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1．“石头、剪刀、布”是广为流传的游戏，游戏时比赛各方做“石头”、“剪刀”、“布”手势中的一种，规定“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”，同种手势或三种手势循环不分胜负继续比赛，假定甲、乙、丙三人都是等可能地做这三种手势，那么：(1)一次比赛中三人不分胜负的概率是多少? (2)比赛中一人胜，二人负的概率是多少? 解：剪刀一A ，石头一B ，布一C ，画出树形图如下：由树形图可知，三人随机出拳的所有可能情况有27种，每种情况出现的可能性相同，其中，(1)不分胜负的有：AAA ，BBB ，CCC ，ABC ，共4个，P (三人不分胜负);274=(2)一人胜二人负的有：ACC ，AAB ，ABA ，BAA ，BBC ，CBB ，CAC ，CCA ，BCB ，共9个，P (一人胜二人负).31279==2．经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，三辆汽车经过这个十字路口，求下列事件的概率： (1)三辆车全部直行；(2)两辆车向右转，一辆车向左转； (3)至少有两辆车向左转． 解：画出树形图：由树形图可知，三辆车在十字路口随机选择的情况共有27种，每种情况出现的可能性大小相同，其中，(1)三辆车全部继续直行的结果只有一个，P (三辆车全部继续直行);271= (2)两辆车向右转，一辆车向左转的结果有3个，P (两辆车向右转，一辆车向左转);91273==(3)至少有两辆车向左转的结果有7个，P (至少有两辆车向左转).277= 3.同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率： （1）两个骰子的点数的和是5； （2）至少有一个骰子的点数为5. 解：列表如下: 第2个 第1个 1234561 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） （1，6）2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） （2，5） （2，6）3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） （3，5） （3，6）4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） （4，5） （4，6）5 （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） （5，6） 6（6，1） （6，2） （6，3） （6，4） （6，5） （6，6）可能性相等.由所列表格可以发现：（1）两个骰子的点数的和是5满足两个骰子的点数相同（记为事件A ）的结果有4个，即（4，1），（3，2），（2，3），（4，1），所以P(A)=41369=. （2）至少有一个骰子的点数为5（记为事件B ）的结果有11个，所以P(B)=1136.4．在一个布口袋中装着只有颜色不同，其他都相同的白、红、黑三种颜色的小球各1只，甲乙两人进行摸球游戏；甲先从袋中摸出一球看清颜色后放回，再由乙从袋中摸出一球．(1)试用树状图(或列表法)表示摸球游戏所有可能的结果；(2)如果规定：乙摸到与甲相同颜色的球为乙胜，否则为负，试求乙在游戏中获胜的概率．解：(1)画树形图来找出所有可能情况．甲摸得球的颜色：乙摸得球的颜色或用列表法思考所有情况．列表如下：乙甲白红黑白 白，白 红，白 黑，白 红 白，红 红，红 黑，红 黑白，黑红，黑黑，黑(2)由树形图可得，该试验的所有可能情况有9种，其中乙摸到与甲相同颜色球有三种情况，每种情况出现的机会均等，乙取胜的概率为⋅=31935．一个袋子中装有红、黄、蓝三个小球，它们除颜色外均相同． (1)如果从中随机摸出一个小球，那么摸到蓝色小球的概率是多少?(2)小王和小李玩摸球游戏，游戏规则如下：先由小王随机摸出一个小球，记下颜色后放回，小李再随机摸出一个小球，记下颜色．当两个小球的颜色相同时，小王赢；当两个小球的颜色不同时，小李赢．请你分析这个游戏规则对双方是否公平?并用列表法或画树状图法加以说明． 解：(1)每个小球被摸到的机会均等，故P (摸到蓝色小球)⋅=31(2)列表思考所有可能情况：小李小王红 黄 蓝 红 红，红 红，黄 红，蓝 黄 黄，红 黄，黄 黄，蓝 蓝蓝，红蓝，黄蓝，蓝由上表可知小王和小李先后摸球的所有情况有9种，每种情况出现的可能性相同，其中小王赢的情况有3种，小李赢的情况有6种． ∴P (小王赢),3193== P (小李赢) ,3296==∵∴此游戏规则对双方是不公平的．6．如图，两个转盘中指针落在每个数字上的机会相等，现同时转动A 、B 两个转盘，停止后，指针各指向一个数字．小力和小明利用这两个转盘做游戏，若两数之积为非负数则小力胜；否则，小明胜．你认为这个游戏公平吗?请你利用列举法说明理由．解：列表考虑所有可能情况：转盘A两个数字之积转盘B－1 0 2 11 －1 02 1－2 2 0 －4 －2－1 1 0 －2 －1由列表可知，由两个转盘各转出一数字作积的所有可能情况有12种，每种情况出现的可能性相同，其中两个数字之积为非负数有7个，负数有5个，∴P(小力获胜),127=P(小明获胜).125=∴这个游戏对双方不公平．7．从3名男生和2名女生中随机抽取2012年伦敦奧运会志愿者．求下列事件的概率：(1)抽取1名，恰好是女生；(2)抽取2名，恰好是1名男生和1名女生．解：(1)5名学生中有2名女生，所以抽取1名，恰好是女生的概率为25；(2)共有20种情况树状图如图DJ4，恰好是1名男生和1名女生的情况数有12种，所以概率为35.图DJ48.同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率：（1）两个骰子的点数的和是5；（2）至少有一个骰子的点数为5.解：列表如下:可能性相等.由所列表格可以发现：（1）两个骰子的点数的和是5满足两个骰子的点数相同（记为事件A）的结果有4个，即（4，1），（3，2），（2，3），（4，1），所以P(A)=41.369（2）至少有一个骰子的点数为5（记为事件B）的结果有11个，所以P(B)=1136.9.在一个不透明的袋子里装有除数字以外其它均相同的4个小球，上面分别标有数字1、2、3、4．小明先从袋中随机摸出一个小球，记下数字后不再放回,再从袋中剩下的3个小球中又随机摸出一个小球,记下数字．请用列表或画树状图的方法求出先后摸出的两个小球上的数字和为奇数的概率是多少?解：（1）根据题意可列表或树状图如下：从表或树状图可以看出所有可能结果共有12种，且每种结果发生的可能性相同，符合条件的结果有8种，∴P （和为奇数）23=.10．某商场为了吸引顾客，设计了一种促销活动：在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有“0元”、“10元”、“20元”和“30元”的字样．规定：顾客在本商场同一日内，每消费满200元，就可以在箱子里先后摸出两个球（第一次摸出后不放回）．商场根据两小球所标金额的和返还相应价格的购物券，可以重新在本商场消费．某顾客刚好消费200元．（1）该顾客至少可得到_______元购物券，至多可得到_______元购物券； （2）请你用画树状图或列表的方法，求出该顾客所获得购物券的金额不低于30元的概率． 解：（1）10，50； （2）解：树状图如下：从上图可以看出，共有12种可能结果，其中大于或等于30元共有8种可能结果，因此P （不低于30元）=82123=． 11．在一个不透明的盒子里，装有三个分别写有数字6，-2，7的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同，先从盒子里随机取出一个小球，记下数字后放回盒子，摇匀后再随机取出一个小球，记下数字．请你用画树形图或列表的方法，求下列事件的概率：（1）两次取出小球上的数字相同；（2）两次取出小球上的数字之和大于10．（1，2） （1，3） （1，4） 2341 （1，1） （2，3） （2，4） 1342 （3，1） （3，2） （3，4） 1243 （4，1） （4，2） （4，3） 1234 第一次摸球 第二次摸球 010 20 30 102030 100 20 30 103040 0 10 30 20203050 20 300 10 503040第一次第二次 和解：（1）P （两数相同）=13．（2）P （两数和大于10）=49．12．一个不透明的布袋里装有4个大小、质地均相同的乒乓球，每个球上面分别标有1，2，3，4．小林先从布袋中随机抽取一个乒乓球（不放回去），再从剩下的3个球中随机抽取第二个乒乓球． （1）请你列出所有可能的结果；（2）求两次取得乒乓球的数字之积为奇数的概率． 解：（1）根据题意列表如下：（2）在（1）中的12种可能结果中，两个数字之积为奇数的只有2种， 所以，P （两个数字之积是奇数）21126==． 13.“学雷锋活动日”这天，阳光中学安排七、八、九年级部分学生代表走出校园参与活动，活动内容有：A ．打扫街道卫生；B ．慰问孤寡老人；C ．到社区进行义务文艺演出．学校要求一个年级的学生代表只负责一项活动内容． (1)若随机选一个年级的学生代表和一项活动内容，请你用列表法(或画树状图)表示所有可能出现的结果；(2)求九年级学生代表到社区进行义务文艺演出的概率． 解：（1）画树状图分析如下：树形图6 76 -276 7 76 -2 -2 -2（2）九年级学生代表到社区进行义务文艺演出的概率为2163P ==.14.把一副扑克牌中的3张黑桃牌（它们的正面牌数字分别为3、4、5）洗匀后正面朝下放在桌面上.小王和小李玩摸牌游戏，游戏规则如下：先由小王随机抽取一张牌，记下牌面数字后放回，洗匀后正面朝下，再由小李随机抽取一张牌，记下牌面数字.当2张牌的牌面数字相同时，小王赢；当2张牌的牌面数字不同时，小李赢.现请你利用树状图或列表法分析游戏规则对双方是否公平？并说明理由.解：游戏规则不公平.理由如下：列表,由表可知，所有可能出现的结果共有9种，故3193)(==牌面数字相同P ,3296)(==牌面数字不同P . ∵31＜32，∴此游戏规则不公平，小李赢的可能性大.15．甲、乙两同学用一副扑克牌中牌面数字分别是3、4、5、6的4张牌做抽数游戏，游戏规则是：将这4线牌的正面全部朝下、洗匀，从中随机抽取一张，抽得的数作为十位上的数字，然后，将所抽的牌放回，正面全部朝下、洗匀，3 4 53 （3，3） （3，4） （3，5）4 （4，3） （4，4） （4，5） 5（5，3） （5，4） （5，5）小李小王再从中随机抽取一张，抽得的数作为个位上的数字，这样就得到一个两位数，若这个两位数小于45，则甲获胜，否则乙获胜．你认为这个游戏公平吗？请运用概率知识说明理由．解：这个游戏不公平，游戏所有可能出现的结果如下表：表中共有16种．∴63168P ==（甲获胜）,105168P ==（乙获胜）．∵8583≠，∴这个游戏不公平． 16．在一个不透明的纸箱里装有红、黄、蓝三种颜色的小球，它们除颜色外完全相同，其中红球有2个，黄球有1个，蓝球有1个.现有一张电影票，小明和小亮决定通过摸球游戏定输赢（赢的一方得电影票）．游戏规则是：两人各摸1次球，先由小明从纸箱里随机摸出1个球，记录颜色后放回，将小球摇匀，再由小亮随机摸出1个球．若两人摸到的球颜色相同，则小明赢，否则小亮赢．这个游戏规则对双方公平吗？请你利用树状图或列表法说明理由． 解：树状图为： 或列表为：开始红 红 黄 蓝红 红 黄 蓝红 红 黄 蓝红 红 黄 蓝红 红 黄 蓝由上述树状图或表格知：所有可能出现的结果共有16种． ∴P （小明赢）=63168=，P（小亮赢）=105168=． ∴此游戏对双方不公平，小亮赢的可能性大．17．将如图所示的牌面数字分别是1，2，3，4的四张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面上．（1）从中随机抽出一张牌，牌面数字是偶数的概率是________； （2）从中随机抽出二张牌，两张牌牌面数字的和是5的概率是________； （3）先从中随机抽出一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将该牌放回并重新洗匀，再随机抽取一张，将牌面数字作为个位上的数字，请用画树状图或列表的方法求组成的两位数恰好是4的倍数的概率．解：（1）12.（2）13. （3）根据题意，画树状图：由树状图可知，共有16种等可能的结果：11，12，13，14，21，22，23，24，31，32，33，34，41，42，43，44．其中恰好是4的倍数的共有4种：12，24，32，44．∴P （4的倍数）41164==． 18．除颜色外完全相同的六个小球分别放到两个袋子中，一个袋子中放两个红球和一个白球，另一个袋子中放一个红球和两个白球．随机从两个袋子中分别摸出一个小球，试判断摸出两个异色小球的概率与摸出两个同色小球的概率是1 2 3 4 1第一次第二次 1 2 3 4 21 2 3 4 31 2 3 4 4开始否相等，并说明理由．解:摸出两个异色小球的概率与摸出两个同色小球的概率不相等． 画树状图如下（画出一种情况即可）：∴摸出两个异色小球的概率为59，摸出两个同色小球的概率49．19．一只不透明的袋子中，装有2个白球（标有号码1、2）和1个红球，这些球除颜色外其他都相同．（1）搅匀后从中摸出一个球，摸到白球的概率是多少？（2）搅匀后从中一次摸出两个球，请用树状图（或列表法）求这两个球都是白球的概率．解:（1）p （一个球是白球）=23. （2）树状图如下（列表略）：开始∴P （两个球都是白球）2163==．20.小明和小亮利用三张卡片做游戏，卡片上分别写有A ，B ，B ．这些卡片除字母外完全相同，从中随机摸出一张，记下字母后放回，充分洗匀后，再从中摸出一张，如果两次摸到卡片字母相同则小明胜，否则小亮胜，这个游戏对双方公平吗？请说明现由．红 白 白 红红 白 白 红红 白 白 白开始 或红 红 白 白红红 白 白红红 白红开始 白2红白1 白1红白2 白1白2 红解：画树状图得：∵共有9种等可能的结果，两次摸到卡片字母相同的有5种等可能的结果，∴两次摸到卡片字母相同的概率为：；∴小明胜的概率为，小明胜的概率为，∵ ≠ ，∴这个游戏对双方不公平21.如图，两个转盘中指针落在每个数字上的机会相等，现同时转动A、B两个转盘，停止后，指针各指向一个数字．小力和小明利用这两个转盘做游戏，若两数之积为非负数则小力胜；否则，小明胜．你认为这个游戏公平吗?请你利用列举法说明理由．解：根据题意列树状图如下：由树状图可知，游戏结果有12中情况，其中两数之积为非负有7种，则两数之积为非负的概率为，两数之积为负的情况有5种，则两数之积为为负的概率为.≠，因此该游戏不公平。
.求概率的方法在新课标实施以来，中考数学试题中加大了统计与概率局部的考察，表达了“学以致用〞这一理念． 计算简单事件发生的概率是重点，常用的方法有:列举法、列表法、画树状图法，这三种方法应该熟练掌握，先就有关问题加以分析． 一、列举法 例1：〔05济南〕如图1所示，打算了三张大小相同的纸片，其中两张纸片上各画一个半径相等的半圆，另一张纸片上画一个正方形．将这三张纸片放在一个盒子里摇匀，随机地抽取两张纸片，假设可以拼成一个圆形(取出的两张纸片都画有半圆形)则甲方赢；假设可以拼成一个蘑菇形(取出的一张纸片画有半圆、一张画有正方形)则乙方赢．你认为这个游戏对双方是公平的吗？假设不是，有利于谁？ ．分析：这个游戏不公平，因为抽取两张纸片，全部时机均等的结果为：半圆半圆，半圆正方形，正方形半圆，正方形正方形．所以取出的两张纸片都画有半圆形的概率为41． 取出的一张纸片画有半圆、一张画有正方形的概率为2142=，因为二者概率不等，所以游戏不公平． 说明: 此题采纳了一种较为有趣的试题背景，重在考查学生对概率模型的理解、以及对不确定事件发生概率值的计算．此题用列举方法，也可以用画树状图，列表法． 二、画树状图法 例2：〔06临安市〕不透明的口袋里装有白、黄、蓝三种颜色的乒乓球〔除颜色外其余都相同〕，其中白球有2个，黄球有1个，现从中任意摸出一个是白球的概率为12．〔1〕试求袋中蓝球的个数．〔2〕第一次任意摸一个球〔不放回〕，第二次再摸一个球，请用画树状图或列表格法，求两次摸到都是白球的概率．解析：⑴设蓝球个数为x 个，则由题意得21122=++x ， 1=x答：蓝球有1个． 〔2〕树状图如下：∴ 两次摸到都是白球的概率 =61122=． 说明:解有关的概率问题首先弄清：①需要关注的是发生哪个或哪些结果．②无论哪种都是时机均等的，要对实践的分析得出概率通常用列表或画树状图来写出事件发生的结果，这样便于确定相关的概率． 此题是考查用树状图来求概率的方法，这种方法比拟直观，把全部可能的结果都一一排列出来，便于计算结果． 三、列表法 例3：〔06晋江市〕如图2，是由转盘和箭头组成的两个装置，装置A 、B 的转盘分别被平均分成三局部，装置A 上的数字是3、6、8；装置B 上的数字是4、5、7；这两个装置除了外表数字不同外，其他构造均相同，小东和小明分别同时转动A 、B 两个转盘〔一人转一个〕，如果我们规定箭头停留在较大数字的一方获胜〔如：假设A 、B 两个转盘的箭头分别停在6、4上，则小东获胜，假设箭头恰好停在分界图1 5 4 B768A 3图2.线上，则重新转一次〕，请用树状图或列表加以分析说明这个游戏公平吗？ 解析：〔方法一〕画树状图： 由上图可知，全部等可能的结果共有9种，小东获胜的概率为95，小明获胜的概率为94，所以游戏不公平．由上表可知，全部等可能结果共有9种，小东获胜的概率为95，小明获胜的概率为94，所以游戏不公平．说明：用树状图法或列表法列举出的结果一目了然，当事件要经过屡次步骤〔三步以上)完成时，用这两种方法求事件的概率很有效．6开始。
