2020中考复习——常用解题方法【整体代入法】(一)(有答案)
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第1页，共8页 2020中考复习——常用解题方法【整体代入法】（一）
知识点梳理：
我们在计算代数式的值时，有时会遇到出题人给出的条件不是字母的具体值，就需要先进行化简，求出字母的值，但有时很难求出字母的值或者根本就求不出字母的值，
那么根据题目特点，将一个代数式的值整体代入。求值时方便又快捷，这种整体代入的技巧在数学求值中经常用到。
典型例题：
【例1】抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥−3经过点(2,4)，则代数式8𝑎+4𝑏+1的值是( )．
A. −15 B. 15 C. 9 D. 3
【解】：∵𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥−3过点(2,4)，
∴4=4𝑎+2𝑏−3，
∴4𝑎+2𝑏=7，
∴8𝑎+4𝑏+1=2(4𝑎+2𝑏)+1=2×7+1=15．
【解题反思】
此题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征以及代数式求值，根据题意得出4𝑎+2𝑏=7是解决问题的关键．根据图象上点的性质，将(2,4)代入得出4𝑎+2𝑏=7，即可得出答案．
【例2】若m是一元二次方程𝑥2+𝑥−1=0的根，则𝑚3+2𝑚2−7=________．
【解】：m是一元二次方程𝑥2+𝑥−1=0的根，
∴𝑚2+𝑚−1=0，即：𝑚2+𝑚=1，
∴𝑚3+2𝑚2−7，
=𝑚(𝑚2+𝑚+𝑚)−7，
=𝑚(1+𝑚)−7，
=𝑚2+𝑚−7，
=1−7，
=−6，
【解题反思】
本题考查了一元二次方程的解，代数式的值，整体代入法，根据m是一元二次方程的解可得𝑚2+𝑚=1，然后对代数式变形后整体代入，得到𝑚2+𝑚−7，再次整体代入即可得到答案．
【例3】阅读材料：我们知道，4𝑥−2𝑥+𝑥=(4−2+1)𝑥=3𝑥，类似地，把(𝑎+𝑏)看成一个整体，则4(𝑎+𝑏)−2(𝑎+𝑏)+(𝑎+𝑏)=(4−2+1)(𝑎+𝑏)=3(𝑎+𝑏).“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．尝试应用：
(1)把(𝑎−𝑏)2看成一个整体，合并3(𝑎−𝑏)2−6(𝑎−𝑏)2+2(𝑎−𝑏)2的结果是______．
(2)已知3𝑥2−2𝑦=4，求2𝑥2−43𝑦−4的值；
拓广探索：
(3)已知𝑎−2𝑏=3，2𝑏−𝑐=−5，𝑐−𝑑=10，求(𝑎−𝑐)+3(2𝑏−𝑑)−(2𝑏−𝑐)的值．
【解】：(1)∵3(𝑎−𝑏)2−6(𝑎−𝑏)2+2(𝑎−𝑏)2=(3−6+2)(𝑎−𝑏)2=−(𝑎−𝑏)2；
(2)∵3𝑥2−2𝑦=4，
∴原式=23(3𝑥2−2𝑦)−4=23×4−4=−43；
(3)∵𝑎−2𝑏=3，2𝑏−𝑐=−5，𝑐−𝑑=10， 第2页，共8页 ∴𝑎−𝑐=−2，2𝑏−𝑑=5，
∴原式=−2+3×5−(−5)=18．
【解题反思】
本题主要考查了整式的加减，解决问题的关键是运用整体思想；给出整式中字母的值，求整式的值的问题，一般要先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值，不能把数值直接代入整式中计算．
(1)利用整体思想，把(𝑎−𝑏)2看成一个整体，合并3(𝑎−𝑏)2−6(𝑎−𝑏)2+2(𝑎−𝑏)2即可得到结果；
(2)原式可化为23(3𝑥2−2𝑦)，把3𝑥2−2𝑦=4整体代入即可；
(3)依据𝑎−2𝑏=3，2𝑏−𝑐=−5，𝑐−𝑑=10，即可得到𝑎−𝑐=−2，2𝑏−𝑑=5，整体代入进行计算即可．
综合训练
一、选择题
1. 若2𝑎−𝑏=3，则4𝑎−2𝑏+2的值为( )
A. 8 B. 11 C. −5 D. −2
2. 长为a，宽为b的长方形的周长为22，面积为24，则𝑎2𝑏+𝑎𝑏2−2𝑎−2𝑏的值为( )
A. 66 B. 121 C. 242 D. 369
3. 二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥−1(𝑎≠0)的图象经过点(1,1)，则代数式1−𝑎−𝑏的值为( )
A. −3 B. −1 C. 2 D. 5
4. 已知𝑎+𝑏=16，𝑏+𝑐=12，𝑐+𝑎=10，则𝑎+𝑏+𝑐等于( )
A. 19 B. 38 C. 14 D. 22
5. 已知抛物线𝑦=𝑥2−𝑥−2与x轴的一个交点为(𝑚,0)，则代数式𝑚2−𝑚+2018的值是( )
A. 2019 B. 2020 C. 2021 D. 2022
二、填空题
6. 若𝑎=𝑏+2，则代数式𝑎2-2ab+𝑏2的值为______．
7. 已知a是方程𝑥2−3𝑥−1=0的根，𝑎26𝑎+2=____．
8. 若𝑎𝑏=𝑐𝑑=𝑒𝑓=2，且𝑏+𝑑+𝑓=5，则𝑎+𝑐+𝑒=__________．
9. 已知x，y满足方程组{𝑥−2𝑦=5𝑥+2𝑦=−3，则𝑥2−4𝑦2的值为_______．
10. 知𝑥=1已是方程3𝑥-𝑚=𝑥+2𝑛的解，则整式𝑚+2𝑛+2008的值等于______
三、解答题
11. 已知𝑥+4𝑦=−2,𝑥𝑦=6,求(6𝑥𝑦+7𝑦)+[8𝑥−(5𝑥𝑦−𝑦+6𝑥)]的值。
12. 已知𝑎𝑚=2，𝑎𝑛=3，求：
①𝑎𝑚+𝑛的值；
②𝑎3𝑚+2𝑛的值．
第3页，共8页
13. 阅读下文，解答下列小题：
已知𝑎=√5−1，求2𝑎3+7𝑎2−2𝑎−12的值。
解：由已知得(𝑎+1)2=5，所以𝑎2+2𝑎=4
则原式=2𝑎3+4𝑎2+2𝑎+3𝑎2−4𝑎−12
=2𝑎(𝑎2+2𝑎+1)+3𝑎2−4𝑎−12
=2𝑎(𝑎+1)2+3𝑎2−4𝑎−12
=2𝑎×5+3𝑎2−4𝑎−12
=3𝑎2+6𝑎−12
=3(𝑎2+2𝑎)−12
=3×4−12
=0
仿照上例，解答下题：设𝑎=√7−1，求3𝑎3+12𝑎2−6𝑎−12的值。
14. 设𝐴=2𝑥2+𝑥𝑦+3𝑦2，𝐵=𝑥2−𝑥𝑦+2𝑦2
(1)若𝑥2与|2𝑥−𝑦2+2|互为相反数，求2𝐴−3(2𝐵−𝐴)的值．
(2)若𝑥2+𝑦2=4, 𝑥𝑦=−2,求𝐴−𝐵的值。收起
15. 请认真观察图形，解答下列问题：
(1)根据图中条件，你能得到怎样的等量关系？请用等式表示出来； 第4页，共8页 (2)如果图中的a，𝑏(𝑎>𝑏)满足𝑎2+𝑏2=57，𝑎𝑏=12，求𝑎+𝑏的值；
(3)已知(5+2𝑥)2+(3+2𝑥)2=60，求(5+2𝑥)(2𝑥+3)的值．
16. 阅读材料：善于思考的小军在解方程组{2𝑥+5𝑦=3 ①4𝑥+11𝑦=5 ②时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程②变形：4𝑥+10𝑦+𝑦=5即2(2𝑥+5𝑦)+𝑦=5③
把方程①带入③得：2×3+𝑦=5，∴𝑦=−1
把𝑦=−1代入①得𝑥=4，∴方程组的解为{𝑥=4𝑦=−1．
请你解决以下问题：
(1)模仿小军的“整体代换”法解方程组{3𝑥−2𝑦=5 ①9𝑥−4𝑦=19 ②
(2)已知x，y满足方程组{3𝑥2−2𝑥𝑦+12𝑦2=47 ①2𝑥2+𝑥𝑦+8𝑦2=36 ②．
(𝑖)求𝑥2+4𝑦2的值；
(𝑖𝑖)求1𝑥+12𝑦的值．
第5页，共8页 答案和解析
1. A
2. C
解：因为长方形的周长为22，面积为24，
所以2(𝑎+𝑏)=22，
𝑎×𝑏=24，
解得𝑎=8，𝑏=3，
所以𝑎2𝑏+𝑎𝑏2−2𝑎−2𝑏=𝑎𝑏(𝑎+𝑏)−2(𝑎+𝑏)=(𝑎𝑏−2)(𝑎+𝑏)=242.
3. B
解：∵二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥−1(𝑎≠0)的图象经过点(1,1)，
∴𝑎+𝑏−1=1，
∴𝑎+𝑏=2，
∴1−𝑎−𝑏=1−(𝑎+𝑏)=1−2=−1．
4. A
解：{𝑎+𝑏=16𝑏+𝑐=12𝑐+𝑎=10，
三个等式相加得：2𝑎+2𝑏+2𝑐=38，
所以𝑎+𝑏+𝑐=19．
5. B
解：∵抛物线𝑦=𝑥2−𝑥−2与x轴的一个交点为(𝑚,0)，
∴𝑚2−𝑚−2=0，
∴𝑚2−𝑚=2，
∴𝑚2−𝑚+2018=2+2018=2020．
6. 4
解：∵𝑎=𝑏+2，
∴𝑎−𝑏=2，
∴𝑎2−2𝑎𝑏+𝑏2=(𝑎−𝑏)2=4．
第6页，共8页 7. 12
解：∵𝑎是方程𝑥2−3𝑥−1=0的根，
∴𝑎2−3𝑎−1=0，
∴𝑎2=3𝑎+1，
∴𝑎26𝑎+2=3𝑎+1 2(3𝑎+1)=12．
8. 10
解：∵𝑎𝑏=𝑐𝑑=𝑒𝑓=2，
∴𝑎=2𝑏，𝑐=2𝑑，𝑒=2𝑓，
∴𝑎+𝑐+𝑒=2(𝑏+𝑑+𝑓)，
∵𝑏+𝑑+𝑓=5，
∴𝑎+𝑐+𝑒=2×5=10．
9. −15
解：原式=(𝑥+2𝑦)(𝑥−2𝑦)
=−3×5
=−15
10. 2010
解：把𝑥=1代入3𝑥−𝑚=𝑥+2𝑛得：3−𝑚=1+2𝑛，𝑚+2𝑛=2，
则𝑚+2𝑛+2008=2+2008=2010．
11. 解：∵𝑥+4𝑦=−2，𝑥𝑦=6，
∴(6𝑥𝑦+7𝑦)+[8𝑥−(5𝑥𝑦−𝑦+6𝑥)]
=6𝑥𝑦+7𝑦+(8𝑥−5𝑥𝑦+𝑦−6𝑥)
=6𝑥𝑦+7𝑦+8𝑥−5𝑥𝑦+𝑦−6𝑥
=(6𝑥𝑦−5𝑥𝑦)+(7𝑦+𝑦)+(8𝑥−6𝑥)
=𝑥𝑦+8𝑦+2𝑥
=𝑥𝑦+2(𝑥+4𝑦)
=6−4
=2．
12. 解：∵𝑎𝑚=2，𝑎𝑛=3，
①𝑎𝑚+𝑛=𝑎𝑚⋅𝑎𝑛=2×3=6；
②𝑎3𝑚+2𝑛=𝑎3𝑚·𝑎2𝑛，
