重庆大学2004年高等代数考研试题 (1)
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重庆大学2004年高等代数考研试题
1．填空题
(1) 三阶行列式有2个元素为4，其余为1，则此行列式可能的最大值为 。
(2) ,,,21皆为三维列向量，213,3,A，212,,B且4,18BA，则BA 。
(3) 三阶方阵A的特征值为2,1,1，则124AA的特征值 。
(4) 若不可约多项式)(xp是)()(xfk的s重因子，且)(|)(xfxp，那么
)(xp )(xf的ks重因子。
(5)
02406090baA相似于对角矩阵，则a与b的关系为 。
(6) 设2R中的内积为A'),(，2112A，则10,01在此内积之下的度量矩阵为 。
(7) 设543022001A，A为A的伴随矩阵，则AA15)41(1 。
(8) 设A为nm矩阵，非齐次线性方程组xA有唯一解的充分必要条件为 。
(9) 设328814412211111)(xxxxf，则0)(xf的根为 。
(10) 向量组k111，112k，113k是线性无关的，则k 。
2．证明题 (1) 证明如果)(|)(),(|)(xgxdxfxd，且)(xd是)(),(xgxf的一个组合，那么)(xd是)(xf与)(xg的一个最大公因式。
(2) 已知同维数的两个向量组有相同的秩，且其中之一可用另外一个线性表示，证明这两个向量组等价。
(3) 设A是)2(nn阶方阵，A为A的伴随矩阵。
(i) 证明1nAA；
(ii) 证明
1)(,01)(,1)(,)(nARnARnARnAR。
(4) 设nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211是实数域上的矩阵，证明
(i) 如果naaijijij,,2,11,，则0A；
(ii) 如果naaijijij,,2,11,，则0A。
(5) 设A是n阶正定矩阵，B为n阶实方阵，证明
(i) 若BB'，则AB的特征值为实数；
(ii) 若B正定，则AB的特征值皆大于0；
(iii) 若B正定，且BAAB，则AB正定。
(6) 设A为正交阵，且1A，证明EA不可逆。
(7) 设nnCA，][)(|)(xPxfAfW，)(xm是W的最小多项式，证明W的维数))((xm。
(8) 设naaa,,,21是n个实数，证明)(222211nniiaaana。
3．计算题
(1) 计算行列式的值 12125431432321nnnDn
(2) 设1311111bbaA，B是三阶非零方阵，且OAB，求ba,以及B的秩。
(3) 设032323231032031C，求101C。
(4) 已知全体实的2维向量关于下列运算构成R上的线性空间V：
),(),(),(2121212211aabbaababa
22)1(,),(akkkbkabak
(i) 求V的一组基；
(ii) 定义变换),(),(baabaA，证明A是一个线性变换，并且求A在V的一组基下的矩阵表示。
