整体代入法巧解数学难题-非常实用-完整版

*1、一个圆柱将其沿直径截成相等的两部分后，其中一个截面的面积（即：轴截面面积）是10平方厘米，它的侧面积是多少平方厘米？
*2、一个圆柱体侧面展开后是一个正方形，且底面积为10平方厘米，圆柱的表面积是多少平方厘米？
*3、一个圆柱体的侧面积是9.42平方米，体积为18.84立方米，其底面积是多少平方米？
*4、把一个横截面是正方形的长方体的木料切削成一个最大的圆柱体，此圆柱的表面积是32.97平方厘米，求底面直径与高的比是多少？
*5、一个圆柱形钢材，沿底面直径切成两个相等的半圆柱体，如图。

已知一个刨面的面积是960平方厘米，半圆柱体的体积是3014.4立方厘米，表面积是多少平方厘米？。

利用整体思想解题一、整体代入一类求代数式值的问题，若利用常规方法计算往往很复杂，甚至有时求不出具体的数值，这时若将条件和结论从一个整体的角度去分析，挖掘已知式子和待求式子的整体结构特征，将已知条件进行适当的变形，或把已知关系式作为整体代入，便可能使得求值问题变得“柳暗花明”．例1 已知a 是方程x 2－2014x ＋1＝0的一个根，试求a 2－2013a ＋220141a +的值． 解 由已知得a 2－2014a ＋1＝0．则得a 2－2013a ＝a －1，a 2＋1＝2014a ．显然a ≠0，所以两边同除以d ，得 a ＋12014a=， ∴a 2－2013a ＋220141a + ＝a －1＋20142014a＝a ＋1120141a -=-， ＝2013．评析 当已知方程的解时，通常把解代入方程，然后再对等式进行移项、因式分解、配方等变形，构造出待求式子的部分或整体．二、整体约减整体约减思想包含整体相减和整体约分两种，在利用整体思想变形时，须掌握一些变形公式．例2 观察下列等式：第1个等式：111111323a ⎛⎫==⨯- ⎪⨯⎝⎭；第2个等式：21111 35235a⎛⎫==⨯-⎪⨯⎝⎭；第3个等式：31111 57257a⎛⎫==⨯-⎪⨯⎝⎭；第4个等式：41111 79279a⎛⎫==⨯-⎪⨯⎝⎭；……请回答下列问题：(1)按以上规律列出第5个等式：a5＝_______；(2)用含n的代数式表示第n个等式：a n＝_______＝_______；(3)求a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100的值．评析本题是一道规律探究题，考查学生的观察能力、计算能力、由特殊到一般的数学思想等，解决问题的关键是发现等式中变化的数与序数的对应规律．三、整体换元整体换元思想是指将题目中的条件或结论看作一个整体，并用一个新量去替代，使问题转化为对这个新量的研究，从而起到化繁为简、化难为易的作用．例3 计算：11111111111232014232013232014⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⨯++++-++++⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111232013⎛⎫+++ ⎪⎝⎭． 解 仔细观察式子，发现四个括号中的式子都含有式子111232013+++． 不妨令a ＝111232013+++，则评析 把111232013+++看成一个整体，并用一个新字母a 来代替，使待求的式子变成一个含有字母a 的代数式，大大地简化了运算，起到了化繁为简的作用．四、整体补形整体补形思想是指根据已知图形的特点，将不规则或不完整的图形，通过简单的拼接，补充成规则的或完整的图形，再进行求解．例4 如图1，六边形ABCDEF 的六个角都相等，若AB ＝1，BC ＝CD ＝3，DE ＝2，则这个六边形的周长等于_______．解 分别作线段AB 、CD 、EF 的延长线和反向延长线，使它们交于点G 、H 、P ，如图2．∵六边形ABCDEF 的六个角都等于120°，∴六边形ABCDEF 的每一个外角的度数都是60°，∴△AHF 、△BGC 、△DPE 、△GHP 都是等边三角形．∴GC ＝BC ＝3，DP ＝DE ＝2，GH ＝GP ＝GC ＋CD ＋DP＝3＋3＋2＝8．F A＝HA＝GH－AB－BG＝8－1－3＝4．EF＝PH－HF－EP＝8－4－2＝2．所以，六边形的周长为：1＋3＋3＋2＋2＋4＝15．评析对于不规则的图形，我们常用割补法，将其转化为规则图形加以解决．五、整体改造当所求的式子不易入手时，可对已知或结论进行整体改造（如因式分解、配方等），寻求它们之间的联系，当图形比较复杂时，可对图形进行分解、平移、旋转、翻折、相似变换等．利用整体改造思想时，常用的改造途径有：数向形的改造，代数式结构的改造，条件和结论的改造，特殊和一般的改造，动和静、正和反的改造等．例5 如图3，AB⊥BC，AB＝BC＝2cm，弧OA与弧OC关于点O成中心对称，则AB、BC、弧CO、弧OA所围成的面积是_______cm2．解连结AC，因为弧OA与弧OC关于点O成中心对称，所以点O为AC的中点．所以，AB、BC、弧CO、弧OA所围成的面积为S△ABC＝12×2×2＝2(cm2)．评析本题根据中心对称的性质，把所求的不规则图形通过中心对称变换改造为规则图形，即△ABC的面积，这是问题解决的关键．六、整体合并解答代数问题时，有时代数式、方程或不等式进行合并，合并之后往往能凑整、消元等，这样的解题思想叫整体合并．应用整体合并思想应根据题目的特征，合理地进行合并，常用的合并方法有首尾合并、错位合并、配方合并、根据数字特征合并等．例6 已知x，y满足方程组2100821005x yx y+=⎧⎨+=-⎩，则x2－y2的值为_______．解由于x2－y2＝（x＋y）(x－y)，因此只要求出x＋y、x－y这两个整体的值即可．将两个方程相减，得x－y＝2013；将两个方程相加整理，得3x＋3y＝3，化简得x＋y＝1．∴x2－y2＝（x＋y）（x－y）＝2013．评析若直接解方程组求出x，y的值，再代入代数式进行计算，则计算量很大．这里采用整体合并的思想，取得了事半功倍的效果．七、整体操作整体操作是指从操作性问题的整体性质出发，注重对问题整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，把某些对象看做一个整体，从而有慝的地整体处理．解答操作性问题，关键是要善于运用“集成”的眼光，进行有意识的整体操作，解决这类问题一般要经历观察、思考、想象、交流、推理、操作、反思等活动过程，需要利用已有的生活经验和感知发现结论，从而解决问题．例7 有七只茶杯，杯口朝上放在桌子上，请你把它们全部转成杯口朝下，现在要求每一次同时翻转四只茶杯，使得杯口与杯底相反．问能否经过有限次翻转后，使得所有茶杯的杯口向下？给出你的结论并加以证明．解这是不可能做到的，我们用赋值法加以证明．把杯口朝上的茶杯记为＋1，把杯口朝下的茶杯记为－1．这样，问题就变为＋1，＋1，＋1，＋1，＋1，＋1，＋1七个数，每次翻动，就是改变其中四个数的符号，看能否经过有限次的翻动，把它们全部改为－1．改变一个数的符号，也就是把这个数乘以－1．在一次翻动中，有四个数乘以－1，七个数的乘积经过一次翻动后，应当乘以(－1)4．所以七个数的乘积经过翻动，仍然保持不变，原来的七个数的乘积是＋1，不管经过多少次翻动，七个数的乘积始终是＋1，而七个－1的乘积是－1，不可能把七个数都变成－1．评析此题若进行逐一尝试，是难以完成的，采用了赋值法——把杯口朝上的茶杯记为＋1，把杯口朝下的茶杯记为－1，从奇偶性方面做出判断，便能使问题快速得到解决．本题如果把杯子的个数改为偶数，或者每次翻动奇数个杯子，也可以用这种方法加以解决．整体化思想是解决数学问题的一种思维方法，掌握整体化思想方法有利于培养学生的直觉思维能力和发展学生的思维品质，在教学过程中，教师应该培养学生的整体化思想，寻求潜在规律，用整体化思想去解决数学问题．。

“整体代入法”在数学求值中的妙用整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法．从整体上去认识问题、思考问题，常常能化繁为简、变难为易，同时又能培养学生思维的灵活性、敏捷性．整体思想的主要表现形式有：整体代入、整体加减、整体代换、整体联想、整体补形、整体改造等等．在初中数学中的数与式、方程与不等式、函数与图象、几何与图形等方面，整体思想都有很好的应用，因此，每年的中考中涌现了许多别具创意、独特新颖的涉及整体思想的问题，尤其在考查高层次思维能力和创新意识方面具有独特的作用．一．数与式中的整体思想(一)整式求值：【例1】 已知代数式3x 2－4x+6的值为9，则2463x x -+的值为 ( )A ．18B ．12C ．9D ．7 相应练习：1. （2011盐城，4，3分）已知a ﹣b =1，则代数式2a ﹣2b ﹣3的值是（ ）A .﹣1B .1C .﹣5D .52、 若代数式2425x x -+的值为7，那么代数式221x x -+的值等于（ ）．A ．2B ．3C ．－2D ．43、若3a 2-a-2=0,则 5+2a-6a 2=4、当x=1时，代数式x 3+bx+7的值为4，则当x=－l 时，代数式x 3+bx+7的值为（）A ．7B ．10C ．11D ．12（二）分式求值：例2：先化简，再求值222142442a a a a a a a a +--⎛⎫-÷ ⎪--+-⎝⎭，其中a 满足a 2－2a －1=0．相应练习：1、当时，求代数式 的值．2．先化简，再求值： 2224124422a a a a a a⎛⎫--÷ ⎪-+--⎝⎭，其中a 是方程2x 2+6x+2=0的根3．已知a 2+2a=4，求的值．4.已知x 2－2x －1=0，且x<0，则=__________．5、已知，则代数式的值为_________．二、 方程(组)与不等式（组）中的整体思想【例3】已知24122x y k x y k +=+⎧⎨+=+⎩，且03x y <+<，则k 的取值范围是相应练习：1．如果(a 2+b 2) 2－2(a 2+b 2)－3=0，那么a 2+b 2=___． 2．用换元法解方程(x 2+x) 2+2(x 2+x)－1=0，若设y=x 2+x ，则原方程可变形为 ( )A ．y 2+2y+1=0B ．y 2－2y+1=0C ．y 2+2y －1=0D ．y 2－2y －1=03、已知关于x ，y 的二元一次方程组3511x ay x by -=⎧⎨+=⎩的解为56x y =⎧⎨=⎩，那么关于x ，y 的二元一次方程组3()()5()11x y a x y x y b x y +--=⎧⎨++-=⎩的解为为4．解方程 22523423x x x x+-=+5、已知是方程一个根，求的值.6、已知m 是方程220x x --=的一个实数根，求代数式22()(1)m m m m --+的值7、 若x 1，x 2是方程x 2+x ﹣1=0的两个根，则x 12+x 22= ．8、已知关于x 的方程222(1)740x a x a a +-+--=的两根为1x 、2x ， 且满足12123320x x x x ---=.求242(1)4aa a ++⋅-的值。

巧用“整体代入”数学思想方法解决数学问题作者：郑兴万来源：《教育周报·教研版》2017年第23期在解决数学问题的时候，有时不能直接解决问题，可以考虑使用“整体代入”数学思想方法解决问题，往往能起到事半功倍的效果。

下面就我在教学中用“整体代入”数学思想方法解决的几个数学问题。

以此提供给大家参考，不妥之处请指正。

一、利用“整体代入”数学思想方法解决实际中方程组的求解问题1.甲、乙两人合作完成一项工程需24天，若乙先干10天后甲加入则需20天完成；问甲乙单独完成这项工程各需多少天？解：设甲、乙单独完成这项工程过需x天，y天，依据意得；。

将①式代入②式得，解得y=60. 将y=60代入①式得x=40.经验根知：x=40是方程组的解。

由此发现整体代入在解决问题中取到的功效显而一见。

二、利用“整体代入”数学思想方法解决代数式的求值问题在学习了代数式的化简求值之后，对代数式的化简求值，有时在不能直接求出代数式值的情况下，可以考虑使用”整体代入”数学思想解决问题。

问题2.已知，求的值。

分析：因为，所以。

两边同除以m得；，于是 =25+2=27，因此 +（）=1+27=28。

利用“整体代入”数学思想方法解决与一元二次方程根与系数有关的代数式的求值问题。

问题3.设a、b是方程的两个实数根，求代数式的值。

解：由一元二次方程根与系数的关系，得a+b=-1，又因为a是方程的实数根，所以即：，因此， = =2009+（-1）=2008三、利用“整体代入”数学思想方法解决求三角形的周长问题问题4. 如图，Rt∆ABC的内切圆ʘO与两直角边AB、BC分别相切于点D、E，过劣弧DE（不包括端点D、E）上任一点P作ʘO的切线MN与AB、BC分别交于点M、N，若ʘO 的半径为r ，求Rt∆MBN的周长。

解：由切线长定理可得.DM=PM，NP=NE.连接OD、OE，则四边形ODBE是正方形。

所以DB=BE=OD=OE=r，于是Rt∆MBN的周长为：BM+BN+MN=BM+MP+BN+NP=BM+MD+BN+NEBD+BE=2 BD=2r。

:李诗czssjls@55数学写作灵活运用整体代入法嚣江苏省淮安曙光双语学校八(10)班张智鑫最近，很多同学在求代数式值时做错T,主要原因是没有掌握整体代入法。

我们在求代数式的值时，一般情况是先化简、合并同类项，再代入求值。

但有时这种方法行不通。

那么,我们可以选用整体代入法求代数式的值。

下面,我就举两个我遇到的典型例子。

例1已知x—\,y=~2时，代数式ax'+ ^by+5=2019,求当炉=扌,y=-2时，代数式3a%~\by2+6的值。

4本题中我发现字母a、b的值并不知道,根据已知条件想求出a』的值也是不可能的。

那么，我先将”=l,y=-2代入已知式，得a-6=2014；再将％=扌，尸-2代入未知式3ax~^by2+6,得原式=a~b+6a我发现化简后的已知式和未知式都含有a-6,代数式a-b相售于一个整体。

由a-b=2014,得a-6+6=2020。

例2若X-2/+5的值为7,求代数式6y2-3x+4的值。

这题中，直接由乂-2/+5=7求％、y的值，也是没法求的。

我便想先找出已知式与待求式之间的关系。

由x-2/+5=7,得x-2/=20我发现待求式中力项和才项的系数是已知式中力项和犷项的系数的-3倍,所以6/-3x+4就可以变形为-3(x-2/)+ 4O通过变形，我发现已知式与待求式都含有x-2/.T是我就把”-2才当成整体代入，得-3(x-2y2)+4=-2,进而求出待求式的值。

我的感悟：由这两个例子，我发现有些代数式没有给出其中字母的值,却给出了与字母相关的一个“小代数式”的值，而所求代数式的值恰好是由这样的“小代数式”构成的，这时,我们就可以把“小代数式”看成一个整体,用整体代入法求值。

小张同学能很灵活地运用整体代入法求代数式的值。

什么时候运用整体代入求代数式的值？当代数式中的字母不能或不容易求出具体的值时，我们可以考虑整体代入法。

怎样运用整体代入法求代数式的值？我们可以先观察所求代数式与已知条件之间的内在联系，有时需对所求代数式或已知条件做适当变形,使变形后可以实施整体代入，这在小张同学的文章中都体现出来了。

“整体代入法”在数学求值中的妙用整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征， 从而对问题进行整体处理的解题方法． 从整体上去认识问题、思考问题，常常能化繁为简、 变难为易，同时又能培养学生思维的灵活性、 敏捷性． 整体思想的主要表现形式有：整体代入、整体加减、整体代换、整体联想、整体补形、整体改造等等．在初中数学中的数与式、方程与不等式、函数与图象、几何与图形等方面，整体思想都有很好的应用，因此，每年的中考中涌现了许多别具创意、 独特新颖的涉及整体思想的问题， 尤其在考查高层 次思维能力和创新意识方面具有独特的作用．一．数与式中的整体思想( 一 ) 整式求值：2 4 6【例 1】 已知代数式 x x )3x 2－ 4x+6 的值为 9，则 3 的值为 (A ． 18B ． 12C ． 9D ． 7 相应练习：1. （ 2011 盐城， 4， 3 分）已知 a ﹣b=1 ，则代数式 2a ﹣ 2b ﹣3 的值是（ ）A. ﹣1B. 1C. ﹣ 5 D . 52、 若代数式 4x 2 2x 5 的值为 7，那么代数式 2x 2 x 1的值等于（ ）． A ． 2 B ．3 C ．－ 2 D ．43、若 3a 2-a-2=0, 则 5+2a-6a 2=4、当 x=1 时，代数式 x 3+bx+7 的值为 4，则当 x= － l 时，代数式 x 3+bx+7 的值为（）A ． 7B ． 10C ． 11D ． 12（二）分式求值： a 2 a 1 a 4 例 2：先化简，再求值 a 2 2a a 2 4a 4a 2 ，其中 a 满足 a 2－ 2a －1=0． 相应练习：1、当 时，求代数式 的值．2．先化简，再求值： a 2 4 1 2 ，其中 a 是方程 2x 2+6x+2=0 的根a 2 4a 4 2 a a 2 2a1。

专题03 整体代入法【规律总结】整体代入法，在求代数式值中应用求代数式的值最常用的方法，即把字母所表示的数值直接代入，计算求值。

有时给出的条件不是字母的具体值，就需要先进行化简，求出字母的值，但有时很难求出字母的值或者根本就求不出字母的值，根据题目特点，将一个代数式的值整体代入，求值时方便又快捷，这种整体代入的技法经常用到。

【典例分析】例1、在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b(a>b)的正方形纸片按图1，图2两种方式放置(图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠)，矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2.当AD−AB=2时，S2−S1的值为()A. 2aB. 2bC. 2a−2bD. −2b【答案】B【解析】解：S1=(AB−a)⋅a+(CD−b)(AD−a)=(AB−a)⋅a+(AB−b)(AD−a)，S2=AB(AD−a)+(a−b)(AB−a)，∴S2−S1=AB(AD−a)+(a−b)(AB−a)−(AB−a)⋅a−(AB−b)(AD−a)=(AD−a)(AB−AB+b)+(AB−a)(a−b−a)=b⋅AD−ab−b⋅AB+ab=b(AD−AB)=2b．故选：B．利用面积的和差分别表示出S1和S2，然后利用整式的混合运算计算它们的差．本题考查了整式的混合运算：“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来．也考查了正方形的性质．例2、若m是方程2x2−3x−1=0的一个根，则6m2−9m+2015的值为______．【答案】2018【解析】解：由题意可知：2m2−3m−1=0，∴2m2−3m=1∴原式=3(2m2−3m)+2015=2018故答案为：2018根据一元二次方程的解的定义即可求出答案．本题考查一元二次方程的解，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义，本题属于基础题型．例3、解下列各题：(1)若n满足(n−2023)(2021−n)=−6，求(n−2023)2+(2021−n)2的值．(2)已知：m2=n+2，n2=m+2(m≠n)，求：m3−2mn+n3的值．【答案】解：(1)∵(n−2023)(2021−n)=−6，∴原式=(n−2023+2021−n)2−2(n−2023)(2021−n)=(−2)2−2×(−6)=4+12=16；(2)∵m2=n+2①，n2=m+2(m≠n)②，∴m2−n=2，n2−m=2，∵m≠n，∴m−n≠0，∴①−②得m2−n2=n−m∴(m−n)(m+n)=−(m−n)，∵m−n≠0，∴m+n=−1∴原式=m3−mn−mn+n3=m(m2−n)+n(n2−m)=2m +2n=2(m +n)=2×(−1)=−2．【解析】本题主要考查的是代数式求值，完全平方公式，运用了整体代入法的有关知识．(1)将给出的代数式进行变形为(n −2023+2021−n)2−2(n −2023)(2021−n)，然后整体代入求值即可；(2)先根据m 2=n +2，n 2=m +2(m ≠n)，求出m +n =−1，然后将给出的代数式进行变形，最后整体代入求解即可．【好题演练】一、选择题1. 已知a +b =12，则代数式2a +2b −3的值是( ) A. 2B. −2C. −4D. −312 【答案】B 【解析】解：∵2a +2b −3=2(a +b)−3，∴将a +b =12代入得：2×12−3=−2故选：B ．注意到2a +2b −3只需变形得2(a +b)−3，再将a +b =12，整体代入即可此题考查代数式求值的整体代入，只需通过因式解进行变形，再整体代入即可．2. 若α、β为方程2x 2−5x −1=0的两个实数根，则2α2+3αβ+5β的值为( ) A. −13B. 12C. 14D. 15【答案】B【解析】【分析】 本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两根时，x 1+x 2=−b a，x 1x 2=c a .也考查了一元二次方程解的定义． 根据一元二次方程解的定义得到2α2−5α−1=0，即2α2=5α+1，则2α2+3αβ+5β可表示为5(α+β)+3αβ+1，再根据根与系数的关系得到α+β=52，αβ=−12，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：∵α为2x 2−5x −1=0的实数根，∴2α2−5α−1=0，即2α2=5α+1，∴2α2+3αβ+5β=5α+1+3αβ+5β=5(α+β)+3αβ+1，∵α、β为方程2x 2−5x −1=0的两个实数根，∴α+β=52，αβ=−12，∴2α2+3αβ+5β=5×52+3×(−12)+1=12． 故选B ．3. 如果a 2+2a −1=0，那么代数式(a −4a ).a 2a−2的值是( )A. −3B. −1C. 1D. 3【答案】C【解析】【分析】 本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．根据分式的减法和乘法可以化简题目中的式子，然后根据a 2+2a −1=0，可以得到a 2+2a =1，从而可以求得所求式子的值．【解答】解：(a −4a )⋅a 2a−2=a 2−4a ⋅a 2a−2=(a+2)(a−2)a ⋅a 2a−2=a 2+2a ，由a 2+2a −1=0得a 2+2a =1，故原式=1．故选C ．4.已知1x −1y=3，则代数式2x+3xy−2yx−xy−y的值是()A. −72B. −112C. 92D. 34【答案】D【解析】解：∵1x−1y=3，∴y−xxy=3，∴x−y=−3xy，则原式=2(x−y)+3xy(x−y)−xy=−6xy+3xy−3xy−xy=−3xy−4xy=34，故选：D．由1x −1y=3得出y−xxy=3，即x−y=−3xy，整体代入原式=2(x−y)+3xy(x−y)−xy，计算可得．本题主要考查分式的加减法，解题的关键是掌握分式加减运算法则和整体代入思想的运用．5.已知x1，x2是方程x2−3x−2=0的两根，则x12+x22的值为()A. 5B. 10C. 11D. 13【答案】D【解析】【分析】本题考查了完全平方公式以及根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba ，x1x2=ca，利用根与系数的关系得到x1+x2=3，x1x2=−2，再利用完全平方公式得到x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：根据题意得x1+x2=3，x1x2=−2，所以x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=32−2×(−2)=13．故选：D．6.小慧去花店购买鲜花，若买5支玫瑰和3支百合，则她所带的钱还剩下10元；若买3支玫瑰和5支百合，则她所带的钱还缺4元．若只买8支玫瑰，则她所带的钱还剩下()A. 31元B. 30元C. 25元D. 19元【答案】A【解析】【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．设每支玫瑰x元，每支百合y元，根据总价=单价×数量结合小慧带的钱数不变，可得出关于x，y的二元一次方程，整理后可得出y=x+7，再将其代入5x+3y+10−8x中即可求出结论．【解答】解：设每支玫瑰x元，每支百合y元，依题意，得：5x+3y+10=3x+5y−4，∴y=x+7，∴5x+3y+10−8x=5x+3(x+7)+10−8x=31．故选A．二、填空题7.已知ab=a+b+1，则(a−1)(b−1)=______．【答案】2【解析】【分析】本题考查多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式乘多项式的运算法则及整体代入思想的运用，属于基础题．将ab=a+b+1代入原式=ab−a−b+1，合并即可得．【解答】解：当ab=a+b+1时，原式=ab−a−b+1=a+b+1−a−b+1=2，故答案为：2．8.将抛物线y=ax2+bx−1向上平移3个单位长度后，经过点(−2,5)，则8a−4b−11的值是______．【答案】−5【解析】解：将抛物线y=ax2+bx−1向上平移3个单位长度后，表达式为：y=ax2+bx+2，∵经过点(−2,5)，代入得：4a−2b=3，则8a−4b−11=2(4a−2b)−11=2×3−11=−5，故答案为：−5．根据二次函数的平移得出平移后的表达式，再将点(−2,5)代入，得到4a−2b=3，最后将8a−4b−11变形求值即可．本题考查了二次函数的平移，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是得出平移后的表达式．9.若a+b=1，则a2−b2+2b−2=______．【答案】−1【解析】解：∵a+b=1，∴a2−b2+2b−2=(a+b)(a−b)+2b−2=a−b+2b−2=a+b−2=1−2=−1．故答案为：−1．由于a+b=1，将a2−b2+2b−2变形为a+b的形式，整体代入计算即可求解．本题考查了平方差公式，注意整体思想的应用．10.若实数x满足x2−2x−1=0，则2x3−7x2+4x−2017=______．【答案】−2020【解析】【分析】把−7x2分解成−4x2与−3x2相加，然后把所求代数式整理成用x2−2x表示的形式，然后代入数据计算求解即可．本题考查了提公因式法分解因式，利用因式分解整理出已知条件的形式是解题的关键，整体代入思想的利用比较重要．【解答】解：∵x2−2x−1=0，∴x2−2x=1，2x3−7x2+4x−2017=2x3−4x2−3x2+4x−2017，=2x(x2−2x)−3x2+4x−2017，=6x−3x2−2017，=−3(x2−2x)−2017=−3−2017=−2020，故答案为−2020．11.已知|x−y+2|+√x+y−2=0，则x2−y2的值为________．【答案】−4【解析】【分析】本题考查了非负数的性质，解题关键是掌握几个非负数的和等于0，那么这几个非负数都等于0.由非负数的性质得出x、y的值，再代入所求代数式求解即可．【解答】解：∵|x−y+2|+√x+y−2=0，∴x−y+2=0，x+y−2=0，即x−y=−2，x+y=2，∴x 2−y 2=(x +y)(x −y)=2×(−2)=−4，故答案为−4．12. 已知m +n =3mn ，则1m +1n 的值为______．【答案】3【解析】【试题解析】【分析】本题考查了分式的化简求值，利用通分将原式变形为m+n mn 是解题的关键．原式通分后可得出m+n mn ，代入m +n =3mn 即可求出结论．【解答】解：原式=1m +1n =m+n mn ，又∵m +n =3mn ，∴原式=m+n mn =3．故答案为：3．三、解答题13. 已知x =√2+1，y =√2−1，分别求下列代数式的值；(1)x 2+y 2；(2)y x +x y ．【答案】解：(1)∵x =2+1=√2−1，y =2−1=√2+1，∴x −y =−2，xy =2−1=1，∴x 2+y 2=(x −y)2+2xy =(−2)2+2×1=6；(2)∵x 2+y 2=6，xy =1，∴原式=x 2+y 2xy =61=6．【解析】本题考查二次根式的化简求值，分母有理化，解题的关键是运用完全平方公式以及整体思想，本题属于基础题型．(1)先将x 、y 进行分母有理化，得到x =√2−1，y =√2+1，再求出x −y 与xy 的值，然后根据完全平方公式得出x 2+y 2=(x −y)2+2xy ，再整体代入即可；(2)将所求式子变形为x 2+y 2xy ，再整体代入即可．14. 阅读材料，然后解方程组．材料：解方程组{x −y −1=0, ①4(x −y)−y =5. ②由①得x −y③，把③代入②，得4×1−y =5．解得y =−1．把y =−1代入③，得x =0．∴{x =0y =−1这种方法称为“整体代入法”.你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请用这种方法解方程组{2x −3y −2=0,①2x−3y+57+2y =9．②． 【答案】解：由①得：2x −3y =2③，将③代入②得：1+2y =9，即y =4，将y =4代入③得：x =7，则方程组的解为{x =7y =4．【解析】由第一个方程求出2x −3y 的值，代入第二个方程求出y 的值，进而求出x 的值，即可确定出方程组的解．此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．15. 阅读材料，善于思考的小军在解方程组{2x +5y =3①4x +11y =5②时，采用了一种“整体代换”的解法：解：将方程②变形：4x +10y +y =5即2(2x +5y)+y =5③把方程①代入③得2×3+y =5∴y =−1把y =−1代入①得x =4∴方程组的解为{x =4y =−1请你解决以下问题：(1)模仿小军的“整体代换”法解方程组{3x −2y =5 ①9x −4y =19② (2)已知x 、y 满足方程组{5x 2−2xy +20y 2=822x 2−xy +8y 2=32，求x 2+4y 2的值； 【答案】解：(1)由②得：3x +6x −4y =19，即3x +2(3x −2y)=19③，把①代入③得：3x +10=19，即x =3，把x =3代入①得：y =2，则方程组的解为{x =3y =2； (2)由5x 2−2xy +20y 2=82得：5(x 2+4y 2)−2xy =82，即x 2+4y 2=82+2xy 5， 由2x 2−xy +8y 2=32得：2(x 2+4y 2)−xy =32，即2×82+2xy 5−xy =32， 整理得：xy =4，∴x 2+4y 2=82+2xy 5=82+85=18．【解析】此题考查了解二元一次方程组，弄清阅读材料中的“整体代入”方法是解本题的关键．(1)模仿小军的“整体代换”法，求出方程组的解即可；(2)方程组第一个方程变形表示出x 2+4y 2，第二个方程变形后代入求出xy 的值，进而求出x 2+4y 2的值．16. (1)已知x 3⋅x a ⋅x 2a+1=x 31求a 的值；(2)若n 为正整数，且x 2n =4，求(3x 3n )2−4⋅(x 2)2n 的值。

初中数学思想方法专题讲座——整体思想解题策略整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法．从整体上去认识问题、思考问题，常常能化繁为简、变难为易，同时又能培养学生思维的灵活性、敏捷性．整体思想的主要表现形式有：整体代入、整体加减、整体代换、整体联想、整体补形、整体改造等等．在初中数学中的数与式、方程与不等式、函数与图象、几何与图形等方面，整体思想都有很好的应用，因此，每年的中考中涌现了许多别具创意、独特新颖的涉及整体思想的问题，尤其在考查高层次思维能力和创新意识方面具有独特的作用．一．数与式中的整体思想【例1】 已知代数式3x 2－4x+6的值为9，则2463x x -+的值为 ( )A ．18B ．12C ．9D ．7相应练习：1. 若代数式2425x x -+的值为7，那么代数式221x x -+的值等于（ ）．A ．2B ．3C ．－2D ．4 2.若3a 2-a-2=0,则 5+2a-6a 2=3.先化简，再求值222142442a a a a a a a a +--⎛⎫-÷ ⎪--+-⎝⎭，其中a 满足a 2－2a －1=0．总结：此类题是灵活运用数学方法解题技巧求值的问题，首先要观察已知条件和需要求解的代数式，然后将已知条件变换成适合所求代数式的形式，运用主题带入法即可得解。

【例2】.已知114a b -=，则2227a ab b a b ab---+的值等于（ ） A.6 B.6- C.125 D.27-【例3】已知200200a x =+，2002008b x =+，2002009c x =+，求多项式222a b c a b b c a c ++---的值．总结：在进行条件求值时，我们可以根据条件的结构特征，合理变形，构造出条件中含有的模型，然后整体代入，从整体上把握解的方向和策略，从而使复杂问题简单化．【例4】逐步降次代入求值：已知m 2-m -1=0，求代数式m 3-2m +2005的值．相应练习：1、已知m 是方程2250x x +-=的一个根，求32259m m m +--的值.2、已知m 是方程2310x x -+=的根，求代数式10214+-m m 的值.总结：此类题目通常为初中阶段很少接触到得三次方程甚至更高次的方程，那么用初中阶段的知识直接解题时肯定行不通的，所以这个时候我们就要考虑如何降次的问题。

二年级整体代入法例题在这个阳光明媚的早晨，咱们的小朋友们又要开始新一轮的数学冒险了！今天的任务是什么呢？没错，就是整体代入法。

这听起来是不是有点儿高大上？别怕，咱们把它拆开说说。

整体代入法就像咱们吃冰淇淋，先看看整个冰淇淋的样子，再慢慢享受每一口的滋味，明白了吗？咱们一起来把这个数学难题变成一块美味的蛋糕！想象一下，小明和小红这对好朋友，今天他们要去游乐园。

哇，游乐园可热闹了，游乐设施一个接一个，简直是乐不思蜀！不过，问题来了，他们需要买票才能进去。

假设每张票要10块钱，小明身上有50块，小红只有30块。

咱们先把这两个人的钱加起来，哦哦，这可是一笔不小的数目，50加30，嘿，正好是80块！这时候，有些小朋友可能会觉得：“哎呀，这80块能买几张票呀？”你说得没错，我们就得把这80块钱平均分给每张票，那就得用80除以10，咱们来算算，哇，这样算来，他们可以买8张票！太棒了吧，正好够他们和小伙伴们一起玩个痛快！他们一群小伙伴在游乐园里尽情玩耍，笑声、尖叫声交织在一起，仿佛整个世界都在欢快的旋律中舞动。

可是，玩累了总得休息吧？小明想：“我们可以去吃冰淇淋啊！不过，我们的钱够吗？”嗯，让我们再用整体代入法来算一下。

他们刚刚买票剩下的钱还有多少呢？用80减去他们买票花掉的60块，嘿嘿，剩下的20块可是足够再买个冰淇淋的。

小红一边舔着冰淇淋，一边对小明说：“这真是太美味了，简直是人间美味！”这时候，整体代入法就显得特别重要了，因为他们不仅算出了买票的费用，还知道了剩下的钱能做些什么，简直是划算到家了！说到这里，小朋友们有没有觉得，数学其实是生活的一部分呢？就像那句老话说的：“生活就像一盒巧克力，你永远不知道下一块是什么味道。

”在数学的世界里，有时候问题就像巧克力盒子里的每一块，都需要我们去探究，去尝试。

咱们用整体代入法，就像在找到巧克力盒子里的隐藏宝藏，越找越开心。

整体代入法还有个有趣的地方，它能让复杂的事情变简单。

整体思想——整体代入
整体的思想
用整体思想法解数学题，就是把一些看似彼此独立而实质是紧密相联的量看成一个整体去设元、列式、变形、求值等.这样做，不仅可以摆脱固定模式的束缚，使复杂的问题变得简单，陌生的问题变得熟悉，还往往可以解决按常规方法解决不了的一些问题.
整体代入
例题 已知x 2-5x+1=0，且x≠0，求441x x
+的值。

思路导航：由x 2-5x+1=0，先构造求出1x x +的值，然后整体代入441x x +变形的式子中求值即可。

答案：∵x 2-5x+1=0，且x≠0，
∴x 2+1=5x ， ∴15x x
+=， ∴24222422111()22x x x x x x ⎛⎫+=+⋅⋅+- ⎪⎝⎭
=222
1()2x x +- =22211(22)2x x x x
+⋅+-- =()22221()22522527x x ⎡⎤+--=--=⎢⎥⎣⎦。

点评：构造求出1x x +的值，搭建关于1x x
+的整体代入的模型，是解决本题的关键所在。

跟踪训练 1. （湖南衡阳中考）已知a +b =2，ab=1，则a 2b +ab 2的值为
2. （北京中考）已知0142=--x x ，求代数式2
2))(()32(y y x y x x --+--的值。

参考答案：
1. 2 解析：a 2b +ab 2=ab （a +b ）=2
2. 解：22))(()32(y y x y x x --+-- =22224129x x x y y -+-+-
=3x 2－12x ＋9
=3（x 2－4x ＋3）
∵0142=--x x
∴ x 2 －4x ＝1
∴原式 ＝1243)31(3=⨯=+⨯。

求代数式的值整体代入法技巧
求代数式的值是数学中的基本问题之一，而整体代入法是一种常用的技巧，可以帮助我们更快速地求出代数式的值。

本文将介绍整体代入法的基本原理和应用方法。

整体代入法的基本原理是将代数式中的变量全部替换为一个具体的数值，然后计算出代数式的值。

这种方法可以避免我们逐个计算每个变量的值，从而节省时间和精力。

例如，假设我们要求解以下代数式的值：
3x^2 + 2xy + y^2，当x=2，y=3时，该代数式的值为多少？
使用整体代入法，我们可以将x和y分别替换为2和3，得到：
3(2)^2 + 2(2)(3) + (3)^2 = 12 + 12 + 9 = 33
因此，当x=2，y=3时，该代数式的值为33。

除了上述的简单例子，整体代入法还可以应用于更复杂的代数式中。

例如，假设我们要求解以下代数式的值：
(x^2 + 2x + 1)/(x + 1)，当x=3时，该代数式的值为多少？
使用整体代入法，我们可以将x+1替换为4，得到：
(x^2 + 2x + 1)/(x + 1) = (x^2 + 2x + 1)/4
然后，我们将x替换为3，得到：
(3^2 + 2(3) + 1)/4 = 16/4 = 4
因此，当x=3时，该代数式的值为4。

需要注意的是，整体代入法只适用于代数式中的变量都有具体的数值。

如果代数式中的变量没有具体的数值，我们就需要使用其他方法来求解。

整体代入法是一种简单而实用的技巧，可以帮助我们更快速地求解代数式的值。

在实际应用中，我们可以根据具体情况选择是否使用整体代入法，以提高计算效率。

211Email ：jiaoyuluntan@有关椭圆“切准点”对焦点的若干结论湖北省红安县第一中学 李智勇 刘东山 何涛澜一、定义椭圆x 2a 2y 2b2+=1(a >b >0)上点M(x 0,y 0)(除长轴两顶点)处的切线l交右准线l 2:x=a 2c 于P,交左准线l 1:-a2c 于Q,我们称点P、Q为切准点.二、结论笔者通过研究发现有关椭圆“切准点”对焦点有如下几个结论: (1)k QF 1•k PF 1=k QF 2•k PF2(2)当x 0≠c时, k MF 2•kPF 1=e 2-1e 2+1(或k MF 1•k PF 2=e 2-1e 2+1)(3)tan∠PF 1Q tan∠PF 2Q=MF 1MF2三、证明证明结论(1):如图,设M(x 0,y 0)处切线方程为x 0x a 2+y 0yb 2=1，不难得到P(a 2c ,b 2(c-x 0)cy),Q(-a 2c ,b 2(c+x 0)cy 0),F 1(-c,0),F 2(c,0)∵k PF 1=+c-a 2ccy 0b 2(c+x 0)=b 2(c+x 0)y 0(c 2-a 2)=c-x 0-y 0k QF 2=-c-a 2ccy 0b 2(c+x 0)=b 2(c+x 0)-y 0(c 2+a 2)=b 2(c+x 0)y 0(c 2+a 2)∴k QF2k QF1=c 2+a 2b2同理k PF 1=+ca ccy 0b 2(c-x 0)=b 2(c-x 0)y 0(c 2+a 2)k PF2=-ca 2ccy 0b 2(c-x 0)=b 2(c-x 0)y 0(a 2-c2)=c+x 0y 0∴k PF 2k PF1 = b 2a+c,故QF2k QF1 •k pF2k pF1 =1特别地,当l过(a 2c ,0) 或(-a 2c,0) 时,k QF 1•k PF 1=k QF 2•k PF 2=0综上有k QF 1•k PF 1=k QF 2•k PF 2(得证).证明结论(2):设M点坐标是(x 0,y 0) ,当x 0≠c时,k MF 2(k MF 1)存在.∵k MF 2=y 0x 0-c ,k PF 1=b 2(c-x 0)y 0(c 2+a 2)∴k MF 2•k PF1= -b 2a 2+c 2=c 2-a 2a 2+c 2=e 2-1e 2+1(得证).证明结论（3）tan∠PF 1Q =k PF 1-k QF 11-k PF 1k QF1= b 2(c-x 0)y 0(a 2+c2c+x 0y 0+b 2(c-x 0)y 0(a 2+c 2)c+x 0y 01-×=y 0(2a 2c+2c 2x 0)y 02(a 2+c 2)-b 2c 2+b 2x 02=2cy 0 a 2+cx 0a 2y 02+b 2x 02+c 2y 02-b 2c 2（1）∵点(x 0,y 0)在椭圆上　∴ a 2y 02+b 2x 02=a 2b 2（2） 将（2）代入（1）得tan∠PF 1Q =2cy 0•a 2+cx 0c 2y 02+a 2b 2-b 2c2=2cy 0•a 2+cx 0c 2y 02+b 4∴tan∠PF 1Q tan∠PF 2Q=a 2+cx 0a 2-cx 0=c a a+x 0c aa-x 0=a+ex 0a-ex 0=MF 1MF 2数学思想方法是从数学内容中提炼出来的数学学科的精髓，是将数学知识转化为数学能力的桥梁。

整体代入，巧妙求值整式求值问题是中考的一个重要题型.当整式中字母的值求出比较麻烦甚至无法求出时，往往比较困难.在这种情况下要把注意力和着眼点放在问题的整体结构上，把联系紧密的量作为一个整体来处理，运用“整体思想”可以使问题简单化.常见的解法汇总如下：一、扩大代入法 例1、 若222x x -=，那么2243x x -+的值为（ ）A. 7B. —2C. 5D. —3分析：从整体上观察可以看出，已知条件中22x x -与所求问题中224x x -存在着倍比关系，可以用整体代入的思想求解.解：因为222x x -=，所以222432(2)32237x x x x -+=-+=⨯+=，所以选A二、变形代入法例2、已知32x y +=， 则 3(2)2(2)______x y y x ---=.分析:对比已知和求值的式子不能直接用整体代入的方法，这里需要把32x y +=进行两个变形处理，23x y -=-，23y x -=.解：据32x y +=，可得23x y -=-， 23y x -=，将两式整体代入得：3(2)2(2)3(3)2315x y y x ---=⨯--⨯=-三、拆分代入法例3、 已知22437,x y -=223219x y +=，求代数式22142x y -的值．分析：仔细观察对应字母系数间的关系：2x 项在已知条件中的系数分别为4和3，而求值式子中系数为14，可以发现142(43)=⨯+;2y 项在已知条件中的系数分别为3-和2-，而求值式子中的系数为2-，可以发现22(32)-=⨯-+.也就是说应考虑如何将代数式22142x y -通过变形构造成含2243x y -和2232x y +的式子．解：22142x y -=222(7)x y -=2()()22224332x y x y ⎡⎤-++⎣⎦∵22437,x y -=223219x y +=，∴原式=2（7＋19）=52．[例4]：已知：x2+5xy=76，3y2+2xy=51,求代数式x2+9xy+6y2的值.[分析]：已知的两个代数式用直接代入的方法，难以与所求建立等量关系，这里首先应设法用x2+5xy 和3y2+2xy 来表示x2+9xy+6y2，需把9xy 写成5xy+4xy 即可达到目的. 把x2+9xy+6y2拆分成x2+5xy 、2(3y2+2xy)的和的形式，即可与已知建立对应关系.解：x2+9xy+6y2=x2+5xy+6y2+4xy=(x2+5xy)+2(3y2+2xy)=76+2×51=178可见，运用整体代入法，有时需要先对代数式进行适当的变形，然后再整体代入求值.从以上四例可以较为直观地见证运用整体代入法给代数式求值计算带来的便捷，在实际的求值运算中22(32)-=⨯-+我们除了要善于从整体上把握已知条件与所求代数式在字母和数字之间系外，代入时还要注意运算符号之间的对应关系，使计算前后呼应，有理有序，浑然一体.。

第7讲 利用整体代入思想解题一、方法技巧（一）整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法．从整体上去认识问题、思考问题，常常能化繁为简、变难为易，同时又能培养学生思维的灵活性、敏捷性．（二）使用条件：有些数学题，若按常规方法求解或繁或不可能，此时可转换思维，将注意力和着眼点放在问题整体上，把一些彼此独立，但实质又紧密联系着的量作为整体来处理（三）整体思想的主要表现形式有：整体代入、整体加减、整体代换、整体转换等等．1．整体代入，通过提出公因数或同时约简等方法达到构造目的例如：①已知代数式2346x x +－的值为9，则2463x x -+的值为（ ） 即可提公因数，243693x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭－，构造出243x x -，得解②已知114a b -=，则2227a ab ba b ab---+的值等于（ ）分子、分母同时除以ab ，即()()11221122727a ab b ab a b a b ab ab a b ⎛⎫--- ⎪--÷⎝⎭=-+÷⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，构造11a b -，即可得解．③已知210m m --=，求代数式3222016m m -+的值（ ）因21m m -=，可构造2m m -，用1来替换即()()3222221m m m m m m m m -=--=--=-这是难度加大的逐步降次代入法2．整体加减例如：①已知24122x y k x y k +=+⎧⎨+=+⎩，且03x y <+<，则k 的取值范围可相加构造x y +求解②已知2002014a x =+，2002015b x =+，2002016c x =+，求多项式222a b c ab bc ac ++---的值．由222a b c ab bc ac ++---()()()22212a b b c a c ⎡⎤=-+-+-⎣⎦可相减构造，a b -、b c -、a c -，代入即可求值3．整体代换，把繁冗或多次出现的代数式用一个字母代替，以简化问题例如：①解方程：22523423x x x x +-=+可设223x x y +=，原方程变为54y y-=，可得解②已知212m -=，求34m+的值可把2m看作一个整体，()()222249mm m ===4．整体转换，把较难的A 的问题转换成易求的B 的问题，使问题易解例如：求123456∠+∠+∠+∠+∠+∠=可把12∠+∠、34∠+∠、56∠+∠看作一个整体，用GHT 的外角替换（四）初中数学整体思想主要应用在数与式、方程（组）与不等式（组）、函数与图象、几何与图形中二、应用举例类型 一 数与式中的整体思想（整体代入）【例题1】已知代数式2346x x +－的值为9，则2463x x -+的值为 （ ） A ．18 B ．12 C ．9 D ．7 【答案】D 【解析】 试题分析：通过观察发现代数式中二次项与一次项系数的比值相等，将代数式变形可得243693x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭－，构造出243x x －，可得解．试题解析：解：∵23469x x +=－变形得243693x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭－解得2413x x =－∴2461673x x -+=+=故选D ．点评：此类题是灵活运用解题技巧求值的问题，首先要观察已知条件和需要求解的代数式，然后将已知条件变换成适合所求代数式的形式，运用整体代入法即可得解．【难度】较易（逐步降次代入）【例题2】已知210m m --=，求代数式3222016m m -+的值．【答案】2015 【解析】 试题分析：由已知求出m 值，代入所求代数式求值，显然计算量大，不可取，但已知变形得21m m -=，把2m m -作为整体，尝试将所求代数式逐渐变形构造2m m -，用1替换得解． 试题解析：解：∵210m m --=∴21m m -= 又∵()()3222222016201620162015m m m m m m m m -+=--+=--+=点评：此类题目通常为初中阶段很少接触到得三次方程甚至更高次的方程，那么用初中阶段的知识直接解题时肯定行不通的，所以这个时候我们就要考虑如何降次的问题。

如何利用整体代入求值整体代入求值，是指通过观察，把解题的注意力和着眼点放在问题的整体结构上，从而触及问题的本质，达到求值的目的，它是数学解题一个极其重要的策略，是提高解题速度的有效途径。

利用整体代入求值是本册教材的重要内容，我在教学中是这样进行的。

一、直接进行——整体代入方法分析：把已知条件看作整体直接代入问题求值。

例：32=+-b a b a 时，求ba b a b a b a -+++-2)(2)2(3的值. 解： 原式32931233=⨯+⨯= 练习：1．x x 312-值为21，求2)13(27)31(222--+-x x x x 值. 2．31=+x x ，求xx x x 16)1(2++++值. 3．ab b a 822=+，求代数式ab b ab a b a ab 863672222++++值。

二、改变问题——整体代入方法分析：从问题入手，把问题转化成具有的已知条件再进行整体代入。

例：已知2-=+b a ，3=ab . 求)2(3)3(2ab b a ab ---的值.解：原式ab b a ab 3662+--=271215)2(635)(65=+=-⨯-⨯=+-=b a ab 练习：1．已知21=+t s ，923=-n m ，求多项式)]26([)92(t n m s --++值.2．522=+y x ，2=xy ，求)2()32(2222y xy x y xy x +--++值.3．533=-y x ，622=+xy y x ，求32323224110267253x xy y y x x xy y x --+++-+-值.三、改变条件——整体代入方法分析：从条件入手，把条件转化成具有的问题形式再进行整体代入。

例：322=+ab a ，5232=+b ab ，则2248b ab a ++的值. 解：把322=+ab a 设为① 5232=+b ab 设为②②式×2得：10462=+b ab ③①＋③得：134822=++b ab a∴2248b ab a ++的值为13.练习：1．32=+xy x ，22=+y xy ，求222y xy x ++的值.2．212=-mn m ，122-=-n mn ，求代数式①22n m -值；②222n mn m +-值.3．235322+=-y x 则yx 292112--值. 四、综合应用方法分析：以上三种方法不是孤立存在的，它们可以有机地结合在一起通过观察、分析出条件与问题的关系、经过化简转化、再进行整体代入。

整体代入法例题整体代入法是一种解决问题的方法，它通过将一个整体代替为若干个部分，从而简化问题的求解过程。

以下是三个使用整体代入法的例题：1. 问题：某商场有100个员工，其中男性员工和女性员工的比例为3:2。

如果每个员工的月工资平均为5000元，那么商场的月工资总额是多少？解法：我们可以使用整体代入法来解决这个问题。

假设商场的男性员工有3x个，女性员工有2x个。

那么男性员工的月工资总额为3x * 5000元，女性员工的月工资总额为2x * 5000元。

根据题目条件可知，总共有100个员工，所以3x + 2x = 100，解得x = 20。

将x = 20代入计算，男性员工的月工资总额为3 * 20 * 5000 = 300000元，女性员工的月工资总额为2 * 20 * 5000 = 200000元。

所以商场的月工资总额为300000元 + 200000元 = 500000元。

2. 问题：一个长方形的长是宽的2倍，如果长方形的周长是24米，那么长方形的面积是多少平方米？解法：我们可以使用整体代入法来解决这个问题。

设长方形的宽为x米，那么长方形的长为2x米。

根据周长的定义可知，2 * (2x + x) = 24，解得3x = 12，所以x = 4。

将x = 4代入计算，长方形的面积为(2x) * x = 8 * 4 = 32平方米。

3. 问题：一家超市原价销售商品，后来降价20%。

如果现在商品的售价是320元，那么原价是多少元？解法：我们可以使用整体代入法来解决这个问题。

设原价为x元，根据题目条件可知，商品的售价为0.8x元。

根据题目条件可知，0.8x = 320，解得x = 400。

所以商品的原价为400元。

探索篇•方法展示整体思想是数学教学中的一种重要的数学思想。

整体代入可以解决一些复杂的代入求值问题。

整体代入求值大致可分为，直接整体代入、取相反数之后整体代入、变形后整体代入、多次整体代入和幂的运算有关的整体带入等几种常见情况。

一、直接整体代入这种情况是指一些比较简单的代入求值问题，对已知条件不需要处理便可以直接代入计算。

例如：已知x-y =7，求代数式x-y -3的值。

解析：此题只要把x-y 当做整体即可。

即：x-y -3=7-3=4二、取相反数后整体代入这种题型是表面上看起来已知条件和要求值的代数式没有明显关系，其实是已知条件和代数式的部分项是互为相反数关系。

例如：已知x-y =7，求代数式3-x+y 的值。

解析：从题目上看出x-y 与-x+y 互为相反数。

因为x 原y =7所以-x+y =-7所以原式=3-7=-4三、变形后整体代入这种题型虽然比上面两种情况稍复杂一些，但是利用等式性质对已知条件进行一些简单变形后就可以整体代入顺利求出原代数式的值。

例1.已知4x 2-2y +5=7，求2x 2-y +1的值。

解析：由4x 2-2y +5=7两边同时减5可得：4x 2-2y =2两边同时除以2得：2x 2-y =1把2x 2-y =1整体代入得：2x 2-y +1=1+1=2例2.已知1x -1y =3，求2x +3xy -2y x -2xy-y 的值。

解析：因为1x -1y=3两边同时乘以xy 得：y-x =3xy 两边同时乘-1得：x-y =-3xy原式=2x -2y +3xy x-y -2xy =2（x -y ）+3xy （x-y ）-2xy把x-y =-3xy 作为整体代入得：原式=2（-3xy ）+3xy -3xy -2xy =-6xy +3xy -5xy =-3xy -5xy =35四、变形后多次整体代入这种题型表面上看，已知条件和所要求值的代数式没有明显的关系，只要我们仔细观察，对已知条件和所要求值的代数式适当变形，就可以发现它们之间的关系。