高二数学《圆的一般方程》教学设计

高二数学《圆的一般方程》教学设计

教材版本：人教版（必修） 学科：数学 年级：高二年级 册别：第二册（上）

课题：第七章第二节圆的方程第二课时教学设计

一、教材分析

圆的方程这节内容是学习圆锥曲线的基础，由于圆的方程应用及其广泛，所以对圆的一般方程的要求层次是“掌握”，又由于圆的一般方程中含有三个参变数D、E、F,对它的理解带来一定的困难。因而本节的难点是对圆的一般方程的认识，掌握和应用。突破难点的关键是抓住一般方程的特点。

二、学情分析

圆的一般方程是学生在学习了圆的标准方程后，又掌握了利用待定系数法求圆的标准方程的基础上进行研究的。 但由于学生基础差、学习程度较浅，且对圆的标准方程运用还不够熟练，在学习过程中难免会出现困难。另外学生在探究问题的能力,合作交流的意识等方面有待加强。

三、教法分析

为了充分调动学生学习的积极性，本节课采用“合作探究与启发式教学法”，用环环相扣的问题将探究活动层层深入，教师组织学生分析讨论、合作探究。

四、学法分析

通过展开圆的标准方程，归纳总结得出圆的一般方程，通过求圆的方程，加深对数形结合思想和待定系数法的理解，通过应用圆的一般方程，熟悉用待定系数法求解的过程。

五、设计思想

本节课的设计思想是：以多媒体网络教学平台为依托，为学生营造一个探究学习的环境，让他们参与到多媒体教学中来，探究新知，发现规律，解决问题。

六、教学策略

结合本节内容的特点，可以向学生渗透多种数学思想方法：:配方法、待定系数法、数形结合的思想、转化的思想、 分类讨论的思想、方程的思想，同时对学生的观察类比，创新等多种能力的培养有利，通过求圆的一般方程使学生又进一步熟悉待定系数法的应用。

七、教学目标

（一）知识与技能

使学生掌握圆的一般方程的特点；能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程。

（二）过程与方法

通过对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的条件的探讨，让学生经历知识形成的过程，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力，并使学生掌握通过配方求圆心和半径的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方程的方法。

（三）情感态度价值观

渗透数形结合、转化、分类讨论与方程等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索。

八、教学重点、难点

1．重点：(1)能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和半径；(2)能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程。

(解决办法：(1)要求学生不要死记配方结果，而要熟练掌握通过配方求圆心和半径的方法；(2)加强这方面题型训练。)

2．难点：圆的一般方程的探讨过程。

(解决办法：通过对方程配方分三种讨论得限制条件。)

九、教具：多媒体、黑板、圆规、三角板

十、【教学过程与设计】(课堂实录)

教学内容 教师活动 学生活动

、复习引入：

题1：圆的标准方程的形式是怎样的？中圆心的坐标和半径各是什么？

圆心在坐标原点，半径为r的圆的方怎么表示？

题2：若把标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2开后，会得出怎样的形式？ 师：同学们！上节课我们研究了圆的标准方程，请同学们回忆 一下圆的标准方程，并填写学案，

教师：提出问题，并对学生的回答加以肯定。

教师活动：让学生先独立思考，自主探究，

引导学生得出方程形式：x2+y2+Dx+Ey+F=0，提出课题

学生活动：回答问题，并填写学案：

学生活动：动笔展开方程(x-a)2+(y-b)2=r2.

复圆方步结为作

学疑动发题题

、新课讲解

题：圆的一般方程

师：这就是我们今天要学习的内容：圆的一般方程．

教师板书：圆的一般方程 使确的容题3：是不是每个形如x2+y2+Dx+Ey+F=0方程表示的曲线都是圆呢？

教师活动：提出问题. 引导学生思考圆的方程的要求，想到利用配方法将展开式化成圆的标准方程的形式，并引导学生总结在什么情况下，它的轨迹是圆、点或无轨迹。

组织学生分析讨论，给学生充足的时间讨论，并作适当的引导。

【师生互动】：教师巡视指导，参与学生的讨论。 学生活动：先独立思考，自主探究后，再与前后同学合作交流。

生生互动：在教师引导下，合作交流，共同探讨方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的图形。

共同探讨后，达成共识：先将方程配方，再与圆的标准方程比较。 让历成体结加识

探讨形成：将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0边配方

)当D2+E2-4F＞0时，方程①表示 一个圆；

）当D2+E2-4F = 0时，方程①表示一点；

当D2+E2-4F＜0时，方程①不表示任图形。

归纳总结：

程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的图形分别是、点或不表示任何图形．

3.提出概念：（圆的一般方程的定教师预设：先将方程配方，再与圆的标准方程比较。教师板书：

44)2()2(2222FEDEyDx

①

师：请同学们观察方程①，可以看出什么？

教师提示学生：先把方程①与标准方程比较，再分类讨论。

当D2+E2-4F＞0时，方程①表示什么？

教师继续引导：当D2+E2-4F = 0时，又表示什么？

教师预设：当学生回答不明确时，教师作适当的提示：当D2+E2-4F = 0时，方程①

只有实数解2,2EyDx

教师设问：方程x2+y2+Dx+Ey+F=0有没有实数解？．

教师活动：教师在学生基础上梳理思路，板书：方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的图形分别是圆、点或不表示任何图形。

师：根据以上结论，请同学们给出圆的一般方程的定义。

【教师活动】板书：

圆的一般方程的定义

当D2+E2-4F＞0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0称为圆的一般方程。 学生活动：在教师的引导下通过观察、分析后发现：

当D2+E2-4F＞0时

方程①表示一个以)2,2(ED为圆心，FED42122为半径的圆；

学生回答：当D2+E2-4F = 0时，方程①表示一个点

)2,2(ED

学生回答：没有，因而它不表示任何图形

学生活动：归纳总结：方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的图形分别是圆、点或不表示任何图形。

学生口答：

当D2+E2-4F＞0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0称为圆的一般方程．圆心坐标为：)2,2(ED，半径为：让极参论为主让历成体的脉知解

使会结

使确般定

）

巩固练习：

下列方程各表示什么图形？

022y

06422yxy

0222baxy

求下列各圆的圆心和半径

0622xy

0222byyx

03322222ayaxy

题4：圆的一般方程有什么特点？ 圆心坐标为：)2,2(ED，半径为：FED42122

教师强调：不要死记结果，要熟记通过配方求圆心和半径的方法。

教师活动：巡视学生完成情况，对学生的回答作点评，给出正确答案，同时强调：方程中隐含条件以及分类讨论的情况。

教师设问：圆的一般方程有什么特点？

教师活动：引导学生比较二元二次方程的一般形式Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0，与圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，(D2+E2-4F＞0)。

教师强调：1.条件(1)、(2)是二元二次方程(2)表示圆的必要条件，但不是充分条件；

2.只要确定了D、E、F即可写出圆的一般方程。

教师活动：巡视学生完成情况，并请一位学生上黑板展示，教师点评学生的回答。

教师预设：

解：（利用待定系数法）

设圆的方程为： FED42122

学生活动：独立完成，并回答问题。

学生活动：归纳结论：

(1)x2和y2的系数相同，不等于零，即A=C≠0；

(2)没有xy项，即B=0；

【学生活动】：

独立完成，认真作答，学生自愿到黑板上展示各自解法：

加会方方示和半心

让过出般形体标和般自

进固够的程的加标与程

、例题精讲

题型一：利用圆的标准方程求圆的程，并化为一般方程。

1 求过点A(5，-1)，圆心在点C(8，的圆的一般方程，并化为一般方程

型二:求利用圆的一般方程求圆的方：

2 求过三点O(0，0)、M1(1，1)、M2(4，的圆的方程。

、反馈练习：求过三点A(-1，5)、B(-2，222)3()8(ryx

∵圆经过点A（5，-1）

∴222)31()85(r

132r

∴13)3()8(22yx

教师活动：引导学生尝试利用圆的方程的两种形式求解圆的方程，并引导学生小结例1、例2：一般说来，如果由已知条件容易求圆心的坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题，往往设圆的标准方程；如果已知条件和圆心坐标或半径都无直接关系，往往设圆的一般方程。

教师预设：

解：（利用待定系数法）

设圆的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=0，

由题意得，

F=0

D+E+F+2=0

4D+2E+F+20=0

解之得，D=-8，E=6

∴圆的方程为：x2+y2-8x+6y=0，

教师活动：让学生先独立思考，自主完成，教师纠错，并给予适当的点评，出示正确答案.

学生活动：在老师的引导下，认真完成，并体会如何根据题目条件,恰当选择圆方程形式。

学生活动：独立完成.

通圆的式的一各点待法的方

让一如题恰圆式待法的方