成人高考数学—导数 ppt课件

2 sin(x ) 1
=
4
x
x0, x
44

sin(x )
2
从而有
4
2
2sin(x)1

2sin(x4)10
4
k1k20 k1k2
综上可知，试比较正弦函数 y sin x在
， x 0 附近的平均变化率大于在 x
2：熟记常见函数的导函数
题目
例题2：试比较正弦函数 y sin x 在
x
0和 x

2
附近的平均变化率哪一个大？
解：当自变量从0变到 x 时，函数的
当平自均变变量化从率为2 变k1到sinxx x2si时n0，函si数n x 的x
平均变化率为k2sin(2xx)sin2cosxx1
变题：过点（－1，0）作抛物线
y x2 x1的切线，求切线方程.
解：y/ 2x1，点（－1，0）不在抛物
线上，所以设切点坐标 x0, y0，则切线率
为求 的y2 x切位x 002 线置 1，x 时关0且 ，系1 y 注0(2 意x x00 2（ 1 x)10x ）(1 于x 判0)是① 断切点，线和因方曲为程线点为
2
附近的平均变化率.
注意：理解导数平利用导数求切线方程 例题1：求抛物线 y x2 x1 在点
（-1，1）处的切线方程.
解： yx2x1y' 2x1
所以切线的斜率为 k2(1)11
切线方程为 y1(x1)
即 yx 小结：若切点为（x0,y0),则切 线方程为y-y0=f/(x0)(x-x0)
y

f
(x)在点
(2，f
x
(2))处的切线方程为

x
2!
(3)取极限：
dy dx
lim
x0
y x
lim
x0
nx
n1
n(n 1) 2!
xn2x
(x)n1
nxn1,
即
xn nxn1 .（n 为正整数）
一般地，对 y x（ 是实数），也有 x x1.这个公式
在后面将给出证明.例如：
x
1
x2
1 2x
，
1 x
x 1
1 x2
第二节 求导法则
一、函数的和、差、积、商的求导法则
定理 1 设函数 u u（x） 与 v v（x）在点 x处可导, 则函数u（x） v（x）, u（x）v（x）,uv（（xx））（v（x） 0）也 在点 x处可导,且有以下法则:
(1) [u（x） v（x）] u（x） v（x）;
(2) [u(x)v(x)] u(x)v(x) u(x)v(x) ,
？ 注意: f (x0) [ f (x0) ]
4. 设
存在 , 则
lim
h0
f
( x0
h) h
f
(x0 )
___f_(_x_0_)_ .
小结
1.导数的概念:
导数的定义 左，右导数 导数的几何意义 变化率模型
2.可导与连续: 可导必定连续,连续不一定可导
3.求导举例:
求增量 算比值 取极限
4.已学过的导数公式
x0
x
x0
x
(当x→0 时, exlna 1与 xlna 是等价无穷小)
a x lim x ln a a x ln a x0 x
1,2,3合并
即
(ax) = ax lna .

它是在x处，y随x变化的变化率。
第四章
导数与微分
§ 4. 2
4.2 导数的基本公式与求导法则 求函数的导数，是我们经常要做的事情，但由定义求一个函数 的导数，是很麻烦的事情。 本节要做的，是从导数定义出发，推出一些导数的公式与法则。 然后，借助这些公式与法则来求导数，就方便多了。
4.2.1 基本初等函数的导数 例4.2.1．f (x) = c，即常值函数，求f ’(x)
解：由定义
f ( x △x) f ( x) cc c' lim lim 0 x 0 x 0 △x x
所以，常数的导数为0，即 c’ = 0
第四章
导数与微分
§ 4. 2
例4.2.2．f (x) = sinx，求f ’(x) 解：由定义
x x 2 cos x sin sin(x x) sin x 2 2 (sin x)' lim lim x 0 x 0 x x x sin x 2 cos x lim cos x lim x 0 x 2 x 0 2 (sinx)’ = cosx 所以，
(注意，本步用了加减同一项的因式分解技巧)
g ( x x) g ( x) f ( x x) f ( x) lim g ( x x) f ( x) x 0 x x
f ' ( x ) g ( x ) f ( x) g ' ( x )
②．再取极限： 按照物理学中瞬时速度的定义，
v lim v lim
t 0 t 0
O
t0
图4.1-3
t
S (t0 t ) S (t0 ) t
第四章

振动与波动
导数可以用来描述振动和波动问题中的物理量，例如振幅、频率等 。
导数的扩展知识
05
高阶导数
高阶导数的定义
高阶导数是函数导数的连续求导过程，表示 函数在某点的变化率随阶数的增加而增加。
高阶导数的计算
高阶导数的计算需要使用到前一阶的导数，通过连 续求导来得到。
高阶导数的应用
高阶导数在数学、物理和工程等领域中有广 泛的应用，例如在研究函数的极值、拐点、 曲线的弯曲程度等方面。
描述物体运动的方向。
03
导数与切线斜率、运动方向的关系
导数可以表示曲线在某一点的切线斜率，进而可以判断物体的运动方向
。
导数在物理问题中的应用
瞬时速度
导数可以用来计算瞬时速度，例如在匀变速直线运动中，物体的瞬 时速度等于其位移的导数。
极值问题
导数可以用来求解函数的极值问题，例如在物理学中，最小作用量 原理就是利用导数求解极值问题的典型例子。
《高数导数公式》ppt 课件
目录
• 导数的定义与几何意义 • 导数的计算 • 导数的应用 • 导数的物理意义 • 导数的扩展知识
01
导数的定义与几何
意义
导数的定义
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在该 点附近的小范围内变化的情况。
导数的计算方法
通过极限来计算函数在某一点的导数，即求函 数在该点的切线斜率。
THANKS.
利用导数研究曲线的凹凸性
总结词
通过求二阶导数判断函数的凹凸性，有 助于了解函数图像的弯曲趋势和变化规 律。
VS
详细描述
二阶导数大于零表示函数图像向下凸出， 二阶导数小于零表示函数图像向上凸出。 通过分析二阶导数的符号变化，可以确定 函数的凹凸区间和弯曲趋势。

例1、设 y 2x5 sin x, 求 y和 y(0).
解: y 10x4 cos x, y 40x3 sin x,
y 120x2 cos x, y(0) 1
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三、求导法则
(1) 函数的和、差、积、商的求导法则
设u u( x), v v( x)可导，则
100!
练习2、设 f (x) x 1,用导数的定义求f (2).
解: f (2) lim f ( x) f (2) lim
x2 x 2
x2
lim 1 1 x2 x 1 1 2
x 11 x2
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6、导数的几何意义
f ( x0 )表示曲线 y f ( x)在点 M ( x0 , f ( x0 ))处切线
（1）(u v) u v,
（2）(cu) cu(c是常数),
（3）(uv) uv uv, [u( x) v( x)] u( x) v( x);
（4）
u v
uv v2
uv
(v
0)
.
u( x)
v(
x
)
u( x) v( x)
.
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dy
则
dy dx
dt dx
(t) ; (t )
dt
d2y dx2
d( dy ) dx
dx
d ( (t)) dt (t)
dx
dt
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例4、设
y
f
(
x
)

THANKS
详细描述
导数具有连续性、可加性、可乘性和链式法则等重要 性质。连续性指函数在某点的导数等于该点切线的斜 率；可加性指两个函数的和或差的导数等于两个函数 导数的和或差；可乘性指常数与函数的乘积的导数等 于该常数与函数导数的乘积；链式法则指复合函数的 导数等于复合函数内部函数的导数乘以外部函数的导 数。这些性质是导数计算的基础，有助于理解和掌握 导数的应用。
详细描述
函数的极值点是导数为零的点。在极值点处，函数的行为会发生显著变化。通过求导并找出导数为零 的点，我们可以确定函数的极值。此外，我们还可以使用二阶导数测试来确定极值是极大值还是极小 值。
04
导数的计算方法
定义法求导
总结词
通过极限定义来推导导数的计算方法 。
详细描述
定义法求导是导数的基本计算方法， 它基于极限的定义，通过求极限来得 到函数的导数。对于可导的函数，其 导数可以通过定义法直接计算。
02
常见函数的导数
一次函数的导数
1 2
3
一次函数形式
$y = ax + b$
导数公式
$f'(x) = a$
举例
$y = 2x + 3$，导数为$f'(x) = 2$
指数函数的导数
指数函数形式 导数公式 举例
$y = a^x$ $f'(x) = a^x ln a$ $y = e^x$，导数为$f'(x) = e^x$
03
导数的应用
利用导数求切线斜率
总结词
切线斜率是函数在某一点的导数值，它描述了函数在该点的变化率。
详细描述
在数学和物理中，切线斜率是函数图像在某一点的切线的斜率，它等于该点的导 数值。通过求导，我们可以找到切线的斜率，从而更好地理解函数在该点的行为 。

d4 y dx 4
,
···，dn y
dx n
,
f (x) 称为 f (x) 的一阶导数.
而把
例3 求下列函数的二阶导数
(1) y x cos x (2) y arctan x
解：
(1) y ' cos x x(sin x) cos x xsin x
y" sin x (sin x x cosx) 2sin x x cosx
(2) y ' (x2ex ) ' (x2 ) 'ex x2 (ex ) ' 2xex x2ex (x 2)xex
(3)
y'
x
( 1
x
2
)
'
x '(1
x2 ) x(1 (1 x2 )2
x2 ) '
1
x2 x(2x) (1 x2 )2
1 x2
(1 x2 )2
(4) y ' (2x3) ' (3x sin x) ' (e2 ) ' 2(x3 )'3(x sin x)'0 6x2 3(sin x x cos x)
(5) 把 x 当作中间变量， y ' (2x ) ' 2x ln 2(x) ' 2x ln 2
求导方法小结：
先将要求导的函数分解成基本初等函数,或 常数与基本初等函数的和、差、积、商.
任何初等函数的导数都可以按常数和基本 初等函数的求导公式和上述复合函数的求导 法则求出.
复合函数求导的关键: 正确分解初等函数 的复合结构.
推论 设 y = f (u) ， u = (v)， v = (x) 均 可导，则复合函数 y = f [ ( (x))] 也可导，

f (x) f '(x)g(x) f (x)g'(x)
[
]'
g (若x)
g 2 (x)
（3）简则单复合y 函数f (的u)求, u导法g则(x：)
y'x f ' (u) g' (x)
求复合函数的导数，关键是分清复合的过程。
3.导数的应用
应用一：求切线方程
应用二：判断函数的单调性,并求单调区间 应用三：求函数的极值： 应用四：求函数的最大值与最小值：
一、导数定义(了解） 二、幂函数求导公式和法则（重要） 三、导数的应用 1、切线—导数的几何意义（考点） 2、函数的单调性（考点） 3、函数的极值（考点） 4、函数的最大值和最小值（考点）
考试复习大纲
1．了解函数极限的概念
2．理解导数的概念及几何意义。
3．会用基本导数公式（ y c （c为常数y）, xn (n N )
y |x0 1, y |x1 1, y |x2 3
比较得知， y x3 3x 1在[0,2]上的最大值为 3，最小值为 -1
例：已知函数f (x) x3 4x2。
11年考题第25小题13分
（1）确定函数f (x)在哪个区间是增函数，在哪个区间是减函数；
（2）求函数f (x)在区间[0,4]上的最大值和最小值。
y sin x ，y cos x， y e x
的导数），
掌握两个函数的和、差、积、商的求导法则。
4．了解（理解）极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用
导数求多项式函数（有关函数）的单调区间、极大值、极小值、
及闭区间上的最大值、最小值。
5．会求有关曲线的切线方程，会用导数求简单实际问题的最大值与

重点掌握函数的导数和极值的计算，理解微分和极限的应用
常见函数的导数计算
sin(x) cos(x) e^x ln(x)
cos(x) -sin(x) e^x 1/x
研究函数变化的方法
1 拐点
函数在拐点处的二阶导数发 生变化，用于确定函数曲线 的凹凸性。
2 极值
函数在极值点处的一阶导数 为零，用于确定函数曲线的 斜率变化。
3 区间
通过导数的正负性和零点分析函数的递增和递减区间。
高等数学课件——导数与 微分（建筑类）
本课程将为建筑学生介绍导数与微分的概念和应用，帮助他们理解数学在建 筑设计中的重要性，并为他们提供解决实际问题所需的工具和技巧。
导数的定义
公式
f'(x) = lim [(f(x + h) - f(x)) / h]，h- > 0
几何意义
导数是函数曲线在某一点切 线的斜率
一阶导数与二阶导数
一阶导数
表示函数变化率，描述函数曲线斜率的变化
二阶导数
表示函数曲线的曲率，描述一阶导数的变化
函数的局部极值及其判定
局部最大值
当函数在某点处的一阶导数为零，且二阶导数小 于零时，该点为局部最大值点。
局部最小值
当函数在某点处的一阶导数为零，且二阶导数大 于零时，该点为局部最小值点。
微分的定义
公式
df = f'(x)dx
意义
微分是函数值的增量与自变 量值变化量的乘积
基本形式
dy = f'(x)dx
微分的应用举例

1
优化问题
2
微分和导数可以帮助我们解决最值问
题，如最大面积、最小花费等
3

事实上，导数也可以用下式表示：
f
( x0 )
lim
x x0
f ( x) f ( x0 ) x x0
如果函数y=f(x)在点x=x0存在导数,就说函数y=f(x)
在点x0处可导,如果极限不存在,就说函数 f(x)在点x0处
不可导.
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由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数 的基本方法是:
O
x
x
表明：y 就是割线的斜率. x
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请看当 点Q沿 着曲线 逐渐向 点P接 近时,割 线PQ 绕着点 P逐渐 转动的 情况.
y
y=f(x)
割
线 Q
T 切线
P
o
x
第2页/共30页
我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即Δx→0 时,割线PQ有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲 线在点P处的切线.
x
x
x
y lim y lim x x x lim
1
x x0
x0
x
x0 x x x
1. 2x
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例2：利用导数的定义求函数y | x | ( x 0)的导数.
解 ： y | x |,当x 0时, y x,则 y ( x x) x
x
x
y 1, lim 1;
2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,
则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处
无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,
可以有多个,甚至可以无第穷3页多/共个30页.
例1:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.
解 : k lim f (x0 x) f (x0 )

lim
3a
x1 x 1
f (1)
lim
x1
f ( x) f (1)
3 x 1 1
lim
Hale Waihona Puke x1x1 x 1 3
3a 1 , 3
f (1) 1
3
a 1, b 8.
9
9
当x 1时,
f
( x)
1 (
x3
8 )
1
x2;
9 93
当x 1时, f ( x) (3 x ) 1 .
33 x2
又 f 0 e ，证明 f x在 , 内处处可导．
解： 取 x y 0 代入恒等式，得 f 0 2 f 0 ，
因此 f 0 0 ．
f x lim f x x f x
x 0
x
lim e x f x ex f x f x
x0
x
ex f
lim
0
x
f
0
f
x ex
1
x0
例3.
解:
1
x
2 3
3
所以 y x0 , 即在原点处有垂直切线.
令 1 1 1, 3 3 x2 3
得 x 1, 对应 y 1,
则在点(1,1) , (–1,–1) 处与已知直线平行. 平行的切线方程分别为
y
x 31y
20 y3
x
1
x
3
y
2
0O 1
y
1 1
x
x 1
3
例4.
f
二
阶
可
导, 求
u v
uv uv v2
(v
0) ．
复合函数的导数: 设函数 y f (u),均u 可导( ,x)