中考数学 二次函数存在性问题 及参考答案
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１ 中考数学 二次函数存在性问题 及参考答案
一、二次函数中相似三角形的存在性问题
1.如图，把抛物线2yx向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线2()yxhk.
所得抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D.
（1）写出hk、的值；（2）判断△ACD的形状，并说明理由；
（3）在线段AC上是否存在点M，使△AOM∽△ABC？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.
2.如图，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；
（3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PMx轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
２ 二、二次函数中面积的存在性问题
3.如图，抛物线20yaxbxa>与双曲线kyx相交于点A，B．已知点B的坐标为（－2，－2），点A在第一象限内，且tan∠AOX＝4．过点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C．
（1）求双曲线和抛物线的解析式；
（2）计算△ABC的面积；
（3）在抛物线上是否存在点D，使△ABD的面积等于△ABC的面积．若存在，请你写出点D的坐标；若不存在，请你说明理由．
4.如图，抛物线y＝ax2＋c（a＞0）经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD在x轴上，
其中A（－2,0），B（－1, －3）．
（1）求抛物线的解析式；（3分）
（2）点M为y轴上任意一点，当点M到A、B两点的距离之和为最小时，求此时点M的坐标；（2分）
（3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P使S△PAD＝4S△ABM成立，求点P的坐标．（4分）
(4)在抛物线的BD段上是否存在点Q使三角形BDQ的面积最大，若有，求出点Q的坐标，若没有，请说明理由。
x y
C B _ D _ A
O
３ 三、二次函数中直角三角形的存在性问题
5.如图,△ABC是直角三角形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1，OC=4，抛物线2yxbxc经过A，B两点，
抛物线的顶点为D．
（1）求b,c的值；
（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点(点A、B除外)，过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下：①求以点Ｅ、Ｂ、Ｆ、Ｄ为顶点的四边形的面积；②在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形? 若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由.
四、二次函数中等腰三角形的存在性问题
6.如图，直线33xy交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C（3,0）.
⑴ 求抛物线的解析式;
⑵ 在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由.
五、二次函数中等腰梯形、直角梯形的存在性问题 AOCBDxy26题备用图AOCBDxy26题图y
x O C B
A
４ 7．如图，二次函数y= x2axb的图像与x轴交于A(21，0)、B(2，0)两点，且与y轴交于点C；
(1) 求该拋物线的解析式，并判断△ABC的形状；
(2) 在x轴上方的拋物线上有一点D，且以A、C、D、B四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D点的坐标；
(3) 在此拋物线上是否存在点P，使得以A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。
六、二次函数中菱形的存在性问题
8．如图，已知抛物线经过原点O和x轴上一点A（4，0），抛物线顶点为E，它的对称轴与x轴交于点D．直线y=﹣2x﹣1经过抛物线上一点B（﹣2，m）且与y轴交于点C，与抛物线的对称轴交于点F．
（1）求m的值及该抛物线对应的解析式；
（2）P（x，y）是抛物线上的一点，若S△ADP=S△ADC，求出所有符合条件的点P的坐标；
（3）点Q是平面内任意一点，点M从点F出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设点M的运动时间为t秒，是否能使以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形？若能，请直接写出点M的运动时间t的值；若不能，请说明理由．
1、【答案】解：（1）∵由平移的性质知，2()yxhk的顶点坐标为Ｄ（－１，－４）， y
A B C
O x
５ ∴14hk，。
（2）由（1）得2=14yx.
当=0y时，2140x． 解之，得1231xx， 。
∴A(30)B10 ，，(，).
又当0x时，22=140143yx，
∴C点坐标为（0，－3）。
又抛物线顶点坐标D（－1，－4），
作抛物线的对称轴1x交x轴于点E，DF⊥ y轴于点F。易知
在Rt△AED中，AD2=22+42=20，在Rt△AOC中，AC2=32+32=18，
在Rt△CFD中，CD2=12+12=2， ∴AC2＋ CD2＝AD2。∴△ACD是直角三角形。
（3）存在．作OM∥BC交AC于M，Ｍ点即为所求点。
由（2）知，△AOC为等腰直角三角形，∠BAC＝450，AC1832。
由△AOM∽
△ABC，得AOAMABAC。即3AM9,AM24432 。
过M点作MG⊥AB于点G，则AG=MG=29281942164，
OG=AO－AG=3－9344。又点M在第三象限，所以M（－34，－94）。
2、【答案】解：（1）设抛物线的解析式为20yaxbxca，
∵抛物线过A（﹣2，0），B（﹣3，3），O（0，0）可得 42=093=3=0abcabcc，解得 =1=2=0abc。
∴抛物线的解析式为22yxx。
（2）①当AE为边时，∵A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，∴DE=AO=2，
则D在x轴下方不可能，∴D在x轴上方且DE=2，则D1（1，3），D2（﹣3，3）。②当AO为对角线时，则DE与AO互相平分。
６ ∵点E在对称轴上，且线段AO的中点横坐标为﹣1，
由对称性知，符合条件的点D只有一个，与点C重合，即C（﹣1，﹣1）。
故符合条件的点D有三个，分别是D1（1，3），D2（﹣3，3），C（﹣1，﹣1）。
（3）存在，如图：∵B（﹣3，3），C（﹣1，﹣1），根据勾股定理得：
BO2=18，CO2=2，BC2=20，∴BO2+CO2=BC2．∴△BOC是直角三角形。
假设存在点P，使以P，M，A为顶点的 三角形与△BOC相似，
设P（x，y），由题意知x＞0，y＞0，且22yxx，
①若△AMP∽△BOC，则AMPMBOCO。
即
x+2=3（x2+2x）得：x1=13，x2=﹣2（舍去）．
当x=13时，y=79，即P（13，79）。
②若△PMA∽△BOC，则，BOPMCOBO。
即：x2+2x=3（x+2）得：x1=3，x2=﹣2（舍去）
当x=3时，y=15，即P（3，15）．
故符合条件的点P有两个，分别是P（13，79）或（3，15）。
3、【答案】解：（1）把点B（－2，－2）的坐标代入kyx得，22k，∴k＝4。
∴双曲线的解析式为：4yx。
设A点的坐标为（m，n）．∵A点在双曲线上，∴mn＝4。
又∵tan∠AOX＝4，∴错误!未找到引用源。＝4，即m＝4n。∴n2＝1，∴n＝±1。
∵A点在第一象限，∴n＝1，m＝4。∴A点的坐标为（1，4）。
把A、B点的坐标代入2yaxbx得，4422abab，错误!未找到引用源。解得，a＝1，b＝3。
∴抛物线的解析式为：23yxx。
（2）∵AC∥x轴，∴点C的纵坐标y＝4，
代入23yxx得方程，2340xx，解得x1＝－4，x2＝1（舍去）。
∴C点的坐标为（－4，4），且AC＝5。
７ 又∵△ABC的高为6，∴△ABC的面积＝错误!未找到引用源。×5×6＝15。
（3）存在D点使△ABD的面积等于△ABC的面积。理由如下：
过点C作CD∥AB交抛物线于另一点D，此时△ABD的面积等于△ABC的面积（同底：AB，等高：CD和AB的距离）。
∵直线AB相应的一次函数是：22yx，且CD∥AB，
∴可设直线CD解析式为2yxp，
把C点的坐标（﹣4，4）代入可得，12p。
∴直线CD相应的一次函数是：212yx。
解方程组23212yxxyx，解错误!未找到引用源。得，318xy。
错误!未找到引用源。∴点D的坐标为（3，18）。
4.（1）、因为点A、B均在抛物线上，故点A、B的坐标适合抛物线方程
∴403acac 解之得：14ac；故24yx为所求
（2）如图2，连接BD，交y轴于点M，则点M就是所求作的点
设BD的解析式为ykxb，则有203kbkb，12kb，
故BD的解析式为2yx；令0,x则2y，故(0,2)M
(3)、如图3，连接AM，BC交y轴于点N，由（2）知，OM=OA=OD=2，90AMB
易知BN=MN=1， 易求22,2AMBM
122222ABMS；设2(,4)Pxx，
依题意有：214422ADx，即：2144422x
解之得：22x，0x，故符合条件的P点有三个：
123(22,4),(22,4),(0,4)PPP
xyNMOP2P1BDAP3C图3
