6解析几何3

第六章 向量代数与空间解析几何习题详解

1 第六章 向量代数与空间解析几何

习 题 6—3

1、已知)3,2,1(A，)4,1,2(B，求线段AB的垂直平分面的方程.

解：设),,(zyxM是所求平面上任一点，据题意有|,|||MBMA

222321zyx,412222zyx

化简得所求方程26270xyz.这就是所求平面上的点的坐标所满足的方程 而不在此平面上的点的坐标都不满足这个方程，所以这个方程就是所求平面的方程.

2、 一动点移动时，与)0,0,4(A及xOy平面等距离，求该动点的轨迹方程.

解：设在给定的坐标系下，动点),,(zyxM，所求的轨迹为C，则(,,)MxyzCMAz 亦即 zzyx222)4( 0)4(22yx从而所求的轨迹方程为0)4(22yx.

3、 求下列各球面的方程：

（1）圆心)3,1,2(，半径为6R； （2）圆心在原点，且经过点)3,2,6(；

（3）一条直径的两端点是)3,1,4()5,32(与；（4）通过原点与)4,0,0(),0,3,1(),0,0,4(

解：（1）所求的球面方程为：36)3()1()2(222zyx

（2）由已知，半径73)2(6222R，所以球面方程为49222zyx

（3）由已知，球面的球心坐标1235,1213,3242cba，

球的半径21)35()31()24(21222R，所以球面方程为：

21)1()1()3(222zyx

（4）设所求的球面方程为：0222222lkzhygxzyx

因该球面经过点)4,0,0(),0,3,1(),0,0,4(),0,0,0(，所以08160621008160khggl 解之得2210kghl

用心 爱心 专心 1 题型六 解析几何中的探索性问题

(推荐时间：30分钟)

1．设椭圆C：x2a2＋y2b2＝1 (a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，上顶点为A，△AF1F2为正三角形，且以AF2为直径的圆与直线y＝3x＋2相切．

(1)求椭圆C的方程；

(2)在(1)的条件下，过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点，在x轴上是否存在点P(m,0)，使得以PM、PN为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求实数m的取值范围，若不存在，请说明理由．

2．(2010·福建)已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2，3)，且点F(2,0)为其右焦点．

(1)求椭圆C的方程；

(2)是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

答 案

1．解 (1)∵△AF1F2是正三角形，∴a＝2c.

由已知F2(c,0)，A(0，b)，

∴以AF2为直径的圆的圆心为12c，12b，半径r＝12a.

又该圆与直线3x－y＋2＝0相切，

则有32c－b2＋22＝a2.

由a＝2c，得b＝3c，

∴32c－32c＋22＝a2.

得a＝2，∴c＝1，b＝3.

椭圆C的方程为x24＋y23＝1.

(2)由(1)知F2(1,0)，l：y＝k(x－1)，

由 y＝kx－1，x24＋y23＝1，得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0.

设M(x1，y1)，N(x2，y2)，

则x1＋x2＝8k23＋4k2，y1＋y2＝k(x1＋x2－2)，

∴PM→＋PN→＝(x1－m，y1)＋(x2－m，y2)＝(x1＋x2－2m，y1＋y2)．

由菱形对角线垂直，则(PM→＋PN→)·MN→＝0，

∴(x1＋x2－2m)(x1－x2)＋(y1＋y2)·(y1－y2)＝0，

用心 爱心 专心 2 得k(y1＋y2)＋x1＋x2－2m＝0，

北师大版数学必修二

第 1 页 共 10 页 第二章 解析几何初步

§1 直线与直线的方程

第6课时 平面直角坐标系中的距离公式

【预习导航】

1.若),(),,(2211yxByxA,则BA,两点之间的距离||AB______.

2.点),(00yxP到直线0CByAx的距离d______.

【基础自测】

1.原点到直线1043yx的距离为( )

A.1 B.2 C.5 D.10

2.若点),4(mM关于点)3,(nN的对称点为)9,6(P,则nm( )

A.1 B.2 C.7 D.8

3.若),1(),1,2(mBA两点之间的距离为5,则m的值为( )

A.3 B.5

C.1或3 D.3或5

4.若过点)1,2(P的直线l分别交yx,轴于点BA,,且||||PBPA,则l的方程为( )

A.042yx B.032yx

C.032yx D.052yx 【典例剖析】

题型1: 有关距离的问题

例1 已知点)7,2(),2,1(BA,在x轴上求一点P,使得||||PBPA.

[思路分析]由题意先设出点P的坐标,然后根据题目条件列出方程求解即可.

[解法一]由题意可设点P的坐标为)0,(x,又由于||||PBPA,因此有:

2222)70()2()20()1(xx解得1x.故,点P坐标为)0,1(.

[解法二]由直线AB斜率为327k,且线段AB中点为)272,21(C,因此直线AB的垂直平分线方程为:

)21(723272xy.

令0y,得1x.故,点P坐标为)0,1(.

[规律技巧]两种解法各有利弊.解法一直接求解；解法二从几何性质入手,值得关注.

[变式训练]在直线043yx上求一点P,使其到)1,0(),0,3(BA的距离相等. 北师大版数学必修二

1 6.解析几何

1．直线的倾斜角α与斜率k

(1)倾斜角α的范围为[0，π)．

(2)直线的斜率

①定义：k＝tan α(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；②斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线的斜率为k＝y1－y2x1－x2(x1≠x2)；③直线的方向向量a＝(1，k)．

[回扣问题1] 直线xsin α－y＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )

A.0，π2 B．(0，π)

C.－π4，π4 D.0，π4∪3π4，π

答案 D

2．直线的方程

(1)点斜式：y－y0＝k(x－x0)，它不包括垂直于x轴的直线．

(2)斜截式：y＝kx＋b，它不包括垂直于x轴的直线．

(3)两点式：y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1，它不包括垂直于坐标轴的直线．

(4)截距式：xa＋yb＝1，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线．

(5)一般式：任何直线均可写成Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)的形式．

[回扣问题2] 已知直线过点P(1，5)，且在两坐标轴上的截距相等，则此直线的方程为________．

答案 5x－y＝0或x＋y－6＝0

3．两直线的平行与垂直

①l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2(两直线斜率存在，且不重合)，则有l1∥l2k1＝k2，且b1≠b2；l1⊥l2k1·k2＝－1.②l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则有l1∥l2A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0；l1⊥l2A1A2＋B1B2＝0.

[回扣问题3] 设直线l1：x＋my＋6＝0和l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，当m＝________时，l1∥l2；当m＝________时，l1⊥l2；当________时，l1与l2相交；当m＝________时，l1与l2重合．