江苏省苏北三市2019届高三模拟考试数学试卷(带答案)

2019届高三模拟考试试卷

数 学

(满分160分，考试时间120分钟)

2019.1

参考公式：样本数据x1，x2，…，xn的方差

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.

1. 已知集合A＝{0，1，2，3}，B＝{x|0

2. 已知复数z＝(2－i)2(i是虚数单位)，则z的模为 Ｗ.

3. 已知一组样本数据5，4，x，3，6的平均数为5，则该组数据的方差为 Ｗ.

4. 运行如图所示的伪代码，则输出的结果S为 Ｗ.

I←1

While I<8

I←I＋2

S←2I＋3

End While

Print S

(第4题)

5. 若从2，3，6三个数中任取一个数记为a，再从剩余的两个数中任取一个数记为b，则“ab是整数”的概率为 Ｗ.

6. 若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点与双曲线x2－y23＝1的右焦点重合，则实数p的值为

Ｗ.

7. 在等差数列{an}中，若a5＝12，8a6＋2a4＝a2，则{an}的前6项和S6的值为 Ｗ.

8. 已知正四棱锥的底面边长为23，高为1，则该正四棱锥的侧面积为 Ｗ.

9. 已知a，b∈R，函数f(x)＝(x－2)(ax＋b)为偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，则关于x的不等式f(2－x)>0的解集为 Ｗ.

10. 已知a>0，b>0，且a＋3b＝1b－1a，则b的最大值为 Ｗ.

11. 将函数f(x)＝sin 2x的图象向右平移π6个单位长度得到函数g(x)的图象，则以函数f(x)与g(x)的图象的相邻三个交点为顶点的三角形的面积为 Ｗ.

12. 在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝60°，P为△ABC所在平面内一点，满足CP→＝32PB→＋2PA→，则CP→·AB→的值为 Ｗ.

13. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：x2＋y2＋2mx－(4m＋6)y－4＝0(m∈R)与以C2(－2，3)为圆心的圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，且满足x21－x22＝y22－y21，则实数m的值为 Ｗ.

14. 已知x>0，y>0，z>0，且x＋3y＋z＝6，则x3＋y2＋3z的最小值为 Ｗ.

二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

15. (本小题满分14分) 在△ABC中，sin A＝23，A∈(π2，π).

(1) 求sin 2A的值；

(2) 若sin B＝13，求cos C的值.

16. (本小题满分14分)

如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E，F分别是B1C1，AB，AA1的中点.

(1) 求证：EF∥平面A1BD；

(2) 若A1B1＝A1C1，求证：平面A1BD⊥平面BB1C1C.

17. (本小题满分14分)

如图，某公园内有两条道路AB，AP，现计划在AP上选择一点C，新建道路BC，并把△ABC所在的区域改造成绿化区域.已知∠BAC＝π6，AB＝2 km.

(1) 若绿化区域△ABC的面积为1 km2，求道路BC的长度；

(2) 若绿化区域△ABC改造成本为10万元/km2，新建道路BC成本为10万元/km.设∠ABC＝θ(0

18. (本小题满分16分)

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为22，且右焦点到右准线l的距离为1.过x轴上一点M(m，0)(m为常数，且m∈(0，2))的直线与椭圆C交于A，B两点，与l交于点P，D是弦AB的中点，直线OD与l交于点Q.

(1) 求椭圆C的标准方程；

(2) 试判断以PQ为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.

19. (本小题满分16分)

已知函数f(x)＝(x－a)ln x(a∈R).

(1) 若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的方程；

(2) 若对于任意的正数x，f(x)≥0恒成立，求实数a的值；

(3) 若函数f(x)存在两个极值点，求实数a的取值范围.

20. (本小题满分16分)

已知数列{an}满足对任意的n∈N*，都有an(qnan－1)＋2qnanan＋1＝an＋1(1－qnan＋1)，且an＋1＋an≠0，其中a1＝2，q≠0.记Tn＝a1＋qa2＋q2a3＋…＋qn－1an.

(1) 若q＝1，求T2 019的值；

(2) 设数列{bn}满足bn＝(1＋q)Tn－qnan.

①求数列{bn}的通项公式；

②若数列{cn}满足c1＝1，且当n≥2时，cn＝2bn－1－1，是否存在正整数k，t，使c1，ck－c1，ct－ck成等比数列？若存在，求出所有k，t的值；若不存在，请说明理由.

2019届高三模拟考试试卷

数学附加题

(满分40分，考试时间30分钟)

21. 【选做题】在A，B，C三小题中只能选做2题，每小题10分，共20分.若多做，则按作答的前两题计分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

A. (选修42：矩阵与变换)

已知矩阵A＝0123，B＝2018，求A－1B.

B. (选修44：坐标系与参数方程)

在极坐标系中，曲线C：ρ＝2cos θ.以极点为坐标原点，极轴为x轴非负半轴建立平面直角坐标系xOy，设过点A(3，0)的直线l与曲线C有且只有一个公共点，求直线l的斜率.

C. (选修45：不等式选讲)

已知函数f(x)＝|x－1|.

(1) 解不等式f(x－1)＋f(x＋3)≥6；

(2) 若|a|<1，|b|<1，且a≠0，求证：f(ab)>|a|f(ba).

【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

22. 如图，在三棱锥DABC中，DA⊥平面ABC，∠CAB＝90°，且AC＝AD＝1，AB＝2，E为BD的中点.

(1) 求异面直线AE与BC所成角的余弦值；

(2) 求二面角ACEB的余弦值.

23. 已知数列{an}满足a1＝13，an＋1＝－2a2n＋2an，n∈N*.

(1) 用数学归纳法证明：an∈(0，12)；

(2) 令bn＝12－an，求证：

2019届高三模拟考试试卷(五)(苏北三市)

数学参考答案及评分标准

1. {1，2} 2. 5 3. 2 4. 21 5. 13 6. 4 7. 152 8. 83 9. (0，4) 10. 13 11. 3π2

12. －1 13. －6 14. 374

15. 解：(1) 由sin A＝23，A∈(π2，π)，则cos A＝－1－sin 2A＝－1－（23）2＝－53，(2分)

所以sin 2A＝2sin Acos A＝2×23×(－53)＝－459.(6分)

(2) 由A∈(π2，π)，则B为锐角.

又sin B＝13，所以cos B＝1－sin 2B＝1－（13）2＝223，(8分)

所以cos C＝－cos (A＋B)＝－(cos Acos B－sin Asin B)(12分)

＝－(－53×223－23×13)＝210＋29.(14分)

16. 证明：(1) 因为E，F分别是AB，AA1的中点，所以EF∥A1B.(3分)

因为EF⊄平面A1BD，A1B⊂平面A1BD，

所以EF∥平面A1BD.(6分)

(2) 在直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1⊥平面A1B1C1.

因为A1D⊂平面A1B1C1，所以BB1⊥A1D. (8分)

因为A1B1＝A1C1，且D是B1C1的中点，

所以A1D⊥B1C1.(10分)

因为BB1∩B1C1＝B1，B1C1，BB1⊂平面BB1C1C，

所以A1D⊥平面BB1C1C.(12分)

因为A1D⊂平面A1BD，

所以平面A1BD⊥平面BB1C1C. (14分)

17. 解：(1) 在△ABC中，已知∠BAC＝π6，AB＝2 km，

所以△ABC的面积S＝12×AB×AC×sin π6＝1，解得AC＝2.(2分)

在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2×AB×AC×cos π6

＝22＋22－2×2×2×cos π6＝8－43，(4分)

所以BC＝8－43＝6－2(km).(5分)

(2) 由∠ABC＝θ，则∠ACB＝π－(θ＋π6)， 0

在△ABC中，∠BAC＝π6，AB＝2 km，由正弦定理得ACsin B＝BCsin A＝ABsin C，

所以BC＝1sin（θ＋π6），AC＝2sin θsin（θ＋π6）.(7分)

记该计划所需费用为F(θ)， 则F(θ)＝12×2sin θsin（θ＋π6）×2×12×10＋1sin（θ＋π6）×10＝10（sin θ＋1）sin（θ＋π6）(0

令f(θ)＝sin θ＋132sin θ＋12cosθ，则f′(θ)＝sin（θ－π3）＋12（32sin θ＋12cos

θ）2.(11分)

由f′(θ)＝0，得θ＝π6.

所以当θ∈(0，π6)时，f′(θ)<0，f(θ)单调递减；

当θ∈(π6，2π3)时，f′(θ)>0，f(θ)单调递增.(12分)

所以当θ＝π6时，该计划所需费用最小.

答：当θ＝π6时，该计划所需总费用最小.(14分)

18. 解：(1) 设椭圆的右焦点为(c，0)，由题意，得ca＝22，a2c－c＝1，解得a＝2，c＝1，

所以a2＝2，b2＝1，所以椭圆C的标准方程为x22＋y2＝1.(4分)

(2) 由题意，当直线AB的斜率不存在或为零时显然不符合题意.

设AB的斜率为k，则直线AB的方程为y＝k(x－m).

又准线方程为x＝2，

所以点P的坐标为P(2，k(2－m)).(6分)

由y＝k（x－m），x2＋2y2＝2，得x2＋2k2(x－m)2＝2，

即(1＋2k2)x2－4k2mx＋2k2m2－2＝0，

所以xD＝12·4k2m2k2＋1＝2k2m2k2＋1，yD＝k(2k2m2k2＋1－m)＝－km2k2＋1，(8分)

所以kOD＝－12k，从而直线OD的方程为y＝－12kx，

所以点Q的坐标为Q(2，－1k)，(10分)

所以以PQ为直径的圆的方程为(x－2)2＋[y－k(2－m)](y＋1k)＝0，

即x2－4x＋2＋m＋y2－[k(2－m)－1k]y＝0.(14分)

因为该式对∀k≠0恒成立，所以y＝0，x2－4x＋2＋m＋y2＝0，解得x＝2±2－m，y＝0.

所以以PQ为直径的圆经过定点(2±2－m，0).(16分)

19. 解：(1) 因为f(x)＝(x－a)ln x(a∈R)，所以当a＝1时，f(x)＝(x－1)ln x，

则f′(x)＝ln x＋1－1x.(1分)

当x＝1时，f(1)＝0，f′(1)＝0，