肇庆市2021届高中毕业班第一次统一检测试题
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试卷类型：A
肇庆市2021届高中毕业班第一次统一检测
数 学
注意事项：
1．本试卷共4页，22题．全卷满分150分，考试用时120分钟．
2．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、试室号、座位号填写在答题卷上．
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用黑色字迹的签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效． 4．考试结束．监考人员将试卷、答题卷一并收回．
一、 单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合}1{5|M x x =<≤，}2{6|N x x =<≤，则M
N =
A ．{|}56x x <≤
B ．{|}12x x <≤
C ．{|}25x x ≤≤
D ．{}
6|1x x <<
2．已知复数11
22
z i =
+，其中i 为虚数单位，则i z ⋅= A ．1122
i -+
B ．1122
i +
C ．1122i --
D ．1122
i -
3．设x ∈R ，则“3x >”是“29x ≥”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．已知函数21log (),0,
()2,0,x x x f x x ⎧+-<⎪=⎨>⎪⎩
则()()
11f f -+=
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
5．已知函数1()ln x f x e x x -=+，则()
1f '=
A ．0
B ．1
C ．e
D ．2
6．函数(
)44
422()x x f x x x ---=
+的图象大致为
7．正方形ABCD 的边长为1，E 为BC 的中点，AF AB AC λ=+．若2AE AF ⋅=，则λ=
A ．12
B ．1
C ．
32
D ．2
8．某公园有一个边长为2 m 的等边三角形花圃，现要在花圃中修一条篱笆，将花圃分成面积相等的两部分，则篱笆的最短长度为
A ．3m
B ．
3
2
m C ．1 m D ．2m
二、多项选择题：本题共4小题．每小题5分．共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分． 9．设,a b 是两条不重合的直线，,αβ是两个不同的平面．下列四个命题中，正确的是
A ．若a
α，b α，则a b B ．若a α⊥，b α⊥，则a b
C ．若a α⊥，a β⊥，则αβ
D ．若a α⊥，b
α，则a b ⊥
10．等差数列{}n a 中，511a =,1210a =-，n S 是数列{}
n a 的前n 项和，则
A ．1161a a +=
B ．8S 是{}
n S 中的最大项 C ．9S 是{}
n S 中的最小项
D ．89a a <
11．如图是函数()()
sin 0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫
=+>< ⎪⎝
⎭的部分图象，
下列选项正确的是
A ．()sin(2)3f x x π
=-
B ．
()sin(4)3
f x x π
=-
C ．()06
f π
=
D ．2()13
f π
-=
12．下列大小关系正确的有
A ． 2.122 2.1>
B ． 3.922 3.9<
C ．
1ln2
ln22
<
D ．58log 3log 5<
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知1
sin 3
x =
，则cos x = ▲ ． 14．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()4f x f x =-．若()22f =，则()
6f = ▲ ． 15．已知等比数列{}
n a 中，21S =，232a a +=，则6S = ▲ ． 16．鳖臑（bi ē nào ）出自《九章算术·商功》：“斜解立方，得两壍堵．斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑。
”鳖臑是我国对四个面均为直角三角形的三棱锥的古称．如图，三棱锥A BCD -是一个鳖臑，其中AB BC ⊥，
AB BD ⊥，BC CD ⊥，且4AB BC DC ===，过点B 向AC 引垂线，
垂足为E ，过E 作CD 的平行线，交AD 于点F ，连接BF ．设三棱锥A BCD -的外接球的表面积为1S ，三棱锥A BEF -的外接球的表面积为2S ，则
12
S S = ▲ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）
在①33ABC S ∆=
，②sin 3sin A C =，③2
sin C =这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中．若问题中的三角形存在，求出a 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在ABC ∆，它的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且3b =，sin 3cos 0A A +=， ▲ ？
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 18．（本小题满分12分）
已知函数()
3
21(1)3
f x x ax a x =
-+-． （1）当1a =时，求()f x 在()()1,1f 处的切线方程；
（2）设()f x '是函数()
f x 的导函数，求()
f x '零点之间距离最小时a 的值．
19．（本小题满分12分）
如图，棱长为2的正四面体ABCD （所有棱长均相等的三棱锥）中，E ，F 为AB 和DC 的中点．
（1）证明：AB CD ⊥； （2）求三棱锥D EFB -的体积．
20．（本小题满分12分）
已知函数()
223sin(
2)4cos 33
f x x x π
=--+． （1）求函数()f x 的最小正周期；
（2）求函数()
f x 在区间2,123ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的值域．
21．（本小题满分12分）
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()
*1
12
n n a S n =+∈N ．
（1）求n S ；
（2）若21log 2n n n n b a a ⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭，求数列{}
n b 的前n 项和n T ．
22．（本小题满分12分）
已知函数()
1
ln 2
f x x ax =--
． （1）讨论函数()
f x 的单调性；
（2）若1x =是函数()()g x xf x =的极值点，求证：函数()
g x 存在唯一的极大值点0x ，且()
01
02
g x -
<<．（参考数据：ln20.693≈）。
