树状图和列表法

九年级概率初步（列表法树形图专项训练）

25.2⽤列举法求概率

例1.学校组织春游，安排给九年级3辆车，⼩明与⼩华都可以从这三辆车中任选⼀辆搭乘，求⼩明与⼩华同车的概率。1.两个布袋中分别装有除颜⾊外，其他都相同的2个⽩球，1个⿊球，同时从这两个布袋中摸出⼀个球，请⽤列表法表⽰出可能出现的情况，并求出摸出的球颜⾊相同的概率.2.四张⼤⼩、质地均相同的卡⽚上分别标有数字1,2,3,4,现将标有数字的⼀⾯朝下扣在桌⼦上,从中随机抽取⼀张(不放回),再从桌⼦上剩下的3张中随机抽取第⼆张.(1)⽤列表法,列出前后两次抽得的卡⽚上所标有数字的所有可能情况;

(2)计算抽得的两张卡⽚上的数字之积为奇数的概率是多少?

3.某校⼋年级将举⾏班级乒乓球对抗赛，每个班必须选派出⼀对男⼥混合双打选⼿参赛.⼋年级⼀班准备在⼩娟、⼩敏、⼩华三名⼥选⼿和⼩明、⼩强两名男选⼿中，选男、⼥选⼿各⼀名组成⼀对参赛，⼀共能够组成哪⼏对？如果⼩敏和⼩强的组合是最强组合，那么采⽤随机抽签的办法，恰好选出⼩敏和⼩强参赛的概率是多少？4.⼩明和⼩刚⽤如图的两个转盘做游戏，游戏规则如下：分别旋转两个转盘，当两个转盘所转到的数字之积为奇数时，⼩明得2分；当所转到的数字之积为偶数时，⼩刚得1分.这个游戏对双⽅公平吗？若公平，说明理由;若不公平，如何修改规则才能使游戏对双⽅公平？

5.如图是从⼀副扑克牌中取出的两组牌,分别是⿊桃2、3、4和⽅块2、3、4,将它们背⾯朝上分别重新洗牌后,从两组牌中各摸出⼀张,那么摸出的两张牌的牌⾯数字之和等于5的概率是多少?请你⽤列表或画树状图加以分析说明.

６．妞妞和她的爸爸玩“锤⼦、剪⼑、布”游戏．每次⽤⼀只⼿可以出锤⼦、剪⼑、布三种⼿势之⼀，规则是锤⼦赢剪⼑、剪⼑赢布、布赢锤⼦，若两⼈出相同⼿势，则算打平．(1)你帮妞妞算算爸爸出“锤⼦”⼿势的概率是多少?

(2)妞妞决定这次出“布”⼿势，妞妞赢的概率有多⼤?

(3)妞妞和爸爸出相同⼿势的概率是多少?７．⼀个不透明的袋⼦中装有三个完全相同的⼩球，分别标有数字3、4、5．从袋⼦中随机取出⼀个⼩球，⽤⼩球上的数字作为⼗位上的数字，然后放回；再取出⼀个⼩球，⽤⼩球上的数字作为个位上的数字，这样组成⼀个两位数．试问：按这种⽅法能组成哪些两位数？⼗位上的数字与个位上的数字之和为9的两位数的概率是多少？⽤列表法或画树状图法加以说明．

用列表法或画树状图法求概率（放回、不放回）

【方法】使用列表法或画树状图法求概率时，首先要通过列表或画树状图列出所有可能出现的结果数n,然后找出符合事件A出现的结果数m,用公式求出nmAP)(即得所求事件的概率。

【出错点】求m或n的值。

【分类】放回、不放回

（一）明确写出放回、不放回类型

例1：(2018·威海中考)一个不透明的盒子中放入四张卡片，每张卡片上都写有一个数字，分别是-2,-1,0,1.卡片除数字不同外其他均相同，从中随机抽取两张卡片，抽取的两张卡片上数字之积为负数的概率是？

例2：一个不透明的盒子中放入四张卡片，每张卡片上都写有一个数字，分别是-2,-1,0,1.卡片除数字不同外其他均相同，从中随机抽取一张卡片后放回再抽取的一张卡片上数字之积为负数的概率是？

（二）隐含放回、不放回类型

例3：选人（不放回）（2019济南）在调查问卷中，甲、乙、丙、丁四位同学选择了“戏剧”类，现从中任意选出2名同学参加学校的戏剧社团，请用画树状图或列表的方法，求选取的2人恰好是乙和丙的概率。

例4：选课（放回）(2016济南中考)某学校在八年级开设了数学史、诗词赏析、陶艺三门校本课程，若小波和小容两名同学每人随机选择其中一门课程，则小波和小睿选到同一课程的概率是？

教材探析　

概率问题是中考中的热点问题，与概率有关的　题目形式多样，但其中最主要的是考查利用列表法　或树状图法求随即事件的概率。而利用列表法或树　状图法求随机事件的概率，关键要注意以下三点：　（１）注意各种情况出现的可能性务必相同；（２）　其中某一事件发生的概率一姜　砉簧誊　；　（３）在考察各种情况出现的次数和某一事件发生的　次数时不能重复也不能遗漏．用列表法或树状图法　求得概率是理论概率，而实验估计值是频率，它通常　受到实验次数的影响而产生波动，因此两者不一定　一致，实验次数较多时，频率稳定于概率，但并不完　全等于概率。　例１　田忌赛马是一个为人熟知的故事，传说　战国时期，齐王与田忌各有上、中、下三匹马，同等级　的马中，齐王的马比田忌的马强。有一天，齐王要与　田忌赛一次，赢得两局者为胜，看样子田忌似乎没有　什么胜的希望，但是田忌的谋士了解到主人的上、中　等马分别比齐王的中、下等马要强。　（１）如果齐王将马按上中下的顺序出阵比赛，　那么田忌的马如何出阵，田忌才能取胜？　（２）如果齐王将马按上中下的顺序出阵，而田　忌的马随机出阵比赛，田忌获胜的概率是多少？（要　求写出双方对阵的所有情况）　分析：正确理解题意，将齐王和田忌的马正确排　列，而后恰当列表。　解：（１）由于田忌的上、中等马分别比齐王的中、　下等马强，当齐王的马按上、中、下顺序出阵时，田忌　的马按下、上、中的顺序出阵，田忌才能取胜。　（２）当田忌的马随机出阵时，双方马的对阵情况　如下表：　双方马的对阵中，只有一种对阵情况田忌能赢，　所以田忌获胜的概率Ｐ一　。　＠　．．Ｅ（●　．．Ｅ（●Ｅ（．．Ｅ（．．　—Ｅ（—Ｅ（１Ｅ（　率有招　咚　咚　＾　净　例２“石头、剪刀、布”是广为流传的游戏，游　戏时甲、乙双方每次出“石头”、“剪刀”、“布”三种手　势中一种，规定“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”、　“布”胜“石头”，同样手势不分胜负。假定甲、乙两人　每次都是等可能地出这三种手势，用画树状图或列　表的方法分别求出一次游戏中两人同种手势的概率　和甲获胜的概率。（提示：为书写方便，解答时可以　用Ｓ表示“石头”，用　表示“剪刀”，用Ｂ表示“布”）　解析：解法一：一次游戏、甲、乙两人随机出手势　的所有可能的结果如下图：　／　、、、　黜孵势　小　▲　▲　乙的手势Ｓ　Ｊ　Ｂ　Ｓ　Ｊ。　Ｂ　Ｓ　Ｊ　Ｂ　所有可能出的结果：（Ｓ，Ｓ），（５，Ｊ），（Ｓ，Ｂ），（．，，　Ｓ），（．厂，．厂），（　，Ｂ），（Ｂ，Ｓ），（Ｂ，Ｊ），（Ｂ，Ｂ）。　从上面的树状图可以看出，一次游戏可能出现　的结果共有９种，而且每种结果出现的可能性相同．　所以，Ｐ（出同种手势）一　一寺。　Ｐ（甲获胜）：昔一÷。　解法二：一次游戏，甲、乙两人随机出手势的所　有可能的结果如下表　＼乙出的手势　甲出手　Ｓ　１　Ｂ　Ｓ　（Ｓ，Ｓ）　（Ｓ，Ｊ）　（Ｓ，Ｂ）　３　（－，，Ｓ）　（　，Ｊ）　（－，，Ｂ）　Ｂ　（Ｂ，Ｓ）　（Ｂ，Ｊ）　（Ｂ。Ｂ）　以下同解法一。　评注：（１）利用列表法、树状图法求概率必须是　等可能事件。　（２）对各种可能出现的情况不能遗漏或重复某　种可能。　（作者单位：江苏省高邮市城北中学）

1 教案

课 题 1 用树状图或表格求概率

教 学

目 标 教学知识点：学习用树状图和列表法计算涉及两步实验的随机事件发生的概率．

能力训练要求：1．培养学生合作交流的意识和能力；2．提高学生对所研究问题的反思和拓广的能力，逐步形成良好的反思意识．

情感与价值观要求：积极参与数学活动，经历成功与失败，获得成功感，提高学习数学的兴趣．

重 点 用树状图和列表法计算涉及两步实验的随机事件发生的概率．

难 点 正确地用列表法计算涉及两步实验的随机事件发生的概率．

教学过程：

一、创设问题，引入新课

游戏：小明对小亮说：“我向空中抛2枚同样的—元硬币，如果落地后一正一反，你给我10元钱，如果落地后两面一样，我给你10元线．”结果小亮欣然答应，请问，你觉得这个游戏公平吗？

分析得很好，当然，这只是个数学游戏．教师只是想用此介绍一些概率问题，而国家规定中小学生是不能参与购买彩票的，而赌博更是有百害而无一益的噢!

下面我们再来看一个游戏．

二、引入新课

如果有两组牌，它们的牌面数字分别是1，2，3．那么从每组牌中各摸出一张牌，两张牌的牌面数字和为几的概率最大？两张牌的牌面数字和等于4的概率是多少呢？

小明的做法：

总共有9种情况，每种情况发生的可能性相同，而两张牌的牌面数字和等于4的情况出现得最多，共3次，因此牌面数字和等于4的概率最大，概率为93，即31．

小颖的做法：通过列下表得到牌面数字和等于4的概率为51．

牌面数字的可能值 2 3 4 5 6

相应的概率 51 51 51 51 51]

小亮的做法：也用了列表的方法，可我得到牌面数字和等于4的概率为31．

第一张牌的牌

面数字第二张

牌的牌面数 1 2 3

1 （1，1） （1，2） （1，3）

2 （2，1） （2，2） （2，3）

3 （3，1） （3，2） （3，3）

你认为谁做得对？说说你的理由．

小颖和小亮都用了列表法，而小颖的做法是错误的，小亮的做法是正确的．你认为用列表法求概率时要注意些什么？