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人教版高中数学必修5《解三角形》教案

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第 1 页 共 7 页 高中数学必修5 《解三角形》

知识点：

1、 正弦定理：在ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，R为ABC的外接圆的半径，则有2sinsinsinCabcR．

2、 正弦定理的变形公式：

①2sinaR，2sinbR，2sinCcR；

②sin2aR，sin2bR，sinC2cR；

③::sin:sin:sinCabc；

④sinsinsinCsinsinsinCabcabc．

3、 三角形面积公式：111sinsinCsin222ABCSbcabac．

4、 余弦定理:在C中，有2222cosabcbc，2222cosbacac，2222cosCcabab．

5、 余弦定理的推论：222cos2bcabc，222cos2acbac，222cosC2abcab．

6、 设a、b、c是C的角、、C的对边，则：

①若222abc，则90C； ②若222abc，则90C；

③若222abc，则90C．

正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具，其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系．主要有以下五大命题热点：

一、求解斜三角形中的基本元素

是指已知两边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线(高、角平分线、中线)及周长等基本问题．

例1 ABC中，3A，BC＝3，则ABC的周长为( )

A．33sin34B B．36sin34B

C．33sin6B D．36sin6B 第 2 页 共 7 页 例2 在ΔABC中，已知66cos,364BAB，AC边上的中线BD=5，求sinA的值．

二、判断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状．

例3 在ABC中，已知CBAsincossin2，那么ABC一定是( )

A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形

三、 解决与面积有关问题

主要是利用正、余弦定理，并结合三角形的面积公式来解题．

例4 在ABC中，若120A，5AB，7BC，则ABC的面积S＝_________

四、求值问题

例5 在ABC中,CBA、、所对的边长分别为cba、、,设cba、、满足条件222abccb

和321bc，求A和Btan的值．

第 3 页 共 7 页 五、正余弦定理解三角形的实际应用

利用正余弦定理解斜三角形，在实际生活中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识。

【基础训练】

一、选择题

1．在△ABC中，若0030,6,90BaC，则bc等于( )

A．1 B．1 C．32 D．32

2．若A为△ABC的内角，则下列函数中一定取正值的是( )

A．Asin B．Acos C．Atan D．Atan1

3．在△ABC中，角,AB均为锐角，且,sincosBA则△ABC的形状是( )

A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形

4．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为060，则底边长为( )

A．2 B．23 C．3 D．32

5．在△ABC中，若Babsin2，则A等于( )

A．006030或 B．006045或 C．0060120或 D．0015030或

6．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是( )

A．090 B．0120 C．0135 D．0150

二、填空题

1．在Rt△ABC中，090C，则BAsinsin的最大值是_______________．

2．在△ABC中，若Acbcba则,222_________．

3．在△ABC中，若aCBb则,135,30,200_________．

4．在△ABC中，若sinA∶sinB∶sinC7∶8∶13，则C_____________．

三、解答题

第 4 页 共 7 页 1．在△ABC中，若,coscoscosCcBbAa则△ABC的形状是什么?

2．在△ABC中，求证：)coscos(aAbBcabba

3．在锐角△ABC中，求证：CBACBAcoscoscossinsinsin．

4．在△ABC中，设,3,2CAbca求Bsin的值．

第 5 页 共 7 页 【综合训练】

一、选择题

1．在△ABC中，::1:2:3ABC，则::abc等于( )

A．1:2:3 B．3:2:1 C．1:3:2 D．2:3:1

2．在△ABC中，若角B为钝角，则sinsinBA的值( )

A．大于零 B．小于零 C．等于零 D．不能确定

3．在△ABC中，若BA2，则a等于( )

A．Absin2 B．Abcos2 C．Bbsin2 D．Bbcos2

4．在△ABC中，若2lgsinlgcoslgsinlgCBA，则△ABC的形状是( )

A．直角三角形 B．等边三角形 C．不能确定 D．等腰三角形

5．在△ABC中，若,3))((bcacbcba则A ( )

A．090 B．060 C．0135 D．0150

6．在△ABC中，若1413cos,8,7Cba，则最大角的余弦是( )

A．51 B．61 C．71 D．81

7．在△ABC中，若tan2ABabab，则△ABC的形状是( )

A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形

二、填空题

1．若在△ABC中，060,1,3,ABCAbS则CBAcbasinsinsin=_______．

2．若,AB是锐角三角形的两内角，则BAtantan_____1(填>或<)．

3．在△ABC中，若CBCBAtantan,coscos2sin则_________．

4． 在△ABC中，若,12,10,9cba则△ABC的形状是_________．

5．在△ABC中，若Acba则226,2,3_________．

6．在锐角△ABC中，若2,3ab，则边长c的取值范围是_________．

三、解答题 第 6 页 共 7 页 1． 在△ABC中，0120,,21,3ABCAcbaS，求cb,．

2． 在锐角△ABC中，求证：1tantantanCBA．

3． 在△ABC中，求证：2cos2cos2cos4sinsinsinCBACBA．

第 7 页 共 7 页 4．在△ABC中，若0120BA，则求证：1cabcba．

5．在△ABC中，若223coscos222CAbac，则求证：2acb．

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人教A版高中数学必修5《一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.1 正弦定理》优质课教案_7

人教A版高中数学必修5《一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.1 正弦定理》优质课教案_7

1.1.1 正弦定理（教案）

一、教学目标：

认知目标：在创设的问题情境中，引导学生发现正弦定理的内容，推证正弦定理及简单运用正弦定理与三角形的内角和定理解斜三角形的两类问题。

能力目标：1）引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，培养学生的创新意识和观察与逻辑思维能力。2）在探究学习的过程中，认识到正弦定理可以解决某些与测量和几何计算有关的实际问题，帮助学生提高运用有关知识解决实际问题的能力

情感目标：面向全体学生，创造平等的教学氛围，通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，调动学生的主动性和积极性，给学生成功的体验，激发学生学习的兴趣。

教学重点：正弦定理的内容，正弦定理的证明及基本应用。

教学难点：正弦定理的探索及证明，已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。

为了更有效地突出重点，突破难点，本节课 采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以“正弦定理的发现”为基本探究内容，以生活实际为参照对象，让学生的思维由问题开始，到猜想的得出，猜想的探究，定理的推导，并逐步得到深化。突破重点的手段：抓住学生情感的兴奋点，激发他们的兴趣，鼓励学生大胆猜想，积极探索，以及及时地鼓励，使他们知难而进。另外，抓知识选择的切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，教师在学生主体下给以适当的提示和指导。

三、学习方法：

指导学生掌握“观察——猜想——证明——应用”这一思维方法，采取个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，将自己所学知识应用于对任意三角形性质的探究。让学生在问题情景中学习，观察，类比，思考，探究，概括，动手尝试相结合，体现学生的主体地位，增强学生由特殊到一般的数学思维能力.

四、教学过程

（一）创设情境，布疑激趣：展示辽阳白塔、千山、太子河图片，引导学生发现问题：如何能够实现不登山而知山高，不过河而知河宽；

高中数学必修五第一章解三角形家教教案(最新整理)

高中数学必修五第一章解三角形家教教案(最新整理)

必修五第一章 解三角形

1知识梳理

1.正弦定理：Aa

sin

=Bb

sin

=Cc

sin

=2R，其中R是三角形外接圆半径.

2.余弦定理：

（1）形式一：，，2

___________________a2

_________________b2

_________________c

形式二：，，，（角到边的转换）

bc2acb

Acos222



ac2bca

Bcos222



ab2cba

Ccos222



3.S

△ABC=absinC=bcsinA=acsinB,S

△=))()((cSbSaSS

=Sr1

21

21

2

(S=2cba

,r为内切圆半径)=Rabc

4

(R为外接圆半径).

4.在三角形中大边对大角，反之亦然.

5.射影定理：a=bcosC+ccosB,b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosA.

6.三角形内角的诱导公式

(1)sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tanC=-tan(A+B),cos=sin, sin=cos

2C

2AB

2C

2AB

在△ABC中，熟记并会证明tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC;

(2)A、B、C成等差数列的充要条件是B=60°；

(3)△ABC是正三角形的充要条件是A、B、C成等差数列且a、b、c成等比数列.

7.解三角形常见的四种类型

(1)已知两角A、B与一边a,由A+B+C=180°及Aa

sin

=Bb

sin

=Cc

sin

，可求出角C，再求b、c.

(2)已知两边b、c与其夹角A，由a2=b2+c2-2bccosA，求出a，再由余弦定理，求出角B、C.

(3)已知三边a、b、c，由余弦定理可求出角A、B、C.

(4)已知两边a、b及其中一边的对角A，由正弦定理Aa

sin

=Bb

sin

，求出另一边b的对角B，由C=π-(A+B)，求出c，

必修五第一章 解三角形

2再由Aa

sin

=Cc

sin

求出C，而通过Aa

sin

=Bb

人教A版高中数学必修5《一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.1 正弦定理》优质课教案_22

人教A版高中数学必修5《一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.1 正弦定理》优质课教案_22

1.1.1《正弦定理》教学设计

一、教学内容：

本节课主要由实际问题引入本节的内容，用几何画板对三角形边角关系的探索，利用数学实验猜想发现正弦定理，并从理论上加以证明，最后进行简单的应用.

二、教材分析：

1、教材地位与作用：本节内容安排在《普通高中课程标准实验教科书·数学必修5》（A版）第一章中，是在高二学生学习了三角等知识之后安排的，显然是对三角知识的应用；同时，作为三角形中的一个定理，也是对初中解直角三角形内容的直接延伸，而定理本身的应用（定理应用放在下一节专门研究）又十分广泛，因此做好该节内容的教学，使学生通过对任意三角形中正弦定理的探索、发现和证明，感受“类比—猜想—证明”的科学研究问题的思路和方法，体会由“定量研究到定性研究”这种数学地思考问题和研究问题的思想，养成大胆猜想、善于思考的品质和勇于求真的精神.

2、教学重点和难点：正弦定理的发现和证明是本节的重点，也是本节课的难点，讨论三角形的解是本节课的另一个难点.

三、教学目标：

1、知识目标：

掌握正弦定理，理解证明过程.

2、能力目标：

（1）通过对实际问题的探索，培养学生数学观察问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力。

（2）增强学生的协作能力和数学交流能力。

（3）发展学生的创新意识和创新能力.

3、情感态度与价值观：

（1）通过学生自主探索、合作交流，亲身体验数学规律的发现，培养学生勇于探索、善于发现、不畏艰辛的创新品质，增强学习的成功心理，激发学习数学的兴趣.

（2）通过实例的社会意义，培养学生的爱国主义情感和为祖国努力学习的责任心.

四、教学设想：

本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以“正弦定理的发现”为基本探究内容，以周围世界和生活实际为参照对象，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，将自己所学知识应用于对任意三角形性质的深入探讨。让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新。设计思路如下：

人教A版高中数学必修5《一章 解三角形 1.2 应用举例 1.2 应用举例(通用)》优质课教案_10

人教A版高中数学必修5《一章 解三角形 1.2 应用举例 1.2 应用举例(通用)》优质课教案_10

展示课教案

任课教师

课 题 正弦余弦定理的习题课 授课班级 3.7

授课时间

三维目标 知识与技能：掌握正余弦定理并能熟练应用正余弦定理

过程与方法：通过三角形形状的判断进一步理解正余弦定理中边角的关系

情感、态度与价值观：培养学生利用所学知识解决问题的能力

教 学

重点、难点 利用正余弦定理判断三角形的形状

教学关键 熟练掌握正余弦定理

教学方法 探讨式教学

教

学

过

程

及

主

要

教

学

内

容

一．考纲要求：

1.掌握正弦定理，余弦定理，并能解决一些简单的三角形度 量问题。

2.能够运用正弦定理，余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。

考点：

1.运用正余弦定理判断三角形的形状。

2.运用正余弦定理理解三角形。

二．利用ppt展示近五年高考理科三角函数题分布情况

年份 题型 考查内容

2012 填空

解答 正余弦定理

三角恒等变换三角函数性质

2013 选择

解答 三角函数性质

解三角形正余弦定理

2014 填空

解答 三角函数周期性

正余弦定理

2015 填空

解答 解三角形，正余弦定理

三角恒等变换三角函数性质

2016 选择

填空 三角函数性质

正余弦定理

教

学

过

程

及

主

要

教

学

内

容 三．正余弦定理学生检测卷评测分析

1 28人正确

2 25人正确

3 27人正确

4 20人正确

5 16人正确

6 14人正确

7 24人正确

8 21人正确

9 （1）12人正确（2）2人正确

10 3人答题

四．典型题讨论分析，学生板演

五．归纳判断三角形形状的方法

六．课堂跟踪训练

七．小结

八．作业：优化方案76页跟踪训练2

板书设计 正余弦定理的习题课

1.学生黑板板演解题过程 2.归纳判断三角形形状的规律

教学反思 本节课在讲的过程中并没有达到我要的效果，主要的原因是我没有调动好学生的积极性，没有放开手脚让学生去说，去做。没有体现学生的主导地位。究其原因还是我不太放心学生，不敢放开让学生去做，而更多的时候是让学生按照我设计好的思路去想去做的。