2017年秋季新版浙教版九年级上学期1.3、二次函数的性质同步练习1

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
根据图形填表：
抛物线
y=ax2+bx+c(a>0)
y=ax2+bx+c(a<0)
开口方向
向上
向下
顶点坐标 对称轴 增减性 最值


b 2a
,
4ac 4a
b2

直 线x b 2a
当x


b 2a
时
,
y随着x的增大而减小.
当x b 时 , y随着x的增大而增大.
-1
当x ≥-2 时,y随着x的增大而增大. 直线x=-2 -2
(2)抛物线 y 1 x2 x 2，当自变
-3
4
-4
量X增大时，函数值y将怎样变化？
-5
先增大，后减小.
1 2 3 4 5X
y 1 x2 x 2 4
当x ≤2 时,y随着x的增大而增大 思考：二次函数的增
对称轴
直线x b
增大而增大；
2a
y达到最大值：
4ac b2 y
顶点坐标 当
4a
时，y随x的


b 2a
,
4ac 4a
b2

增大而减小.
无最小值.
１.顶点坐标与对称轴 ２.位置与开口方向 ３.增减性与最值 根据图形填表：
抛物线 顶点坐标
对称轴
位置
y=ax2+bx+c(a>0)


b 2a
,
4ac 4a
b2

直 线x b
2a
由a,b和c的符号确定

浙教新版九年级上学期《1.3 二次函数的性质》同步练习卷一．选择题（共12小题）1．已知函数y＝，则使y＝k成立的x值恰好有三个，则k的值为（）A．0B．1C．2D．32．给出下列函数：①y＝2x；②y＝﹣2x+1；③y＝（x＞0）；④y＝x2（x＜﹣1）．其中，y随x的增大而减小的函数是（）A．①②B．①③C．②④D．②③④3．将y＝（2x﹣1）•（x+2）+1化成y＝a（x+m）2+n的形式为（）A．B．C．D．4．二次函数y＝x2﹣x+m（m为常数）的图象如图所示，当x＝a时，y＜0；那么当x＝a﹣1时，函数值（）A．y＜0B．0＜y＜m C．y＞m D．y＝m5．二次函数y＝﹣x2+6x﹣7，当x取值为t≤x≤t+2时，y最大值＝﹣（t﹣3）2+2，则t的取值范围是（）A．t＝0B．0≤t≤3C．t≥3D．以上都不对6．若实数x，y满足条件2x2﹣6x+y2＝0，则x2+y2+2x的最大值是（）A．14B．15C．16D．不能确定7．给出下列命题：①对于实数u，v，定义一种运算“*“为：u*v＝uv+v．若关于x的方程x*（a*x）＝﹣没有实数根，则满足条件的实数a的取值范围是0＜a＜1；②设直线kx+（k+1）y﹣1＝0（k为正整数）与坐标轴所构成的直角三角形的面积为S k，则S1+S2+S3+…+S2008＝；③函数y＝﹣+的最大值为2；④甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有48种．其中真命题的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．下面说法错误的是（）A．直线y＝x就是一、三象限的角平分线B．函数y＝3x﹣10的图象经过点（3，﹣1）C．函数中y随x的增大而减小D．抛物线y＝x2﹣2x+1的对称轴是直线x＝19．已知：二次函数y＝x2+2x+a（a为大于0的常数），当x＝m时的函数值y1＜0；则当x＝m+2时的函数值y2与0的大小关系为（）A．y2＞0B．y2＜0C．y2＝O D．不能确定10．下列函数：①y＝2x﹣3，②y＝﹣6x，③，④，⑤y＝4x2+2x，其中y随着x的增大而减小有（）A．1个B．2个C．3个D．4个11．在初中已学过的一次函数、反比例函数和二次函数等函数中，它们的图象与任意一条直线x＝a（a是任意实数）交点的个数为（）A．必有一个B．一个或两个C．至少一个D．至多一个12．若二次函数y＝ax2+bx+1的图象与平行于x轴的直线交于二点的横坐标分别为m、n．则：当x＝m+n时，二次函数y的值是（）A．1B．2C．﹣1D．O二．填空题（共12小题）13．已知抛物线y＝x2，过其对称轴上一点P的直线AB交抛物线于A，B两点，且∠AOB＝Rt∠，试写出满足条件的直线AB的解析式（只要写出一个即可）14．已知M、N两点关于y轴对称，且点M在双曲线上，点N在直线y＝﹣x+3上，设点M坐标为（a，b），则y＝﹣abx2+（a+b）x的顶点坐标为．15．若的最大值为a，最小值为b，则a2+b2的值为．16．若直线y＝b（b为实数）与函数y＝|x2﹣4x+3|的图象至少有三个公共点，则实数b的取值范围是．17．已知函数y＝4x2﹣4ax+a2﹣2a+2在0≤x≤2上有最小值3，则a的值．18．若二次函数y＝x2+（a+17）x+38﹣a与反比例函数y＝的交点是整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），则正整数a的值是．19．老师给出一个函数，甲，乙，丙，丁四位同学各指出这个函数的一个性质：甲：函数的图象不经过第三象限；乙：函数的图象经过第一象限；丙：当x＜2时，y随x的增大而减小；丁：当x＜2时，y＞0．已知这四位同学叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数．20．已知函数y＝x2+2ax+a2﹣1在0≤x≤3范围内有最大值24最小值3，则实数a的值为．21．分式的最小值是．22．如果抛物线y＝x2﹣6x+c﹣2的顶点到x轴的距离是3，那么c的值等于．23．设a，b满足a2+b2﹣2a﹣4＝0，则2a﹣b的最大值与最小值之差为．24．设x、y、z满足关系式x﹣1＝＝，则x2+y2+z2的最小值为．三．解答题（共3小题）25．设m是不小于﹣1的实数，关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3＝0有两个不相等的实数根x1、x2，（1）若x12+x22＝6，求m值；（2）求的最大值．26．当﹣1≤x≤2时，求函数y＝f（x）＝2x2﹣4ax+a2+2a+2的最小值，并求最小值为﹣1时，a的所有可能的值．27．求函数y＝2x2﹣ax+1当0≤x≤1时的最小值．浙教新版九年级上学期《1.3 二次函数的性质》2018年同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．已知函数y＝，则使y＝k成立的x值恰好有三个，则k的值为（）A．0B．1C．2D．3【分析】大致画出两抛物线，注意取值范围，可得到它们的交点为（3，3），所以直线y＝3与两抛物线有三个交点，则得到k＝3．【解答】解：如图，当y＝k成立的x值恰好有三个，即直线y＝k与两抛物线有三个交点，而当x＝3，两函数的函数值都为3，即它们的交点为（3，3），所以k＝3．故选：D．【点评】本题考查了二次函数的性质：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x ＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．2．给出下列函数：①y＝2x；②y＝﹣2x+1；③y＝（x＞0）；④y＝x2（x＜﹣1）．其中，y随x的增大而减小的函数是（）A．①②B．①③C．②④D．②③④【分析】根据正比例函数、一次函数、反比例函数、二次函数的性质解答．【解答】解：①y＝2x，正比例函数，k＞0，故y随着x的增大而增大；②y＝﹣2x+1，一次函数，k＜0，故y随着x增大而减小；③y＝（x＞0），反比例函数，k＞0在第一象限内y随x的增大而减小；④y＝x2（x＜﹣1），图象在对称轴右侧，y随着x的增大而增大；而在对称轴左侧，y随着x的增大而减小．故选：D．【点评】本题综合考查二次函数、一次函数、反比例函数、正比例函数的增减性（单调性），是一道难度中等的题目．3．将y＝（2x﹣1）•（x+2）+1化成y＝a（x+m）2+n的形式为（）A．B．C．D．【分析】化为一般式后，利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．【解答】解：y＝（2x﹣1）（x+2）+1＝2x2+3x﹣1＝2（x2+x+）﹣﹣1＝2（x+）2﹣．故选：C．【点评】考查了二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y＝a（x﹣h）2+k；（3）交点式（与x轴）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．4．二次函数y＝x2﹣x+m（m为常数）的图象如图所示，当x＝a时，y＜0；那么当x＝a﹣1时，函数值（）A．y＜0B．0＜y＜m C．y＞m D．y＝m【分析】根据对称轴及函数值判断a的取值范围，从而得出a﹣1＜0，因为当x 是y随x的增大而减小，所以当x＝a﹣1＜0时，函数值y一定大于m．【解答】解：∵对称轴是x＝，0＜x1＜故由对称性＜x2＜1当x＝a时，y＜0，则a的范围是x1＜a＜x2，所以a﹣1＜0，当x时y随x的增大而减小，当x＝0时函数值是m．因而当x＝a﹣1＜0时，函数值y一定大于m．故选：C．【点评】本题主要考查了二次函数的对称轴，以及增减性．5．二次函数y＝﹣x2+6x﹣7，当x取值为t≤x≤t+2时，y最大值＝﹣（t﹣3）2+2，则t的取值范围是（）A．t＝0B．0≤t≤3C．t≥3D．以上都不对【分析】将标准式化为顶点式为y＝﹣x2+6x﹣7＝﹣（x﹣3）2+2，由t≤x≤t+2＝﹣（t﹣3）2+2，当x≥3时，y随x的增大而减小，由此即可求出时，y最大值此题．【解答】解：∵y＝﹣x2+6x﹣7＝﹣（x﹣3）2+2，当t≤3≤t+2时，即1≤t≤3时，函数为增函数，y max＝f（3）＝2，与y max＝﹣（t﹣3）2+2矛盾．当3≥t+2时，即t≤1时，y max＝f（t+2）＝﹣（t﹣1）2+2，与y max＝﹣（t﹣3）2+2矛盾．当3≤t，即t≥3时，y max＝f（t）＝﹣（t﹣3）2+2与题设相等，故t的取值范围t≥3，故选：C．【点评】本题考查了二次函数的最值，难度较大，关键是判断出当x≥3时，y 随x的增大而减小，由此此解决这类题．6．若实数x，y满足条件2x2﹣6x+y2＝0，则x2+y2+2x的最大值是（）A．14B．15C．16D．不能确定【分析】由已知得y2＝﹣2x2+6x，代入x2+y2+2x中，用配方法求最大值．【解答】解：由已知得：y2＝﹣2x2+6x，∴x2+y2+2x＝x2﹣2x2+6x+2x，＝﹣x2+8x，＝﹣（x﹣4）2+16，又y2＝﹣2x2+6x≥0，解得：0≤x≤3，∴当x＝3时，y＝0，所以x2+y2+2x的最大值为15．故选：B．【点评】根据已知条件将所求式子消元，转化为二次函数求最大值．关键是根据自变量的取值范围确定式子的最大值．7．给出下列命题：①对于实数u，v，定义一种运算“*“为：u*v＝uv+v．若关于x的方程x*（a*x）＝﹣没有实数根，则满足条件的实数a的取值范围是0＜a＜1；②设直线kx+（k+1）y﹣1＝0（k为正整数）与坐标轴所构成的直角三角形的面积为S k，则S1+S2+S3+…+S2008＝；③函数y＝﹣+的最大值为2；④甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有48种．其中真命题的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】①根据新定义整理出一元二次方程，然后根据判别式△＜0，方程没有实数根列式得到关于a的不等式，求解不等式即可判断；②求出直线与坐标轴的交点坐标，再根据直角三角形的面积公式列式得到S k的表达式，然后利用拆项法整理求解；③先配方，再根据二次函数的最值问题求解；④求出每一名同学的可能选修方法的种数，然后相乘即可得解．【解答】解：①根据新定义，x*（a*x）＝x*（ax+x），＝x（ax+x）+（ax+x），＝（a+1）x2+（a+1）x，所以，（a+1）x2+（a+1）x+＝0，∵方程没有实数根，∴△＝（a+1）2﹣4（a+1）×＜0，即a（a+1）＜0，解得﹣1＜a＜0，故本小题错误；②当y＝0时，kx﹣1＝0，解得x＝，当x＝0时，（k+1）y﹣1＝0，解得y＝，所以，与x轴的交点坐标为（，0），与y轴的交点坐标为（0，），∵k为正整数，∴S k＝××＝＝（﹣），∴S1+S2+S3+…+S2008＝（1﹣+﹣+﹣+…+﹣），＝（1﹣），＝×，＝，故本小题正确；③∵y＝﹣+＝﹣（﹣+）+＝﹣（﹣）2+，∴当＝，即x＝时，函数有最大值，故本小题错误；④设4门课程分别为1，2，3，4，甲选修2门，可有1，2；1，3；1，4；2，3；2，4；3，4共6种情况，同理乙，丙均可有1，2，3；1，2，4；2，3，4；1，3，4共4种情况，所以，不同的选修方案共有6×4×4＝96种，故本小题错误；综上所述，真命题有②共1个．故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程的根的判别式，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值问题，排列组合，综合性较强，难度较大，对同学们的能力要求比较高．8．下面说法错误的是（）A．直线y＝x就是一、三象限的角平分线B．函数y＝3x﹣10的图象经过点（3，﹣1）C．函数中y随x的增大而减小D．抛物线y＝x2﹣2x+1的对称轴是直线x＝1【分析】根据二次函数、一次函数和反比例函数的性质进行解答，对于反比例函数，首先系数k的正负，然后判断图象所在象限和单调性，判断二次函数的对称轴，要把二次函数化成顶点式的形式进行判断．【解答】解：A、直线y＝x就是一、三象限的角平分线，正确，B、把点（3，﹣1）代入y＝3x﹣10中，式子成立，正确，C、反比例函数系数k＝2，函数图象经过一三象限，在各个象限内，y随x增大而减小，在整个定义域内y不是随x增大而减小，故本选项错误，D、抛物线y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，故可得对称轴为x＝1，正确．故选：C．【点评】本题主要考查二次函数、反比例函数和一次函数的性质，解答本题的关键是熟练掌握这些函数的性质，本题是道基础性比较强的习题，同学们做题时需要细心．9．已知：二次函数y＝x2+2x+a（a为大于0的常数），当x＝m时的函数值y1＜0；则当x＝m+2时的函数值y2与0的大小关系为（）A．y2＞0B．y2＜0C．y2＝O D．不能确定【分析】根据抛物线与x轴的交点情况，判断a的取值范围，即0＜a＜1，已知对称轴是x＝﹣1，则﹣2＜m＜0，0＜m+2＜2，可判断当x＝m+2时，函数值y2与0的大小关系为y2＞0．【解答】解：∵抛物线与x轴有两个交点∴△＝22﹣4a＞0，即a＜1又a＞0，对称轴为x＝﹣1据题意画草图可知当﹣2＜x＜0时，y＜0而当x＝m时的函数值y1＜0故﹣2＜m＜0则当x＝m+2时，函数值y2与0的大小关系为y2＞0．故选A．【点评】此题采用数形结合思想求解比较简单，此题考查了学生的分析能力．10．下列函数：①y＝2x﹣3，②y＝﹣6x，③，④，⑤y＝4x2+2x，其中y随着x的增大而减小有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据k的取值范围，再确定函数的增减性，据此作答，注意二次函数不是纯粹的增加或减小．【解答】解：①因为k＞0，可知函数随x的增大而增大，此选项错误；②由于k＜0，可知函数随x的增大而减小，此选项正确；③是反比例函数，有两个象限，此选项错误；④是反比例函数，有两个象限，此选项错误；⑤函数是二次函数，故以对称轴为分界线，两边既有增大而减小的，也有增大而增大的，此选项错误．故选：A．【点评】本题考查了一次函数性质、正比例函数性质、反比例函数性质、二次函数性质，解题的关键是掌握有关函数的增减性．11．在初中已学过的一次函数、反比例函数和二次函数等函数中，它们的图象与任意一条直线x＝a（a是任意实数）交点的个数为（）A．必有一个B．一个或两个C．至少一个D．至多一个【分析】根据直线x＝a（a是任意实数）的性质，得出一次函数、反比例函数和二次函数等函数中与它的关系，直接得出答案．【解答】解：∵任意一条直线x＝a（a是任意实数）是平行于y轴的一条直线，∴在初中已学过的一次函数、反比例函数和二次函数等函数中，只有反比例函数与x＝0时，没有交点，其他只有一个交点．∴它们的图象与任意一条直线x＝a交点的个数至多有一个．故选：D．【点评】此题主要考查了函数图象与直线x＝a（a是任意实数）的性质，根据已知得出任意一条直线x＝a（a是任意实数）是平行于y轴的一条直线是解决问题的关键．12．若二次函数y＝ax2+bx+1的图象与平行于x轴的直线交于二点的横坐标分别为m、n．则：当x＝m+n时，二次函数y的值是（）A．1B．2C．﹣1D．O【分析】根据二次函数的对称性用m、n表示出二次函数图象的对称轴，再根据x与y轴关于抛物线对称轴对称可得x＝m+n的函数值与x＝0时的函数值相等，然后求解即可．【解答】解：∵过横坐标分别为m、n的两点的直线与x轴平行，∴m+n＝﹣×2，∴＝﹣，∴＝﹣，即x＝m+n与x＝0关于对称轴对称，∴x＝m+n时，二次函数y的函数值与x＝0时的函数值相等，当x＝0时，y＝a×02+b×0+1＝1，∴当x＝m+n时，二次函数y的值是1．故选：A．【点评】本题主要考查了二次函数的对称性，根据题意用m、n表示出抛物线的对称轴并判断出x＝m+n时的函数值与x＝0时的函数值相等是解题的关键，此题灵活度较高，是难得的好题．二．填空题（共12小题）13．已知抛物线y＝x2，过其对称轴上一点P的直线AB交抛物线于A，B两点，且∠AOB＝Rt∠，试写出满足条件的直线AB的解析式y＝x+2（只要写出一个即可）【分析】设A（x1，x12）、B（x2，x22），根据∠AOB＝Rt∠利用勾股定理可得x1x2＝﹣4，由待定系数法设直线AB解析式为y＝kx+b，则，两式相减可得k＝（x1+x2），，b＝2，可取k＝1，即可得．【解答】解：设A（x1，x12）、B（x2，x22），∵∠AOB＝Rt∠，∴OA2+OB2＝AB2，即x12+x14+x2+x24＝（x1﹣x2）2+（x12﹣x22）2，整理可得x1x2＝﹣4，设直线AB解析式为y＝kx+b，则，两式相减可得k＝（x1+x2），，b＝2，取k＝1，∴y＝x+2，故答案为：y＝x+2【点评】本题主要考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理、待定系数法求函数解析式．14．已知M、N两点关于y轴对称，且点M在双曲线上，点N在直线y＝﹣x+3上，设点M坐标为（a，b），则y＝﹣abx2+（a+b）x的顶点坐标为（±，）．【分析】根据反比例函数和一次函数的性质解题．【解答】解：∵M、N两点关于y轴对称，∴M坐标为（a，b），N为（﹣a，b），分别代入相应的函数中得，b＝①，a+3＝b②，∴ab＝，（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝11，a+b＝±，∴y＝﹣x2±x，∴顶点坐标为（＝±，＝），即（±，）．故答案为：（±，）．【点评】主要考查了函数的性质和求抛物线的顶点坐标、对称轴的方法．解题关键是先求出ab，a+b的值，整体代入求出函数的解析式．15．若的最大值为a，最小值为b，则a2+b2的值为．【分析】根据二次根式的性质，可以确定x的取值范围，再将方程两边平方，得出y2的最大值与最小值，从而得出a2+b2的值．【解答】解：由1﹣x≥0，且≥0，得≤x≤1．．由于，所以当时，y2取到最大值1，故a＝1．当或1时，y2取到最小值，故．所以：．故答案为：．【点评】此题主要考查了二次根式的性质以及完全平方公式的应用，将原式平方得出y2的最大值与最小值是解决问题的关键，这种方法经常运用于此类问题的运算．16．若直线y＝b（b为实数）与函数y＝|x2﹣4x+3|的图象至少有三个公共点，则实数b的取值范围是0＜b≤1．【分析】先求x2﹣4x+3＝0时x的值，再求x2﹣4x+3＞0和x2﹣4x+3＜0时，自变量的取值范围及对应的函数式，求函数式的取值范围，判断符合条件的b 的值的范围．【解答】解：∵当x2﹣4x+3＝0时，x＝1或x＝3，∴当x＜1或x＞3时，x2﹣4x+3＞0，即：y＝|x2﹣4x+3|，函数值大于0，当1＜x＜3时，﹣1≤x2﹣4x+3＜0，即：y＝|﹣x2+4x﹣3|，函数最大值为1，故符合条件的实数b的取值范围是0＜b≤1．【点评】本题是分段函数的问题，按照绝对值里的数的符号，分段求函数，再求符合条件的b值范围．17．已知函数y＝4x2﹣4ax+a2﹣2a+2在0≤x≤2上有最小值3，则a的值1﹣或5+．【分析】分析函数图象的开口方向和对称轴，进而可分析出函数在0≤x≤2上的增减性，结合函数的最小值为3，分类讨论可求出满足条件的a值．【解答】解：配方得y＝4（x﹣）2﹣2a+2，故函数图象开口朝上，且对称轴为x＝．当≤0，即a≤0时，当x＝0时，y＝a2﹣2a+2＝3，解得a＝1﹣或a＝最小值1+（舍）；当0＜＜2，即0＜a＜4时，当x＝时，y＝﹣2a+2＝3，解得a＝﹣（舍）；最小值＝8﹣8a+a2﹣2a+2＝3，当≥2时，当x＝2时，y最小值解得a＝5+．综上所述，a的值是1﹣或5+．故答案是：1﹣或5+．【点评】本题考查的知识点是二次函数在定区间上的最值问题，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．18．若二次函数y＝x2+（a+17）x+38﹣a与反比例函数y＝的交点是整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），则正整数a的值是39或12．【分析】先联立两方程，得到关于x的一元二次方程，把此方程分解为两个因式积的形式，再根据一元二次方程根的判别式即可求解．【解答】解：联立方程组，消去y得，x2+（a+17）x+38﹣a＝，即x3+（a+17）x2+（38﹣a）x﹣56＝0，当x＝1时，x3+（a+17）x2+（38﹣a）x﹣56＝0，∴式子x3+（a+17）x2+（38﹣a）x﹣56中含有因式（x﹣1），分解因式得（x﹣1）[x2+（a+18）x+56]＝0，（1）显然x1＝1是方程（1）的一个根，（1，56）是两个函数的图象的一个交点．因为a是正整数，所以关于x的方程x2+（a+18）x+56＝0，（2）其判别式△＝（a+18）2﹣224＞0，它一定有两个不同的实数根．而两个函数的图象的交点都是整点，所以方程（2）的根都是整数，因此它的判别式△＝（a+18）2﹣224应该是一个完全平方数．设（a+18）2﹣224＝k2（其中k为非负整数），则（a+18）2﹣k2＝224，即（a+18+k）（a+18﹣k）＝224．显然a+18+k与a+18﹣k的奇偶性相同，且a+18+k≥18，而224＝112×2＝56×4＝28×8，所以或或，解得或或．而a是正整数，所以只可能或．故答案为：a＝39或a＝12．【点评】本题考查的是二次函数与反比例函数的交点问题、根的判别式、整数的奇偶性，涉及面较广，难度较大．19．老师给出一个函数，甲，乙，丙，丁四位同学各指出这个函数的一个性质：甲：函数的图象不经过第三象限；乙：函数的图象经过第一象限；丙：当x＜2时，y随x的增大而减小；丁：当x＜2时，y＞0．已知这四位同学叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数y＝（x ﹣2）2（不唯一）．【分析】当x＜2时，y随x的增大而减小，对称轴可以是x＝2，开口向上的二次函数．函数的图象不经过第三象限，经过第一象限，且x＜2时，y＞0，二次函数的顶点可以在x轴上方．顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标．【解答】解：∵当x＜2时，y随x的增大而减小．当x＜2时，y＞0．∴可以写一个对称轴是x＝2，开口向上的二次函数就可以．∵函数的图象不经过第三象限．∴所写的二次函数的顶点可以在x轴上方，设顶点是（2，0），并且二次项系数大于0的二次函数，就满足条件．如y＝（x﹣2）2，答案不唯一．故答案为：y＝（x﹣2）2．【点评】解决本题的关键是能够根据图象的特点，得到函数应该满足的条件，转化为函数系数的特点．已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解．20．已知函数y＝x2+2ax+a2﹣1在0≤x≤3范围内有最大值24最小值3，则实数a的值为2或﹣5．【分析】先用配方法把函数化为顶点式的形式，求出其对称轴，再根据二次函数的增减性及题目条件将顶点的横坐标的值分三种情况讨论，从而求出实数a 的值．【解答】解：配方y＝（x+a）2﹣1，函数的对称轴为直线x＝﹣a，顶点坐标为（﹣a，﹣1）．①当0≤﹣a≤3即﹣3≤a≤0时，函数最小值为﹣1，不合题意；②当﹣a＜0即a＞0时，∵当x＝3时，y有最大值；当x＝0时，y有最小值，∴，解得a＝2；③当﹣a＞3即a＜﹣3时，∵当x＝3时，y有最小值；当x＝0时，y有最大值，∴，解得a＝﹣5．∴实数a的值为2或﹣5．故答案为2或﹣5．【点评】本题考查了求二次函数的最大（小）值的方法．注意，只有当自变量x 在整个取值范围内，函数值y才在顶点处取最值．而当自变量取值范围只有一部分时，必须结合二次函数的增减性及对称轴判断何处取最大值，何处取最小值．21．分式的最小值是4．【分析】令分式y＝＝6﹣，问题转化为考虑函数z＝x2+2x+2的最小值，然后用配方法即可求解．【解答】解：令y＝＝6﹣，问题转化为考虑函数z＝x2+2x+2的最小值，∵z＝x2+2x+2＝（x+1）2+1∴当x＝﹣1时，z min＝1，∴y min＝6﹣2＝4，即分式分式的最小值是：4．故答案为：4．【点评】本题考查了二次函数的最值及分式的化简求值，难度一般，关键是把分式化简后转化为求函数z＝x2+2x+2的最小值．22．如果抛物线y＝x2﹣6x+c﹣2的顶点到x轴的距离是3，那么c的值等于14或8．【分析】已知了抛物线的顶点到x轴的距离为3，因此抛物线的顶点纵坐标为±3，即＝±3，可据此求出c的值．【解答】解：由题意，得：＝±3，当＝3时，c＝14，当＝﹣3时，c＝8．即c的值为14或8．故答案为：14或8．【点评】顶点到x轴的距离是3，即顶点的纵坐标是3或﹣3，比较容易忽视的﹣3的值．因此要细心求解，不要漏解．23．设a，b满足a2+b2﹣2a﹣4＝0，则2a﹣b的最大值与最小值之差为10．【分析】设t＝2a﹣b，故b＝2a﹣t，把b＝2a﹣t代入a2+b2﹣2a﹣4＝0，化简得到5a2﹣（4t+2）a+t2﹣4＝0，方程有根，利用根的判别式求出t的取值范围，进而求出2a﹣b的最大值与最小值之差．【解答】解：设t＝2a﹣b，故b＝2a﹣t，∵a2+b2﹣2a﹣4＝0，∴a2+4a2﹣4at+t2﹣2a﹣4＝0，即5a2﹣（4t+2）a+t2﹣4＝0，△＝（4t+2）2﹣20（t2﹣4）≥0，解得﹣3≤t≤7，故2a﹣b的最大值与最小值之差为7﹣（﹣3）＝10．故答案为10．【点评】本题主要考查二次函数的最值的知识点，解答本题的关键是设t＝2a﹣b，利用一元二次方程根的判别式求出t的最值，此题难度不大．24．设x、y、z满足关系式x﹣1＝＝，则x2+y2+z2的最小值为．【分析】用换元法把x、y、z的值用一个未知数表示出来，再求其最值即可．【解答】解：令x﹣1＝＝＝k，则x＝k+1，y＝2k﹣1，z＝3k+2，于是x2+y2+z2＝（k+1）2+（2k﹣1）2+（3k+2）2，＝k2+2k+1+4k2+1﹣4k+9k2+4+12k＝14k2+10k+6，其最小值为＝＝．【点评】本题考查的是用换元法求二次函数的最值问题，用此类方法可简化计算．三．解答题（共3小题）25．设m是不小于﹣1的实数，关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3＝0有两个不相等的实数根x1、x2，（1）若x12+x22＝6，求m值；（2）求的最大值．【分析】（1）首先根据根的判别式求出m的取值范围，利用根与系数的关系，求出符合条件的m的值．（2）把利用根与系数的关系得到的关系式代入代数式，细心化简，结合m的取值范围求出代数式的最大值．【解答】解：∵方程有两个不相等的实数根，∴△＝b2﹣4ac＝4（m﹣2）2﹣4（m2﹣3m+3）＝﹣4m+4＞0，∴m＜1，结合题意知：﹣1≤m＜1．（1）∵x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝4（m﹣2）2﹣2（m2﹣3m+3）＝2m2﹣10m+10＝6∴，∵﹣1≤m＜1，∴；（2）＝＝（﹣1≤m＜1）．∴当m＝﹣1时，式子取最大值为10．【点评】本题的计算量比较大，需要很细心的求解．用到一元二次方程的根的判别式△＝b2﹣4ac来求出m的取值范围；利用根与系数的关系x1+x2＝，x1x2＝来化简代数式的值．26．当﹣1≤x≤2时，求函数y＝f（x）＝2x2﹣4ax+a2+2a+2的最小值，并求最小值为﹣1时，a的所有可能的值．【分析】先求出抛物线对称轴x＝a，然后分①a≤﹣1，②﹣1＜a＜2，③a≥2三种情况，根据二次函数的增减性解答；然后根据最小值为﹣1，分别代入求解关于a的一元二次方程即可．【解答】解：对称轴x＝﹣＝﹣＝a，①a≤﹣1时，﹣1≤x≤2范围内，y随x的增大而增大，当x＝﹣1时，y最小，最小值y＝2×（﹣1）2﹣4a×（﹣1）+a2+2a+2＝a2+6a+4，②﹣1＜a＜2时，当x＝a时，有最小值，最小值y＝2×a2﹣4a×a+a2+2a+2＝﹣a2+2a+2，③a≥2时，﹣1≤x≤2范围内，y随x的增大而减小，当x＝2时，y最小，最小值y＝2×22﹣4a×2+a2+2a+2＝a2﹣6a+10，综上所述，a≤﹣1时，最小值为a2+6a+4，﹣1＜a＜2时，最小值为﹣a2+2a+2，a≥2时，最小值为a2﹣6a+10；∵最小值为﹣1，∴a2+6a+4＝﹣1，整理得a2+6a+5＝0，解得a1＝﹣1，a2＝﹣5，﹣a2+2a+2＝﹣1，整理得，a2﹣2a﹣3＝0，解得a3＝﹣1，a4＝3（舍去），a2﹣6a+10＝﹣1，整理得，a2﹣6a+11＝0，△＝（﹣6）2﹣4×1×11＝﹣8＜0，方程无解，综上所述，a的所有可能值为﹣1、﹣5．【点评】本题考查了二次函数的最值问题，主要利用了二次函数的增减性，注意根据二次函数的对称轴分情况讨论求解．27．求函数y＝2x2﹣ax+1当0≤x≤1时的最小值．【分析】先求出抛物线对称轴x＝，然后分①≤0，②0＜＜1，③≥1三种情况，根据二次函数的增减性解答．【解答】解：对称轴x＝﹣＝﹣＝，①≤0，即a≤0时，0≤x≤1范围内，y随x的增大而增大，当x＝0时，y最小，最小值y＝2×02﹣a×0+1＝1，②0＜＜1，即0＜a＜4时，当x＝时有最小值，最小值y＝2×（）2﹣a×+1＝1﹣，③≥1，即a≥4时，0≤x≤1范围内，y随x的增大而减小，当x＝1时，y最小，最小值y＝2×12﹣a×1+1＝3﹣a，综上所述，a≤0时，最小值为1，0＜a＜4时，最小值为1﹣，a≥4时，最小值为3﹣a．【点评】本题考查了二次函数的最值问题，主要利用了二次函数的增减性，注意根据二次函数的对称轴分情况讨论求解．。

专题1.3 二次函数的图象与性质（二）【八大题型】【浙教版】【题型1 利用二次函数的图象与性质比较函数值的大小】 (1)【题型2 利用二次函数的图象特征求参数的值或取值范围】 (4)【题型3 根据规定范围内二次函数函数的最值求参数的值】 (6)【题型4 根据规定范围内二次函数函数的最值求参数取值范围】 (9)【题型5 根据二次函数的性质求最值】 (11)【题型6 二次函数的对称性的运用】 (13)【题型7 二次函数的图象与一次函数图象共存问题】 (16)【题型8 利用二次函数的图象与系数的关系判断结论】 (19)【题型1利用二次函数的图象与性质比较函数值的大小】【例1】（2023春·天津滨海新·九年级校考期中）已知点A(−2,y1)，B(1,y2)，C(5,y3)在二次函数y=−3x2+k 的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）A．y1<y2<y3B．y3<y2<y1C．y3<y1<y2D．y1<y3<y2【答案】C【分析】根据题意可得二次函数y=−3x2+k的图象的对称轴为y轴，从而得到点A(−2,y1)关于对称轴的对称点为(2,y1)，再由当x>0时，y随x的增大而减小，即可求解．【详解】解：∵二次函数y=−3x2+k的图象的对称轴为y轴，∴点A(−2,y1)关于对称轴的对称点为(2,y1)，∵−3<0，∴当x>0时，y随x的增大而减小，∵1<2<5，∴y3<y1<y2．故选：C【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．【变式1-1】（2023春·九年级单元测试）若点C(x1,m)、D(x2,n)在抛物线y=−2(x−3)2的图象上，且x1>x2 >3，则m与n的大小关系为______．【答案】m<n【分析】根据二次函数解析式，求得二次函数的对称轴，开口方向，再根据二次函数的性质求解即可．【详解】解：由抛物线y=−2(x−3)2可得，a<0，开口向下，对称轴为x=3，∴当x>3时，y随x的增大而减小，又∵x1>x2>3，∴m<n故答案为：m<n【点睛】此题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质．【变式1-2】（2023春·福建漳州·九年级统考期末）已知点(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)都在二次函数y=ax2−2ax−3a(a≠0)的图像上，若−1<x1<0,1<x2<2,x3>3，则下列关于y1，y2，y3三者的大小关系判断一定正确的是（）A．y1可能最大，不可能最小B．y3可能最大，也可能最小C．y3可能最大，不可能最小D．y2不可能最大，可能最小【答案】B【分析】求出函数图像的对称轴，与x轴的交点，分a>0和a<0两种情况，根据已知三点与对称轴的距离，结合开口方向分析即可．【详解】解：在y=ax2−2ax−3a(a≠0)中，=1，对称轴为直线x=−−2a2a令ax2−2ax−3a=0，解得：x1=−1，x2=3，∴函数图像与x轴交于(−1,0)，(3,0)，∵−1<x1<0,1<x2<2,x3>3，∴(x3,y3)离对称轴最远，(x2,y2)离对称轴最近，当a>0时，开口向上，∴y3>y1>y2；当a<0时，开口向下，∴y3<y1<y2；∴y2和y3可能最大，也可能最小，故选B．【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，解题的关键是根据表达式求出对称轴和与x轴交点，利用性质进行分析．【变式1-3】（2023·浙江温州·校考三模）已知二次函数y =x 2−2x 的图象过A (a,y 1),B (2a,y 2)两点，下列选项正确的是（ ）A ．若a <0，则y 1>y 2B ．若0<a <23，则y 1<y 2C ．若23<a <1，则y 1<y 2D ．若a >1，则y 1>y 2【答案】C【分析】根据根据二次函数的解析式得到对称轴为直线x =1，再利用二次函数的性质对各项判断即可解答．【详解】解：∵二次函数y =x 2−2x 的图象过A (a,y 1),B (2a,y 2)两点，∴二次函数的顶点式为：y =x 2−2x =(x−1)2−1，∴当x <1时，y 随x 的增大而减小，当x >1时，y 随x 的增大而增大；∵a <0，∴2a <0，∴a >2a ，∴y 1<y 2，故A 错误；∵二次函数的顶点式为：y =x 2−2x =(x−1)2−1，∴抛物线的对称轴为直线x =1，若a 2a 2=1，∴解得：a =23，∴当a =23时，a 和2a 关于x =1对称，∴当0<a <23时，y 1>y 2；当23<a <1时，y 1<y 2，故B 错误，C 正确；当a >1时，y 随x 的增大而增大，∵a <2a ，∴y 1<y 2，故D 错误；故选C．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的对称轴，掌握二次函数的性质是解题的关键．【题型2利用二次函数的图象特征求参数的值或取值范围】【例2】（2023·江苏苏州·模拟预测）若二次函数y=x2−2x−3的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于m，则m的值为___________．【答案】4【分析】由抛物线解析式可得抛物线对称轴为直线x=1，顶点为(1,−4)，由图象上恰好只有三个点到x轴的距离为m可得m=4．【详解】解：∵y=x2−2x−3=(x−1)2−4，∴抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线x=1，顶点为(1,−4)，∴顶点到x轴的距离为4，∵函数图象有三个点到x轴的距离为m，∴m=4，故答案为：4．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，能够理解题意，掌握求二次函数对称轴和顶点坐标的方法是解题的关键．【变式2-1】（2023·江苏南通·统考二模）若抛物线y=−x2+4x−n的顶点在x轴的下方，则实数n的取值范围是______．【答案】n>4【分析】先将抛物线解析式化为顶点式，再利用顶点在x轴下方，即可求出n的范围．【详解】解：y=−x2+4x−n，化为顶点式为：y=−(x−2)2+4−n，∵4−n<0，∴n>4，故答案为：n>4．【点睛】本题考查了抛物线的顶点式解析式，解题关键是理解当顶点纵坐标小于0时，顶点位于x轴下方．【变式2-2】（2023·黑龙江大庆·大庆一中校考模拟预测）二次函数y=kx2−x−4k（k为常数且k≠0）的图象始终经过第二象限内的定点A．设点A的纵坐标为m，若该函数图象与y=m在1<x<3内没有交点，则k 的取值范围是______．【答案】0<k<1或−1<k<0【分析】先计算二次函数过两个定点，确定m=2，根据函数图象与y=m在1<x<3内没有交点，分k>0和k<0两种情况列不等式即可解答．【详解】解：∵y=kx2−x−4k=k(x2−4)−x，∴x2−4=0，∴x=±2，当x=2时，y=−2，当x=−2时，y=2，∴二次函数y=kx2−x−4k（k为常数且k≠0）的图象始终经过定点−2，2，2，−2，∴m=2，∵函数y=kx2−x−4k的图象与y=2在1<x<3内没有交点，∴分两种情况：①当k>0时，x=3时，y<2，即9k−3−4k<2，∴k<1，∴0<k<1，②当k<0时，当x=1时，y<2，即k−1−4k<2，∴k>−1，∴−1<k<0，综上所述，k的取值范围是0<k<1或−1<k<0，故答案为：0<k<1或−1<k<0．【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解题意，计算定点A的坐标．【变式2-3】（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）如图，抛物线y=ax2+bx+c的图象过点(−1,0)和(0,−1)，则a+b+c的取值范围是（）A ．−2<a +b +c <0B ．−2<a +b +c <−1C ．−32<a +b +c <0D ．−32<a +b +c <−1【答案】A【分析】由函数图象的开口方向可知a >0，由抛物线与y 轴的交点判断c 的值，当x =1时，二次函数的值小于零，由此可求出a 的取值范围，将a +b +c 用a 表示即可得出答案．【详解】由图象开口向上，可得a >0，∵图象过点(0,−1)，∴c =−1，∵图象过点(−1,0)，∴a−b−1=0，∴b =a−1，∵对称轴在y 轴的右侧，∴当x =1时，y =a +b +c =a +a−1−1=2a−2<0，∴a <1，∴0<a <1，∴−2<2a−2<0，即−2<a +b +c <0，故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数图象和性质，二次函表达式系数符号的确定，熟练掌握知识点是解题的关键．【题型3 根据规定范围内二次函数函数的最值求参数的值】【例3】（2023春·九年级单元测试）二次函数y =ax 2−4x +1有最小值−3，则 a 的值为（ ）A ．1B ．−1C ．±1D ．2【答案】A【分析】把二次函数y =ax 2−4x +1变成顶点式，根据二次函数的图象性质，得出结论．【详解】∵y=ax2−4x+1∴y=ax2−4x+1=ax−−4a+1∵二次函数y=ax2−4x+1有最小值−3,∴a>0−4a+1=−3∴a=1故选：A【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，把二次函数的一般式变成顶点式，求二次函数的最值，熟练掌握二次函数图象的相关性质是解本题的关键．【变式3-1】（2023春·浙江·九年级校联考期中）已知函数y=−x2+bx−3（b为常数）的图象经过点(−6,−3)．当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，则m的值为（）A．−2或−3+B．−2或−4C．−2或D．【答案】C【分析】将点(−6,−3)代入y=−x2+bx−3即可求得b的值，进而求得抛物线的最大值，结合二次函数图象的性质，分类讨论得出m的取值范围即可．【详解】把(−6,−3)代入y=−x2+bx−3，得b=−6，∴y=−x2−6x−3，∵y=−x2−6x−3=−(x+3)2+6∴当x=−3时，y有最大值为6；①当−3<x≤0时，当x=0时，y有最小值为−3，当x=m时，y有最大值为y=−m2−6m−3∵y的最大值与最小值之和为2，∴−m2−6m−3+(−3)=2，∴m=−2或m=−4(舍去)。

y(m)
(0,1.5) o
(4,3) x(m)
二次函数与一元二次方程 二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象如图所示.
y=x2+2x
y=x2-2x+1
y=x2-2x+2
(1).每个图象与x轴有几个交点？ (2).一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根? 验证一下一元二次方程x2-2x+2=0有根吗?
例2：
已知抛物线y=（x+1）2-2，将此抛物线分别 作轴对称变换，请分别求出变换后的抛物线。
（1）关于x轴作轴对称变换 （2）关于y轴作轴对称变换
． （-1，2）
．．
（-(1-，1,--22)） (1,-2)
已知抛物线y=x2-2x-3，将其图像作以下对称， 请写出对称后的抛物线。
（1）关于x轴作轴对称变换
b2

, (-2,-1)
, (2, -1)
新知探索
根据右边已画好的函数图象回答问题：
(1)抛物线 y 1 x2 ，2x当1自变
2
量X增大时，函数值y将怎样变化？
先减小，后增大.
Y
5
4 y 1 x2 2x 1
3
2
2
1 直线x=2
当x ≤-2时,y随着x的增大而减小
-5 -4 -3 -2 -1 O
（1）解：设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c
∵图象过A(0，1) 、B（1，2）、C（2，-1）三点
a 02 b 0 c 1
∴ a
12

b
1
c

2