，若 ）既有极大值又有极小值，则实数ａ
的取值范围是 。
【考查目的】考查导数的运算及利用导数知识求函数的极值等基本知识
和分析问题、解决问题的能力。
解：‘．ｆ＇（ｘ）＝３ｘ２－２ａｘ＋３，令 Ｄ，则３ｘＬ２ｏ：￣＋３＝０
又－． ）既有极大值又有极小值．・． ）＝Ｄ必有两解，即 ＝４＠－３６＞０
解得ａ＞３或ｏ＜一３。
探究：本题通过求函数的导数，将函数问题转化为一元二次方程来探
究，充分体现了函数与方程相互转化的解题思想与解题策略
利用导数研究函数的性质
导数是微积分中的重要概念之一，它可以帮助我们研究函数的性质。本文将介绍如何利用导数研究函数的极值、范围与曲线形状等方面的性质。
首先，导数可以帮助我们找到函数的极值。对于一个连续可微的函数而言，其极值点可以通过求导数并令导数等于零来确定。具体而言，我们先求函数的导函数，然后找到导函数的零点，即求得函数的极值点。通过求导数的方法，我们可以确定函数的极大值或者极小值，并进一步分析函数在这些点的增减性与凹凸性。
其次，导数也可以帮助我们研究函数的增减性与凹凸性。如果函数的导数在一些区间内始终大于零，那么函数在该区间内是递增的；如果导数在一些区间内始终小于零，那么函数在该区间内是递减的。通过求导数，我们可以确定函数在不同区间内的增减情况。同样地，函数的凹凸性可以通过分析导数的二阶导数来确定。如果函数的二阶导数在一些区间内始终大于零，那么函数在该区间内是凹的；如果二阶导数在一些区间内始终小于零，那么函数在该区间内是凸的。
再次，导数还可以帮助我们确定函数的范围。如果函数在一些区间内的导数始终大于零，那么函数在该区间内是上升的；如果导数在一些区间内始终小于零，那么函数在该区间内是下降的。通过分析导数的正负性，我们可以确定函数的增减范围。另外，函数的最大值和最小值也可以通过求导函数的极值点来确定。
最后，导数还可以帮助我们研究函数的曲线形状。通过分析导数的零点以及正负性，我们可以确定函数的临界点和拐点。临界点是函数曲线上的点，在这些点上函数的斜率为零。拐点是函数曲线上的点，在这些点上函数的曲率发生变化。通过分析这些点的位置和性质，我们可以了解函数曲线的形状。
综上所述，导数在研究函数的性质方面有着重要的作用。它可以帮助我们确定函数的极值点、范围、增减性与凹凸性，以及曲线的形状。在实际应用中，利用导数可以帮助我们优化函数、解决最优化问题等。因此，对导数的研究是微积分中基础而重要的内容。
