初中数学——分类讨论思想(初二)

浅谈初中数学分类讨论思想在解题中的应用摘要：在初中数学解题中，分类讨论不仅是一种非常重要的数学思想，而且它还也是一种非常有效的解题策略，其主要体现在“集零为整，化整为零”思想和归类整理思想这两个部分。

在初中数学教学中，如果教师在进行初中数学的教学时，对分类讨论思想加以运用，可以使学生对数学知识有更加深入的认识和理解，同时它能够进一步的培养学生的思维能力。

本文主要是对分类讨论在初中数学解题的应用进行探讨。

关键词：分类讨论思想初中数学教学应用俗话说的好，“数学是思维的体操”，要想进行数学学习，就一定是离不开思维运用，在对数学进行每一步探索，都是需要思维来完成。

因此，在初中的数学教学中，教师要对学生慢慢的进行数学思想方法的渗透，使学生的思维能力得到进一步的提升，使其能够形成一个良好的数学思维习惯，这样不仅符合了新课改的新要求，而且其还是实施数学素质教育的一个很好的切入点。

一、分类讨论思想在初中数学解题中的重要作用简单的来说，分类讨论起本质上就是一种逻辑上划分的思维方式。

其在教学中的具体表现为对题目“化整为零”，一个一个的进行逐步击破，这样的就实现了积零为整的教学方式。

在目前，分类讨论思想已经成为一种非常重要的数学思想，其在我国数学教学中得到了广泛的应用。

它不仅只是一种独特的数学逻辑方法，而且在进行数学知识教学时其更是一种有效的解题策略。

由于分类讨论在对不同的问题进行综合考虑时，其在逻辑上具有优势，特别是在培养学生的学习能力以及提升学生的思维严谨性有很好的促进作用。

在对数学题进行解答时，如果因为题目的题意中存在着一些不确定因素，进而导致无法解答出来，这样的情况下，就可以将题目分为若干个小问题，对其进行分类讨论，使相对复杂的问题变得简单化，方便对其进行解答。

二、分类讨论思想在初中数学解题的应用1.在不等式中的运用不等式在初中数学中是一种比较基础和普遍的内容。

因为不等式要涉及到绝对值，所以就要进行转换符号，同时一个不等式可能会存在不止一个绝对值问题，遇到这样的情况，学生往往会变得无所适从，这也就影响着学生的学习成绩的提升，运用分类谈论思想，就能够对不等式进行很好的解答。

分类讨论思想在初中数学解题教学中的运用探究一、分类讨论思想的基本概念分类讨论思想是指将问题或事物按某种特定的标准进行分类，然后依次讨论各个类别中的具体内容，最后综合分类的结果来得出结论的一种思维方法。

在数学解题中，分类讨论思想常常用于分析不同情况下的解题方法，进而得出最终的解题结论。

在解决一个较为复杂的数学问题时，我们可以先将问题进行分类，然后分别讨论各个类别中的解题方法，最后再将各个类别的解题结果进行合并，得出最终的解题结论。

1. 引导学生灵活分类在初中数学解题教学中，教师可以通过引导学生灵活分类来启发学生的思维，帮助他们更好地理解和掌握解题方法。

在解决“集合”的问题时，教师可以要求学生根据不同的条件将集合进行分类，然后分别讨论各个分类的特点和解题方法，最后再将各个分类的解题结果进行总结。

通过这种方式，学生可以更加清晰地理解集合的概念和解题方法，从而提高他们的解题能力。

2. 激发学生的探究兴趣3. 提高学生的综合分析能力4. 培养学生的逻辑思维能力三、思考与建议分类讨论思想在初中数学解题教学中的运用，为提高学生的解题能力和思维能力提供了有益的启示。

在实际教学中，教师们还需要注意以下几点：1. 灵活运用分类讨论思想在初中数学解题教学中，教师需要根据具体的教学内容和学生的实际情况，灵活运用分类讨论思想来解决数学问题。

只有灵活运用分类讨论思想，才能更好地激发学生的学习兴趣，提高他们的解题能力。

2. 注重引导学生分析问题3. 多种方式引导学生实践分类讨论思想在初中数学解题教学中的运用，有助于提高学生的解题能力和思维能力。

教师们需要灵活运用分类讨论思想，注重引导学生分析问题，通过多种方式引导学生实践，从而更好地提高学生的解题能力和思维能力。

相信随着教师们不断的探索和实践，分类讨论思想的应用将会为初中数学解题教学带来新的活力和效果。

初中数学思想方法之分类讨论数学是一门既抽象又具体的学科，它需要学生具备一定的思维方法和思想能力。

在初中数学中，分类讨论是一种常用的思想方法，它可以帮助学生分析问题、归纳规律并解决问题。

本文将详细介绍初中数学中分类讨论的基本思想和具体步骤，并通过例题来说明如何运用这种方法。

一、分类讨论的基本思想分类讨论是指将问题进行细化，将其分解成几个易于分析和解决的小问题，并分别进行讨论和解决。

通过这种方法可以更好地理解问题的本质，找到解题的关键点，并最终得到问题的解决办法。

分类讨论的基本思想包括以下几点：1.具体问题具体分析。

将问题进行细化后，每个小问题都有其独特的特点和解决思路，需要根据具体情况展开分析。

2.归纳总结。

在分析过程中，要总结出各个小问题之间的共同点和规律，以便更好地理解问题，并找到解决办法。

3.统一思考。

将各个小问题的解决办法进行归纳和整合，形成对大问题的解决思路。

二、分类讨论的具体步骤分类讨论的具体步骤可以简单概括为以下几点：1.理解问题。

仔细阅读题目，了解问题的背景和要求，确定需要解决的具体问题。

2.分析问题。

将大问题分解成几个小问题，每个小问题都有明确的目标和限制条件。

在分析过程中，可以通过画图、列举数据等方式进行辅助分析。

3.解决小问题。

按照特定的思路和方法，分别解决各个小问题。

在解决过程中，可以运用已经学过的数学知识、规律和公式。

4.总结归纳。

在解决小问题的过程中，要总结各个小问题之间的共同点和规律，归纳出解决大问题的关键思路和方法。

5.整合答案。

将各个小问题的解答整合成对大问题的解答。

在整合过程中，要仔细检查各个小问题的解答是否符合大问题的要求，并进行必要的修正和调整。

三、分类讨论的具体例题下面以一些常见的初中数学题目为例，说明如何运用分类讨论的方法解决问题。

例题1：现有一些白球和红球，共18个。

白球的个数不超过红球的个数。

问，最少有多少个红球？解题思路：根据题目要求和条件，可以将问题进行分类讨论。

初中数学分类讨论思想_浅析分类讨论思想在初中数学中的应用所谓分类讨论思想是指在解决某些数学问题时，其解决过程包括多种情形，不可一概而论，难以用统一的形式或同一种方法进行处理，需要根据所研究的对象在性质上存在的差别，按一定标准把原问题分为几个不同的种类，并对每一类逐一地加以分析和讨论，再把每一类结果和结论进行汇总，最终使得整个问题在总体上得到解决。

一、分类讨论思想在方程中的应用例：关于某的方程（m-2）某2-2某+1=0有实根，求m的取值范围。

解：①当m-2=0即m=2时，方程-2某+1=0有一个根为某=；②当m-2≠0即m≠2时，方程为一元二次方程。

且当b2-4ac=-4m+12≥0即m≤3时，原方程有两个实数根综上所述，当m≤3时，方程（m-2）某2-2某+1=0有实根。

二、分类讨论思想在特殊三角形中的应用例：已知四边形ABCD中，△ABC是边长为2的等边三角形，△ACD是一个含30°角的直角三角形且D在△ABC的外部，求四边形ABCD的对角线BD的长。

解：①以点A为直角顶点，点D为30°角顶点，或点C为直角顶点，点D为30°角顶点。

在△ACD中，∠CAD=90°，∠ADC=30°，AC=2∴AD=2√3。

过点D作DE⊥BA的延长线于E，∵∠BAC=60°，∠CAD=90°∴∠DAE=30°在△ADE中，∠AED=90°，∠DAE=30°AD=2√3∴DE=√3，AE=3，∴BE=5，∵DB2=DE2+BE2，∴BD=2√7。

②点C为直角顶点，点A为30°角顶点或点A为直角顶点，点C为30°角顶点，在△ACD中，∠ACD=90°，∠CAD=30°，AC=2∴AD=√3∵∠BAC=60°，∠CAD=30°∴∠BAD=90°∴DB2=AB2+AD2∵AB=2，AD=√3∴BD=√21。

初中数学分类讨论思想全国各地每年中考数学试题都离不开考查分类讨论的思想，分类讨论思想是在解决问题出现不确定性时的有效方法。

比如线段及端点的不确定；角的一边不确定；三角形形状不确定；等腰三角形腰或顶角不确定；直角三角形斜边不确定；相似三角形对应角（边）不确定等，都需要我们正确地运用分类讨论的思想进行解决。

分类讨论思想不仅可以使我们有效地解决一些问题，同时还可以培养我们的观察能力和全面数学思维能力。

学生能够自觉合理的运用分类讨论的思想解决相应数学冋题，掌握分类讨论数学思想方法这个锐利武器，提高学生的综合运用的能力和良好的思维品质。

1.分类讨论思想含义数学问题比较复杂时，有时可以分解成若干小问题或一系列步骤进行分类并分别加以讨论的方法，我们称为分类讨论法或分类讨论思想。

2.分类讨论一般应遵循以下原则（1）对问题中的某些条件进行分类要遵循同一标准。

（2）分类要完整，不重复，不遗漏。

（3）有时分类并不是一次完成，还需进行逐级分类，对于不同级的分类，其分类标准不一定统一。

3.需要分类讨论的试题基本类型及其要求（1）考查数学概念及定义的分类。

熟练掌握数学中的概念及定义，其中以绝对值、方程及根的定义，函数的定义尤为重要，必须明确讨论对象及原因，进而确定其存在的条件和标准。

（2）考查字母的取值情况或范围的分类。

此类问题通常在函数中体现颇多，考查自变量的取值范围的分类，解题中应十分注意性质、定理的使用条件及范围.（3）考查图形的位置关系或形状的分类。

熟知直角三角形的直角，等腰三角形的腰与角以及圆的对称性，根据图形的特殊性质，找准讨论对象，逐一解决.（4）考查图形的对应关系可能情况的分类。

图形的对应关系多涉及到三角形的全等或相似问题，对其中可能出现的有关角、边的可能对应情况加以分类讨论.4.初中数学涉及分类讨论的常见问题（1）绝对值中的分类讨论，（2）应用题中的方案类型，（3）概率统计中的分类讨论，（4）分式方程无解的分类讨论问题（5）一元二次方程系数的分类讨论问题（6）三角形的形状不定需要分类讨论（7）等腰三角形的分类讨论（8）相似三角形的对应角(或边)不确定而进行的分类（9）常见平面问题中动点问题的分类讨论（10）组合图形（一次函数、二次函数与平面图形等组合）中动点问题的分类。

新梦想教育中高考名校冲刺教育中心【老师寄语：每天进步一点点，做最好的自己】解题思想之分类讨论一、注解：分类讨论思想又称为逻辑划分，是中学数学最常用的数学思想方法之一，也是中考数学中经常出现的数学思想。

分类讨论就是依据一定的标准，对问题进行分类，求解，然后综合出问题的答案。

当被研究的问题包含多种可能情况，不能一概而论时，必须按照可能出现的情况进行分类，分别讨论，得出各种不同情况下的相应结论。

分类原则：分类的对象是明确的；标准是统一的，不遗漏、不重复、分层次；不越级讨论。

分类方法：明确讨论的对象，确定对象的全体，然后确立分类标准，正确进行分类；逐步进行讨论，获取阶段性结果；归纳总结，综合得出结论。

二、实例运用：1.在实数中的运用【例1】若1a =，4b =且a b ＜0，则a+b= 【例2】若2m-4与3m-1是同一个数的平方根，求m 。

2. 在代数式中的运用 【例3】若实数x 满足22110x x x x +++=，求1x x+的值。

【例4】分式22943x x x --+的值为0，则x= （ ）A 3B 3或-3C -3D 03. 在方程（组）中的运用【例5】已知关于x 的方程ax 2+2x-1=0有实根，求a 的取值范围。

【例6】黄金周期间，某商场购物有如下优惠方案：（1）一次性购物在100元内（不含100元）时，不享受优惠；（2）100元到300元（不含300元）时，一律享受9折优惠；（3）300元以上时，享受8折优惠。

张伟在本商场分两次购物，分别付款80元和252元。

如果改为在该商场一次性购买，需要支付多少钱？4.在不等式中的运用【例7】国家规定个人发表文章，出版图书获得稿费的纳税计算办法是：（1）稿费不高于800元的，不纳税；（2）稿费高于800元，不高于4000元的，缴纳超过800那部分的14%；（3）稿费高于4000元的，应缴纳全部稿费的12%。

已知某作家获得一笔稿费，并交纳个人所得税a元（a＞0），求这笔稿费有多少元。

浅谈数学中的分类讨论思想在中学数学中，分类讨论的数学思想是颇为常见的．用代数语言表述事物具有一般性．通常用一个字母表示实数时，如果没有特殊规定，该字母可以是正数，可以是零，还可以是负数．当含有字母的式子用来表示几何关系时，就可能出现不同的情况．因此，分类讨论是不可避免的．分类是在题目部分条件缺失或不明确的情况下，按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法．掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解，提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．分类是根据对象的相同点和差异点将对象区分为不同类的逻辑方法．分类也叫划分．分类是以比较为基础的，通过比较认识对象之间的异同，根据相同点将对象归纳为较大的类，根据差异点将对象划分为较小的类，从而将对象区分为具有一定从属关系的不同等级的系统．分类的目的在于使知识合理化，进而系统化．分类具有不可缺少的三要素：母项、子项和根据．母项是被划分的总概念，子项是划分后的类概念，划分的根据就借以划分为标准．分类的标准在于根据对象本身的某种属性和关系来进行划分．由于客观事物有多方面的属性，事物之间有多方面的联系，因此，分类的标准也是多方面的，可根据不同的需要采用不同的分类标准，对事物进行不同的分类．但每一次分类应按照同一标准进行，所取的标准应服从于研究的目的或观察问题的角度．任何分类必须遵循以下原则，只有这样，才能在分类过程中防止出现遗漏、重复或者混淆不清的现象．1．分类具有同一标准性．在分类前，应当从被分类的概念属性中，取一个属性作为依据，这与其说是原则不如说是方法．它有两层意思：一是判断概念应放在哪一类的衡量尺度；二是对两个不同的概念要用同一尺度衡量，否则就会出现划分的结果重叠或过宽的逻辑错误，使划分后的结果混淆不清．2．分类具有完备性．分类所得各子项外延之和必须与被分类的目项的外延相等．从量方面要求一个都不能丢掉．从集合观念看，被分类概念的外延应被分类所得各属概念的外延覆盖，各属概念的并集等于被分概念外延的全集，否则会出现过宽或过窄的逻辑错误．2．分类具有纯粹性．分类所得的各子项必须互相排斥，划分的子项概念的外延之间是不相容的关系．从集合的角度看，被分成的任何两类之间的不相交，即无共同元素，每一类元素之间满足一个标准或关系，不满足该标准或关系的不能属于同一类，即各属概念外延之交集为空集．如把平行四边形分为矩形、菱形和正方形，就不仅违反了第二个原则，而且也犯了“交叉”和“从属”的毛病．所谓分类是根据对象的相同点和差异将对象区分为不同种类的逻辑方法．分类也叫划分．分类是以比较为基础的，通过比较识别对象之间的异同，根据相同点将对象归为较大的类，根据差异将对象划分为较小的类，从而将对象区分为具有一定从属关系的不同等级系统．分类讨论的目的在于使知识组成条理化、系统化．而分类的标准是母项、子项和根据．母项是被划分的种概念，子项是划分后得到的类概念，划分的根据就是借以划分的标准．分类讨论的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行用分类讨论思想解题的一般步骤：（1）确定分类讨论的对象．（2）进行合理的分类讨论．（3）逐步逐级分类讨论．（4）综合归纳结论．分类讨论的常规方法：（1）依据数学公式、原则、法则的适用范围进行．如等比数列求和公式．（2）根据数学概念的定义进行分类．如绝对值、直线与平面所成的角等．（3）根据数形结合分类．如集合的交、并、补用数轴讨论．（4）依据位置关系进行分论．如几何中点与点，点与线，面与面等位置关系．（5）依据数学性质进行分类．如偶次算术根的性质，二次函数、幂函数的性质．（6）依据参数的变化范围进行分类．（7）依据整数的奇偶性进行分类．在中学数学教学中，利用分类的方法处理问题的情况主要有：(1)给概念下定义和对概念进行归纳总结．关于绝对值的概念，可以有这样一种定义方式：（２）定理、结论的论证求解过程及结论的表现形式．在现行的初中数学课本中，关于圆周角和圆心角的关系定理“同弧上的圆周角等于圆心角的度数的一半”的证明就采用了圆心与圆周角的关系的不同情况来分类的．同样，在中学数学的解题教学中，无论是计算题、作图题还是论证题等，运用分类的思想方法可以帮助学生进行全面严谨的思考、分析、讨论和论证，从而获得合理的解题思路和方法．（３）对已有结论进行推广．此外，我们还可以在已有结论的范围基础上，对尚未讨论的情况进行探究，从而达到对结论的扩展和推广．如，在有了关于二次、三次方程的根式解以后，按照方程的次数分类，就会想到四次、五次等方程的解的问题而得到新的理论．再如，若我们已经推导出了圆台（或棱台）中截面的面积公式，那么，我们可以进一步推导其它位置的截面的面积公式．运用分类讨论思想可以解决许多数学问题．一、代数（一）数、式。