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上海交大大学物理习题

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习题5 5-1．如图，一轻绳跨过两个质量为m、半径为r的均匀圆盘状定滑轮，绳的两端分别挂着质量为m2和m的重物，绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑，两个定滑轮的转动惯量均为2/2mr，将由两个定滑

轮以及质量为m2和m的重物组成的系统从静止释放，求重物的加速度和两滑轮之间绳内的张力。 解：受力分析如图，可建立方程： maTmg222┄①

mamgT1┄②

2()TTrJ┄③

JrTT)(

1┄④

ra

，2/2Jmr┄⑤

联立，解得：ga41，mgT811。 5-2．如图所示，一均匀细杆长为l，质量为m，平放在摩擦系数为的水平桌面上，设开始时杆以角

速度0绕过中心O且垂直与桌面的轴转动，试求：（1）作用于杆的摩擦力矩；（2）经过多长时间杆才会停止转动。

解：（1）设杆的线密度为：lm，在杆上取一小质元dmdx，有微元摩擦力： dfdmggdx，

微元摩擦力矩：dMgxdx， 考虑对称性，有摩擦力矩：

20

124lMgxdxmgl

；

（2）根据转动定律dMJJdt，有：000tMdtJd， 20

11

412mgltml

，∴03ltg。

或利用：0MtJJ，考虑到0，2112Jml， 有：03ltg。 5-3．如图所示，一个质量为m的物体与绕在定滑轮上的绳子相联，绳子的质量可以忽略，

它与定滑轮之间无滑动。假设定滑轮质量为M、半径为R,其转动惯量为2/2MR，试求该物体由静止开始下落的过程中，下落速度与时间的关系。 解：受力分析如图，可建立方程： mgTma┄①

JTR

┄②

aR ，212JmR┄③

联立，解得：22mgaMm，2MmgTMm，

T考虑到dvadt，∴0022vtmgdvdtMm，有：22mgtvMm。 5-4．轻绳绕过一定滑轮，滑轮轴光滑，滑轮的质量为4/M，均匀分布在其边缘上，绳子A端有一质量为M的人抓住了绳端，而在绳的另一端B系了一质量为4/M的重物，如图。已知滑轮对O轴的转动惯量4/2MRJ，设人从静止开始以相对绳匀速向上爬时，绳与滑轮间无相对滑动，求B端重物上升的加速度？ 解一： 分别对人、滑轮与重物列出动力学方程

AMaTMg1人

BaMgMT442物

JRTRT

21滑轮

由约束方程: RaaBA和4/2MRJ,解上述方程组

得到2ga. 解二： 选人、滑轮与重物为系统，设u为人相对绳的速度，v为重

物上升的速度，注意到u为匀速，0dudt，系统对轴的角动量为： 213()()442MLMvRMuvRRMvRMuBAR

()()体人(物物体)

而力矩为：13M44MgRMgRMgRv， 根据角动量定理dtdLM有：)23(43MuRMvRdtdMgR，∴2ga。 5-5．计算质量为m半径为R的均质球体绕其轴线的转动惯量。

解：设球的半径为R，总重量为m，体密度334mR， 考虑均质球体内一个微元：2sindmrdrdd， 由定义：考虑微元到轴的距离为sinr 2(sin)Jrdm

，有：

222000(sin)sinRJrrdrdd

520012[(1cos)cos]5Rrd225mR

。 5-6．一轻弹簧与一均匀细棒连接，装置如图所示，已知弹簧的劲度系数40/kNm，当0时弹簧无形变，细棒的质量kg0.5m，求在0的位置上细棒至少应具有多大的角速度，才能转动到水平位置？

解：以图示下方的三角桩为轴，从00~90时， 考虑机械能守恒，那么： 0时的机械能为：

22()(2)1123lmgml（重力势能转动动能）

，

090

时的机械能为：212kx

有：2221112232lmgmlkx（） 根据几何关系：22215.1)5.0(x，得：128.3srad 5-7．如图所示，一质量为m、半径为R的圆盘，可绕O轴在铅直面内转动。若盘自静止下落，略去轴承的摩擦，求： （1）盘到虚线所示的铅直位置时，质心C和盘缘A点的速率； （2）在虚线位置轴对圆盘的作用力。 解：（1）设虚线位置的C点为重力势能的零点， 下降过程机械能守恒，

有：221JmgR，而2221322JmRmRmR ∴Rg34 34RgRvc 1623ARgvR （2）273yFmgmRmg（重力）（向心力），方向向上。 5-8．如图所示，长为l的轻杆，两端各固定质量分别为m和m2的小球，杆可绕水平光滑固定轴O在

竖直面内转动，转轴O距两端分别为l31和l32．轻杆原来静止在竖直位置。今有一质量为m的小球，以水平速度0v与杆下端小球m作对心碰撞，碰后以021v的速度返回，试求碰撞后轻杆所获得的角速度。 解：根据角动量守恒，有：

2200

2122()2()32333llmvlmvlmm

有：22004221()9933llvlvl ∴032vl 5-9．一质量均匀分布的圆盘，质量为M，半径为R，放在一粗糙水平面上(圆盘与水平面之间的摩擦系数为)，圆盘可绕通过其中心O的竖直固定光滑轴转动。开始时，圆盘静止，一质量为m的子弹以水平速度v垂直于圆盘半径打入圆盘边缘并嵌在盘边上，求：（1）子弹击中圆盘后，盘所获得的角速度；（2）经过多少时间后，

圆盘停止转动。(圆盘绕通过O的竖直轴的转动惯量为221MR，忽略子弹重力造成的摩擦阻力矩。) 解：（1）利用角动量守恒：2221mRMRmvR 得：2(2)mvmMR； （2）选微分dmrdrd，其中：面密度2MR， 20

22π3RfMMgrdmgrrdrMgRR

∴由fMtJ有：2221()032MgRtMRmR， 知：224MmtRMg 将22mMmRv代入，即得：32mvtMg 。 5-10．有一质量为1m、长为l的均匀细棒，静止平放在滑动摩擦系数为的水平桌面上，它可绕通过其端点O且与桌面垂直的固定光滑轴转动。另有一水平运动的质量为2m的小滑块，从侧面垂直于棒与棒的另一端A相碰撞，设碰撞时间极短。已知小滑块在碰撞前后的速度分别为1vv和2vv，如图所示。求碰撞后从细棒开始转动到停止转动的过程所需的时间。

(已知棒绕O点的转动惯量2131lmJ) 解：由碰撞时角动量守恒，考虑到1vv和2vv方向相反，以逆时针为正向，有：

221122

1

3mvlmlmvl

，得：lmvvm1212)(3

又∵细棒运动起来所受到的摩擦力矩可由积分求得：

11012lfmMgxdxmgll，利用f

dMJdt

，有：

210011312t

mld

dtmgl

，得：21212()23mvvltgmg。 5-11．如图所示，滑轮转动惯量为2mkg01.0，半径为cm7；物体的质量为kg5，用一细绳与劲度系数N/m200k的弹簧相连，若绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴上的摩擦忽略不计。求：（1）当绳拉直、弹簧无伸长时使物体由静止而下落的最大距离；（2）物体的速度达最大值时的位置及最大速率。

解：（1）设弹簧的形变量为x，下落最大距离为maxx。

由机械能守恒：2maxmax12kxmgx，有： max20.49mgxmk

；

（2）当物体下落时，由机械能守恒：222111222kxmvJmgx， 考虑到vR，有：2222111222kxmRJmgx， 欲求速度最大值，将上式两边对x求导，且令0ddx，有： 21()22dkxmRJmgdx，将0ddx

代入，有：)(245.0mkmgx，

∴当0.245xm时物体速度达最大值，有：

22max

2

121()2mgxkxvJmr

，代入数值可算出：max1.31/vms。

5-12．设电风扇的功率恒定不变为P，叶片受到的空气阻力矩与叶片旋转的角速度成正比，比例系数的k，并已知叶片转子的总转动惯量为J。（1）原来静止的电扇通电后t秒时刻的角速度；（2）电扇稳定转动时的转速为多大？（3）电扇以稳定转速旋转时，断开电源后风叶还能继续转多少角度？

解：（1）已知fMk，而动力矩PM，

通电时根据转动定律有：fdMMJdt 代入两边积分有： dkPJdtt020，可求得：)1(2tJkekP； （2）见上式，当t时，电扇稳定转动时的转速：Pk稳定； （3）断开电源时，电扇的转速为0Pk，只有fM作用，那么： dkJdt，考虑到dddtd



，有：000kddJ，

得：0JJPkkk。 5-13．如图所示，物体A放在粗糙的水平面上，与水平桌面之间的摩擦系数为，细绳的一端系住物体A，另一端缠绕在半径为R的圆柱形转轮B上，物体与转轮的质量相同。开始时，物体与转轮皆静

止，细绳松弛，若转轮以0绕其转轴转动。试问：细绳刚绷紧的瞬时，物体A的速度多大？物体A运动后，细绳的张力多大？ 解：（1）A在细绳刚绷紧时获得一个冲量，得到速度，但此时无位移，摩擦力不做功，系统的机械能守恒：

2220111222AJJmv，其中AvR，212JmR

，

可算出：033AvR； （2）物体A运动后，由牛顿定律：Tmgma， 考虑到JTR，Ra

可求出：13Tmg。

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上海交大版大学物理第二章参考答案

上海交大版大学物理第二章参考答案

版权归原著所有 本答案仅供参考习题22-1 质量为16kg 的质点在xOy 平面内运动，受一恒力作用，力的分量为6N x f =，7N y f =，当0t =时，0x y ==，2m /s x v =-，0y v =。

当2st =时，求：(1) 质点的位矢； (2) 质点的速度。

解：由 x x f a m =，有：x a 263m /168s ==，2/167s m m f a y y ==（1） t dt a v v txx x 83200+-=+=⎰ 20001632)832(t t dt t dt v x x t t x +-=+-=+=⎰⎰t dt a v v t y y y 167000+=+=⎰2000327167t tdt dt v y y t t y ==+=⎰⎰于是2秒时质点的位矢为：)m )(87413(j i j y i x r+-=+=（2）于是质点在2s 时的速度： )m/s (8745j i v+-=2-2 摩托快艇以速率v 0行驶，它受到的摩擦阻力与速率平方成正比，可表示为F = -kv 2(k 为正值常量)。

设摩托快艇的质量为m ，当摩托快艇发动机关闭后，求： (1) 求速率v 随时间t 的变化规律； (2) 求路程x 随时间t 的变化规律；(3) 证明速度v 与路程x 之间的关系为x0ek v v '-=，其中m k k /='。

解：（1）由牛顿运动定律F ma =得：2d vkv md t-=，分离变量有2k d v d t m v -=，两边积分得：速率随时间变化的规律为011kt v v m=+； （2）由位移和速度的积分关系：0tx v dt =⋅⎰，积分有：000111ln()ln 1tk k k x dt t k m v m m v t v m=⋅=+-+⎰由于此题路程和位移相等，∴路程随时间变化的规律为：0ln(1)k kx v t m m=+ ； （3）由2d v d xkv m d x d t-=⋅，k d v d x m v -=，∴00x v v k dv dx m v -=⎰⎰ 积分有： )exp(0x mkv v -=)(0x k e v '-=，其中m k k ='2-3．质量为m 的子弹以速度0v 水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为k ，忽略子弹的重力，求：(1) 子弹射入沙土后，速度随时间变化的函数式；(2) 子弹进入沙土的最大深度。

上海交大大学物理考卷汇总

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所需的时间。
（本小题 分） 3、
12 如图所示，悬挂的轻弹簧下端挂着质量为 m1、m2 的两个
物体，开始时处于静止状态．现在突然把
m 1
与
m 2
间的连线剪断，求
m 1
的最
大速度为多少？设弹簧的劲度系数 k＝8.9×104 N/m，m1＝0.5 kg，m2＝0.3
kg．
1
m2
8
8
（本小题 分） 4少、功？ (电6子静止要质使量电m子e的＝速9.度11从×1v01-=311k.2g×) 10 m/s 增加到 v2 =2.4×10 m/s 必须对它作多
运动动能之比 EKA/EKB 为
1
(A) ．
(B)
2
2/2．
(C) 2 ．
(D) 2．
A
mB
选：________
4、一根细绳跨过一光滑的定滑轮，一端挂一质量为 M 的物体，另一端被人用双手拉着，人
的质量 m
=
1 2
M
．若人相对于绳以加速度
a0 向上爬，则人相对于地面的加速度（以竖直向
上为正）是
(A) (2a + g) / 3．
（本小题 分） 5、
12 一水平放置的飞轮可绕通过中心的竖直轴转动，飞轮的辐条上装有一个
小滑块，它可在辐条上无摩擦地滑动．一轻弹簧一端固定在飞轮转轴上，另一端与滑块联
接 f 的．函当数飞关轮系以．角速度ω 旋转时，弹簧的长度为原长的 f 倍，已知ω ＝ω 0 时，f ＝f0，求ω 与
05 年大学物理（力学）期中考试试卷(144A)
A
B
选：________
二、填空题（共34 分）
（本小题 分） 1、
4 一质点沿直线运动,其运动学方程为 x = 6 t－t2 (SI)，则在 t 由 0 至 4s 的
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上海交大版大学物理参考答案公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-版权归原着所有 本答案仅供参考习题99-1．在容积3V L =的容器中盛有理想气体，气体密度为ρ=L 。

容器与大气相通排出一部分气体后，气压下降了。

若温度不变，求排出气体的质量。

解：根据题意，可知： 1.78P atm =，01P atm =，3V L =。

由于温度不变，∴00PV PV =，有：001.783PVV L P ==⨯， 那么，逃出的气体在1atm 下体积为：' 1.78330.78V L L L =⨯-=，这部分气体在1.78atm 下体积为：''V =0'0.7831.78PV L P ⨯= 则排除的气体的质量为：0.783'' 1.3 1.71.78g Lm V g L ρ⨯∆==⨯= 。

根据题意pV RT ν=，可得：mpV RT M=，1V p RT p M m ρ==9-2．有一截面均匀的封闭圆筒，中间被一光滑的活塞分割成两边。

如果其中的一边装有某一温度的氢气，为了使活塞停留在圆筒的正中央，则另一边装入的同一温度的氧气质量为多少 解：平衡时，两边氢、氧气体的压强、体积、温度相同，利用pV RT ν=，知两气体摩尔数相同，即：H O νν=，∴O H HOm mM M =，代入数据有： 1.6O m kg = 。

9-3．如图所示，两容器的体积相同，装有相同质量的氮气和氧气。

用一内壁光滑的水平细玻璃管相通，管的正中间有一小滴水银。

要保持水银滴在管的正中间，并维持氧气温度比氮气温度高30o C ，则氮气的温度应是多少则体积和压强相同，如图。

由：mol mpV RT M =，有：2222(30)O N O N m m R T RT M M +=， 而：20.032O M kg =，20.028N M kg =，可得：30282103028T K ⨯==+ 。

大学物理上海交大版

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刚体 3.（1）两个匀质圆盘 A、B 的密度分别为 A 和 B，且 A> B。

质量和厚度相同。

两圆 盘的旋转轴均通过盘心并垂直于盘面，则它们的转动惯量的关系是： （1）IA<IB；（2）IA=IB； （3）IA>IB ；（4）不能判断。

分析：m 相等， A> B，VA 小，厚度相等，RA 小， J＝1/2mR2,所以 JA 小4.（3）一力矩 M 作用于飞轮上，飞轮的角加速度为 1，如撤去这一力矩，飞轮的角加速 度为- 2，则该飞轮的转动惯量为：5.（3）如图，A 与 B 是两个质量相同的小球，A 球用一根不能伸长的绳子拴着，B 球用橡 皮筋拴着，把它们拉到水平位置，放手后两小球到达竖直位置时绳长相等，则此时两球的 线速度（1）VA V B ；（2）VA V B ；（3）VA V B ；（4）无法判断。

6.（4）一质量为 60kg 的人站在一质量为 60kg、半径为 lm 的匀质圆盘的边缘，圆盘可绕与盘面相垂直的中心竖直轴无摩擦地转动。

系统原来是静止的，后来人沿圆盘边缘走动，当人相对圆盘的走动速度为 2m/s 时，圆盘角速度大小为 ：（1） 1rad/s；（2） 2rad/s；（3）2/3rad/s；（4）4/3rad/s。

3.银河系有一可视为球体的天体，由于引力凝聚，体积不断收缩。

设它经过一万年体积收缩了 1%，而质量保持不变。

则它的自转周期将 3 ；其转动动能将 1 。

（1）增大； （2）不变； （3）减小。

4.（3）一子弹水平射入一木棒后一同上摆。

在上摆的过程中，以子弹和木棒为系统，则总 角动量、总动量及总机械能是否守恒？结论是： （1）三量均不守恒； （2）三量均守恒； （3）只有总机械能守恒（4）只有总动量不守恒5.（4）如图 4-2，一轻绳跨过两个质量均为 m，半径均为 R 的匀质圆盘状定滑轮。

绳的两端分别系着质量分别为 m 和 2m 的重物。

不计滑轮转轴的摩擦。