用导数法求函数的最值的练习题解析

用导数法求函数的最值的练习题解析

一、选择题

1．函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的最大值是M ，最小值是m ，若

M ＝m ，则f ′(x )( )

A ．等于0

B ．大于0

C ．小于0

D ．以上都有可能

[答案] A

[解析] ∵M ＝m ，∴y ＝f (x )是常数函数 ∴f ′(x )＝0，故应选A.

2．设f (x )＝14x 4＋13x 3＋1

2x 2在[－1,1]上的最小值为( )

A ．0

B ．－2

C ．－1

D.13

12

[答案] A

[解析] y ′＝x 3＋x 2＋x ＝x (x 2＋x ＋1) 令y ′＝0，解得x ＝0.

∴f (－1)＝5

12，f (0)＝0，f (1)＝13

12

∴f (x )在[－1,1]上最小值为0.故应选A.

3．函数y ＝x 3＋x 2－x ＋1在区间[－2,1]上的最小值为( ) A.22

27

B ．2

C ．－1

D ．－4

[答案] C

[解析] y ′＝3x 2＋2x －1＝(3x －1)(x ＋1) 令y ′＝0解得x ＝1

3

或x ＝－1

当x ＝－2时，y ＝－1；当x ＝－1时，y ＝2； 当x ＝13时，y ＝22

27；当x ＝1时，y ＝2.

所以函数的最小值为－1，故应选C.

4．函数f (x )＝x 2－x ＋1在区间[－3,0]上的最值为( ) A ．最大值为13，最小值为34

B ．最大值为1，最小值为4

C ．最大值为13，最小值为1

D ．最大值为－1，最小值为－7 [答案] A

[解析] ∵y ＝x 2－x ＋1，∴y ′＝2x －1，

令y ′＝0，∴x ＝12，f (－3)＝13，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝3

4，f (0)＝1.

5．函数y ＝x ＋1－x 在(0,1)上的最大值为( )

A.

2

B ．1

C ．0

D ．不存在

[答案] A

[解析] y ′＝1

2

x －

1

2

1－x ＝12·1－x －x x ·1－x

由y ′＝0得x ＝12，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上y ′>0，在⎝ ⎛⎭⎪⎫

12，1上

y ′<0.∴x ＝1

2时y 极大＝

2， 又x ∈(0,1)，∴y max ＝

2.

6．函数f (x )＝x 4－4x (|x |<1)( ) A ．有最大值，无最小值 B ．有最大值，也有最小值 C ．无最大值，有最小值 D ．既无最大值，也无最小值 [答案] D

[解析] f ′(x )＝4x 3－4＝4(x －1)(x 2＋x ＋1)．

令f ′(x )＝0，得x ＝1.又x ∈(－1,1) ∴该方程无解，

故函数f (x )在(－1,1)上既无极值也无最值．故选D.

7．函数y ＝2x 3－3x 2－12x ＋5在[0,3]上的最大值和最小值分别是( )

A ．5，－15

B ．5,4

C ．－4，－15

D ．5，－16

[答案] A

[解析] y ′＝6x 2－6x －12＝6(x －2)(x ＋1)， 令y ′＝0，得x ＝2或x ＝－1(舍)． ∵f (0)＝5，f (2)＝－15，f (3)＝－4， ∴y max ＝5，y min ＝－15，故选A.

8．已知函数y ＝－x 2－2x ＋3在[a,2]上的最大值为15

4，则a 等

于( )

A ．－3

2

B.12 C ．－1

2

D.12或－32

[答案] C

[解析] y ′＝－2x －2，令y ′＝0得x ＝－1. 当a ≤－1时，最大值为f (－1)＝4，不合题意． 当－1

2－2

a ＋3＝15

4

，

解得a ＝－12或a ＝－3

2

(舍去)．

9．若函数f (x )＝x 3－12x 在区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是

( )

A ．k ≤－3或－1≤k ≤1或k ≥3

B ．－3

C ．－2

D ．不存在这样的实数 [答案] B

[解析] 因为y ′＝3x 2－12，由y ′>0得函数的增区间是(－∞，－2)和(2，＋∞)，由y ′<0，得函数的减区间是(－2,2)，由于函数在(k －1，k ＋1)上不是单调函数，所以有k －1<－2

10．函数f (x )＝x 3＋ax －2在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数

a 的取值范围是( )

A ．[3，＋∞)

B ．[－3，＋∞)

C ．(－3，＋∞)

D ．(－∞，－3)

[答案] B

[解析] ∵f (x )＝x 3＋ax －2在[1，＋∞)上是增函数，∴f ′(x )＝3x 2＋a ≥0在[1，＋∞)上恒成立

即a ≥－3x 2在[1，＋∞)上恒成立 又∵在[1，＋∞)上(－3x 2)max ＝－3 ∴a ≥－3，故应选B. 二、填空题

11．函数y ＝x 32＋(1－x )3

2，0≤x ≤1的最小值为______．

[答案]

22

由y ′>0得x >12，由y ′<0得x <1

2

.

此函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上为减函数，在⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

12，1上为增函数，∴最小值