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初等不等式证明
一、基本不等式及应用
基本不等式是指已被人们证明了的较为常用的不等式，它常被当作定理，用于证明其他一些不等式.
基本不等式在许多不等式专著中都作过介绍.这里给出几个常用的基本不等式.
1. 平均值不等式
设12,,,naaa是n个正实数，记
12111nnnHaaa， 12nnnGaaa，
12nnaaaAn， 22212nnaaaQn，
分别称nnnnHGAQ、、、为这n个正数的调和平均、几何平均、算术平均和平方平均，则有
nnnnHGAQ，
当且仅当12naaa时取等号.
2. 柯西（Cauchy）不等式
设,(1,2,,)iiabRin，则
222111()()()nnniiiiiiiabab，
当数组12,,,naaa；12,,,nbbb不全为零时，当且仅当(1,2,,,0)iibain时取等号.
3. 排序不等式
设两组实数12,,,naaa；12,,,nbbb，满足12naaa，12nbbb，则
有
1211nnnababab （反序和）
1212niiniababab （乱序和）
1122nnababab （同序和）
当且仅当12naaa，或12nbbb时取等号. 学习必备 欢迎下载
不等式的性质证明
不等式是数学中常见的概念，它描述了两个数、两个算式或两个函数之间的大小关系。在数学研究和实际问题中，不等式的性质具有重要的意义。本文将深入探讨不等式的基本性质，并进行相应的证明。
一、不等式的基本性质
1. 传递性：对于任意的实数a、b、c，若a < b，b < c，则有a < c。即如果一个数小于另一个数，而另一个数又小于另一个数，那么第一个数一定小于第三个数。
证明：设a < b，b < c，用反证法。
假设a ≥ c，那么由于a < b，根据传递性得知b ≥ c，与b < c矛盾。故假设不成立，得证。
2. 加法性：对于任意的实数a、b、c，若a < b，则有a + c < b + c。即两个不等式的同侧同时加上一个相同的数，不等号的方向不变。
证明：设a < b，用反证法。
假设a + c ≥ b + c，那么由于a < b，根据传递性得知a + c < b + c，与假设矛盾。故假设不成立，得证。
3. 乘法性：对于任意的实数a、b和正数c，若a < b且c > 0，则有ac < bc。即两个不等式的同侧同时乘上一个正数，不等号的方向不变；若c < 0，则有ac > bc，即两个不等式的同侧同时乘上一个负数，不等号的方向反向。 证明：设a < b，用反证法。
假设ac ≥ bc，若c > 0，则由于a < b，根据乘法性得知ac < bc，与假设矛盾；若c < 0，则有ac > bc，同样与假设矛盾。
故假设不成立，得证。
二、不等式中的常见定理及证明
1. 加法定理：对于任意的实数a，b和c，若a < b，则有a + c < b +
c。
证明：设a < b，令d = b - a，根据传递性得知0 < d。
由于c > 0，根据乘法性可得0 < c × d。
又根据乘法性，有a + c × d < b + c × d。
即a + c < b + c。
2. 相反数定理：对于任意的实数a和b，若a < b，则有-a > -b。
学必求其心得，业必贵于专精
1 2。2.2 分析法
课堂导学
三点剖析
一，利用分析法证明不等式
【例1】 (1)设a>b〉0，求证：333baba。
（2)已知0〈α〈π,证明2sin2α≤cot2，并指出等号成立的条件。
证明：（1）要证333baba,
∵a>b〉0，有3ba>0，
∴需证（3ba）3>(33ba）3,
展开得a—b〉a—323ba+bab323，
即证明)(3333baab〉0,
也就是证33ba>0,
在题设条件下这一不等式显然成立，
∴原不等式成立.
（2)要证2sin2α≤cot2,
由0
只需证2sinα·sin2α≤1+cosα,
即证明4sin2αcosα-（1+cosα）≤0,
也就是证（1+cosα)[4（1—cosα）cosα-1］≤0，
而1+cosα>0，于是只要证-4cos2α+4cosα—1≤0,
即—（2cosα—1）2≤0,
就是(2cosα-1)2≥0,这是显然的。
∴2sin2α≤cot2,等号在2cosα=1,α=3时取得。
各个击破
类题演练1
若a，b,c三数均大于1，且ab=10，求证:logac+logbc≥4lgc.
证明:由于a>1，b〉1，要证logac+logbc≥4lgc,需证bcaclglglglg≥4lgc,
而lgc>0,
因此只要证balg1lg1≥4, 学必求其心得，业必贵于专精
2 即证babalglglglg≥4。
∵ab=10,有lga+lgb=1，
于是只需证lga·lgb≤41,
而lga·lgb≤(2lglgba)2=41。
∴不等式logac+logbc≥4lgc成立.
变式提升1
已知a>0,b1—a1>1，求证：ba111。
证明:要证ba111,
只要证ba•11,即证(1+a）(1—b)〉1,
就是证a—b—ab>0。①
而已知条件a〉0，b1-a1〉1b>0,且a-b>ab,可知①式成立，
数学篇方法集锦
不等式证明问题主要考查同学们的逻辑思维以及推理分析能力.证明不等式的方法很多，如：比较法、综合法、判别式法、函数单调性法等.在证明不等式时，若能选用恰当的方法，就能起到事半功倍的效果.下面重点谈一谈证明不等式的四种常用措施.一、放缩法运用放缩法证明不等式，往往要通过添加某一项、去掉某一项、扩大某一项的倍数、缩小分子、放大分母等方式，将不等式一侧或两侧的式子进行合理的放缩，以根据不等式的传递性、可加性、可乘性证明结论.例1.设n是正整数，求证：12≤1n+1+1n+2+⋯+12n<1，证明：由2n≥n+k>n(k=1,2，⋯，n),得12n≤1n+k<1n，当k=1时，12n≤1n+1<1n，当k=2时，12n≤1n+2<1n，...，当k=n时，12n≤1n+n<1n，将上述式子累加，可得12=n2n≤1n+1+1n+2+⋯+12nn(k=1,2，⋯,n)进行放缩，得到12n≤1n+k<1n；再令n=1,2,3，…，n，并将这n个式子累加，即可根据不等式的传递性和可加性证明结论.例2.求证：12×3+23×5+⋯+1(n+1)(2n+1)<25.证明：()n+1(2n+1)=2n2+3n+1=2[(n+34)2-116]≥2éëêùûúæèöøn+342-14=2æèöøn+14æèöøn+54，则1（n+1)(2n+1)<12(n+14)(n+54)=2(14n+1-14n+5)，所以12×3+13×5+⋯+1(n+1)(2n+1)<2éëêùûúæèöø15-19+（19-113)+⋯+(14n+1-14n+5)=2æèöø15-14n+5<25.证明该不等式，需先研究数列的通项公式，通过配方、凑系数、裂项，将数列的通项公式放缩为1（n+1)(2n+1)<2(14n+1-14n+5).这样便可利用裂项求和法来求得数列的和，进而证明目标不等式成立.二、三角换元法若不等式中出现类似于a2x2+b2y2=1、1a2x2=1+b2y2的式子，便可根据同角的三角函数关系式sin2θ+cos2θ=1、1cos2θ=1+tan2θ，令x=sin2θ,y=cos2θ；或x=sinθ,y=cosθ；或x=asinθ,y=bcosθ；或x=1cosθ,y=tanθ.通过三角换元，把不等式问题转化三角函数最值问题来求解.例3.已知1≤x2+y2≤2,求证12≤x2-xy+y2≤3.证明：∵1≤x2+y2≤2，例谈证明不等式的四种常用措施沈利梅
