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复变函数与积分变换习题

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练 习 一 1．求下列各复数的实部、虚部、模与幅角。 （1）iiii524321； 解：iiii524321 =i2582516

zkkArgzzzz221arctan2558258Im2516Re

（2）3)231(i 解： 3)231(i

zkkArgzzzzeii210Im1Re1][)3sin3(cos333

2．将下列复数写成三角表示式。 1）i31 解：i31 )35sin35(cos2i

（2）ii12

解：ii12 )4sin4(cos21ii

3．利用复数的三角表示计算下列各式。 （1）ii2332 解：ii2332 2sin2cosii

（2）422i 解：422i41)]43sin43(cos22[i

3,2,1,0]1683sin1683[cos2]424/3sin]424/3[cos28383kkikkik

4．.设321,,zzz三点适合条件：321zzz=0，,1321zzz321,,zzz是内接于单位z1+z2 圆z=1的一个正三角形的项点。 证：因,1321zzz所以321,,zzz都在圆周,11zz又因321zzz=0 则,321zzz1321zzz，所以21zz也在圆周1z上，又,12121zzzz所以以0，211,zzz为顶点的三角形是正三角形，所以向量

211zzz与之间的张角是3，同理212zzz与之间的张角也是3，于是21zz与之间的张角

是32，同理1z与3z，2z与3z之间的张角都是32，所以321,,zzz是一个正三角形的三个顶点。

5．解方程013z

iiziziizkkikzz232135sin35cos1sincos23213sin3cos2,1,032sin32cos1:3213解

6．试证：当1,1时，则11。 证：111 7．设,0(cos21zzz是Z的辐角），求证.cos2nzznn 证：01cos2cos221zzzz 则 sincosiz 当sincosiz时 sincos1iz nnininzznncos2)]sin()[cos()sin(cos

故 nzznncos2 当sincosiz时，同理可证。 *8 .思考题： （1）复数为什么不能比较大小？ 答：复数域不是有序域，复数的几何意义是平面上的点。 （2）是否任意复数都有辐角？

答：否，0z是模为零，辐角无定义的复数。 练 习 二 1．指出满足下列各式的点Z的轨迹是什么曲线？ （1）4)arg(iz 解：设iyxz 则4)]1(arg[)arg(yixiz





1010yxyx

则点Z的轨迹为： （2）)Re(bzaz，其中ba,为实数常数； 解：设iyxz 则：)Re()(iybxiyax

0)()(222bxbxyax 则：bxbaxbaabxbay)2)((2)(2222 若：ba 则轨迹为： 0y

若：ba 则bbax2 轨迹：)2)((22baxbay 若：ba 则,2bax无意义 （3）0bzazazz，其中为a复数b为实常数。 解：由题设可知：0))((2abazaz 即：baaz22 若：ba2，则Z的轨迹为一点-a， 若：ba2，则Z的轨迹为圆，圆心在-a，半径为ba2 若：ba2，无意义 2．用复参数方程表示曲线，连接i1与i41直线段。 解：10)]1()41[()1(ttiiiz 则)0()52()1(ttiiz

0 i y y 0 2ba b

0 y (1,1)

(-1,-4) 3．描出下列不等式所确定和区域与闭区域，并指明它是有界的还是无界的？是单连域还是多连域？并标出区域边界的方向。

（1）21Re,1zz 解：由1z，得122yx

又21Rez，得21x

有界，单连域 （2）1Re2z 解：令 iyxz 由11Re222yxz 即：122xy

无界，单连域 0 0

x

y -1 1

0 0 y v 0

（3）211zz 解：令iyxz 则：222)34()35(yx

无界，多连域 4．对于函数0Im:,)(zDizzf，描出当z在区域D内变化时，w的变化范围。 解：令iyxz 则ixyiyxiizzfw)()( ,0Imz则0y ,0Reyw

w的变化范围在第2,3象限,但不包括虚轴

5.试证zzzRelim0不存在。 证：zzzRelim0=iyxxyx00lim 令kxy 则：上述极限为ki11不确定，因而极限不存在。

*6.思考题 （1）怎样理解复变函数)(zfw？ 答：设)(,,zfwiyxzivuw则就是 ),(),()(yxivyxuiyxfivu

即 ),(),(yxvvyxuu 因此，一个复变函数)(zf与两个实变函数),(yxu和),(yxv相对应，从

x y u 3/5 几何意义上来说，复变函数可以看作是z平面上的点集D到w平面上的点集G上的映射。

（2）设复变函数)(zf当0zz时的极限存在，此极限值与z趋于0z所采取的方式（取的路径）有无关系？

答：没有关系，z以任意方式趋于0z时，极限值都是相同的，反过来说，若令z沿两条不同的曲线趋于0z时极限值不相等，则说明)(zf在0z没有极限，这与高等数学中的情形是类似的，只是一元实函数中，x只能从左、右以任何方式趋于0x，而这里可以从四面八方任意趋于0z。 练 习 三

1．用导数定义，求zzzfRe)(的导数。 解：zzzzzzzzzfzzfzzRe)Re()(lim)()(lim00

)(Relim)Re(Relim)ReRe(RelimReReRelim00000yixxzzzzzzzzzzzzzzzzzyxzzz 当0z时，导数不存在，

当0z时，导数为0。

2．下列函数在何处可导？何处不可导？何处解析？何处不解析？

（1）zzf1)( 解：),(),(1)(2222yxivyxuyxyiiyxxzzzzf

2222222222222222

)()(2)(2)(yxyxvyxxyvyxxyuyxxyuyxyx



当且仅当yx时， )(zf满足RC条件，故当yx时)(zf可导，但在复平面不解析。 （2）)3(3)(3223yyxixyxzf 解：令)(),()(xyivyxuzf

则 2222336633yxvxyuxyvyxuyyxx 因)(zf在复平面上处处满足RC条件，且偏导数连续，故)(zf可导且解析。 3．设)(2323lxyxiynxmy为解析函数，试确定nml,,的值。 解：由RC条件可知： lxynxy22所以 ln 又 222233lyxnxmy所以 3,3nlm且

即 31lnm 4.设)(zf在区域D内解析，试证明在D内下列条件是彼此等价的。 （1）)(zf=常数； （2）0)(zf； （3）)(Rezf常数

（2）)(Imzf常数； （5）)(zf解析； （6）)(zf常数。 证:由于)(zf在且域D内解析，则可得RC方程成立，即

yvxu且xvyu

1）→2）由czf)(则0)(czf在D内成立，故（2）显然成立， 2）→3）由),(00)(yxuyuxuyuiyvxvixuzf是常数 即 )(Rezf常数

3）→4） u常数0yuxu 由RC条件 ),(00yxvxvyv是常数 )(Imzf常数

4）→5）若,)(,)(,)(Im1icuzficuzfczf因)(zf在D内解析 0,0xcxvyuycyvx

u

即 xcyuycxu)(,)( 一阶偏导连续且满足RC条件)(zf在D内解析

5）→6） ivuzfzgivuzf)()(,)( 因)(zg解析，则由RC条件 xvyuyvxu,

， 对)(zf在D内解析，

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【复变函数与积分变换期末复习题】含大题答案

【复变函数与积分变换期末复习题】含大题答案

复习题2一．单项选择题1．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（）（A）),(y x u 在),(00y x 处连续（B）),(y x v 在),(00y x 处连续（C）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续2．设C z ∈且1=z ，则函数zz z z f 1)(2+-=的最小值为（）（A）3-（B）2-（C）1-（D）13．函数)(z f 在点z 可导是)(z f 在点z 解析的()（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既非充分条件也非必要条件4．下列命题中，正确的是()（A）设y x ,为实数，则1)cos(≤+iy x （B）若0z 是函数)(z f 的奇点，则)(z f 在点0z 不可导（C）若v u ,在区域D 内满足柯西-黎曼方程，则iv u z f +=)(在D 内解析（D）若)(z f 在区域D 内解析，则)(z if 在D 内也解析5．设1:1=z c 为负向，3:2=z c 正向，则=⎰+=dz z zc c c 212sin ()（A）iπ2-（B）0（C）iπ2（D）iπ46．设c 为正向圆周2=z ，则=-⎰dz z zc2)1(cos ()（A）1sin -（B）1sin （C）1sin 2i π-（D）1sin 2i π7．设c 为从原点沿x y =2至i +1的弧段，则=+⎰cdz iy x )(2()（A）i6561-（B）i 6561+-（C）i 6561--（D）i6561+8.复变函数1)(-=z e z f 在复平面上()（A）无可导点（B）有可导点，但不解析（C）仅在零点不解析（D）处处解析9.使得22z z =成立的复数z 是（）（A）不存在的（B）唯一的（C）纯虚数（D）实数10．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（）（A）i +-43（B）i +43（C）i -43（D）i --4311.ii 的主值为()（A）0（B）1（C）2πe（D）2eπ-12．ze 在复平面上()（A）无可导点（B）有可导点，但不解析（C）有可导点，且在可导点集上解析（D）处处解析13．设z z f sin )(=，则下列命题中，不正确的是()（A）)(z f 在复平面上处处解析（B）)(z f 以π2为周期（C）2)(iziz e e z f --=（D）)(z f 是无界的14.设c 为从原点沿x y =2至i +1的弧段，则=+⎰cdz iy x )(2()（A）i 6561-（B）i 6561+-（C）i 6561--（D）i 6561+15．设c 为不经过点1与1-的正向简单闭曲线，则dz z z zc⎰+-2)1)(1(为()（A）2iπ（B）2i π-（C）0（D）(A)(B)(C)都有可能16．设1:1=z c 为负向，3:2=z c 正向，则=⎰+=dz zzc c c 212sin ()（B）i π2-（B）0（C）iπ2（D）iπ417.设()()F f t F ω=⎡⎤⎣⎦则()0sin F f t t ω=⎡⎤⎣⎦（）.A ．()()00j2F F ωωωω+--⎡⎤⎣⎦B.()()00j2F F ωωωω++-⎡⎤⎣⎦C.()()0012F F ωωωω+--⎡⎤⎣⎦D.()()0012F F ωωωω++-⎡⎤⎣⎦18．设()()F f t F ω=⎡⎤⎣⎦则()()1F t f t -=⎡⎤⎣⎦（）.A ．()()F F ωω'- B.()()F F ωω'--C.()()j F F ωω'- D.()()j F F ωω'--19.积分=-⎰=231091z dz z z ()（A）0（B）i π2（C）10（D）5i π20．积分21sin z z zdz ==⎰()（A）0（B）61-（C）3i π-（D）iπ-21.复数ii+=1z 位于复平面第()象限.A ．一B ．二C ．三D ．四22.下列等式成立的是().A ．Lnz Lnz 77=；B ．)1arg()1(r =g A ；C ．112=i；D ．)z z Re(z z =。

复变函数与积分变换(修订版-复旦大学)课后的习题答案

复变函数与积分变换(修订版-复旦大学)课后的习题答案

复变函数与积分变换（修订版）主编：马柏林（复旦大学出版社）——课后习题答案习题一1. 用复数的代数形式a +ib 表示下列复数π/43513;;(2)(43);711i i e i i i i i-++++++.①解i 4πππe cos isin 44-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ②解：()()()()35i 17i 35i 1613i 7i 11+7i 17i 2525+-+==-++- ③解： ()()2i 43i 834i 6i 510i ++=-++=+ ④解：()31i 1335=i i i 1i 222-+-+=-+ 2.求下列各复数的实部和虚部(z =x +iy )(z a a z a -∈+); 33311;;;.22n z i ⎛⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭⎝⎭①： ∵设z =x +iy则()()()()()()()22i i i i i i x a y x a y x y a x a y z a z a x y a x a y x a y -++-⎡⎤⎡⎤+--+-⎣⎦⎣⎦===+++++++ ∴()22222Re z a x a y z a x a y ---⎛⎫= ⎪+⎝⎭++, ()222Im z a xy z a x a y -⎛⎫= ⎪+⎝⎭++． ②解： 设z =x +iy∵()()()()()()()()323222222223223i i i 2i i 22i33iz x y x y x y x y xy x y x x y xy y x y x y x xy x y y =+=++=-++⎡⎤=--+-+⎣⎦=-+- ∴()332Re 3z x xy =-,()323Im 3z x y y =-．③解：∵(()(){}33232111313188-+⎡⎤⎡⎤==--⋅-⋅+⋅-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭∴Re 1=⎝⎭, Im 0=⎝⎭．④解：∵()()(()2332313131i 8⎡⎤--⋅-⋅+⋅-⎢⎥⎣⎦=⎝⎭()180i 18=+=∴Re 1=⎝⎭, Im 0=⎝⎭． ⑤解： ∵()()1,2i 211i,knkn k k n k ⎧-=⎪=∈⎨=+-⋅⎪⎩． ∴当2n k =时，()()Re i 1k n =-，()Im i 0n =；当21n k =+时，()Re i 0n =，()()Im i 1kn =-．3.求下列复数的模和共轭复数①解：2i -+== ②解：33-=33-=-③解：()()2i 32i 2i 32i ++=++④解：1i 1i 22++==4、证明：当且仅当z z =时，z 才是实数．证明：若z z =，设i z x y =+，则有 i i x y x y +=-，从而有()2i 0y =，即y =0 ∴z =x 为实数．若z =x ，x ∈ ，则z x x ==． ∴z z =．命题成立．5、设z ,w ∈ ，证明： z w z w ++≤证明∵()()()()2z w z w z w z w z w +=+⋅+=++∴z wz w ++≤．6、设z ,w ∈ ，证明下列不等式． 并给出最后一个等式的几何解释．证明：()2222Re z w z z w w +=+⋅+在上面第五题的证明已经证明了． 下面证()2222Re z w z z w w -=-⋅+．∵()()()()222z w z w z w z w z w z z w w z w-=-⋅-=--=-⋅-⋅+()222Re z z w w =-⋅+．从而得证．∴()22222z w z w z w++-=+几何意义：平行四边形两对角线平方的和等于各边的平方的和． 7.将下列复数表示为指数形式或三角形式 ①解：()()()()35i 17i 35i 7i 117i 17i +-+=++-3816i 198i e 5025i θ⋅--===其中8πarctan 19θ=-． ②解：e i i θ⋅=其中π2θ=．③解：ππi i 1e e -==④解：()28π116ππ3θ-+==-.∴()2πi 38π116πe--+=⋅⑤解：32π2πcos isin 99⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 解：∵32π2πcos isin 199⎛⎫+= ⎪⎝⎭．∴322πi π.3i 932π2πcos isin 1e e 99⋅⎛⎫+=⋅= ⎪⎝⎭ 8.计算：(1)i 的三次根；(2)-1的三次根；(3) 的平方根.⑴i 的三次根． 解：∴1ππ1cosisin i 662=+z ．2551cos πisin πi 662=+=+z ⑵-1的三次根 解：∴1ππ1cos isin 332=+=z的平方根．解：πi 4e ⎫⎪⎪⎝⎭)()1π12i 44ππ2π2π44e6cos isin 0,122k k k ⎛⎫++ ⎪=⋅+= ⎪⎝⎭∴π11i 8441ππ6cos isin 6e 88⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪⎝⎭z911πi 8442996cos πisin π6e 88⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪⎝⎭z ．9.设2πe,2inz n =≥. 证明：110n z z -+++=证明：∵2πi e nz ⋅= ∴1n z =，即10n z -=．∴()()1110n z z z --+++=又∵n ≥2． ∴z ≠1从而211+0n z z z -+++=11.设Γ是圆周{:},0,e .i z r r a c r z c α=>=+-令:Im 0z a L z b β⎧-⎫⎛⎫==⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭, 其中e i b β=.求出L β在a 切于圆周Γ的关于β的充分必要条件. 解：如图所示．因为L β={z : Im z a b -⎛⎫⎪⎝⎭=0}表示通过点a 且方向与b 同向的直线，要使得直线在a 处与圆相切，则CA ⊥L β．过C 作直线平行L β，则有∠BCD =β，∠ACB =90° 故α-β=90°所以L β在α处切于圆周T 的关于β的充要条件是α-β=90°．12.指出下列各式中点z 所确定的平面图形，并作出草图. 解：(1)、argz =π．表示负实轴． (2)、|z -1|=|z |．表示直线z =12． (3)、1<|z +i|<2解：表示以-i 为圆心，以1和2为半径的周圆所组成的圆环域。

杭州电子科技大学复变函数与积分变换练习题

杭州电子科技大学复变函数与积分变换练习题

一、单项选择题1．Re(cosi)= （ ） A ．2e e 1-+B ．2e e 1--C ．2e e 1+--D ．2e e 1--2．设C 为正向圆周|z|=1，则⎰=C dz z zcos （ ） A ．i πB ．2i πC ．0D ．13．z=0是2z )1e (1-的（ ） A ．解析点B ．本性奇点C ．一阶极点D ．二阶极点4．Res[i 2,)i 2z (z2-+]=（ ） A ．2i B ．-2i C ．-1D ．15．z 2sinz1在z=0点的留数为（ ） A ．-1 B ．21- C ．61-D ．06.已知方程(1+2i)z=4+3i ，则z 为( )。

A. 2+i B. -2+i C. 2-iD. -2-i 7.方程Re(z+2)=1所代表的曲线是( )。

A. 直线 B. 椭圆 C. 双曲线D. 抛物线8.复数z=-(cos 3π+isin 3π)的三角形式是( )。

A. (cos 32π+isin 32π)B. (cos 3π+isin 3π) C. (cos32π+isin 32π-)D. (cos3π-+isin 3π-) 9.复数e 3-2i 所对应的点( )。

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限D. 第四象限10.级数=∑∞=1n ine是( )。

A. 收敛B. 发散C. 绝对收敛D. 条件收敛 11.设C ：｜z ｜=1的正向，则⎰c dz zzcos =( )。

A. 2πiB. 0C. πiD. 112．设z=3+4i,，则Re z 2=( ) A ．-7 B ．9 C ．16D ．2513． 设C 为正向圆周|z|=2, 则下列积分值不为．．0的是( ) A ．⎰-C dz 1z zB ．⎰C 3zdz cos zC ．⎰C dz zz sinD ．⎰-C zdz 3z e 14．z=i 是f(z)=22)1z (1+的( ) A ．一阶极点 B ．二阶极点 C ．本性奇点D ．解析点15. arg(2-2i)=（ ）A.43π-B.4π-C.4π D.43π 16. z=2i 为函数222z )4z (z e )z (f +=的（ ）A.可去奇点B.本性奇点C.极点D.解析点17.2)1z (z 1)z (f -=在0<|z-1|<1内的罗朗展开式是（ ）A.∑∞=-0n nnz )1(B.∑∞=-0n n2z)1z (1C.∑∞=--0n nn)1z ()1(D.∑∞=---0n 2n n)1z ()1(18.设v(x,y)=e ax siny 是调和函数，则常数a=（ ） A.0B.1C.2D.319.设f(z)=z 3+8iz+4i ，则f ′(1-i)=（ ） A.-2iB.2iC.-2D.2二、计算题1.已知调和函数v=arctgxy,x>0，求f ′(z)，并将它表示成z 的函数形式. 2.设f(z)=x 2+axy+by 2+i(-x 2+2xy+y 2)为解析函数，试确定a ，b 的值.3.求积分I=⎰+C dz z i的22值，其中C ：|z|=4为正向.4.求积分I=⎰+C zdz )i z (e 的42值，其中C ：|z|=2为正向.5.将函数f(z)=()22+z z 在圆环域0<|z|<2内展开为罗朗级数.6.(1)求e t 的拉氏变换L [e t ];(2)设F （p ）=L [y(t)]，其中函数y(t)二阶可导，L [y ′(t)]、L [y ″(t)]存在，且y(0)=0， y ′(0)=0，求L [y ′(t)]、L [y ″(t)];(3)利用拉氏变换求解常微分方程初值问题：⎩⎨⎧='==+'-''.)(y ,)(y e y y y t000027．设C 为正向简单闭曲线，a 在C 的内部，计算I =.)(213dz a z ze i zC-⎰π8．利用留数计算积分⎰+∞∞-++=dx x x x I )9)(1(2229．求函数222)4(4)(-+=p p p F 的拉氏逆变换.10.（1）求sin t 的拉氏变换（sin t ）；（2）设F （p ）=[])(t y ，其中函数)(t y 可导，且1)0(-=y ,求[])(t y '.（3）利用拉氏变换求解常微分方程初值问题：⎩⎨⎧-==+'1)0(sin y t y y11．（1）求221)(2+-=z z z f 在上半平面内的孤立奇点，并指出其类型；（2）求出iz e z f )(在以上奇点处的留数；（3）利用以上结果，求积分⎰+∞∞-+-=.22cos 2dx x x xI12.已知z 22,)(0y x xu iy x z +=+=≠时为调和函数，求解析函数的导数iv u z f +=)(f ′(z)，并将它表示成z 的函数形式。

复变函数与积分变换试题和答案

复变函数与积分变换试题和答案

复变函数与积分变换试题(一）一、填空(３分×10)１.得模ﻩﻩ、幅角ﻩ。

２.-8i得三个单根分别为：、、。

3.Lｎz在得区域内连续。

4．得解极域为:ﻩﻩﻩﻩﻩ。

５.得导数ﻩﻩﻩﻩﻩ。

6. ﻩﻩ。

７.指数函数得映照特点就是:ﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩ。

8．幂函数得映照特点就是: ﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩ。

9.若=F [f(t)]、则= F ﻩﻩﻩﻩ。

１０.若f(ｔ)满足拉氏积分存在条件、则L [f(ｔ)］= ﻩﻩﻩ。

二、(10分)已知、求函数使函数为解析函数、且f(0)＝0。

三、(10分)应用留数得相关定理计算四、计算积分(5分×2)1.2．C:绕点ｉ一周正向任意简单闭曲线。

五、(1０分)求函数在以下各圆环内得罗朗展式。

1.2.六、证明以下命题：（5分×2)(1)与构成一对傅氏变换对。

（2）七、(10分)应用拉氏变换求方程组满足x （0)＝y （０)=z (0)＝0得解y (t )。

八、(１0分)就书中内容、函数在某区域内解析得具体判别方法有哪几种。

复变函数与积分变换试题答案(一)一、1．ﻩﻩ、ﻩ ﻩ２、ﻩ-i ﻩﻩ2ｉﻩ-i ﻩ3、ﻩZ 不取原点与负实轴 ４、 空集５、ﻩ2z ﻩ6.０ 7、将常形域映为角形域ﻩ８、 角形域映为角形域 9、ﻩ ﻩ1０、 二、解:∵ﻩ ∴ ﻩ(5分)∵f (0）=0ﻩﻩﻩﻩc =0(３分)∴ﻩﻩ(2分)三、解：原式＝(2分)ﻩ（2分）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞--0,1)31)(11(11Re 2,)3)(1(1Re 266z z z z s z z z s 分）（=0∴原式=(2分) =四、1.解:原式ﻩ(３分) z 1=0 ﻩｚ2=１ﻩ=0ﻩﻩ(2分)2．解:原式=五、1.解:nn i i z i i z ii z ii z i i z i z z f ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛--⋅-=-+⋅⋅-=+-⋅-=0111111)(111)(11)(分）（分）（分）（ ﻩﻩ(2分) ﻩ２.解: （1分)ﻩ(2分）六、1.解:∵ﻩ(3分）ﻩ∴结论成立 （２)解:∵ﻩ(２分)ﻩ ∴与1构成傅氏对∴（2分)七、解:∵ﻩﻩ（3分)S (２)-（1):∴ （3分)∴八、解：①定义;②C-R 充要条件Th ; ③v 为u 得共扼函数ﻩ1０分复变函数与积分变换试题（二)一、填空(3分×10)1.函数f (z )在区域D 内可导就是ｆ(ｚ）在D 内解析得（ﻩ ﻩ）条件。