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中考数学专题复习——分类讨论问题一、教学目标使学生养成分类讨论思想，并掌握一定的分类技巧，以及常见题型的分类方法。

形成一定的分类体系，对待问题能有更严谨、缜密的思维。

二、教学重点对常见题型分类方法的掌握；能够灵活运用一般的分类技巧。

三、教学难点对于分类的“界点”、“标准”把握不准确，容易出现重复解、漏解等现象。

四、板书设计1：分式方程无解的分类讨论问题；2：“一元二次 ”方程系数的分类讨论问题；3：三角形、圆等几何图形相关量求解的分类讨论问题； 4：分类问题在动点问题中的应用；4.1 常见平面问题中动点问题的分类讨论；4.2 组合图形（二次函数、一次函数、平面图形等组合）中动点问题的分类。

1：分式方程无解的分类讨论问题例题 1：（ 2011 武汉） 3 3 ax4 无解，求 ax x29 x 3解：去分母，得：3(x 3) ax 4(x 3)（ ） x 21a - 1由已知 - 21或 - 21 或 1 0a - 1a - 1a 8, a 或者 16. a猜想：把“无解”改为“有增根”如何解？ a 8或 a6例题 2：（2011 郴州）2 a x 12无解，求 ax 12：“一元二次”方程系数的分类讨论问题例题 3：（ 2010 上海）已知方程 m 2 x 2 (2m 1) x 1 0 有实数根，求 m 的取值范围。

（ 1）当 m 2 0 时，即 m=0 时，方程为一元一次方程x+1=0，有实数根 x= 1- 1 -（ 2） 当 m 2 0 时 ， 方 程 为 一 元 二 次 方 程 ， 根 据 有 实 数 根 的 条 件 得 ：(2m 1)24m24m 1 0,即m- 1，且 m 24综（ 1）（ 2）得， m14常见病症：（很多同学会从（ 2）直接开始而且会忽略 m 2 0 的条件）总结：字母系数的取值范围是否要讨论，要看清题目的条件。

一般设置问题的方式有两种（1）前置式，即“二次方程”；（ 2）后置式，即“两实数根”。

这都是表明是二次方程，不需要讨论，但切不可忽视二次项系数不为零的要求，本题是根据二次项系数是否为零进行讨论的。

例题 4：（2011 益阳）当 m 是什么整数时，关于x 的一元二次方程 mx 24x4 0 与x 24mx 4m 24m 5 0 的根都是整数。

解：因为是一元二次方程，所以二次项系数不为0，即 m 20， m 0 ，10,解得 m1.同理，2 0, 解得 m5 . 5 m 1且 m 0 ，又因为 m 为整数m 取 1或1.4 4（ 1）当 m= — 1 时，第一个方程的根为 x 2 2 2 不是整数，所以 m= —1 舍去。

（ 2）当 m=1 时，方程 1、 2 的根均为整数，所以 m=1.练习：已知关于ｘ的一元二次方程 (m1) x 2 x 1 0 有实数根，则ｍ的取值范围是：m 1 0m5 且m 1 043：三角形、圆等几何图形相关量求解的分类讨论问题例题 :5：（2011 青海）方程 x 2 9x 18 0 的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（）Ａ 12Ｂ 12或15Ｃ 15Ｄ不能确定例题 6：（2011 武汉）三角形一边长 AB 为 13cm ，另一边 AC 为 15cm ，BC 上的高为 12cm, 求此三角形的面积。

（ 54 或 84）例题 8：（ 2011 四校联考）一条绳子对折后成右图 A 、 B, A.B 上一点 C ，且有 BC=2AC, 将其从 C 点剪断，得到的线段中最长的一段为 40cm,请问这条绳子的长度为： 60cm 或 120cm-A 2- C B4：动点问题的分类分类讨论问题4.1：常见平面问题中动点问题的分类讨论；例题 9：（2011 永州）正方形 ABCD 的边长为 10cm ，一动点 P 从点 A 出发，以 2cm/秒的速度沿正方形的边逆时针匀速运动。

如图，回到 A 点停止，求点 P 运动 t 秒时， P ，D 两点间的距离。

解：点 P 从 A 点出发，分别走到 B ， C ，D ，A 所用时间是 秒，秒， 秒，秒，即 5 秒，10 秒， 15 秒， 20 秒。

p 3∴（ 1）当 0≤ t<5 时，点 P 在线段 AB 上， |PD|=|P 1D|= DC(cm)p 4p 2（ 2 ） 当 5 ≤ t<10 时，点 P 在 线段 BC 上， |PD|=|P 2D|=Ap 1B（3）当 10≤t<15 时，点 P 在线段 CD 上， |PD|=|P 3D|=30-2t （4）当 15≤t ≤20 时，点 P 在线段 DA 上， |PD|=|P 4D|=2t-30综上得： |PD|=总结：本题从运动的观点，考查了动点 P 与定点 D 之间的距离，应根据 P 点的不同位置构造出不同的几何图形，将线段 PD 放在直角三角形中求解或直接观察图形求解。

4.2：组合图形（一次函数、二次函数与平面图形等组合）中动点问题的分类。

例题 10：（2010 福建）已知一次函数 y3x 3 3 与 x 轴、y 轴的交点分别为 A 、B ，试在3x 轴上找一点 P ，使△ PAB 为等腰三角形。

分析：本题中△ PAB 由于 P 点位置不确定而没有确定，而且等腰三角形中哪两条是腰也没 有确定。

△ PAB 是等腰三角形有几种可能？我们可以按腰的可能情况加以分类：（ 1）PA=PB ；（2）PA=AB ；（ 3）PB=AB 。

先可以求出 B 点坐标(0，3 3)， A 点坐标（ 9，0）。

设 P 点坐标为 (x ，0) ，利用两点间距离公式可对三种分类情况分别列出方程，求出P 点坐标有四解，分别为 ( 9，0)、(3，0)、(9 63，0)、(9 6 3，0) 。

（不适合条件的解已舍去）总结： 解答本题极易漏解。

解答此类问题要分析清楚符合条件的图形的各种可能位置，紧扣条件，分类画出各种符合条件的图形。

另外，由点的运动变化也会引起分类讨论。

由于运动引起的符合条件的点有不同位置，从而需对不同位置分别求其结果，否则漏解。

- 3 -例 11：(2010 湖北 )如图，正方形 ABCD 的边长是 2，BE=CE ，MN=1，线段 MN 的两端在 CD 、AD 上滑动．当 DM= 时，△ ABE 与以 D 、M 、N 为项点的三角形相似。

MADN分析与解答 勾股定理可得 AE= 5．当△ ABE 与以 D 、M 、N 为项点的三角形相似时， DM 可以与 BE 是对应边，也可以与 AB B EC是对应边，所以本题分两种情况：（ 1） 当 DM 与 BE 是对应边时，DMMN ， ABAE即 DM1 , DM 5 1 55．（ 2）当 DM 与 AB 是对应边时，DM MN ，即 DM1,DM2 5 ABAE 2 55 故 DM 的长是 5 或 2 5 ． 5 5例题 12：（2011 湘潭）如图，直线 y=3x+3 交 x 轴于 A 点，交 y 轴于 B 点，过 A,B 两点的抛物线交 x 轴于另一点 C （3,0）.(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点 Q ，使三角形 ABQ 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的 Q 点坐标；若不存在，请说明理由。

说明 从以上各例可以看出，分灯思想在几何中的较为广泛．这类试题的解题思路是：对具有位置关系的几何图形，要有分类讨论的意识，在熟悉几何问题所需要的基础知识的前提下，正确应用分类思想方法，恰当地选择分类标准，是准确全面求解的根本保证．解析：（ 1）抛物线解析式的求法： 1，三点式； 2，顶点式（ h,k ）； 3，交点式。

BQA COAA易得：y a( x 1)( x 3)再结合点 B(0,3)在抛物线上yx 2 2x 3（ 2） 依题意得AB10，抛物线的对称轴为x=1,设 Q(1， y)1) 以 AQ 为底，则有 AB=QB, 及 1012 ( y 3)2 解得， y=0 或 y=6,又因为点（ 1,6）在直线 AB 上(舍去 )，所以此时存在一点Q(1,0)2) 以 BQ 为底，同理则有 AB=AQ, 解的 Q(1, 6 ) Q(1,6 )3) 以 AB 为底，同理则有 QA=QB, 存在点 Q(1,1).综上，共存在四个点分别为： (1,0)、(1,1)、(1, 6 ) 、(1,6 )- 4 -【作业训练】1．已知等腰△ ABC的周长为 18 ㎝，BC=8㎝．若△ ABC≌△ A′B′C′，则△A′B′C′中一定有一定有条边等于（）A．7㎝B．2㎝或7㎝C．5㎝D．2㎝或7㎝2.（2010 衡阳）若等腰三角形的两个角度的比是1:2，则这个三角形的顶角为（）度。

Ａ30Ｂ60Ｃ30或90Ｄ603． A 、B 两地相距 450 千米，甲、乙两车分别从 A 、B 两地同时出发，相向而行．已知甲车速度为 120 千米 /时，乙车速度为 80 千米 /时，以过t小时两车相距 50 千米，则t的值是（）A．2 或 2．5B．2 或 10C．10 或 12．5D．2 或 12．54．已知⊙ O的半径为 2，点 P是⊙ O外一点， OP的长为 3，那么以 P 这圆心，且与⊙ O相切的圆的半径一定是（）A．1 或 5B．1C．5D．不能确定5（.2011 株洲市）两圆的圆心距 d=5,他们的半径分别是一元二次方程x 25x 4 0的两根，判断这两圆的位置关系：.6．已知点Ｐ是半径为 2 的⊙Ｏ外一点， PA 是⊙ O的切线，切点为 A，且 PA=2，在⊙ O内作了长为 2 2 的弦AB，连续PB，则PB的长为7.（2010 四校联考）在等腰三角形 ABC 中， AB=AC, 一边上的中线 BD 将这个三角形的周长分为 15 和 12 两部分，则这个三角形的底边长为： .8:变换例题 12，请问是否在 x 轴，y 轴上存在点 P,使得 P,B,C 三点组成的图形为等腰三角形，请说明理由。

【参考答案】1． D 2 .C 3. A 4．A5．外切 6. 2或2 5 7.7或 11- 5 -。

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(完整word版)导数大题题型全面

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一、 分类讨论：分类讨论复杂影响定义域， 导是否有根，最高次项系数(开口方向) 例1.(大兴19)已知函数f(x) (22 m)X .x m(I)当m 1时，求曲线f (x)在点(1, f (1))处的切线方程； (n)求函数f(x)的单调区间.(2 m)(x 2m) (2 m)x 2x fW--- K (1 )当 m 0时，f(x)-.x因为f '(x)当 f'(x) 0 时，x 0,或x 0.所以函数f (x)的单调减区间为(，0),(0,)，无单调增区间(2) 当m 0时，f (x)的定义域为{xxm}.当 f'(x) 0时，x 、、 m 或.m x . m 或x 、. m ,所以函数f (x) 的单调减区间为(,j m ),( —, —),(~m, 单调增区间•(3) 当 m 0时，f'(x) (m 2)(x 2 而2x 扁).(x 2 m)2①当0 m 2时，若 f '(x) 0，则 x. m 或x . m ，(13分)解：(I)当 m 1 时，f(x)x x 2 1.因为f '(x)x 2 1 22-(x 1)所以k 所以函数f (x)在点1 1(訐(2))处的切线方程为12x 25y4(m 2)(x 2m) 2 2(x m))，无f'121 25 .因为f (2若f '(x) 0 ,贝y m x 、、m ,所以函数f(x)的单调减区间为(,,m),C，m,),函数f(X)的单调增区间为(、、m,、、m).②当m 2时，f (x) 0 ,为常数函数，无单调区间•③当m 2时，若f '(x) 0，贝U 、、m x .. m，若f '(x) 0 ,则x 、、m或x m ,所以函数f(x)的单调减区间为(,函数f(x)的单调增区间为(，.m),( . m,).综上所述，当m 0时，函数f (x)的单调减区间为(,0),(0,)，无单调增区间；当m 0时，函数f(x)的单调减区间为(，■-m),(、._m,, _m),(、~~m,)无单调增区间；当m 0时，①当0 m 2时，函数f (x)的单调减区间为(,x m),^ m,),函数f (x)的单调增区间为(•、一 m, •、_ m)；②当m 2时，f(x) 0 ,为常数函数，无单调区间；③当m 2时，函数f (x)的单调减区间为(、、m,-、m)，函数f(x)的单调增区间为(，吊),(、m, ) —13根与定义域，最值处需要比较例2. (2012年北京理科)已知函数f(x) ax2 1(a 0)，g(x) x3 bx -(i)若曲线y f (x)与曲线y g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线，求a, b的值;2(n )当a 4b时，求函数f(x) g(x)的单调区间，并求其在区间(-上的最大值解：(1 )由1, c为公共切点可得：2f (x) ax 1(a 0)，贝U f (x) 2 ax, K 2a ,3 2g(x) x bx，贝U f (x)=3x b , k2 3 b,2a 3 b ①又 f(1) a 1 , g(1) 1 b ,a 11 b ，即a b ，代入①式可得:(2) Q a 24b ,设 h(x) f(x)g(x) x 321 2 ax ax41 则 h (x) 3x 22ax 1 2a ，令 h (x)0，解得 a :x 1x ?a —;426Q a 0 ,aa26，原函数在a单调递增，在a-单调递减， 在a 上单调递增22， 66，①若1< a，即a < 2时，最大值为 h(1) a 2a” ,•24②若a 1 a 即2 a 6时， 最大值为 h -12 62③若1> 6时，即a >6时，最大值为h综上所述:当a 0,2时，最大值为h(1)2a ta；当 a 2 ,4时，最大值为h ?1•二、恒成立问题例3( 2014海淀一模)已知函数 f (x) xln x .(I )求 f(x)的单调区间；(n )当k 1时，求证：f (x) kx 1恒成立.(I )定义域为0,---------------------------------- 1分 f '(x) In x 1---------------------------------- 2分1令 f '(x) 0 ,得 x ----------------------------------- 3分f '(x)与f (x)的情况如下:分1 1所以f(X)的单调减区间为(0,—)，单调增区间为(―，)--------------------------- 6分e e(n )分离参数，证明1:1设g(x) ln x , x 0 ----------------------------- 7分X八1 1 X 1g(X) 2 2 ------------------------------------------- 8分X X Xg'(x)与g(X)的情况如下：所以g(x) g(1) 1，即1ln x 1在x 0时恒成立， ------------- 10 分x, 1 ,所以，当k 1时，ln x k，x所以xlnx 1 kx，即xlnx kx 1，X|k | B| 1 . c|O |m所以，当k 1时，有f (x) kx 1. -------------------- 13 分证明2：直接作差构造新函数令g(x) f (x) (kx 1) xlnx kx 1 ----------------------------- 7分g'(x) In x 1 k ----------------------------- 8分令g '(x) 0 ,得x e k 1------------------------------ 9 分g'(x)与g(x)的情况如下:2x)x证明：设g （x ）f(x)xe ^(xxX( 20)，则 g '(x)4x------------------- 10分g(x)的最小值为g(e k1) 1 e k 1--------------- 11分当 k 1 时，e k1 1，所以 1 e k1 0 故 g(x) 0----------------------- 12 分 即当 k 1 时，f(x) kx 1. ------------------------------ 13 分xe 例4.（ 2015海淀期末文科20题）已知函数f （x ） .x（I ）若曲线y f （x ）在点（x 。

如何解初中数学动点问题与分类讨论问题

如何解初中数学动点问题与分类讨论问题

如何解初中数学动点问题与分类讨论问题初中数学中，动点问题和分类讨论问题是常见的题型，这些问题需要学生灵活运用数学知识，进行推理和分类讨论。

在解动点问题和分类讨论问题时，学生需要注意问题中涉及的变量和条件，合理运用数学定理和方法来解决问题。

首先，让我们来看看动点问题。

动点问题是指随着时间的变化，某个点在平面上或空间中的运动情况。

例如，一个船从A港口出发，以一定的速度向B港口行驶，另一艘船以不同的速度从B港口出发，向A港口行驶，求两船相遇时的时间和位置等。

解决动点问题时，通常可以采用距离=速度×时间的公式，列出方程来解决问题。

同时，还需要根据问题的具体条件，灵活运用速度的概念，进行分析和推理，最终得出问题的答案。

另外，分类讨论问题是指根据问题的条件和要求，对问题进行分类讨论，找出共性和差异性，最终得出问题的答案。

例如，某班同学身高情况如下：身高小于150cm的有15人，身高在150cm-160cm之间的有25人，身高超过160cm的有20人，求身高在160cm及以下的同学所占的比例。

解决这类问题时，需要先根据条件对同学进行分类，然后分别计算每个类别的人数和所占比例，最终得出问题的答案。

接下来，我们以具体的例子来进行讨论。

首先让我们来解动点问题。

例1：两辆汽车分别从A、B两地同时开出，A地到B地的直线距离为60km。

第一辆汽车以每小时30km的速度向B地行驶，第二辆汽车每小时以40km的速度向A地行驶。

求两辆汽车相遇时的时间。

解析：假设两辆汽车相遇时的时间为t小时，则第一辆汽车行驶的距离为30t km，第二辆汽车行驶的距离为40t km。

根据题意，两辆汽车相遇时的距离为60km，因此可以列出方程30t+40t=60，解得t=1小时。

因此，两辆汽车相遇时的时间为1小时。

接着，我们来解一个分类讨论问题。

例2：有一批共计80个物品，其中有装有黑色糖果的袋子和装有白色糖果的袋子。

已知所有装有黑色糖果的袋子的总重量为160kg，所有装有白色糖果的袋子的总重量为120kg。

怎样解决初中数学分类讨论问题

怎样解决初中数学分类讨论问题

怎样解决初中数学分类讨论问题在数学问题中，如果一个命题的题设或结论不唯一确定，有多种可能情况，难以统一解答，就需要按可能出现的各种情况分门别类地加以讨论，最后综合归纳出问题的正确答案，这种解题方法叫做分类讨论法。

需要利用这种方法解决的问题就是分类讨论问题。

分类讨论问题是近年来中考命题的热点内容之一，这一类数学问题，往往具有较强的逻辑性、综合性和探索性，既能全面考查同学们的数学知识又能考查同学们的思维能力。

通过加强数学分类讨论问题的求解训练，对提高同学们的综合学习能力会有很大帮助，同时有利于培养同学们严谨、求实的学习态度，培养同学们思维的条理性、缜密性、科学性，提高同学们对学习数学的兴趣，并且这种优良的思维品质对同学们以后的学习生活也会有深刻和久远的影响。

那么，怎样才能熟练解决初中数学分类讨论问题呢？一、解分类讨论题的方法及步骤解决分类讨论问题的一般方法及步骤是：（1）根据题设条件及设计的解题过程确定是否需要分类讨论，从而确定分类对象，然后确定分类标准。

（2）在确定讨论对象后，针对这些对象实施分类讨论，对比较复杂的问题，还要进行逐级分类。

（3）对讨论的结果进行归纳、合并，综合得出结论。

具体流程是：明确讨论的对象和动机→确定分类→逐类进行讨论→归纳综合结论→检验分类是否完备。

二、解决初中数学分类讨论问题应注意的问题首先要明确分类讨论的动因与讨论的方法，引起分类讨论的因素较多，归纳起来主要有以下几个方面：（1）由于数学概念、性质、定理、公式的限制条件引起的讨论，有些概念、性质、公式本身就是分类给出的，运用时应按规定分类，再按常规方法求解；（2）由数学变形所需要的限制条件所引起的分类讨论；（3）由于图形的不确定性引起的讨论；（4）由于问题中含有的参变量的不同取值会导致不同结果而需要对其进行分类讨论。

其次，分类时要条理分明，做到分类讨论既不重复也无遗漏。

这是解答初中数学分类讨论问题的基本原则。

也就是说在分类讨论中，要科学合理地分类，分类时须遵循三个原则，即同标准，无遗漏，不重复，就是必须按照同一个标准进行分类，切不可开始时按这个标准分类，后面就按另一个标准分类了，并且要做到分类时既不重复，也无遗漏，考虑到所有可能的情况。

分类讨论思想

分类讨论思想

初中数学分类讨论思想全国各地每年中考数学试题都离不开考查分类讨论的思想，分类讨论思想是在解决问题出现不确定性时的有效方法。

比如线段及端点的不确定；角的一边不确定；三角形形状不确定；等腰三角形腰或顶角不确定；直角三角形斜边不确定；相似三角形对应角（边）不确定等，都需要我们正确地运用分类讨论的思想进行解决。

分类讨论思想不仅可以使我们有效地解决一些问题，同时还可以培养我们的观察能力和全面数学思维能力。

学生能够自觉合理的运用分类讨论的思想解决相应数学冋题，掌握分类讨论数学思想方法这个锐利武器，提高学生的综合运用的能力和良好的思维品质。

1.分类讨论思想含义数学问题比较复杂时，有时可以分解成若干小问题或一系列步骤进行分类并分别加以讨论的方法，我们称为分类讨论法或分类讨论思想。

2.分类讨论一般应遵循以下原则（1）对问题中的某些条件进行分类要遵循同一标准。

（2）分类要完整，不重复，不遗漏。

（3）有时分类并不是一次完成，还需进行逐级分类，对于不同级的分类，其分类标准不一定统一。

3.需要分类讨论的试题基本类型及其要求（1）考查数学概念及定义的分类。

熟练掌握数学中的概念及定义，其中以绝对值、方程及根的定义，函数的定义尤为重要，必须明确讨论对象及原因，进而确定其存在的条件和标准。

（2）考查字母的取值情况或范围的分类。

此类问题通常在函数中体现颇多，考查自变量的取值范围的分类，解题中应十分注意性质、定理的使用条件及范围.（3）考查图形的位置关系或形状的分类。

熟知直角三角形的直角，等腰三角形的腰与角以及圆的对称性，根据图形的特殊性质，找准讨论对象，逐一解决.（4）考查图形的对应关系可能情况的分类。

图形的对应关系多涉及到三角形的全等或相似问题，对其中可能出现的有关角、边的可能对应情况加以分类讨论.4.初中数学涉及分类讨论的常见问题（1）绝对值中的分类讨论，（2）应用题中的方案类型，（3）概率统计中的分类讨论，（4）分式方程无解的分类讨论问题（5）一元二次方程系数的分类讨论问题（6）三角形的形状不定需要分类讨论（7）等腰三角形的分类讨论（8）相似三角形的对应角(或边)不确定而进行的分类（9）常见平面问题中动点问题的分类讨论（10）组合图形（一次函数、二次函数与平面图形等组合）中动点问题的分类。