2.菱形的判定
1.用直尺和圆规作一个菱形,如图,能得到四边形ABCD是菱形的依据是( B )
(A)一组邻边相等的四边形是菱形
(B)四边相等的四边形是菱形
(C)对角线互相垂直的平行四边形是菱形
(D)每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
2.如图,四边形ABCD的对角线AC,BD互相垂直,则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是( B )
(A)B A=BC (B)AC,BD互相平分
(C)AC=BD (D)AB∥CD
3.已知四边形ABCD是平行四边形,下列结论不正确的是( D )
(A)当AB=BC时,它是菱形
(B)当AC⊥BD时,它是菱形
(C)当∠ABC=90°时,它是矩形
(D)当AC=BD时,它是菱形
4.(2020扬州改编)如图,在平行四边形ABCD中,DB=DA=9,点F是AB的中点,连结DF并延长,交CB的延长线于点E,连结AE,则四边形AEBD的周长是36 .
5.如图,小聪在作线段AB的垂直平分线时,他是这样操作的:分别以A和B为圆心,大于AB
的长为半径画弧,两弧相交于C,D,则直线CD即为所求.根据他的作图方法可知四边形ADBC 一定是菱形.
6.▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O,若∠BAO=∠DAO,则▱ABCD是
菱形.
第6题图
7.如图,四边形ABCD的对角线互相平分,要使它变为菱形,需要添加的条件是AC⊥BD(或AB=BC或BC=CD或CD=DA或AB=AD)(答案不唯一) (添加一个条件即可).
第7题图
8.将三角形纸片ABC(AB>AC)沿过点A的直线折叠,使得AC落在AB边上,折痕为AD,展平纸片,如图①;再次折叠该三角形纸片,使点A与点D重合,折痕为EF,再次展平后连结DE,DF,如图②.
求证:四边形AEDF是菱形.
证明:由第一次折叠得AD为∠CAB的平分线,
所以∠1=∠2.
由第二次折叠得∠CAB=∠EDF,
所以∠3=∠4.
因为AD=AD,
所以△AED≌△AFD.
所以AE=AF,DE=DF.
由第二次折叠得AE=ED,AF=DF,
所以AE=ED=DF=AF.
所以四边形AEDF是菱形.
9.(2020内江)如图,已知四边形ABCD是平行四边形,点E,F分别是AB,BC上的点,AE=CF,并且∠AED=∠CFD.
求证:(1)△AED≌△CFD;
(2)四边形ABCD是菱形.
证明:(1)因为四边形ABCD是平行四边形,
所以∠A=∠C.
因为A E=CF,∠AED=∠CFD,
所以△AED≌△CFD.
(2)因为△AED≌△CFD,
所以AD=CD.
因为四边形ABCD是平行四边形,
所以四边形ABCD是菱形.
10.已知:如图,在▱ABCD中,O为对角线BD的中点,过点O的直线EF分别交AD,BC于E,F两点,连结BE,DF.
(1)求证:△DOE≌△BOF;
(2)当∠DOE等于多少度时,四边形BFDE为菱形?请说明理由.
(1)证明:在▱ABCD中,
因为AD∥BC,
所以∠ADB=∠CBD.
因为OB=OD,∠DOE=∠BOF,
所以△DOE≌△BOF.
(2)解:当∠DOE=90°时,四边形BFDE为菱形.
因为△DOE≌△BOF,
所以OE=OF.
因为OB=OD,
所以四边形BFDE为平行四边形.
因为∠DOE=90°,
所以EF⊥BD,
所以▱BFDE为菱形.
11.(拓展探究题)如图,已知△ABC,按如下步骤作图:
①分别以A,C为圆心,大于AC的长为半径画弧,两弧交于P,Q两点;
②作直线PQ,分别交AB,AC于点E,D,连结CE;
③过C作CF∥AB交PQ于点F,连结AF.
(1)求证:△AED≌△CFD;
(2)求证:四边形AECF是菱形.
证明:(1)根据题中作图步骤①和②可知PQ是AC的垂直平分线.
所以CD=AD,ED⊥AC.
因为CF∥AB,
所以∠DCF=∠DAE.
因为∠DCF=∠DAE,CD=AD,
∠CDF=∠ADE,
所以△AED≌△CFD.
(2)因为△AED≌△CFD,
所以FD=ED,AD=CD.
所以四边形AECF为平行四边形. 又因为PQ是AC的垂直平分线, 所以四边形AECF是菱形.
