不等式的证明(二)

第六章 不等式第七课时§6.3.2 不等式的证明（二）教学目标（一）教学知识点 1．公式法证明不等式.2．两正数和为定值或积为定值求最值. （二）能力训练要求1．掌握用公式法证明不等式.2．理解并掌握用两正数和为定值或积为定值求最值. （三）德育渗透目标 利用公式法证明不等式，既培养学生观察应变的逻辑思维能力，又培养学生实事求是的科学态度，进一步加强对学生辩证唯物主义观念的教育.教学重点公式法证明不等式.1．a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，取等号.2．a ＞0，b ＞0，2a b+，当且仅当a ＝b 时取等号.（1）若ab 为定值P ，则当a ＝b 时，a ＋b 有最小值（2）若a ＋b 为定值S ，则当a ＝b 时，ab 有最大值14S 2.3．利用2a b+求最大值最小值是解决最值问题常用的方法，在具体解题过程中应注意三点：（1）两数均为正数；（2）两正数之和或之积为定值；（3）在两正数的取值范围内，两正数可以相等.教学难点1．对一些条件不等式中条件的合理利用. 2．求最值时，找和为定值或积为定值，如何凑和或积为定值.教学方法读、议、练、讲单元教学法.教具准备幻灯片两张第一张：记作§6. 3.2 A公式法证明不等式 一、基本公式（1）若a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取“＝”号.（2）若a ，b ∈R ，则2a b+≥，当且仅当a ＝b 时取“＝”号.①若ab 为定值P ，则当a ＝b 时，a ＋b 有最小值②若a ＋b 为定值S ，则当a ＝b 时，ab 有最大值14S 2. 二、基本公式的等价形式及推广（1）ab ≤222a b +（a ，b ∈R ），当且仅当a ＝b 时取“＝”号.（2）ab ≤2()(002a b a b +＞，＞），当且仅当a ＝b 时取“＝”号. （3）a bb a+≥2(ab ＞0)，当且仅当a ＝b 时取“＝”号. 第二张：记作§6. 3. 2 B基本公式及其推广的应用：［例1］已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，求证： （1）221142a b ab ≥+≥；(2)； （3）33221118(4)4a b a b +≥+≥；　；（51)(1)9a b +≥1(6)(1+；（7）2211(1)(1)9a b --≥；（8）221125()()2a b a b +++≥； （9）22221181)().2a b a b +++≥（ 教学过程Ⅰ．课题导入今天，我和同学们来共同探索“公式法”证明不等式.这节课并不难，而涉及的题目变形灵活，只要我们理解并掌握了“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数（均值不等式）”，这一重要定理，在此基础上，灵活利用它的推广及其变形（几个重要的不等式），就能学会并把握好“公式法”证明不等式这一重要方法.相信同学们能获得成功.（打出幻灯片§6. 3. 2 A ，引导学生阅读基本公式及基本公式的变形及推广） 我们要重点掌握下面的基本公式及变形：（1）若a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取“＝”号.（2）若a ＞0，b ＞0，2a b+≥，当且仅当a ＝b 时取“＝”号.①若ab 为定值P ，则当a ＝b 时，a ＋b 有最小值②若a ＋b 为定值S ，则当a ＝b 时，ab 有最大值14S 2. （3）a ，b ∈R ，则ab ≤222a b +，当且仅当a ＝b 时取“＝”号.（4）a ＞0，b ＞0，则ab ≤2()2a b +，当且仅当a ＝b 时取“＝”号.（通过阅读幻灯片§6. 3. 2 A ，疏理出重点知识，引导同学们完成下面例1的证明过程）Ⅱ．讲授新课（打出幻灯片§6.3. 2 B ，引导学生阅读例1）［例1］已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，求证：（1）1ab≥4； （2）2233221111384524a b a b a b +≥+≥+≥；（）；（）；（（6）222211111251)(1)97)(1)98()()2a b a b a b a b +≥-≥+++≥1（＋；（）(1-；（）；（9）22221181)().2a b a b +++≥（ ［师］解题时，正确、迅速地把握解题的“切入点”是很重要的，而“切入点”的选择，一方面要依靠对题设的分析，另一方面来自解题的“经验”.本题中由目标不等式发现含有形如ab ，a ＋b ，a 2＋b 2等式子，故由“经验”马上联想公式a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )及2a b+（a ＞0，b ＞0），即可很快得证.在不等式证明中，两个正数a ，b 的和为1（即a ＋b ＝1），作为条件出现在题设，这时用好这个“1”常常成为解题的关键.［生］（1）∵a ＞0，b ＞0，1114.22410a b ab ab a b ab +⎫∴⎪⇒≤⇒≥⎬⎪⎪+=⎭⎭＞ （2）∵a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1， ∴a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab ≥1－2·（2111222a b +）＝－＝，故a 2＋b 2≥12. （3）∵a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，∴22112a b +≥·12ab ≥·21()2a b +＝8，故22118.a b +≥ （4）∵a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，∴a 3＋b 3＝(a ＋b )3－3ab (a ＋b )， ＝1－3ab ≥1－3·21()24a b +=，或a 3＋b 3＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ＝1－3ab ≥1－3·21()24a b +=，故a 3＋b 3≥14. （5）∵a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，∴211()2a b a b =+++++=（6）∵a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，∴1111112(1)(1)111a b a b a b ab ab ab ab+++=+++=++=+≥22112()2+=+·221()9)(1)a b a b ++1＝，故(1+≥9.（7）∵a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，∴22222211(1)(1)(1)(1)a b a b a b ----=2222(1)(1)(1)(1)()(1)()(1)a ab b b a a b a b a b +-+--+-+==＝(1)(1)12112a b ab a b ab ab ab +++++==+≥+·2112()2a b =++·22()9a b =+，故（1－21a）21(1)9.b -≥ （8）∵a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，∴（a ＋1a ）2＋22222111()4b a b b a b +=++++ 22()24a b ab ab ≥+-++2()1422a b +≥-++·2425()2a b =+，故221125()().2a b a b +++≥ （9）∵a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1， ∴222211()()a b a b +++＝224411112()a b a b a b +++++224411112()a b a b a b =+++++1222ab ≥++18183222=++=，故22221181()().2a b a b +++≥注：以上各题中均当且仅当a ＝b ＝12时取等号.［师生共析］运用“公式法”证明不等式的难点在于如何通过对所证命题进行变形，使其反应出某种形式的“和”与“积”之间的关系（不妨简记为“和”不小于“积”）.那么，我们在解题时，就可以充分利用这一特征，来选择公式及其等价形式求得证明.［例2］（必要时此题可打在幻灯片上）小强家住在农村，十月一日，国庆节放假回家，正赶上父亲收割庄稼，由于今年大丰收粮食太多，自家的谷仓已全部装满，还剩下很多.这时爸爸想出了一个主意，决定用一个长方形木板，借助两面墙，在西屋的墙角处围了一个直三棱柱的谷仓，木板可立，可横.小强心想，这么多的粮食，怎样围才能装最多的粮食呢？经过测量和运算，小强得到了满意的方案，向父亲提供了建议.请你叙述小强的作法.如果换成任意的两面墙，如何处理？（引导学生认真审题，寻求数量关系，找准“切入点”，求得解答）［师］显然，围成直三棱柱的底面为直角三角形，若两直角边分别为x 和y ，则x 2＋y 2是长方形木板的长或宽（定值）的平方.这样，本例的问题主要体现在均值不等式的应用上.［生］小强用直尺测出木板的长为a ，宽为b ，依题可知：a ＞b ＞0，且两墙夹角（即二面角）为90°.（1）a 作底边，设S 底为底面直角三角形的面积，两直角边一个是x ，一个是y ，则有：S 底＝11122xy V xy ，＝（）·b ，且x 2＋y 2＝a 2，∵x 2＋y 2≥2xy ，∴xy ≤22222x y a +=，∴V 1≤24a b，当且仅当x ＝y 时取“＝”号.（2）b 作底边，同（1）可得V 2≤24ab ，当且仅当x ＝y时取“＝”号. 又a ＞b ＞0，∴ab ＞0，a －b ＞0，∴V 1－V 2＝221()0444a b ab ab a b -=-＞，∴2212.44a b ab V V -，即＞故把长方形木板的长边放在底面，且围成的直三棱柱的底面是等腰直角三角形时，容积最大.若两面夹角（即二面角）换成α时，解答如下： 设用矩形木板长a 作直三棱柱的侧棱，宽b 作为底面的一条边，底面三角形的另两边的长分别是x ，y ，体积为V 1，则有112221(sin )22sin 2cos .V xy a V xy a b x y xy ααα⎧=⋅⎪∴=⎨⎪=+-⎩，， x 2＋y 2＝b 2＋21114cos 4cos 42sin sin sin V V V xy b a a a ααααα≥∴+≥，，整理，得211cot 42V ab α≤⋅，当x ＝y 时取“＝”号.设矩形木板的宽b 作侧棱，则当x ＝y 时，V 2＝21cot .42a b α⋅∵a ＞b ＞0，∴ab ＞0，a －b ＞0，∴a 2b ＞ab 2，即V 2＞V 1. 故把矩形木板的长边放在底面，且围成的直三棱柱的底面是等腰三角形（顶角为α）时，容积最大，且最大值V max ＝21cot .42a b α⋅［师生共析］均值不等式在实际问题中的应用相当广泛，解题过程为：（1）建模（即函数关系式）；（2）构造定值（构造“积”或“和”为定值）；（3）验证“＝”号成立.Ⅲ．课堂练习1．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ≤4，求证：111.a b+≥ 分析：公式：若a ＞0，b ＞0，则2a b+≥（当且仅当a ＝b 时取等号）的应用. 证明：∵a ＞0，b ＞0，a ＋b ≤4，4122a b ∴+≤≤≥，，故1111121 1.2a b a b+≥⨯=+≥，即 2．已知a ，b ，c 为不等的正数，且abc ＝1111.a b c ++＜分析：根据已知条件，对abc ＝1，然后(002a ba b +＞，＞）得证. 证明：∵a ，b ，c 是不等的正数，且abc ＝1，111111111222b c c a a ba b c+++++=++，111.a b c++＜322.分析：考虑分子、分母的关系可知：x2＋5＝(x2＋4)＋1，所以用基本公式002a ba b+＞，＞）即可得证.证明：∵x∈R，∴x2≥0，∴x2＋5＞0，x2＋4＞0，2222=≥，时有x2＋3＝0，这不可能，∴上述均值不等式中等号不成立.22.4．设a＞b＞c，求证：114.a b b c a c+≥---分析：我们通常在不等式两边均为正值时，才能考虑公式ab≤2()2a b+的应用.证明：∵a＞b＞c，∴a－b＞0，b－c＞0，a－c＞0，∴2114()()[]2a c a ca b b c a b b c a c--+=≥=-----，故114.a b b c a c+≥---Ⅳ．课时小结本节课，我们学习了用“公式法（均值不等式）”证明不等式，其核心是灵活变形.关键在于认清公式（均值不等式）的结构特点和取“＝”条件，要在证明不等式的具体问题中寻求运用公式（均值不等式）的适当形式和具体方式，自觉提高解决遇到不同题型的应变能力.Ⅴ．课后作业（一）练习1．已知lg（x2＋1）＋lg(y2＋4)＝lg8＋lg x＋lg y，求x，y的值.分析：应用对数的运算法则将原方程转化为2214lg lg0.24x yx y+++=解：∵x2＋1≥2x＞0（依题知x＞0，y＞0），∴221110.22x xx x++≥≥，即lg同理可知：24lg04yy+≥，对于两非负数，当且仅当它们都为零时，其和才为零，即2214lg 0,lg 0.24x y x y++== 所以，x 2＋1＝2x ，y 2＋4＝4y .故x ＝1，y ＝2.2．已知a ＞0，b ＞0，求证：a ＋b ≥分析：本题采用公式法.题中含有形如：a ＋b ，ab 等式子，多次运用公式[2a b+≥（a ＞0，b ＞0）]即可得证.直接使用公式时，要从式子的形式和条件两个方面进行观察.证明：∵a ＞0，b ＞0，∴a ＋b ＞0，ab ＞0.∴a ＋b≥≥，故a ＋b ≥ （二）1．预习内容：课本P 14“综合法”证明不等式.2．预习提纲：（1）什么是综合法？它的基本思想是什么？ （2）它适合证明哪类不等式？板书设计§6. 3. 2 不等式的证明（二）一、基本公式 例题若a ＞0，b ＞0，则 课堂练习2a b+≥ 二、基本公式的变形 课时小结 若a ＞0，b ＞0，则ab ≤2()2a b +. 课后作业 备课资料一、参考例题［例］若a ，b ，c 均为正数，且满足a ＋b ＋c ＝1 5.分析：把握题的结构，找准“切入点”，构造均值不等式(2a+ba b ，同正）是解决问题的关键.例如：4112 1.2a a ++=+ 证明：∵a ＞0，∴4a ＋1＞0，4112 1.2a a ++≤=+22 1.b c ++2223 5.a b c +++= 其中等号成立的充分必要条件是：41141141 1.a b c +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，，此时有a ＝b ＝c ＝0，因而a ＋b ＋c ＝0，这与a ＋b ＋c ＝1相矛盾.所以不等式中的等号不成立.5.评述：此题的证明有两点值得重视：一是已知条件a ＋b ＋c ＝1在证明中的作用和由此而引发的思考；另一点是均值不等式的运用问题.显然，在证明过程中，由不等式的性质，三式相加而产生小于5的结论.试想如果a ＋b ＋c ＝t (t 是一个正的实常数)，那么就可以导致小于2t ＋3的结论，由此我们可以构造不同的题目.另外，在运用均值不等式时，根据需要，我们可以把某一个正数或几个正数的和作为一个数看待，而另一个数可以取“1”，这是灵活运用均值不等式的一个技巧.二、参考练习题 1．选择题（1）已知x ＞0，y ＞0，且x 2＋y 2＝1，则x ＋y 的最大值为（ ）AB ．1CD ．12答案：A（2）已知正数a ，b 满足a ＋b ＝1，则11a b +的最小值为（ ） A ．2B ．4C ．14D ．12答案：B（3）已知a ＞1，a lg blg （ab ）的最小值是（ ） A ．1B ．21log 102C ．log 210 D答案：D（4）下列各函数中，最小值为2的是（ ）A ．1x x +B2C ．log log (00a x x a a x +＞，＞，且11)a x ≠≠，D ．3－x ＋3x (x ＞0)答案：B（5）若实数m ，n ，x ，y 满足m 2＋n 2＝a ，x 2＋y 2＝b (a ≠b )，则mx ＋ny 的最大值是（ ）A ．2a b +BCD ．aba b+ 答案：B（6）设a ＞0，b ＞0，且a ≠b ，则下列各式中最小值是（ ） A ．1a b+ BCD答案：A 2．填空题（1）若a ＞0，b ＞0，c ＞0，d ＞0，则___________b a b c c a a b a b a b c ++++≥++≥，，)()_______.b d c a a c b d ++≥（ 答案：2 6 4（2）若a ＞1，b ＞1，则log a b ＋log b a ≥＿＿＿＿＿. 答案：2（3）当0≤x ≤1时，函数y ＝的最大值是＿＿＿，最小值是＿＿＿＿；当－1≤x ≤1时，函数y ＝的最大值是＿＿＿＿，最小值是＿＿＿＿. 答案：1110222-（4）不等式2a bb a+＞成立的充要条件是＿＿＿＿. 答案：ab ＞0且a ≠b（5）设a ＞0，b ＞0，c ＞0，a ＋b ＋c ＝1的最大值是＿＿＿＿.3．设a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：3.2c a b a b b c c a ++≥+++ 证明：∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，∴222c a ba b b c c a+++++ ＝3633a c b c a b c a a b c b a b a b b c b c c a c a +++++++++++-≥-=++++++，故3.2c a b a b b c c a ++≥+++4．求证：221()12a b ++≥证明：22221(1)(1)()122a b a b +++++=故221()12a b ++≥5．若x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＝1，求证：113x y+≥+证明：∵x ＞0，y ＞0，且x ＋2y ＝1，∴1122233x y x y y xx y x y x y +++=+=++≥+故113x y+≥+ 6．求证：log n (n ＋1)＞log (n ＋1)(n ＋2)(n ＞1，n ∈N ).证明：∵n ＞1，且n ∈N ，∴log n (n ＋1)＞0，log (n ＋1)(n ＋2)＞0，∴(1)(1)(1)2(1)(1)log (2)log (2)log log (2)log ]log (1)2n n n n n n n n nn n n ++++++++=+⋅+＜[22(1)(1)22log (2)log (1)[][] 1.22n n n n n ++++==＜故log n (n ＋1)＞log (n ＋1)(n ＋2)(n ＞1，n ∈N ).7．已知x ，y ，z 为正数，且xyz (x ＋y ＋z )＝1，求(x ＋y )(y ＋z )的最小值.解：∵x ，y ，z 为正数，且xyz (x ＋y ＋z )＝1，∴()()()2x y y z xz y x y z ++=+++≥， 当x ＝z ＝1，y1时，（x ＋y ）(y ＋z )取最小值2.。