解析几何(教材)pdf

直线的方程1、l ()1过两点()2,3A ，()6,5B ；()2过()1,2A ，且以()2,3a =为方向向量；()3过()3,2P ，倾斜角是直线430x y -+=的倾斜角的2倍； ()4过()5,2A -，且在x 轴，y 轴上截距相等；()5在y 轴上的截距为3-，且它与两坐标轴围成的三角形面积为6；()6过()2,3P -，且与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，若点P 分AB比为2-2、（斜率与倾斜角）已知两点()1,2A -，(),3B m .()1求直线A B 的斜率k 和倾斜角α；()2求直线A B 的方程；()3若实数13m ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，求A B 的倾斜角α的范围3、 （两直线位置、距离）根据下列条件，求直线的直线方程()1求通过两条直线3100x y +-=和30x y -=的交点，且到原点距离为1；()2经过点()3,2A ，且与直线420x y +-=平行；()3经过点()3,0B ，且与直线250x y +-=垂直.4、（动直线相交）已知直线l 过点()0,0P 且与以点()2,2A --，()1,1B -为端点的线段相交（1）求直线l 的斜率及倾斜角α的范围.()2求函数sin 13cos y θθ-=+的值域 5、 （对称问题）已知直线l :2x-3y+1=0,点A （-1，-2），求：（1）点A 关于直线l 的对称点'A 的坐标；（2）直线m:3x-2y-6=0关于直线l 的对称直线'm 方程； （3）直线l 关于点A(-1，-2)对称的直线'l 的方程； 6、（定点问题）已知直线0)()2(:=-++++b a y b a x b a l 及点)4,3(P （1）证明直线l 过某定点，并求该定点的坐标 （2）当点P 到直线l 的距离最大时，求直线l 的方圆的方程圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+-，其中圆心为),(b a ,半径为r圆的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=，圆心坐标(,)22D E --，半径为2422FE D -+。

1 / 7 ·那些没记牢的公式潘志鹏 北京师范大学【摘要】主要记录了作者在《解析几何》期末考试来临前还是没有记牢的各种公式，用来在考试之前抱抱佛脚。

【关键词】解析几何 公式1. 向量1.1. 内积Cauchy-Schwarz 不等式：|a ⋅b |≤|a |2|b |2。

1.2. 混合积和双重外积双重外积公式： (a ⃗×b ⃗⃗)×c ⃗=(a ⃗⋅c ⃗)b ⃗⃗−(b ⃗⃗⋅c ⃗)a ⃗,a ⃗×(b ⃗⃗×c ⃗)=(c ⃗⋅a ⃗)b ⃗⃗−(b ⃗⃗⋅a ⃗)c ⃗,(a ⃗×b⃗⃗)×(c ⃗×d ⃗)=(c ⃗,d ⃗,a ⃗)b ⃗⃗−(c ⃗,d ⃗,b ⃗⃗)a ⃗。

定比分点公式：P 1P PP 2=λ,OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+λOP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗1+λ。

2. 平面平面点法式方程的向量形式：(OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−OP 0⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗)⋅N ⃗⃗=0。

平面一般方程的向量形式： OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅N ⃗⃗+OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0。

平面点位式方程： OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OP 0⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+μOP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+νOP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,{x =x 0+μx 1+νx 2y =y 0+μy 1+νy 2z =z 0+μz 1+νz 2。

3. 曲面3.1. 曲面基础直圆锥面的方程：|cosθ|=|PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅l ⃗||PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||l ⃗|,A (x 0,y 0,z 0)。

旋转曲面方程：以G:{F 1(x,y,z )=0F 2(x,y,z )=0为母线，x−a X =y−b Y =z−c Z 为轴的旋转曲面满足P (x 0,y 0,z 0)∈G,{ F 1(x 0,y 0,z 0)=0F 2(x 0,y 0,z 0)=0(x −a )2+(y −b )2+(z −c )2=(x 0−a )2+(y 0−b )2+(z 0−c )2X (x −x 0)+Y (y −y 0)+Z (z −z 0)=0，注意(a,b,c )不一定就是垂足所在位置！球坐标和常规坐标转化：{x =ρcosφcosψy =ρcosφsinψz =ρsinφ⇒{ρ=√x 2+y 2+z 2ψ=222φ=22。

解析⼏何第四版吕林根课后习题答案第五章第五章⼆次曲线⼀般的理论§5.1⼆次曲线与直线的相关位置1. 写出下列⼆次曲线的矩阵A 以及1(,)F x y ，2(,)F x y 及3(,)F x y .（1）22221x y a b +=；（2）22221x y a b -=；（3）22y px =；（4）223520;x y x -++=（5）2226740x xy y x y -+-+-=.解：（1）22100100001a A b ?? ?= - ；121(,)F x y x a =221(,)F x y y b=3(,)1F x y =-；（2）22100100001a A b ?? ?=- -；121(,)F x y x a =221(,)F x y y b =-；3(,)1F x y =-.（3）0001000p A p -??= ? ?-??；1(,)F x y p =-；2(,)F x y y =；3(,)F x y px =-；（4）51020305022A ?? ?=-；15(,)2F x y x =+；2(,)3F x y y =-；35(,)22F x y x =+；（5）1232171227342A ??-- ? ? ?=---；11(,)232F x y x y =--；217(,)22F x y x y =-++；37(,)342F x y x y =-+-. 2. 求⼆次曲线22234630x xy y x y ----+=与下列直线的交点.（1）550x y --=（2）220x y ++=；（3）410x y +-=；（4）30x y -=；（5）2690x y --=.提⽰：把直线⽅程代⼊曲线⽅程解即可，详解略（1）15(,),(1,0)22-；（2??，??；（3）⼆重点(1,0)；（4）11,26??；（5）⽆交点.3. 求直线10x y --=与222210x xy y x y -----=的交点. 解：由直线⽅程得1x y =+代⼊曲线⽅程并解⽅程得直线上的所有点都为交点. 4 .试确定k 的值，使得（1）直线50x y -+=与⼆次曲线230x x y k -+-=交于两不同的实点；（2）直线1,{x kt y k t=+=+与⼆次曲线22430x xy y y -+-=交于⼀点；（3）10x ky --=与⼆次曲线22(1)10xy y k y -+---=交于两个相互重合的点；（4）1,{1x t y t=+=+与⼆次曲线222420x xy ky x y ++--=交于两个共轭虚交点.解：详解略.（1）4k <-；（2）1k =或3k =（3）1k =或5k =；（4）4924k >. §5.2⼆次曲线的渐进⽅向、中⼼、渐进线1. 求下列⼆次曲线的渐进⽅向并指出曲线属于何种类型的（1）22230xxy y x y ++++=；（2）22342250x xy y x y ++--+=；（3）24230xy x y --+=.解：（1）由22(,)20X Y X XY Y φ=++=得渐进⽅向为:1:1X Y =-或1:1-且属于抛物型的；（2）由22(,)3420X Y X XY Y φ=++=得渐进⽅向为:(2:3X Y =-且属于椭圆型的；（3）由(,)20X Y XY φ==得渐进⽅向为:1:0X Y =或0:1且属于双曲型的.2. 判断下列曲线是中⼼曲线，⽆⼼曲线还是线⼼曲线.（1）22224630x xy y x y -+--+=；（2）22442210x xy y x y -++--=；（3）2281230y x y ++-=；（4）2296620x xy y x y -+-+=.解：（1）因为2111012I -==≠-，所以它为中⼼曲线；（2）因为212024I -==-且121241-=≠--，所以它为⽆⼼曲线；（3）因为200002I ==且004026=≠，所以它为⽆⼼曲线；（4）因为293031I -==-且933312--==-，所以它为线⼼曲线； 3. 求下列⼆次曲线的中⼼.（1）225232360x xy y x y -+-+-=；（2）222526350x xy y x y ++--+=；（3）22930258150x xy y x y -++-=.解：（1）由510,3302x y x y --=-++=??得中⼼坐标为313(,)2828-；（2）由5230,2532022x y x y ?+-=+-=??得中⼼坐标为(1,2)-；（3）由91540,15152502x y x y -+=??-+-=知⽆解，所以曲线为⽆⼼曲线. 4. 当,a b 满⾜什么条件时，⼆次曲线226340x xy ay x by ++++-=（1）有唯⼀中⼼；（2）没有中⼼；（3）有⼀条中⼼直线.解：（1）由330,2302x y b x ay ?++=++=??知，当9a ≠时⽅程有唯⼀的解，此时曲线有唯⼀中⼼；（2）当9,9a b =≠时⽅程⽆解，此时曲线没有中⼼；（3）当9a b ==时⽅程有⽆数个解，此时曲线是线⼼曲线.5. 试证如果⼆次曲线22111222132333(,)2220F x y a x a xy a y a x a y a =+++++= 有渐进线，那么它的两个渐进线⽅程是Φ00(,)x x y y --=221101200220()2()()()0a x x a x x y y a y y -+--+-=式中00(,)x y 为⼆次曲线的中⼼.证明：设(,)x y 为渐进线上任意⼀点，则曲线的的渐进⽅向为00:():()X Y x x y y =--，所以Φ00(,)x x y y --=221101200220()2()()()0a x x a x x y y a y y -+--+-=.6. 求下列⼆次曲线的渐进线.（1）226310x xy y x y --++-=；（2）2232340x xy y x y -++-+=；（3）2222240x xy y x y ++++-=.解：（1）由1360,2211022x y x y ?-+=--+=??得中⼼坐标13(,)55-.⽽由2260X XY Y --=得渐进⽅向为:1:2X Y =或:1:3X Y =-，所以渐进线⽅程分别为210x y -+=与30x y += （2）由310,22332022x y x y ?-+=-+-=??得中⼼坐标13(,)55-.⽽由22320X XY Y -+=得渐进⽅向为:1:1X Y =或:2:1X Y =，所以渐进线⽅程分别为20x y -+=与210x y --=（3）由10,10x y x y ++=??++=?知曲线为线⼼曲线，.所以渐进线为线⼼线，其⽅程为10x y ++=.7. 试证⼆次曲线是线⼼曲线的充要条件是230I I ==，成为⽆⼼曲线的充要条件是230,0I I =≠. 证明：因为曲线是线⼼曲线的充要条件是131112122223a a a a a a ==也即230I I ==；为⽆⼼曲线的充要条件是131112122223a a a a a a =≠也即230,0I I =≠. 8. 证明以直线1110A x By C ++=为渐进线的⼆次曲线⽅程总能写成111()()0A x By C Ax By C D +++++=. 证明：设以1110A x By C ++=为渐进线的⼆次曲线为 22111222132333(,)2220F x y a x a xy a y a x a y a =+++++=，则它的渐进线为Φ00(,)x x y y --=221101200220()2()()()0a x x a x x y y a y y -+--+-=，其中00(,)x y 为曲线的中⼼，从⽽有Φ00(,)x x y y --=111()()0A x By C Ax By C ++++= ，⽽Φ00(,)x x y y --=0 因为00(,)x y 为曲线的中⼼，所以有11012013a x a y a +=-，12022023a x a y a +=- 因此Φ000033(,)(,)(,)x x y y F x y x y a φ--=+-，令0033(,)x y a D φ-=-，代⼊上式得即111(,)()()F x y A x By C Ax By C D =+++++，所以以1110A x By C ++=为渐进线的⼆次曲线可写为111()()0A x By C Ax By C D +++++=.9.求下列⼆次曲线的⽅程.（1）以点（0，1）为中⼼，且通过（2，3），（4，2）与（-1，-3）；（2）通过点（1，1），（2，1），（-1，-2）且以直线10x y +-=为渐进线. 解：利⽤习题8的结论即可得：（1）40xy x --=；（2）2223570x xy y x ---+=.§5.3⼆次曲线的切线1. 求以下⼆次曲线在所给点或经过所给点的切线⽅程.（1）曲线223457830x xy y x y ++---=在点（2，1）；（2）曲线曲线223457830x xy y x y ++---=在点在原点；（3）曲线22430x xy y x y +++++=经过点（-2，-1）；（4）曲线225658x xy y ++=经过点()；（5）曲线222210x xy y x y -----=经过点（0，2）.解：（1）910280x y +-=；（2）20x y -=；（3）10,30y x y +=++=；（4）1150,0x y x y +-=-+=；（5）0x =.2. 求下列⼆次曲线的切线⽅程并求出切点的坐标.（1）曲线2243530x xy y x y ++--+=的切线平⾏于直线40x y +=；（2）曲线223x xy y ++=的切线平⾏于两坐标轴.解：（1）450x y +-=，(1,1)和480x y +-=，(4,3)-；（2）20y ±=，(1,2),(1,2)--和20x ±=，(2,1),(2,1)--. 3. 求下列⼆次曲线的奇异点.（1）22326410x y x y -+++=；（2）22210xy y x +--=；（3）2222210x xy y x y -+-++=.解：（1）解⽅程组330,220x y +=??-+=?得奇异点为(1,1)-；（2）解⽅程组10,0y x y -=??+=?得奇异点为(1,1)-.4.试求经过原点且切直线4320x y ++=于点（1，-2）及切直线10x y --=于点（0，-1）的⼆次曲线⽅程. 解：利⽤（5.3-5）可得226320x xy y x y +-+-=.5.设有共焦点的曲线族2222221x y a h b h+=++，这⾥h 是⼀个变动的参数，作平⾏于已知直线y mx =的曲线的切线，求这些切线切点的轨迹⽅程. 解：设切点坐标为00(,)x y ，则由（5.3-4）得曲线的切线为0022221x x y ya hb h+=++，因为它平⾏与y m x =，所以有2220000x b my a h x my +=-+，代⼊220022221x y a h b h +=++整理得222220000(1)()0m x m x y m y m a b +----=，所以切点的轨迹为22222(1)()0mx m xy my m a b +----=.§5.4⼆次曲线的直径1. 已知⼆次曲线223754510x xy y x y +++++=.求它的（1）与x 轴平⾏的弦的中点轨迹；（2）与y 轴平⾏的弦的中点轨迹；（3）与直线10x y ++=平⾏的弦的中点轨迹.解：（1）因为x 轴的⽅向为:1:0X Y =代⼊（5.4-3）得中点轨迹⽅程6740x y ++=；（2）因为y 轴的⽅向为:0:1X Y =代⼊（5.4-3）得中点轨迹⽅程71050x y ++=；（3）因为直线10x y ++=的⽅向为:1:1X Y =-代⼊（5.4-3）得中点轨迹⽅程310x y ++=. 2.求曲线224260x xy x y +---=通过点（8，0）的直径⽅程，并求其共轭直径. 解：（1）把点（8，0）代⼊(2)(21)0X x Y y -+-= 得:1:6X Y =，再代⼊上式整理得直径⽅程为1280x y +-=，其共轭直径为122230x y --=.3.已知曲线22310xy y x y --+-=的直径与y 轴平⾏，求它的⽅程，并求出这直径的共轭直径. 解：直径⽅程为10x -=，其共轭直径⽅程为230x y -+=.4.已知抛物线28y x =-，通过点（-1，1）引⼀弦使它在这点被平分. 解：430x y ++=.5. 求双曲线22164x y -=⼀对共轭直径的⽅程，已知两共轭直径间的⾓是45度. 解：设直径和共轭直径的斜率分别为',k k ，则'23kk =.⼜因为它们交⾓45度，所以''11k k kk -=+，从⽽13k =-或2，'2k =-或13，故直径和共轭直径的⽅程为30x y +=和20x y -=或20x y +=和30x y -=.6.求证：通过中⼼曲线的直线⼀定为曲线的直径；平⾏于⽆⼼曲线渐进⽅向的直线⼀定为其直径. 证明：因为中⼼曲线直径为中⼼线束，因此过中⼼的直线⼀定为直径；当曲线为⽆⼼曲线时，它们的直径属于平⾏直线束，其⽅向为渐进⽅向，所以平⾏于⽆⼼曲线渐进⽅向的直线⼀定为其直径. 7．求下列两条曲线的公共直径.（1）223234440x xy y x y -+++-=与2223320x xy y x y --++=；（2）220x xy y x y ----=与2220x xy y x y ++-+=. 解：（1）210x y -+=；（2）5520x y ++=.8.已知⼆次曲线通过原点并且以下列两对直线 320,5540x y x y --=??--=?与530,210y x y +=??--=?为它的两对共轭直径，求该⼆次曲线的⽅程. 解：设曲线的⽅程为22111222132333(,)2220F x y a x a xy a y a x a y a=+++++=，则由（5.4-3）和（5.4-5）可得1112221323331111,,1,,,0222a a a a a a ==-=-=-=-=，所以曲线的⽅程为220x xy y x y ----=.§5.5⼆次曲线的主直径与主⽅向1.分别求椭圆22221x y a b +=，双曲线22221x y a b-=，抛物线22y px =的主⽅向与主直径.解：椭圆的主⽅向分别为1：0和0：1，主直径分别为0,0x y ==；双曲线的主⽅向分别为1：0和0：1，主直径分别为0,0x y==；抛物线的主⽅向分别为0：1和1：0，主直径分别为0y =. 2.求下列⼆次曲线的主⽅向与主直径. （1）22585181890x xy y x y ++--+=；（2）22210xy x y -+-=；（3）229241618101190x xy y x y -+--+=.解：（1）曲线的主⽅向分别为1：（-1）和1：1，主直径分别为0,20x y x y -=+-=；（2）其主⽅向分别为1：1和1：（-1），主直径分别为0,20x y x y +=-+=；（3）其主⽅向分别为3：（-4）和4：3，主直径分别为3470x y -+=；（4）任何⽅向都是其主⽅向，过中⼼的任何直线都是其主直径.3.直线10x y ++=是⼆次曲线的主直径，点（0，0），（1，-1），（2，1）在曲线上，求该曲线的⽅程.解：设⼆次曲线⽅程为22111222132333(,)2220F x y a x a xy a y a x a y a =+++++=，把点坐标（0，0），（1，-1），（2，1）分别代⼊上⾯⽅程同时利⽤直线10x y ++=为其主直径可得111222132333774,,4,,4,022a a a a a a ==-==-==，所以所求曲线⽅程为22474780x xy y x y -+-+=.4.试证⼆次曲线两不同特征根确定的主⽅向相互垂直.证明：设12,λλ分别曲线的两不同特征根，由它们确定的主⽅向分别为11:X Y 与22:X Y 则1111211112122111,,a X a Y X a X a Y Y λλ+=??+=?与1121222212222222,a X a Y X a X a Y Y λλ+=??+=?，所以11211211112121212212()()X X YY a X a Y X a X a Y Y λλ+=+++11212211222221221221()(),a X a Y X a X a Y X X X Y Y λλ=+++=+从有121212()()0X X YY λλ-+=，因为12λλ≠，所以12120X X YY +=，由此两主⽅向11:X Y 与22:X Y 相互垂直.§5.6⼆次曲线⽅程的化简与分类1. 利⽤移轴与转轴，化简下列⼆次曲线的⽅程并写出它们的图形.（1）225422412180x xy y x y ++--+=；（2）222410x xy y x y ++-+-=；（3）25122212190x xy x y +---=；（4）222220x xy y x y ++++=. 解（1）因为⼆次曲线含xy 项，我们先通过转轴消去xy ，设旋转⾓为α，则324ctg α=，即21324tg tg αα-=，所以12tg α=或-2.取2tg α=-，那么sin α=，cos α=，所以转轴公式为''''2),2).x x y y x y ?=+??=-+代⼊原⽅程化简再配⽅整理得新⽅程为''2''26120x y +-=；类似的化简可得（2）''2''250y +=；（3）''2''294360x y --=；（4）''2210x -=.2.以⼆次曲线的主直径为新坐标轴，化简下列⽅程，并写出的坐标变换公式与作出它们的图（1）22845816160x xy y x y +++--=；（2）22421040x xy y x y --++=；（3）22446830x xy y x y -++-+=；（4）2244420x xy y x y -++-=. 解：（1）已知⼆次曲线的距阵是 8242584816?? ?- ? ?--??， 18513I =+=，2823625I ==，所以曲线的特征⽅程为213360λλ-+=，其特征根为14λ=，29λ=，两个主⽅向为11:1:2X Y =-，22:2:1X Y =；其对应的主直径分别为8200x y -+=，7740x y +-=. 取这两条直线为新坐标轴得坐标变换公式'''')1,2) 2.x x y y x y ?=--??=++代⼊已知曲线⽅程并整理得曲线在新坐标系下的⽅程为 '2'294360x y +-=.（2）已知⼆次曲线的距阵是 225222520-?? ?- ? ???坐标变换公式''''2)1,) 2.x x y y x y ?=--??=++代⼊已知曲线⽅程并整理得曲线在新坐标系⽅程为'2'23210-+-=. （3）已知⼆次曲线的距阵是423214343----，坐标变换公式''''92),101).5 x x yy x y=--=++代⼊已知曲线⽅程并整理得曲线在新坐标系下的⽅程为'2' 50-=. （4）坐标变换公式''''22),51).5x x yy x y=--=++代⼊已知曲线⽅程并整理得曲线在新坐标系下的⽅程为'2510y-=.3.试证在任意转轴下，⼆次曲线的新旧⽅程的⼀次项系数满⾜关系式'2'222 13231313a a a a+=+.证明：设旋转⾓为α，则''131323cos sina a aαα=-，''231323sin cosa a aαα=+，两式平⽅相加得'2'22213231313a a a a+=+.4.试证⼆次曲线222ax hxy ay d++=的两条主直径为220x y-=，曲线的两半轴的长分别为. 证明：求出曲线的两主直径并化简即可得.§5.7应⽤不变量化简⼆次曲线的⽅程1. 利⽤不变量与半不变量，判断下列⼆次曲线为何种曲线，并求出它的化简⽅程与标准⽅程. （1）22 66210x xy y x y++++-=；（2）223234440x xy y x y-+++-=；（3）2243220x xy y x y-++-=；（4）22442210x xy y x y-++--=；（5）222246290x xy y x y-+--+=；（6）；（7）22 22240x xy y x y++++-=；（8）22 4412690x xy y x y-++-+=.解：（1）因为12I=，213831I==-，13331116311=-，322II=-，⽽特征⽅程2280λλ--=的两根为124,2λλ==-，所以曲线的简化⽅程（略去撇号）为224220x y --=曲线的标准⽅程为 2221012x y --=，曲线为双曲线；类似地得下⾯：（2）曲线的简化⽅程（略去撇号）为 222480x y +-=，曲线的标准⽅程为 22142x y +=，曲线为椭圆；（3）曲线的简化⽅程（略去撇号）为22(2(20x y +=，曲线的标准⽅程为22011x y -=，曲线为两相交直线；（4）曲线的简化⽅程（略去撇号）为250y -=，双曲线的标准⽅程为2y =，曲线为抛物线；（5）曲线的简化⽅程（略去撇号）为2233((022x y +=，曲线的标准⽅程为220x y +=，曲线为⼀实点或相交与⼀实点的两虚直线；（6）曲线的简化⽅程（略去撇号）为220,0,0)y x a y a -=≤≤≤≤（，曲线的标准⽅程为2y =，0,0)x a y a ≤≤≤≤（曲线为抛物线的⼀部分；（7）曲线的简化⽅程（略去撇号）为 2250y -=，曲线的标准⽅程为 252y =，曲线为两平⾏直线；（8）曲线的简化⽅程（略去撇号）为 250y =，曲线的标准⽅程为 20y =，曲线为两重合直线.2. 当λ取何值时，⽅程 2244230x xy y x y λ++---= 表⽰两条直线.解：⽅程 2244230x xy y x y λ++---=表⽰两条直线当且仅当3222110213I λ-=-=---，即4λ=.3. 按实数λ的值讨论⽅程2222250x xy y x y λλ-+-++= 表⽰什么曲线.解：因为12I λ=，2(1)(1)I λλ=-+，3(53)(1)I λλ=+-，12(51)K λ=-，所以当λ的值变化时，1231,,,I I I K 也随着变化，它们的变化关系如下表：4. 设221112221323332220a x a xy a y a x a y a +++++= 表⽰两条平⾏直线，证明这两条直线之间的距离是d = . 证明：曲线的⽅程可简化为：这⾥当曲线表⽰两条平⾏的实直线时，10K <.所以这两条直线之间的距离是d =5. 试证⽅程 221112221323332220a x a xy a y a x a y a +++++= 确定⼀个实圆必须且只须212124,0I I I I =<.证明：当曲线 221112221323332220a x a xy a y a x a y a +++++=表⽰⼀个实圆的充要条件是其特征⽅程2120I I λλ-+=有相等实根且120I I <，即21240I I ?=-=且120I I <，从⽽⽅程确定⼀个实圆必须且只须212124,0I I I I =<.6. 试证如果⼆次曲线的10I =，那么20I <. 证明：因为111220I a a =+=即1122a a =-，所以1112222211221211121222()a a I a a a a a a a==-=-+，⽽11122,,a a a 不全0，所以有20I <. 7. 试证如果⼆次曲线的230,0I I =≠，那么10I ≠，⽽且120I I <.证明：当230,0I I =≠时，由5.2节习题7知，曲线为⽆⼼曲线，从⽽有10I ≠，⽽且120I I <.。

第3讲 空间解析几何—曲面、曲线及其方程本节主要内容第三节 曲面及其方程1 曲面方程的概念2 旋转曲面3 柱 面 4二次曲面第四节 空间曲线及其方程1 空间曲线的一般方程2 空间曲线的参数方程3 空间曲线在坐标面上的投影讲解提纲：第七章 空间解析几何与向量代数第三节 曲面及其方程一、 曲面方程的概念空间曲面研究的两个基本问题是：1．已知曲面上的点所满足的几何条件，建立曲面的方程;2．已知曲面方程，研究曲面的几何形状.二、旋转曲面以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周形成的曲面叫做旋转曲面，旋转曲线和定直线分别叫做旋转曲面的母线和轴。

三、柱面平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线L 形成的轨迹叫做柱面，定曲线C 叫做柱面的准线，动直线L 叫做柱面的母线。

四、二次曲面三元二次方程0),,(=z y x F 所表示的曲面称为二次曲面。

例题选讲：曲面方程的概念例1 建立球心在点),,(0000z y x M 、半径为R 的球面方程. 解：易得球面方程为2222000()()()x x y y z z R -+-+-=例2 求与原点O 及)4,3,2(0M 的距离之比为1:2的点的全体所组成的曲面方程. 解：易得曲面方程为22224116()(1)()339x y z +++++=。

例3 已知()1,2,3,A ()2,1,4,B - 求线段AB 的垂直平分面的方程.解：设点(,,)M x y z 为所求平面上的任一点，由 A M B M ==整理得26270x y z -+-=。

例4方程2222440x y z x y z ++-++=表示怎样的曲面？旋转曲面例5 将xOz 坐标面上的抛物线25z x =分别绕x 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程.解：易得旋转曲面的方程225y z x +=例6 直线L 绕另一条与L 相交的定直线旋转一周, 所得旋转曲面称为叫圆锥面. 两直线的交点称为圆锥面的顶点, 两直线的夹角α)20(πα<<称为圆锥面的半顶角. 试建立顶点在坐标原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为α的圆锥面方程解：在yoz 坐标平面上，直线L 的方程为 c o tz y α= 可得圆锥面的方程为2222()z x y α=+柱面例7 分别求母线平行于x 轴和y 轴，且通过曲线222222216x y z x y z ⎧++=⎨-+=⎩的柱面方程.解：母线平行于x 轴的柱面方程：22316y z -= 母线平行于y 轴的柱面方程：223216x z += 二次曲面.椭球面：1222222=++cz b y a x )0,0,0(>>>c b a抛物面椭圆抛物面 qy p x z 2222+= （同号与q p ）双曲抛物面 z qy p x =+-2222 ( p 与q 同号)双曲面单叶双曲面 1222222=-+c z b y a x )0,0,0(>>>c b a双叶双曲面 1222222-=-+c z b y a x )0,0,0(>>>c b a二次锥面 0222222=-+cz b y a x例8 由曲面,0,0,0===z y x 1,122=+=+z y y x 围成的空间区域(在第一卦限部分), 作它的简图.课堂练习 1.求直线11:121x y z L --==绕z 轴旋转所得到的旋转曲面的方程. 2.指出方程221x y -=及22z x =-所表示的曲面. 3 方程()()22234z x y =-+--的图形是怎样的?第四节 空间曲线及其方程一、 空间曲线的一般方程 ⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F二、空间曲线的参数方程 ⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x三、 空间曲线在坐标面上的投影⇒⎩⎨⎧==.0),,(,0),,(z y x G z y x F ⇒=0),(y x H ⎩⎨⎧==00),(z y x H例题选讲：空间曲线的一般方程例1方程组 221493x y y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩表示怎样的曲线?空间曲线的参数方程例2 若空间一点M 在圆柱面222a y x =+上以角速度ω绕z 轴旋转, 同时又以线速度v 沿平行于z 轴的正方向上升 (其中ω、v 是常数), 则点M 构成的图形叫做螺旋线. 试建立其参数方程.解：取时间t 为参数，在t=0时，动点位于x 轴上的一点(,0,0)A a 处。

第一章 高等数学 第一节 空间解析几何一、向量代数（一）向量及其线性运算既有大小又有方向的量，如位移、速度、力等这类量，称为向量，向量 a 的大小称为向量 a 的模，记作| a |。

模等于1的向量叫做单位向量，向量的加减法、向量与数的乘法统称为向量的线性运算。

向量a 与向量 b 的和 a + b 是一个向量 c ，利用平行四边形法则或三角形法则可得向量c ，如图 1-1-1 ，图 1-1-2 所示。

向量的加法符合下列运算规律： ① 交换律 a + b = b + a② 结合律(a + b)+c＝ a +(b+c）向量 b 与向量 a 的差 b - a 定义为向量 b 与 a 的负向量-a 的和，即b - a = b + (-a)由向量加法的三角形法则可知：() |a| = |-a|向量 a 与实数λ的积记作λa ，它是一个向量，它的模它的方向当λ＞ 0 时，与向量 a 相同；当λ＜ 0 时，与向量 a 相反。

向量与数的乘积符合下列运算规律：由向量与数的乘积的定义，可得以下定理：定理 设向量 a≠0 ，那么，向量 b 与向量 a 平行的充分必要条件是：存在惟一的实数λ，使 b =λa 。

（二）向量的坐标设有空间直角坐标系 O - xyz ， i、 j、 k 分别表示沿 x 、 y 、 z 轴正向的单位向量， 12a M M是以1111(,,)M x y z 为起点，2222(,,)M x y z 为终点的向量，则向量a 可表示为其中212121x x y y z z ---、、称为向量 a 的坐标。

利用向量的坐标，可得向量的加法、减法以及向量与数的乘法运算如下：非零向量 a 与三条坐标轴正向的夹角αβγ、、称为它的方向角。

向量的模、方向角与坐标之间关系：其中cos cos cos αβγ、、称为向量 a 的方向余弦。

利用向量的坐标可得向量的模与方向余弦如下：（三）数量积 向量积设向量a 和向量 b 的夹角为θθπ≤≤（0）,向量 a 和向量 b 的数量积为一个数量，记作a b ⋅ ，其大小为||||cos a b θ，即a ⊥b 的充分必要条件是 a .b =0向量 a 在轴u 上的投影（记作 Prj u a ）等于向量 a 的模乘以轴与向量a 的夹角φ的余弦，即利用向量在轴上的投影，可将数量积表为向量 a 和向量 b 的向量积为一个向量 c ，记作 a × b ，即c ＝ a × b ，c 的模c 的方向垂直于 a 与 b 所决定的平面， c 的指向按右手法则确定。

第八章解析几何第一节直线的倾斜角和斜率【目标引领自主复习】（一）复习目标1.理解直线的倾斜角，斜率的概念；2.掌握过两点直线的斜率的求法，会证明三点共线；3.理解直线的倾斜角与斜率之间的关系。

（二）自主复习1.直线的倾斜角__________________________________________________________叫做直线的倾斜角，直线的倾斜角的范围是________________.2.直线的斜率_____________________________________叫做直线的斜率.3.直线的倾斜角α与斜率k 之间的关系①当α__________时，k __________；②当α__________时，k __________；③当α__________时，k __________；④当α__________时，k __________.4.通过两点111222()()P x y P x y ，与，的直线的斜率公式为____________________.(三)基础自测①已知直线的倾斜角为23π，则此直线的斜率为___________；②已知直线的斜率为-33，则此直线的倾斜角为___________；③已知直线的倾斜角为α，且4cos 5α=-,则此直线的斜率为___________；④过点(1)(2)A B -，3、，1的直线的斜率为__________________；⑤直线320x y -+=的倾斜角是___________.【思维碰撞小组合作】1.已知(3)(4,)(0,1)A B C --，2、1、,求直线AB,BC,CA 的斜率,并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角．变式训练：已知点(1)(2)A a a B a -+-，、，1，当直线满足下列条件时，求a 的取值范围。

①直线AB 的倾斜角为锐角；②直线AB 的倾斜角为直角；③直线AB 的倾斜角为钝角。

思路点拨：利用直线的倾斜角α与斜率k 之间的关系，得不等式。

调和点列与极点极线知识与方法以极点极线为背景的题目经常出现在高考和各级竞赛试题之中, 如圆锥曲线的切线、切点弦、圆锥曲线内接四边形两对边延长线的交点轨迹等, 是圆锥曲线的常考问题, 这些问题大多和极点极线与调和点列的性质有关.熟悉调和点列与极点极线基本性质, 能抓住此类问题的本质，明确问题的目标, 能更高效地解决问题. 下面介绍交比、调和点列、完全四边形、Apollonius圆、极点和极线等射影几何的重要概念及性质, 溯本求源，揭示此类与极点极线有关的问题的来龙去脉.(一)调和分割的概念“调和分割”又称“调和共轭” , 来源于交比，分“调和线束”和“调和点列”两种, 它是交比研究中的一个重要特例, 也是贯穿《高等几何》课程的一个重要概念.定义1线束和点列的交比:如图, 过点O的四条直线被任意直线l所截的有向线段之比ACAD/BCBD称为线束OA、OC、OB、OD或点列A,C,B,D的交比.定理1交比与所截直线无关.【证明】令线束O a,b,c,d分别交l于A,B,C,D,则ACAD/BCBD=SΔAOCS△AOD/SΔBOCSΔBOD=CO sin∠AOCDO sin∠AOD/CO sin∠COBDO sin∠BOD=sin∠AOCsin∠AOD,sin∠COBsin∠BOD, 又因为各对应向量方向相同, 故交比与所截直线无关.【注】定理说明，点列的交比与其对应线束的交比是相同的. 保持线束不变, 取另一直线l 交线束于A ,B ,C ,D , 可视为对l作射影变换, 所得交比不变, 由此说明交比是射影不变量, 具有射影不变性.定义2调和线束与调和点列:定理1若交比为-1,则称为调和比.交比为-1的线束称为调和线束,点列称为调和点列. 一般地,若AC=λCBAD=-λDB(λ>0且λ≠1,则A,C,B,D四点构成“调和点列”;①A,B叫做“基点”,C,D叫做“(内、外)分点”.根据定义可得：如果点C内分线段AB，点D外分线段AB, 且ACCB=ADDB, 那么称点C,D调和分割线段AB.亦称A,C,B,D为调和点列. 线段端点和内外分点, 依次构成调和点列.即：调和点列⇔内分比=外分比.②也可以以D,C为基点, 则四点D,B,C,A仍构成调和点列, 故称A,B与C,D调和共轭.③如图, 若A,C,B,D构成调和点列,O为直线AB外任意一点, 则四直线OA,OC,OB,OD为调和线束;若另一直线截此调和线束, 则截得的四点A ,C ,B ,D 仍构成调和点列(由定理1可知).定理2调和点列的性质：若A,C,B,D为调和点列, 即ACCB=ADDB,则:(1)调和性:1AC+1AD=2AB证明:CACB=DADB⇒CBCA=DBDA⇒AB-CACA=DA-ABDA⇒ABCA-1=1-ABDA⇒ABCA+ABDA=2⇒1AC+1AD=2AB(2)共轭性:若A,C,B,D构成调和点列, 则D,B,C,A也构成调和点列.即：若1AC+1AD=2AB成立, 则1DB+1DA=2DC也成立;(3)等比性:①CACB=DADB=λ②记线段AB的中点为M, 则有MA|2=MB|2=MC⋅MD.③记线段CD的中点为N, 则有NC|2=ND|2=NA⋅NB.(同2可证)证明:CACB=DADB⇒MA+MCMA-MC=MD+MAMD-MA⇒MA+MCMD+MA=MA-MCMD-MA由等比性质可知:MA+MC+MA-MCMD+MA+MD-MA=MA+MC-MA- MC∣MD+MA-MD-MA⇒2MA2MD=2MC2MA⇒MA|2=MB2=MC⋅MD同理可得NC|2=ND|2=NA⋅NB.定理3斜率分别为k1,k2,k3的三条直线l1,l2,l3交于x轴外的点P, 过P作x轴的垂线l4, 则k1,k2,k3成等差数列的充要条件为l1,l2、l3,l4成调和线束.分析：不妨设k1、k2、k3均为正数, 其它情况同理可证.【证明】如图, 设l1,l2、l3,l4与x轴分别交于A,B,C,D四点, 则2k2=k1+k3⇔2DB=1DA+1DC⇔DADC=BABC⇔A,B,C,D成调和点列⇔l1,l3,l2,l4成调和线束.定理4已知F为椭圆的焦点,l为F相应的准线, 过F任作一直线交椭圆于A,B两点, 交l于点M, 则A,B,F,M成调和点列.(说明：此处图像应修正：B点在椭圆上，BB1虚线应往上移一点)【证明】如图, 分别过A,B作l的垂线, 垂足为A1,B1,则由椭圆的第二定义及平行线的性质可得:AF BF=AA1BB1=AMBM, 故A,B,F,M成调和点列.定义3阿波罗尼斯Apollonius圆：到两定点A、B距离之比为定值k(k>0且k≠1)的点的轨迹为圆, 称为Apollonius圆(简称阿氏圆)，为古希腊数学家Apollonius最先提出并解决.【证明】如图, 由AP=kPB, 则在AB直线上有两点C、D满足ACBC=ADBD=APBP, 故PC、PD分别为∠APB的内外角平分线, 则CP⊥DP, 即P的轨迹为以CD为直径的圆(圆心O为线段CD的中点).由ACBC=ADBD可知, 图中A,C,B,D为调和点列.定义4完全四边形：我们把两两相交, 且没有三线共点的四条直线及它们的六个交点所构成的图形, 叫做完全四边形. 如图，凸四边形ABCD各边延长交成的图形称为完全四边形ABCDEF,AC、BD、EF称为其对角线.定理5完全四边形对角线所在直线互相调和分割. 即AGCH、BGDI、EHFI分别构成调和点列.【证明】HEHF⋅IFIE=S△AECS△AFC⋅SΔBDFS△BDE=S△AECSΔACD⋅SΔACDSΔAFC⋅SΔBDFSΔBEF⋅SΔBEFSΔBDE=ECCD⋅ADAF⋅DCEC⋅AFAD=1,即HEHF=IEIF, 所以EHFI为调和点列. 其余的可由线束的交比不变性得到.(二)极点和极线的概念1. 极点和极线的几何定义如图,P为不在圆锥曲线Γ上的点, 过点P引两条割线依次交圆锥曲线于四点E,F,G,H, 连接EH ,FG交于N, 连接EG,FH交于M, 我们称点P为直线MN关于圆锥曲线Γ的极点, 称直线MN为点P关于圆锥曲线Γ的极线. 直线MN交圆锥曲线Γ于A,B两点, 则PA,PB为圆锥曲线Γ的两条切线. 若P在圆锥曲线Γ上, 则过点P的切线即为极线.(1)自极三角形：极点P一一极线MN；极点M一一极线PN;极点N一一极线MP;即△PMN中,三个顶点和对边分别为一对极点和极线, 称△PMN为“自极三角形”.(2)极点和极线的两种特殊情况(1)当四边形变成三角形时：曲线上的点E F,M,N对应的极线, 就是切线PE;(2)当四边有一组对边平行时, 如：当FH⎳EG时, EG和FH的交点M落在无穷远处;点P的极线NM2和点N的极线PM1满足:FH⎳NM2⎳EG⎳PM1.2. 极点和极线的代数定义对于定点P x0,y0与非退化二次曲线Γ:Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0，过点P作动直线与曲线Γ交于点A与点B, 那么点P关于线段AB的调和点Q的轨迹是什么?可以证明:点Q在一条定直线l:Ax0x+Cy0y+D x+x02+Ey+y02+F=0上，如下图. 我们称点P为直线l关于曲线Γ的极点;相应地, 称直线l为点P关于曲线Γ的极线.一般地, 对于圆锥曲线Γ:Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0，设极点P x0,y0, 则对应的极线为l:Ax0x+B x0y+y0x2+Cy0y+Dx0+x2+Ey0+y2+F=0【注】替换规则为:x2→xx0, y2→yy0,xy→x0y+y0x2,x→x+x02,y→y+y02.(1)椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的三类极点极线(1)若极点P x 0,y 0 在椭圆外, 过点P 作橢圆的两条㘦线, 切点为A ,B , 则极线为切点弦所在直线AB :x 0xa 2+y 0yb 2=1;(2)若极点P x 0,y 0 在椭圆上, 过点P 作椭圆的切线l , 则极线为切线x 0xa 2+y 0yb 2=1;(3)若极点P x 0,y 0 在橢圆内, 过点P 作椭圆的弦AB , 分别过A ,B 作椭圆切线, 则切线交点轨迹为极线x 0xa 2+y 0yb 2=1由此可得椭圆极线的几何作法:(2)对于双曲线x 2a 2-y 2b 2=1, 极点P x 0,y 0 对应的极线为x 0x a 2-y 0y b 2=1;(3)对于拋物线y 2=2px , 极点P x 0,y 0 对应的极线为y =p x 0+x .3. 极点和极线的性质(1)引理:已知椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0), 直线l 的方程为x 0x a 2+y 0y b 2=1, 点P x 0,y 0 不与原点重合. 过点P 作直线交椭圆于A ,B 两点,M 点在直线AB 上，则“点M 在直线l 上"的充要条件是"P ,M 调和分割A ,B ", 即AP PB =AMMB.【证明】先证必要性. 设M 点的坐标为x 1,y 1 , 则有x 0x 1a 2+y 0y 1b 2=1. 设直线AB 的参数方程为x =x 0+tx 11+ty =y 0+ty 11+t(t 为参数)与椭圆方程联立, 得x 21a 2+y 21b 2-1 t 2+2x 0x 1a 2+y 0y 1b 2-1 t +x 20a 2+y 20b2-1=0，即x21a2+y21b2-1t2+x20a2+y20b2-1=0, 该方程有两个不等实根, 设为t1,t2, 则t1+t2=0.即P,M调和分割A,B, 也即APPB=AMMB.将以上证明过程反向推导，即得充分性成立.设P是圆锥曲线Γ的一个极点, 它对应的极线为l, 过P任意引一条直线, 交Γ于点A,B, 交l于点Q, 若点A是位于P,Q间的点, 结合引理可得如下极点和极线的三个调和性质:(1)调和性1 PA +1PB=2PQ(2)共轨性B,Q,A,P四点也构成“调和点列”, 即1BQ+1BP=2BA.(3)等比性(1)点Q、P是线段AB的内、外分点,PAPB=QAQB=λ.(2)若Γ为椭圆或双曲线，当直线AB经过曲线中心O时, OP⋅OQ=OA|2=OB|2.4. 配极原则若P点关于圆锥曲线Γ的极线通过另一点Q, 则Q点的极线也通过P, 称P、Q关于Γ调和共轭.【证明】设点P x P,y P,则相应的极线为l P:x p xa2+y P yb2=1,点Q x Q,y Q,相应的极线为l Q:x Q xa2+y Q y b2=1. 因为l P过点Q,Q坐标满足方程x P xa2+y P yb2=1, 即x P x Qa2+y P y Qb2=1;则P点坐标满足方程x Q xa2+y Q yb2=1, 这也说明, 也就是l Q过点P.配极原则说明:l P过点Q⇔l Q过点P, 由此可得下面推论:推论1:共线点的极线必然共点(A、G、D、E四点共线, 它们的极线a、g,d、e共交点F);共点线的极点必然共线(直线a、g,d、e共交点F, 它们的极点A、G，D、E四点共线).推论2：如下图, 过极点P作两条直线, 与桞圆分别交于点A,B和C,D, 则直线AD,BC的交点T必在极线上.5. 椭圆的极点与极线的常用性质对于椭圆x2a2+y2b2=1, 极点P x0,y0(不是原点)对应的极线为x0xa2+y0yb2=1, 有如下性质：性质1:“类焦点"与“类准线”当极点P m,0m≠0在x轴上时，对应的极线x=a2m平行于y轴，当极点P0,nn≠0在y轴上时对应的极线y=b2n平行于x轴;特别地, 当极点P为椭圆的焦点时, 极线为相应的准线.性质2：平方模型如下图, 射线OP与椭圆交于点D, 与点P的极线交于点C, 则|OP|⋅|OC|=|OD|2;当点P在x轴上时, |OP|⋅|OC|=a2;当点P在y轴上时, |OP|⋅|OC|=b2.性质3：共轭方向设极点P x0,y0不在坐标轴上, 则直线OP的斜率为k OP=y0x0, 极线l:x0xa2+y0yb2=1的斜率k=-b2x0a2y0，则k OP⋅k=y0x0⋅-b2x0a2y0=-b2a2.【注】性质3表明:椭圆内一点P的极线方向与以极点P为中点的弦的方向相同，称OP与极线方向共轭. 当极点P x0,y0在椭圆内时，极线l平行于以P为中点的弦所在直线EF(用点差法易证). 设直线OP与椭圆相交于点D, 过点D作椭圆的切线l1, 则以P为中点的弦所在直线EF、过点D的切线l1、极点P的极线l, 三线互相平行, 如下图.性质4:平行如下图, 设四边形ABCD为椭圆的内接梯形, AC⎳BD,AD∩BC=Q, 则点P的极线过Q, 且与直线AC、BD平行. 特别地, 若BC⎳AD⎳y轴时, 点P的极线平行y轴, 且与x轴的交点R 也是AC、BD交点, 有|OR|⋅|OP|=|OF|2=a2.性质5:垂直设圆锥曲线Γ的一个焦点为F, 与F相应的准线为l, 若过点F的直线与圆雉曲线Γ相交于M ,N两点, 则Γ在M,N两点处的切线的交点Q在准线l上, 且FQ⊥MN.【证明】以椭圆为例证明, 双曲线与拋物线类似处理.设P x0,y0, 则P x0,y0对应的极线为MN:x0xa2+y0yb2=1, 由F(c,0)在直线MN上得cx0a2=1, 所以x0=a2c, 故Q在准线l:x=a2c上. 由P a2c,y0, 易证k MN⋅k QF=-1, 所以FQ⊥MN.性质6：等角定理如下图, A,B是椭圆Γ的一条对称轴l上的两点(不在Γ上), 若A,B关于Γ调和共轭, 过A 任作Γ的一条割线, 交Γ于P,Q两点, 则∠PBA=∠QBA.证明：因Γ关于直线l对称, 故在Γ上存在P,Q的对称点P ,Q . 若P 与Q重合, 则Q 与P 也重合, 此时P,Q关于l对称, 有∠PAB=∠QAB；若P 与Q不重合, 则Q 与P也不重合, 由于A,B关于Γ调和共轭, 故A,B为Γ上完全四点形PQ QP 的对边交点, 即Q 在P A上也在PB上, 故BP,BQ关于直线l对称, 也有∠PBA=∠QBA.【注】事实上, 性质6对于圆锥曲线都成立. 我们还可以得到下列结论:(1)直线PB与椭圆的另一交点为Q , 则Q 与Q关于l对称;(2)∠PAO=∠QAB=∠Q AB;(3)k AP+k AQ =0.典型例题类型1:判断位置关系【例1】已知点M (a ,b )在圆O :x 2+y 2=1外, 则直线ax +by =1与圆O 的位置关系是()A.相切B.相交C.相离D.不确定【答案】B .【解析】因为 ax +by =1 是圆 x 2+y 2=1 的切点弦方程, 所以直线与圆相交, 故选 B .类型2:求极线方程【例2】过椭圆x 29+y 24=1内一点M (1,2), 作直线AB 与椭圆交于点A ,B , 作直线CD 与椭圆交于点C ,D , 过A ,B 分别作椭圆的切线交于点P , 过C ,D 分别作椭圆的切线交于点Q , 求P ,Q 连线所在的直线方程.【答案】 x9+y 2=1.【解析】该题实质上就是求椭圆 x 29+y 25=1 内一点 M (1,2) 对应的极线方程，答案为 x9+y 2=1.【例3】设椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)过点M (2,1), 且左焦点为F 1(-2,1).(1)求敉圆C 的方程;(2)当过点P (4,1)的动直线l 于椭圆C 相交于两不同点A ,B 时, 在线段AB 上取点Q , 满足|AP |⋅|QB|=|AQ |⋅|PB |, 证明：点Q 总在某定直线上.【答案】 (1)x 24+y 22=1;(2) 见解析.【解析】(1)由题意得：c 2=22a 2+1b 2=1c 2=a 2-b 2 ，解得a 2=4b 2=2 ，所求椭圆方程为x24+y 22=1.(2) 解法 1: 定比点差法设点 Q 、A 、B 的坐标分别为 (x ,y ),x 1,y 1 ,x 2,y 2由题设知 |AP |,|PB |,|AQ |,|QB | 均不为零, 记 λ=|AP ||PB |=|AQ||QB |, 则 λ>0 且 λ≠1又 A ,P ,B ,Q 四点共线, 从而 AP =-λPB ,AQ=λQB 于是 4=x 1-λx 21-λ,1=y 1-λy 21-λ,x =x 1+λx 21+λ,y =y 1+λy 21+λ,从而:4x =x 21-λ2x 221-λ2⋯⋯⋯⋯(1)y =y 21-λ2y 221-λ2⋯⋯⋯.. (2)又点 A 、B 在椭圆 C 上，即:x 21+2y 21=4⋯⋯⋯⋯⋯(3)x 22+2y 22=4⋯⋯⋯⋯⋯(4)(1)+(2)×2, 并结合(3)(4)得 4x +2y =4,即点 Q (x ,y ) 总在定直线 2x +y -2=0 上.解法 2：构造同构式设点 Q (x ,y ),A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,由题设知 |AP |,|PB |,|AQ |,|QB | 均不为零, 记 λ=|AP ||PB |=|AQ||QB |,又 A ,P ,B ,Q 四点共线, 可设 PA =-λAQ ,PB =λBQ(λ≠0,±1)于是 x 1=4-λx 1-λy 1=1-λy 1-λ (1), x 2=4+λx 1+λy 2=1+λy 1+λ(2)由于 A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 在椭圆 C 上, 将(1)(2)分别代入 C 的方程 x 2+2y 2=4,整理得:x 2+2y 2-4 λ2-4(2x +y -2)λ+14=0(3)x2+2y 2-4 λ2+4(2x +y -2)λ+14=0(4)(4)-(3)得:8(2x +y -2)λ=0,∵λ≠0,∴2x +y -2=0,即点 Q (x ,y ) 总在定直线 2x +y -2=0 上.解法 3：极点极线由 |AP |⋅|QB |=|AQ |⋅|PB | 可得 AP PB =AQ QB,说明点 P ,Q 关于桞圆调和共轭, 点 Q 在点 P 对应的极线上,此极线方程为4⋅x4+1⋅y 2=1, 化简得 2x +y -2=0.故点 Q 总在直线 2x +y -2=0 上.【注】点 Q 的轨汖方程为 2x -y -2=0( 在椭圆内的部分)类型3：证明直线过定点或三点共线【例4】如图, 过直线l :5x -7y -70=0上的点P 作椭圆x 225+y 29=1的切线PM 和PN , 切点分别为M ,N , 连结MN .(1)当点P 在直线l 上运动时, 证明：直线MN 恒过定点Q ;(2)当MN ⎳l 时, 定点Q 平分线段MN .【答案】见解析.【解析】解法 1: 常规解法(1) 证明：设 P x 0,y 0 ,M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 .则椭圆过点 M ,N 的切线方程分别为:x 1x 25+y 1y 9=1,x 2x25+y 2y 9=1.因为两切线都过点 P, 则有:x1x025+y1y09=1,x2x025+y2y09=1.这表明 M,N 均在直线 x0x25+y0y9=1 (1)上.由两点确定一条直线知, 式(1)就是直线 MN 的方程, 其中 x0,y0满足直线 l 的方程.当点 P 在直线 l 上运动时,可理解为 x0 取遍一切实数，相应的 y0 为 y0=57x0-10 .代入(1)消去 y0 得 x025x+5x0-7063y-1=0 (2)对一切 x0∈R 恒成立.变形可得 x0x25+5y63-10y9+1=0 ,对一切 x0∈R 恒成立,故有x25+5y63=010y9+1=0⇒x=2514y=-910故直线 MN 恒过定点 Q2514,-910 .(2)当 MN⎳l 时,由式(2)知 x0255-5x0-7063-7≠-1-70. 解得 x0=4375533 . 代入(2),得 MN 的方程5x-7y-53335=0 (3)将此方程与椭圆方程联立,消去 y 得 53325x2-5337x-1280681225=0 .由此可得, 此时 MN 截圆所得弦的中点横坐标恰好为点 Q2514,-910的横坐标, 即x=x1+x22=--53372×53325=2514代入(3)式可得弦中点纵坐标恰好为点 Q2514,-910的纵坐标,即y=57×2514-5337×35=1491252-5332=-910这就是说, 点 Q2514,-910平分线段 MN.解法 2:(1) 动点 P 在定直线 l 上, 则相应的切点弦过定点, 可知定点 Q 必为极点,于是只需求极点即可:由 5x-7y-70=0⇔x14-y10=1, 得到极点坐标 Q2514,-910, 即为所求定点.(2) 由椭圆内一点极线方向与以极点为中点弦的方向相同, 也即 OQ 与极线方向共轭, 即得结论 (2).【注】“极点在已知直线上，则极线过定点”. 这是一类常考的直线过定点问题.【例5】已知A,B分别为椭圆E:x2a2+y2=1(a>1)的左、右顶点, G为E的上顶点, AG⋅GB=8,P为直线x=6上的动点, PA与E的另一交点为C,PB与E的另一交点为D.(1)求E的方程;(2)证明：直线CD过定点.【答案】(1)x29+y2=1;(2) 见解析【解析】(1)易得椭圆 E 的方程为 x29+y2=1;(2)利用极点极线角度 1: 如下图, 设 CD 交 AB 于 Q,AD 交 CB 于 R, 则 QR 为 P 对应的极线,即点 Q 在点 P 对应的极线上. 极点 P(6,t) 对应的极线方程为 6x9+ty=1,即 2x3+ty=1, 极线恒过定点32,0, 故直线 CD 也过定点 32,0.角度 2: 如图, 设 CD 交 AB 于 Q(m,0),则点 P(6,t) 在点 Q(m,0) 对应的极线上，极点 Q(m,0) 对应的极线方程为 mx9+0⋅y=1, 即 x=9m, 由9m=6 得 m=32, 所以直线 CD 过定点 Q32,0.角度 3: 如图, 设直线 x=6 交 x 轴于点 H, 由极点极线的性质可知: |OQ|⋅|OH|=|OB|2即 6|OQ|=32, 所以 |OQ|=32, 故直线 CD 过定点 Q32,0.【注】本题的背景是极点极线, 上面解法从三个不同角度进行了“秒杀”，令人回味无穷. 极点极线 是高等几何中的内容, 高中数学教材中虽然没有介绍相关的定义及性质, 但是以此为背景的高考和竞赛试 题层出不穷、常考常新. 我们用其他解法求解本题时，可以用求极线对应极点的解法得到这个定点, 目标 已然心中有数, 那么就能降低运算难度，避免计算错误.类型4:证明两直线垂直【例6】已知A(-2,0),B(2,0), 点C是动点, 且直线AC和直线BC的斜率之积为-3 4.(1)求动点C的轨迹方程;(2)设直线l 与(1)中轨迹相切于点P , 与直线x =4相交于点Q , 且F (1,0), 求证:∠PFQ =90∘.【答案】 (1)x 24+y 23=1(y ≠0);(2) 证明见解析.【解析】(1)设 C (x ,y ), 则依题意得 k AC ⋅k BC =-34, 又 A (-2,0),B (2,0),所以有 y x +2⋅y x -2=-34(y ≠0),整理得 x 24+y 23=1(y ≠0), 即为所求轨迹方程.(2)解法 1:设直线 l :y =kx +m , 与 3x 2+4y 2=12 联立得3x 2+4(kx +m )2=12 ,即 3+4k 2 x 2+8km x +4m 2-12=0 ,依题意 Δ=(8km )2-43+4k 2 4m 2-12 =0， 即 3+4k 2=m 2,∴x 1+x 2=-8km 3+4k 2, 得 x 1=x 2=-4km 3+4k2,∴P -4km 3+4k 2,3m 3+4k2 , 而 3+4k 2=m 2, 得 P -4k m ,3m , 又 Q (4,4k +m ),又 F (1,0), 则 FP ⋅FQ =-4k m -1,3m ⋅(3,4k +m )=0. 知 FP⊥FQ , 即 ∠PFQ =90∘.解法 2:设 P x 0,y 0 ,则曲线 C 在点 P 处切线 PQ :x 0x 4+y 0y 3=1 , 令 x =4 ,得 Q 4,3-3x 0y 0, 又 F (1,0) , ∴FP ⋅FQ =x 0-1,y 0 ⋅3,3-3x 0y 0 =0 ,知 FP ⊥FQ , 即 ∠PFQ =90∘ . 解法 3:x =4 为椭圆的右准线, 椭圆右焦点为 F (1,0),由椭圆极点极线性质 5 可知:PF ⊥FQ , 即 ∠PFQ =90∘.【注】模型：已知椭圆 C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) 的右焦点为 F , 直线 l 与椭圆 C 相切于 P , 且与右准线交于点 Q , 则有 PF ⊥FQ .类型5:证明向量数量积(或线段长度之积)为定值【例7】如图, 椭圆有两顶点A (-1,0),B (1,0), 过其焦点F (0,1)的直线l 与椭圆交于C 、D 两点, 并与x 轴交于点P , 直线AC 与直线BD 交于点Q .(1)当|CD |=322时, 求直线l 的方程A (-1,0);(2)当点P 异于A 、B 两点时, 求证：OP ⋅OQ为定值.【答案】 (1)y =±2x +1； (2) 定值为 1 .【解析】解法 1:设 P (t ,0), 则点 P 的极线过 Q . 易得椭圆方程 x 2+y 22=1, 则 P 的极线为 0⋅y 2+tx =1, 即 x =1t .于是点 Q 在直线 x =1t 上, 设 Q 1t ,y 0 , 则 OP ⋅OQ =(t ,0)⋅1t ,y 0 =t ⋅1t+0⋅y 0=1.解法 2:根据极点极线几何性质, 点 p 关于敉圆 x 2+y 22=1 的极线为过点 Q 且与 x 轴垂直的直线上.设该直线交 x 轴于 Q , 由 “调和点列” 的 “等比性” , 可知 OQ ⋅OP =OB 2, 从而 OP ∙OQ=1.类型6:与斜率有关的定值问题【例8】设P x 0,y 0 为桞圆x 24+y 2=1内一定点(不在坐标轴上), 过点P 的两条直线分别与椭圆交于点A ,C 和B 、D , 且AB ⎳CD .(1)证明:直线AB 的斜率为定值;(2)过点P 作AB 的平行线, 与椭圆交于E 、F 两点, 证明：点P 平分线段EF .【答案】见解析【解析】(1)因为 AB ⎳CD , 所以点 P 对应的极线 x 0x4+y 0y =1 平行于 AB ,即 AB 的斜率是 -y 04x 0(定值);(2) 直线 EF :y =-x 04y 0x -x 0 +y 0, 代入椭圆x 24+y 2=1, 得x 24+-x 04y 0x -x 0 +y 02=1x 20+4y 2016y 20⋅x 2-x 0x 20+4y 20 8y 20⋅x +x 4016y 20+x 202+y 20-1=0则x E +x F =--x 0x 20+4y 20 8y 20x 0x 20+4y 28y 20=2x 0此时点 P 是 EF 中点, 即点 P 平分线段 EF .【例9】如图, 椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0的离心率为22, 直线l :y =12x 与椭圆E 相交于A 、B 两点, AB =25,C 、D 是椭圆E 上异于A 、B 的任意两点, 且直线AC 、BD 相交于点M , 直线AD 、BC 相交于点N , 连结MN .(1)求椭圆E 的方程;(2)求证：直线MN 的斜率为定值.【答案】 (1)x 26+y 23=1;(2) 见解析.【解析】 (1)x 26+y 23=1.( 过程略)(2) 设点 N 的坐标为 (m ,n ), 直线 DC 与 BA 交于点 P ,则 MP 为点 N 对应的极线, 其方程为 mx 6+ny 3=1. 结合 y =12x , 得到 P 点坐标为 6m +n ,3m +n . 所以, 点 P 对应的极线 MN 的方程为 16⋅6m +n x +13⋅3m +n x =1, 即 x +y =m +n ,所以直线 MN 的斜率为定值 -1.【注】本题需要极点、极线之间的两次转化, 通过点 P 在点 N 对应的极线上, 以及 MN 是点 P 对应的 极线, 使问题得以解决.【例10】四边形ABCD 是椭圆x 23+y 22=1的内接四边形, AB 经过左焦点F 1,AC ,BD 交于右焦点F 2, 直线AB 与直线CD 的斜率分别为k 1,k 2.(1)证明:k 1k 2为定值;(2)证明：直线CD 过定点, 并求出该定点的坐标.【答案】见解析.【解析】(1)设 A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,C x 3,y 3 ,D x 4,y 4则直线 AC 的方程为 x =x 1-1y 1y +1, 代入椭圆方程 x 23+y 22=1 整理得2-x 1 y2+x 1-1 y 1y -y 21=0∵y 1⋅y 3=-y 212-x 1,∴y 3=y 1x 1-2, 从而 x 3=x 1-1y 1y 3+1=2x 1-3x 1-2,故点 C 2x 1-3x 1-2,y 1x 1-2, 同理,点 D 2x 2-3x 2-2,y 2x 2-2 . 因为三点 A 、F 1,B 共线,所以 y 1x 1+1=y 2x 2+1, 从而 x 1y 2-x 2y 1=y 1-y 2.从而k 2=y 4-y 3x 4-x 3=y 2x 2-2-y 1x 1-22x 2-3x 2-2-2x 1-3x 1-2=y 2x 1-2 -y 1x 2-2 2x 2-3 x 1-2 -2x 1-3 x 2-2=x 1y 2-x 2y 1 +2y 1-y 2x 1-x 2=3y 1-y 2 x 1-x 2=3k 1故k 1k 2=13 .(2)解法 1:由(1)知:C 2x 1-3x 1-2,y 1x 1-2,D 2x 2-3x 2-2,y 2x 2-2,设直线 CD 交 x 轴于点 M x 0,y 0 ,则x 0=x 3y 4-x 4y 3y 4-y 3=2x 1-3x 1-2⋅y 2x 2-2-2x 2-3x 2-2⋅y 1x 1-2y 2x 2-2-y 1x 1-2=2x 1-3 y 2-2x 2-3 y 1y 2x 1-2 -y 1x 2-2 =2x 1y 2-x 2y 1 +3y 1-y 2 x 1y 2-x 2y 1 +2y 1-y 2=5y 2-y 1 3y 1-y 2 =53故直线 CD 过定点 53,0.解法 2:设 AB ,DC 交于点 P , 则 P 在 F 2 对应的极线1⋅x 3+0⋅y 2=1 即 x =3 上，可设 P (3,m ),由对称性可知：直线 CD 过定点必在轴上，不妨设定点为 T (t ,0), 则 k 1=k PF 1=m 4,k 2=k PT =m3-t,由(1)知 k 1k 2=13, 得 3-t 4=13⇒t =53, 所以 T 53,0 , 故直线 CD 过定点 53,0 .类型7:等角问题【例11】设椭圆C :x 22+y 2=1的右焦点为F , 过F 的直线l 与C 交于A ,B 两点,点M 的坐标为(2,0).(1)当l 与x 轴垂直时, 求直线AM 的方程;(2)设O 为坐标原点, 证明:∠OMA =∠O MB .【答案】(1)AM 的方程为 y =-22x +2 或 y =22x -2;(2) 证明见解析.【解析】(1)由已知得 F (1,0),l 的方程为 x =1.由已知可得, 点 A 的坐标为 1,22 或 1,-22 . 所以 AM 的方程为 y =-22x +2 或 y =22x -2.(2)解法 1:设直线 l 的方程为:x =my +1,A x 1,y 1 ,B x 2,,y 2 ,k AM =y 1-0x 1-2,k BM =y 2-0x 2-2联立方程组得:x =my +1x 22+y 2=1, 消去 x 并整理得:m 2+2 y 2+2my -1=0(1)因为点 F 为椭圆的右焦点, 所以方程(1)有两个实数根分别为 y 1,y 2.由韦达定理可得:y 1+y 2=-2m 2+m 2,y 1y 2=-12+m 2因为:k AM +k BM =y 1-0x 1-2+y 2-0x 2-2=y 1my 1-1+y 2my 2-1=2my 1y 2-y 1+y 2 my 1-1 my 2-1整体代入可得:k AM +k BM =2my 1y 2-y 1+y 2 my 1-1 my 2-1 =-2m 2+m 2+2m2+m 2my 1-1 my 2-1 =0则直线 AM 的倾斜角与直线 BM 的倾斜角互补, 故 ∠OMA =∠O MB .解法 2:过点 A ,B 分别作椭圆右准线的垂线, 垂足分别为 A 1,B 1(如图所示)由椭圆的第二定义可得: e =AF AA 1=BF BB 1, 所以有: AFBF =AA 1BB 1(1),因为 AA 1⎳x 轴⎳ BB 1 ,所以 AFBF =A 1M B 1M(2) 由(1)(2)得AA 1BB 1=A 1M B 1M ,即有 AA 1A 1M=BB 1B 1M 且 ∠AA 1M =∠BB 1M ， 所以 △AA 1M ∼ΔBB 1M , 即可得 ∠AMA 1=∠B MB 1,故 ∠OMA =∠O MB .【例12】如图, 已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点为F , 点-1,32 在椭圆C 上, 过原点O 的直线与椭圆C 相交于M 、N 两点, 且|MF |+|NF |=4.(1)求椭圆C 的方程;(2)设P (1,0),Q (4,0), 过点Q 且斜率不为零的直线与椭圆C 相交于A 、B 两点, 证明:∠APO =∠BPQ【答案】(1)x24+y2=1；(2) 见解析.【解析】(1) 如图, 取椭圆 C 的左焦点 F , 连 MF ,NF , 由椭圆的几何性质知 |NF|=MF, 则MF+|MF|=2a=4, 得 a=2, 将点 -1,3 2代入椭圆 C 的方程得:1a2+34b2=1, 解得:b=1, 故椭圆C 的方程为:x24+y2=1.(2) 设点 A 的坐标为 x1,y1, 点 B 的坐标为 x2,y2解法 1:y1x1-4=y2x2-4⇒y21x1-42=y22x2-42⇒1-x214x1-42=1-x224x2-42⇒4-x21x2-42=4-x22x1-42⇒2x1x2x1-x2-5x21-x22+8x1-x2=0因为 x1≠x2, 所以 2x1x-5x1+x2+8=0所以k x1-4x1-1+k x2-4x2-1=k x1-4x2-1+k x2-4x1-1x1-1x2-1=k2x1x2-5x1+x2+8x1x2-x1+x2+1=0所以直线 AP 与 BP 的斜率互为相反数, 故 ∠APO=∠BPQ.解法 2:设直线 AB 的方程为 x=ty+4, 联立方程x2+4y2=4x=ty+4, 消去 x 得:t2+4y2+8ty+12=0则y1+y2=-8tt2+4y1y2=12t2+4, 所以y1y2y1+y2=-32t, 所以 2ty1y2=-3y1+y2所以k AP+k BP=y1x1-1+y2x2-1=y1ty1+3+y2ty2+3=2ty1y2+3y1+y2ty1+3ty2+3=-3y1+y2+3y1+y2ty1+3ty2+3=0所以直线 AP 与 BP 的斜率互为相反数, 故 ∠APO=∠BPQ.类型8:三斜率成等差数列引理:二次曲线Γ:Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0与直线PQ交于点P,Q, 定点O在直线PQ 上, PQ 与O 点关于曲线C 的极线交于点R . 曲线C 上有两动点A ,B , 且直线AO 、BO 分别交曲线Γ于点C , D , 直线AB ，CD 分别交PQ 于点M ,N . 则M ,O ,N ,R 成调和点列.【证明】延长XO 交BC 于点E , 由定理5可知：B ,E ,C ,Y 成调和点列(完全四边形中的调和点列), 故M ,O ,N ,R 也成调和点列(调和点列在射影变换下的不变性).【例13】椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1,P 的坐标是x 0,0 ,Q 点在P 关于椭圆的极线x =a 2x 0上. 过P 作直线交椭圆于点A ,B . 求证：直线AQ ,PQ ,BQ 的斜率成等差数列.该结论对于拋物线, 双曲线同样适用. 特别地，当Q 点在x 轴上时, 就是等角线, 此时PQ 斜率为0 , PQ 平分∠AQB .【答案】见解析.【解析】 解法 1:作出以下辅助线:作 PR ⊥x 轴于 R , 设 AB 与 CD 交于点 P , 由引理可知:M 、P 、N 、R 成调和点列,于是有:1RM +1RN =2RP所以k AQ +k cQ =k MQ +k NQ =QR RM +QR RN =2QR RP =2k PQ 即直线 AQ ,PQ ,BQ 的斜率成等差数列.解法 2:由 A 、P 、B 共线可得： k PA =k PB , 即y A x A -x 0=y B x B -x 0所以y2Ax A-x02=y2Bx B-x02即a2b2-b2x2Aa2x A-x02=a2b2-b2x2Ba2x B-x02化简可得:2x0x A x B-x20+a2x A+x B+2a2x0=0恒等变形后得到:x0a2-x0x A+x0a2-x0x B=2x0a2-x20注意到恒等变形:x0a2-x0x A-x0a2-x20=-x20x0-x Aa2-x0x Aa2-x20于是我们将 (1)式等号的右边的式子移到左边, 还可以得到一个与(1)式等价的(2)式:x0-x Aa2-x0x A+x0-x Ba2-x0x B=0则y Ax Q-x A+y Bx Q-x B=y Aa2x0-x A+y Ba2x0-x B=x0y Aa2-x0x A+x0y Ba2-x0x Bk AQ+k BQ=y Q-y Ax Q-x A+y Q-y Bx Q-x B=y Q⋅1x Q-x A+1x Q-x B-y A xQ-x A+y Bx Q-x B所以=y Q⋅x0a2-x0x A+x0a2-x0x B-k AB⋅x0⋅x0-x Aa2-x0x A+x0-x Ba2-x0x B=y Q⋅x0a2-x0x A+x0a2-x0x B=2y Q x0a2-x20=2y Qx Q-x0=2k PQ故直线 AQ,PQ,BQ 的斜率成等差数列.【例14】如图, 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0), 过焦点F任作一直线交椭圆C于A,B两点, 交F相应的准线于点M,P为过F与x轴垂直的直线上的任意一点, 则直线PA,PM,PB的斜率成等差数列.【答案】见解析【解析】易知 A,B,F,M 成调和点列, 从而直线 PA,PB,PF,PM 成调和线束, 又因为 PF⊥x 轴, 故由定理 3 知 k1,k2,k3 成等差数列.【注】类似地, 可得下面结论成立：已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a>b>0), 过点 E(t,0)(0<t<a) 任作一直线交椭圆 C 于 A,B 两点, 交直线 l:x=a2t 于点 M,P 为椭圆上的点且满足 PE⊥x 轴, 则直线 PA、PM、PB 的斜率成等差数列.【例15】如下图, 椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左右顶点为A 1,B 1,Q 为直线x =m 上一点, QA 1,QB 1分别于椭圆交于点A ,B , 过点P 作直线交桞圆于A ,B 两点, 直线AB 与x 轴交于点P , 与直线x =m 交于点M , 记直线QA 1,QB 1,QP 的斜率分别为k 1,k 2,k 0, 则:(1)k 1,k 0,k 2成等差数列;(2)x P xQ =a 2.【答案】见解析.【解析】由完全四边形性质可知 Q 在 P 的极线 x =m 上, 则 P ,H 调和分割 A 1B 1.而 k 1+k 2=2k 0⇔QH A 1H+QH B 1H =2×QH PH ⇔A 1H HB 1=A 1P PB 1⇔P ,H 调和分割 A 1B 1⇔|OP |⋅|OH |=OB 1 2⇔x P x Q =a 2, 于是(1)(2)成立.【注】设与直线 AB 与直线 x =m 交于点 M , 则 P ,M 调和分割 BA .【例16】椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)经过点M 1,32 , 离心率e =12.(1)求椭圆的方程;(2)设P 是直线x =4上任意一点, AB 是经过椭圆右焦点F 的一条弦(不经过点M ). 记直线PA ,PF ,PB 的斜率依次为k 1,k 2,k 3. 问：是否存在常数λ, 使得k 1+k 3=λk 2. 若存在, 求λ的值;若不存在, 说明理由.【答案】 (1)x 24+y 23=1； (2) 见解析【解析】(1)易知椭圆为 x 24+y 23=1.(2) 设直线 AB 方程为 x =ty +1, 点 A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,由 x 24+y 23=1x =ty +1消去 x , 整理得:3t 2+4 y 2+6ty -9=0.则 y 1,y 2 为上述方程的根, 设 s =y 1+y 2=-6t 3t 2+4,p =y 1y 2=-93t 2+4 于是 s p =6t 9, 即有:t =3s 2p 设点P 的坐标为 (4,m ), 则 k 2=m 3,k 1+k 3=m -y 14-x 1+m -y 24-x 2=m -y 13-ty 1+m -y 23-ty 2=6m -(3+mt )y 1+y 2 +2ty 1y 29-3t y 1+y 2 +t 2y 1y 2=6m -3+m 3s 2p s +23s 2p p 9-33s 2p s +3s 2p2p =6m -3ms 22p 91-s 24p=2m 3=2k 2这表明存在常数 λ=2, 使得 k 1+k 3=λk 2.【注】本题中, 点 P 所在直线刚好为椭圆的右准线. 如图, 设直线 PA ,PB 与 x 轴交于 C ,D , 准线与 x 轴交于点 E . 则本题结论用图中线段可表示为 EP CE +EP DE =2⋅EP FE , 即 2EF =1EC+1ED . 这表明 (C ,D ;F ,E )为 调和点列, 由定理 3 知 k 1,k 2,k 3 成等差数列, 即 k 1+k 3=2k 2.。