69 抽象函数同步(学生版)
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高一同步课程
“抽象函数”
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知识定位
本讲内容：抽象函数的定义，及几种常见类型的抽象函数；求抽象函数的定义域、值域、解析式、函数值的方法
掌握目标：1.了解抽象函数的定义；
2.掌握求抽象函数的定义域、值域、解析式、函数值的方法。
重点及难点：求抽象函数的定义域、值域、解析式、函数值
考试分析：抽象函数是高中数学的一个难点，也是近几年来高考的热点。考查方法往往基于一般函数，综合考查函数的各种性质。难度属与中等偏难。
知识梳理
➢ 知识点一：抽象函数的定义
抽象函数是指只给出函数的某些性质，而未给出函数具体的解析式及图象的函数。
抽象函数的几种类型：
线性函数型抽象函数：f（x）＝kx（k≠0）-----f（x±y）＝f（x）± f（y）；
幂函数型抽象函数：2()fxx ----()()()fxyfxfy，()()()xfxfyfy；
指数函数型抽象函数：f（x）＝ax------ f（x＋y）＝f（x）f（y）；f（x－y）＝)()(yfxf
对数函数型抽象函数：
f（x）＝logax（a>0且a≠1）--------f（x·y）＝f（x）＋f（y）；f（yx）＝ f（x）－f（y）
类三角函型抽象函数：()()2()()fxyfxyfxfy
【试题来源】
【题目】如果f(x+y)=f(x)•f(y),且f(1)=2，则
)2003()2004()5()6()3()4()1()2(ffffffff的值为_________。
【试题来源】
【题目】已知f(x)是定义在R上的函数，f(1)=1，且对任意Rx都有f(x+5)≥f(x)+5，f(x+1)≤f(x)+1，若g(x)=f(x)+1-x，，则g(2005)=_____.
➢ 知识点二：抽象函数的定义域、值域
一.抽象函数定义域
1．已知()fx的定义域，求()fgx的定义域
其解法是：若()fx的定义域为axb≤≤，则在()fgx中，()agxb≤≤，从中解得x的取值范围即为()fgx的定义域．
2、已知()fgx的定义域，求()fx的定义域
其解法是：若()fgx的定义域为mxn≤≤，则由mxn≤≤确定的()gx的范围即为()fx的定义域．
二.抽象函数值域
1、已知xg的值域，求()fgx的值域
其解法是：若xg的值域为bxga，则在()fgx中，先把()agxb≤≤与()fx的定义域取交集，再在这个范围内求()fgx的值域．
2、若已知是一个抽象函数的关系式，则利用赋值法求值域。
3、也可以求得反函数的定义域来得到原函数的值域
【试题来源】
【题目】已知函数()fx的定义域为15，，求(35)fx的定义域．
【试题来源】
【题目】设函数f(x)的定义域是(-∞,+∞),满足条件：①存在x1≠x2，使得f(x1) ≠f(x2)；②对任何x和y，f(x+y)=f(x)•f(y)成立；求：
（1）f(0)； （2）对任意值x，判断f(x)值的正负。
【试题来源】
【题目】若函数)1(xfy的定义域为)3,2[，求函数)21(xfy的定义域。
【试题来源】
【题目】已知函数2(22)fxx的定义域为03，，求函数()fx的定义域．
【试题来源】
【题目】若函数)1(xfy的值域为]1,1[，求函数)23(xfy的值域。
【试题来源】
【题目】已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x>0时，f(x)>0，f(－1)＝ －2求f(x)在区间[－2,1]上的值域
➢ 知识点三：抽象函数的表达式及函数值
求抽象函数表达式与函数值的方法：
1. 换元法.
2. 待定系数法：如果抽象函数的类型是确定的，可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题。
3. 赋值法：有些抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。
4.方程法：由抽象式求解析式问题——视)(xf为未知数，构造方程（组）。
【试题来源】
【题目】已知f(1+ x2)=2+ x2+x4, 求f(x)
【试题来源】
【题目】已知f(x)是二次多项式函数，且f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,求f(x).
【试题来源】
【题目】对任意实数x,y，均满足f(x+y2)=f(x)+2[f(y)]2且f(1)≠0,则f(2001)=_______.
【试题来源】
【题目】设对满足x≠0,x≠1的所有实数x，函数f(x)满足,xxxfxf11 ,求f(x)的解析式。
【试题来源】
【题目】已知定义域为R的函数满足.
(1)若
(2)设有且仅有一个实数,使得,求函数的解析表达式.
课后练习
【试题来源】
【题目】已知函数f(x)的定义域为[1,4]，则f(2x)𝑥−2的定义域是：
【试题来源】
【题目】定义在R上的函数y=f（x），f（0）≠0，当x＞0时，f（x）＞1，且对任意的a、b∈R，有f（a+b）=f（a）·f（b）.
（1）求证：f（0）=1； （2）求证：对任意的x∈R，恒有f（x）＞0；
（3）求证：f（x）是R上的增函数；（4）若f（x）·f（2x－x2）＞1，求x的取值范围.
【试题来源】
【题目】设函数f(x)定义于实数集上，对于任意实数x、y，f(x+y)=f(x)f(y)总成立，且存在21xx,使得)()(21xfxf，求函数f(x)的值域。
【试题来源】 ()fx22(()))()ffxxxfxxx(2)3,(1);(0),();fffafa求又求0x00()fxx()fx
【题目】求函数y=的值域
【试题来源】
【题目】已知函数,在R上有定义，对任意的有 且
（1）求证：为奇函数
（2）若， 求的值
【试题来源】
【题目】函数()fx的定义域为R,并满足以下条件:①对任意xR,有()fx>0;②对任意,xyR,有()[()]yfxyfx;③1()13f.
(1)求(0)f的值;
(2)求证: ()fx在R上是单调减函数
【试题来源】
【题目】已知函数f(x)定义域（-1，1），满足对任意的x（-1，1）有f(x)+f(y)＝fxy1xy，且x（-1，0）时f(x)>0.q求证：f(15)+f(111)+┈+f(21n3n1)>f(12). ()fx()gx,xyR()()()()()fxyfxgygxfy(1)0f()fx(1)(2)ff(1)(1)gg
【试题来源】
【题目】已知函数的定义域为R,对任意实数都有,且,当时, >0.
(1)求; (2)求和;
(3)判断函数的单调性,并证明.
【试题来源】
【题目】函数对于x>0有意义，且满足条件减函数。
（1）证明：；
（2）若成立，求x的取值范围。
【试题来源】
【题目】已知函数f（x）对任意，满足条件f（x）＋f（y）＝2 + f（x＋y），且当x＞0时，f（x）＞2，f（3）＝5，求不等式的解。
【试题来源】2006重庆
【题目】已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x.
（Ⅰ）若f(2)=3，求f(1)；又若f(0)=a，求f(a)；
（Ⅱ）设有且仅有一个实数x0，使得f(x0)=x0，求函数f(x)的解析表达式。
()fx,mn1()()()2fmnfmfn1()02f12x()fx(1)f(1)(2)(3)...()ffffn*()nN()fx()fx(2)1,()()(),()ffxyfxfyfx是(1)0f()(3)2fxfx
