人教版初三数学下册反比例函数概念和解析式

反比率函数26.1 知识点 1 反比率函数的定义一般地，形如 y k0 ）的函数称为反比率函数，它能够从以下几个方面来理解：（ k 为常数，kx⑴ x 是自变量， y 是 x 的反比率函数；⑵自变量 x 的取值范围是x 0的一确实数，函数值的取值范围是y 0 ；⑶比率系数 k0 是反比率函数定义的一个重要构成部分；⑷反比率函数有三种表达式：k① y（k0 ），x② y kx1（ k0 ），③ x y k （定值）（k0 ）；⑸函数 y k0 ）与xky 是 x 的反比率函数时， x 也是 y 的反比率函数。

（ k（ k 0 ）是等价的，所以当x y（ k 为常数，k0 ）是反比率函数的一部分，当k=0 时，y k k x，就不是反比率函数了，因为反比率函数y（ k 0x ）中，只有一个待定系数，所以，只需一组对应值，就能够求出k 的值，进而确立反比率函数的表达式。

26.2 知识点 2 用待定系数法求反比率函数的分析式因为反比率函数 yk0 ）中，只有一个待定系数，所以，只需一组对应值，就能够求出k 的值，进而确（ kx定反比率函数的表达式。

26.3 知识点 3 反比率函数的图像及画法反比率函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称，因为反比率函数中自变量函数中自变量x 0 ，函数值y0 ，所以它的图像与x 轴、 y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无穷凑近坐标轴，但永久达不到坐标轴。

反比率的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线。

再作反比率函数的图像时应注意以下几点：①列表时选用的数值宜对称选用；②列表时选用的数值越多，画的图像越精准；③连线时，一定依据自变量大小从左至右（或从右至左）用圆滑的曲线连结，切忌画成折线；④绘图像时，它的两个分支应所有画出，但切忌将图像与坐标轴订交。

（ 1）图象的形状：双曲线．越大，图象的曲折度越小，曲线越平直．越小，图象的曲折度越大．（2）图象的地点和性质：与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线．当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y 随 x 的增大而减小；当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y 随 x 的增大而增大．（3）对称性：图象对于原点对称，即若（a， b）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支上．图象对于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上．4． k 的几何意义如图 1，设点 P（ a， b）是双曲线上随意一点，作PA⊥ x 轴于 A 点， PB⊥y 轴于 B 点，则矩形PBOA 的面积是（三角形PAO 和三角形PBO 的面积都是）．如图 2，由双曲线的对称性可知，P 对于原点的对称点Q 也在双曲线上，作QC⊥PA 的延伸线于C，则有三角形PQC 的面积为．图1图 25．说明：（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比率函数的增减性时，要将两个分支分别议论，不可以混为一谈．（2）直线与双曲线的关系：当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点对于原点成中心对称．（3）反比率函数与一次函数的联系．26.4 知识点 4 反比率函数的性质☆对于反比率函数的性质，主要研究它的图像的地点及函数值的增减状况，以下表：反比率k0 ）y（ kk 的符号k 0k 0图像① x 的 取 值 范 围 是 ① x 的 取 值 范 围 是x0 ，y 的取值范围是x0 ，y 的取值范围是yy性质②当 k0 时，函数图像 ② 当 k 0 时，函数图像的两个分支分别在第 的两个分支分别在第 一、第三象限，在每个 二、第四象限，在每个 象限内，y 随 x 的增大而 象限内，y 随 x 的增大而 减小。

第19讲 反比例函数知识导航1.反比例函数的定义和解析式；2.反比例函数的图象和性质；3.反比例面数与方程及不等式；4.反比例函教与神奇的几何性质；5.反比例函数与直线y ＝a 或x ＝a ；6.反比例函数与全等相似；7.反比例函数与图形变换；8.反比例函数与定值及最值。

【板块一】反比例函数的定义和解析式 方法技巧 根据定义解题1.定义：一般地，形如ky x=（k 为常数，k ≠0）的函数，叫做反比例函数，其中x 是自变量，y 是函数.自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数.2.解析式：ky x=（k ≠0）或xy ＝k （k ≠0）或1y kx -= （k ≠0）. 题型一根据定义判断反比例函数【例1】下列函数：①2x y =；@2y x =；③y =12y x =；⑤12y x =+；⑥12y x =- ；⑦2xy =； ⑧12y x -=；⑨22y x = .其中y 是x 的反比例函数的有 （填序号）.【解析】②③④⑦⑧.题型二根据定义确定k 值或解析式 【例2】（1）反比例函数32y x =- ，化为ky x=的形式，相应的k ＝ ； （2）函数ky x =中，当x ＝2时，y ＝3，则函数的解析式为 【解析】（1）32- ；（2）6y x=.题型三根据定义确定待定系数的值【例3】（1）如果函数2+1m y x = 是关于x 的反比例函数，则m 的值为 （2）若函数()252m y m x -=+ （m 为常数）是关于x 的反比例函数，求m 的值及函数的解析式。

【解析】（1）－1；（2）m ＝2，y ＝4x .针对练习11.下列函数中，为反比例函数的是（B ）A . 3x y =B . 13y x =C . 13y x =-D .21y x=答案：B2.反比例函数y ＝一化为ky x=的形式后，相应的k ＝答案： 3.若关于x 的函数()2274mm y m x --=- 是反比例函数，求m 的值答案：3.【板块二】反比例函数的图象和性质 式抓住反比例函数的性质并结合图象解题 一般地，对于反比例函数()0ky k x=≠，由函数图象，并结合解析式，我们可以发现： 1.图象分布当k ＞0时，x ，y （同号或异号），函数图象为第 象限的两支曲线；当k ＜0时，x ，y （同号或异号），函数图象为第 象限的两支曲线。

反比例函数解析式的三种表达形式反比例函数解析式的三种表达形式。

反比例函数的定义：在x=-b，y=-y， x-y=0上，当-b=0，即图像与y轴有交点时，该函数是一条抛物线，以原点为中心，开口向下。

y=-3/2，开口向下，实际已超出了y=-3/2的图像范围，不符合反比例函数的要求。

这个图像应怎样变换成y=-1，才能使得其与y轴有交点呢？在x=-b， y=-y， x-y=0上，当-b=0，即图像与y轴有交点时，该函数是一条抛物线。

由于在图像与y轴有交点时，图像是反比例函数的交点，因此，对于反比例函数图像与y轴交点的函数值而言，只有两种情况：一是它的一次函数值等于二次函数值，即y=kx+b，若图像是正比例函数，则为1;-b>0时，就是y=kx+b。

二是它的一次函数值大于二次函数值，即y=kx+b，若图像是负比例函数，则为-1;所以，在图像与y轴交点处的一次函数值为k，可令k=b，此时一次函数的图像与y轴交于(0， b);这时反比例函数的解析式为y=-kx+b。

1。

对于y=kx+b，当a>0时，它的一次函数值为y=kx+b，当-b>0时，它的一次函数值为y=kx+b，所以该函数的解析式为y=kx+b。

2。

对于y=kx+b，当-b>0时，它的一次函数值为y=kx+b，当-b<0时，它的一次函数值为y=kx+b，所以该函数的解析式为y=kx+b。

3。

对于y=kx+b，当-b>0时，它的一次函数值为y=kx+b，当-b<0时，它的一次函数值为y=kx+b，所以该函数的解析式为y=kx+b。

当-b>0时，则是： 4。

对于y=kx+b，当-b>0时，它的一次函数值为y=kx+b，当-b<0时，它的一次函数值为y=kx+b，所以该函数的解析式为y=kx+b。

当-b>0时，则是： y=-kx+b5。

对于y=kx+b，当-b>0时，它的一次函数值为y=kx+b，当-b<0时，它的一次函数值为y=kx+b，所以该函数的解析式为y=kx+b。

九年级数学下册反比例函数知识点总结反比例函数是数学中常见的一种函数形式。

在反比例函数中，当自变量的值增大时，因变量的值会减小；当自变量的值减小时，因变量的值会增大。

下面是九年级数学下册关于反比例函数的知识点总结：1.反比例函数的定义：反比例函数是指一个函数，其方程形式为y = k/x，其中k是常数，x是自变量，y是因变量。

2.反比例函数的特点：当x为正数且逐渐增大，y的值会逐渐减小。

当x为正数且逐渐减小，y的值会逐渐增大。

如果x等于0，函数的值为无穷大或无穷小。

反比例函数的图像通常是一个曲线，经过原点，并且关于y轴和x轴都对称。

3.反比例函数的图像：反比例函数的图像通常是一个双曲线的一支。

当k为正数时，双曲线的开口朝上。

当k为负数时，双曲线的开口朝下。

当k的绝对值变大时，双曲线的形状越陡峭。

4.反比例函数的应用：反比例函数在实际生活中有许多应用，例如：速度与时间的关系：当行驶的时间增加时，速度会减小。

工作的时间与人数的关系：当完成工作的时间减少时，需要的人数会增加。

投资的金额与收益的关系：当投资的金额增加时，收益会减少。

5.反比例函数的求解：给定反比例函数的方程，可以通过代入不同的自变量的值来计算相应的因变量的值。

给定一组包含自变量和因变量的数值对，可以通过取自变量与因变量的乘积的比值来求解反比例函数的常数k。

以上是九年级数学下册关于反比例函数的知识点总结。

反比例函数在数学中扮演着重要的角色，并在实际生活中有许多应用。

通过理解这些知识点，可以更好地应用和解决与反比例函数相关的问题。

初中数学：反比例函数的概念，真简单反比例函数是数学中一个基本的函数类型，它的特点是当自变量增大时，函数值减小；当自变量减小时，函数值增大。

下面，我们将会深入探讨反比例函数的概念以及它的相关知识点。

一、反比例函数的定义反比例函数，简称反比函数，指的是若一函数 y 与另一函数 x 成反比例关系，即 y = k/x(k为常数)，则称 y 为 x 的反比函数。

其中，k 为反比例函数的比例系数，通常用正数表示。

二、反比例函数的图像特点反比例函数的图像呈现出 x 轴的非零实数的全体是定义域，y 轴的非零实数的全体是值域的形态，其图像是一个对称于第二象限和第四象限的双曲线。

三、反比例函数的性质1. 反比函数的定义域为 R - {0}，值域也是 R - {0}。

2. 当 x > 0 时，反比例函数单调递减；当 x < 0 时，反比例函数单调递增。

3. 反比例函数在原点处不存在定义，但是可以趋近于无穷大或无穷小。

4. 当 x 的值增加，k 不变时 y 的值逐渐减小，表现出反比例函数的反比例关系。

四、反比例函数的应用反比例函数是数学中非常重要的函数类型，具有广泛的应用。

下面我们列举一些实际中应用反比例函数的例子：1. 银行利率：银行将存款金额与利息之间的关系建立为反比例关系，可以使用反比例函数来描述。

2. 太阳能电池板：当太阳光照射到电池板上时，电压和电流成反比例关系，可以使用反比例函数来描述。

3. 计算机处理速度：计算机的处理速度与处理任务的复杂程度呈反比例关系。

4. 等比例速度问题：有时需要研究物体在不同速度下的行驶时间，这时可以使用反比例函数来描述。

以上是反比例函数的定义、图像特点、性质及应用的详细介绍。

相信通过对反比例函数的学习，我们可以更好地理解数学中的基本概念。

人教版九年级下册数学知识点总结一、反比例函数的概念反比例函数是指函数y=k/x（k≠0）的形式，其中自变量x 的指数为-1.在解决有关自变量指数问题时，应特别注意系数这一限制条件。

另外，反比例函数也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式。

反比例函数的自变量不能为0，故函数图像与x轴、y轴无交点。

二、反比例函数的图像画法反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称。

由于反比例函数中自变量x≠0，函数值y≠0，所以它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。

反比例函数的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线。

在作反比例函数的图像时，应注意以下几点：①列表时选取的数值宜对称选取；②列表时选取的数值越多，画的图像越精确；③连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画成折线；④画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交。

三、反比例函数及其图像的性质1．函数解析式：y=k/x（k≠0）2．自变量的取值范围：x≠03．图像：1）图像的形状：双曲线，曲度越大。

2）图像的位置和性质：当k>0时，图像的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图像的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大。

3）对称性：图像关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-a，-b）在另一支上。

图像关于直线y=x和y=-x对称。

4．k的几何意义如图1，设点P（a，b）是双曲线y=k/x的一点，在双曲线的另一支上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是|k|（三角形PAO和三角形PBO的面积都是1/2|k|）。

如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥XXX的延长线于C，则有三角形PQC的面积为2|k|。

初三反比例函数知识点反比例函数知识点概述一、反比例函数的定义反比例函数是形如y = k/x (k ≠ 0，x ≠ 0) 的函数，其中 k 为常数，称为比例常数，x 为自变量，y 为因变量。

二、反比例函数的图象1. 形状：反比例函数的图象是一组双曲线。

2. 位置：当 k > 0 时，图象位于第一和第三象限；当 k < 0 0 时，图象位于第二和第四象限。

3. 对称性：反比例函数的图象关于原点对称。

三、反比例函数的性质1. 单调性：在每一象限内，随着 x 的增大，y 也增大；随着 x 的减小，y 也减小。

2. 无界性：当 x 趋向于 0 时，y 趋向于无穷大；当 x 趋向于无穷大时，y 趋向于 0。

3. 交点：反比例函数的图象不与 x 轴和 y 轴相交。

四、反比例函数的应用反比例函数常用于描述两个变量间的反比关系，如物理中的压力与体积的关系（波义耳定律），化学中的浓度与体积的关系等。

五、反比例函数的运算1. 复合函数：若有两个反比例函数 y = k1/x 和 w = k2/z，它们的复合函数为 v = (k1/x) / (k2/z) = (k1/k2) * z/x。

2. 反函数：反比例函数的反函数仍然是一个反比例函数，形式为 x =k/y。

六、反比例函数的图像变换1. 平移：若原函数为 y = k/x，将其向右平移 a 个单位，向上平移b 个单位，新函数为 y = k/(x-a) + b。

2. 伸缩：若原函数为 y = k/x，将其横向伸缩 m 倍，纵向伸缩 n 倍，新函数为 y = k/(m*x)。

七、反比例函数的极值问题反比例函数没有最大值和最小值，但可以通过求导数来分析函数的增减性。

八、反比例函数的积分与微分1. 微分：对于函数 y = k/x，其导数为 dy/dx = -k/x^2。

2. 积分：对于函数 y = k/x，其不定积分为∫(k/x)dx = k*ln|x| + C。

九、反比例函数的方程求解1. 解析解：通过交叉相乘法等代数方法求解。

第二十六章 反比例函数26.1知识点1 反比例函数的定义 一般地，形如xky =（k 为常数，0k ≠）的函数称为反比例函数，它可以从以下几个方面来理解：⑴x 是自变量，y 是x 的反比例函数；⑵自变量x 的取值范围是0x ≠的一切实数，函数值的取值范围是0y ≠； ⑶比例系数0k ≠是反比例函数定义的一个重要组成部分； ⑷反比例函数有三种表达式： ①xky =（0k ≠）， ②1kx y -=（0k ≠）， ③k y x =⋅（定值）（0k ≠）； ⑸函数xky =（0k ≠）与y k x =（0k ≠）是等价的，所以当y 是x 的反比例函数时，x 也是y 的反比例函数。

（k 为常数，0k ≠）是反比例函数的一部分，当k=0时，xky =，就不是反比例函数了。

26.2知识点2用待定系数法求反比例函数的解析式由于反比例函数xky =（0k ≠）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k 的值，从而确定反比例函数的表达式。

26.3知识点3反比例函数的图像及画法反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称，由于反比例函数中自变量函数中自变量0x ≠，函数值0y ≠，所以它的图像与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。

反比例的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线。

再作反比例函数的图像时应注意以下几点： ①列表时选取的数值宜对称选取；②列表时选取的数值越多，画的图像越精确；③连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画成折线；④画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交。

26.4知识点4反比例函数的性质☆关于反比例函数的性质，主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况，如下表：注意：描述函数值的增减情况时，必须指出“在每个象限内……”否则，笼统地说，当0k >时，y 随x 的增大而减小“，就会与事实不符的矛盾。

九年级下册（人教版数学）知识点汇总目录反比例函数 (1)26.1反比例函数 (1)● 反比例函数的定义 (1)● 反比例函数的图像 (1)● 反比例函数图像的对称性 (1)● 反比例函数的性质 (2)● 反比例函数系数k的几何意义 (2)● 反比例函数图像上点的坐标特征 (2)● 待定系数法求反比例函数解析式 (2)● 反比例函数与一次函数的交点问题 (3)26.2实际问题与反比例函数 (3)● 根据实际问题列反比例函数关系式 (3)● 反比例函数的应用 (4)相似 (5)27.1图形的相似 (5)● 相似图形 (5)27.2相似三角形 (5)● 相似三角形的判定 (5)● 相似三角形的应用 (5)● 相似多边形的性质 (5)● 相似三角形的性质 (6)● 相似三角形的判定与性质 (6)● 作图--相似变换 (6)● 射影定理 (6)27.3位似 (7)● 位似变换 (7)● 作图-位似变换 (7)锐角三角函数 (8)28.1锐角三角函数 (8)● 锐角三角函数的定义 (8)● 锐角三角函数的增减性 (8)● 同角三角函数的关系 (8)● 互余两角三角函数的关系 (9)● 特殊角的三角函数值 (9)28.2解直角三角形及其应用 (9)● 解直角三角形 (9)● 解直角三角形的应用 (10)● 解直角三角形的应用--坡度坡角问题 (10)● 解直角三角形的应用--仰角俯角问题 (10)● 解直角三角形的应用--方向角问题 (10)投影与视图 (11)29.1投影 (11)● 平行投影 (11)● 中心投影 (11)● 视点、视角和盲区 (11)29.2三视图 (11)● 简单几何体的三视图 (11)● 简单组合体的三视图 (12)● 由三视图判定几何体 (12)● 作图--三视图 (12)29.3课题学习、制作立体模型 (12)● 课题学习制作立体模型 (12)反比例函数26.1反比例函数●反比例函数的定义【反比例函数的概念】形如的函数称为反比例函数．其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于的一切实数．【反比例函数的判断】判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为或.●反比例函数的图像【反比例函数的图象】反比例函数的图象是由两条曲线组成的，这两条曲线通常称为双曲线当k>0时，两个分支分别位于第一、三象限内；当k<0时，两个分支分别位于第二、四象限①k>0②K<0●反比例函数图像的对称性【反比例函数图象的对称性】1、反比例函数图象本身既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴分别是：①二、四象限的角平分线y=-x ；一、三象限的角平分线y=x ；对称中心是：坐标原点．2、若经过原点的直线与反比例函数交于两点，则这两点关于原点对称；3、反比例函数与的图象关于x轴，y轴对称.●反比例函数的性质●反比例函数系数k的几何意义【反比例系数的几何意义】1.在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．2.在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．●反比例函数图像上点的坐标特征【反比例函数图象上的点的坐标特征】1. 若点在反比例函数图象上，则点的横纵坐标满足反比例函数解析式2. 若点在反比例函数图象上，则也一定在反比例函数图象上3. 若点A（x,y）在反比例函数的图像上，则xy=k●待定系数法求反比例函数解析式【待定系数求反比例函数解析式的一般步骤】(1)设出含有待定系数的反比例函数解析式；(2)把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；(3)解方程，求出待定系数；(4)写出解析式．●反比例函数与一次函数的交点问题【反比例函数与一次函数的交点】1.(1)求反比例函数与一次函数的交点坐标时，先把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解，则两者有交点，方程组无解，则两者无交点；(2)已知反比例函数与一次函数的交点坐标，把点的坐标带入函数解析式可求得函数关系式或系数间的等量关系.2.判断正比例函数和反比例函数在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：(1)当k1与k2同号时，正比例函数和反比例函数在同一直角坐标系中有2个交点；(2)当k1与k2异号时，正比例函数和反比例函数在同一直角坐标系中有0个交点．26.2实际问题与反比例函数●根据实际问题列反比例函数关系式【列反比例函数关系式的一般解题思路】根据实际问题列反比例函数关系式，注意分析问题中变量之间的联系，建立反比例函数的数学模型，在实际问题中，往往要结合题目的实际意义去分析．首先弄清题意，找出等量关系，再进行等式变形即可得到反比例函数关系式．根据图象去求反比例函数的解析式，或是知道一组自变量与函数值去求解析式，都是利用待定系数法去完成的．注意：要根据实际意义确定自变量的取值范围．【根据实际问题列反比例函数的步骤】步骤1：审：审清题意,找出题目中的常量、变量,并理清常量与变量之间的关系。

一、反比例函数的定义：
反比例函数是指其表达式可以表示为y=k/x（k≠0），其中k为常数，x≠0。

二、反比例函数的一般式：
1.y=k/x
2.k为比例系数，表示常数项。

三、反比例函数的图像特点：
1.垂直于y轴；
2.不过原点，但会经过x轴的正半轴和y轴的正半轴；
3.上升（k>0）或下降（k<0）。

四、反比例函数的性质：
1.定义域：x≠0，值域：y≠0
2.渐近线：x轴和y轴是反比例函数的渐近线。

3.对称性：关于y轴对称。

4.单调性：k>0时，单调递减；k<0时，单调递增。

五、反比例函数图像的平移：
1.y=k/(x-h)：左右平移h个单位；
2.y=k/(x)+v：上下平移v个单位。

六、反比例函数与直线的关系：
1. 反比例函数与直线y=kx的图像在一起；
2. 直线y=kx可以看做反比例函数的简化形式，即k=1
七、反比例函数的应用：
1.反比例函数在实际中常用于描述两个变量之间的比例关系，如一方
的量增大，另一方的量就会减小的规律。

2.可以用反比例函数解决实际问题，如物品的价格与销量之间的关系、速度与时间之间的关系等。

初三反比例知识点总结数学一、反比例的性质和规律1. 反比例函数的定义反比例函数是指一个变量的变化导致另一个变量的变化与之成反比的函数。

通常表示为y=k/x，其中k是常数。

2. 反比例函数的图像特点反比例函数的图像呈现出一种特殊的曲线，即双曲线。

当x无限增大时，y趋于0；当x无限接近于0时，y趋于无穷大。

3. 反比例函数的性质（1）当x增大时，y减小；当x减小时，y增大。

（2）当x1>x2时，y1<y2；当x1<x2时，y1>y2。

4. 反比例函数与直线的关系反比例函数的图像在第一象限内有一条反比例函数的零点在原点的直线。

其斜率为常数k，而且直线关于原点对称。

二、反比例函数的应用1. 反比例函数在实际中的应用反比例函数在实际生活中有很多应用，比如说人均时间和工作效率、工程材料的数量和造价、飞机的飞行时间和速度、光合作用的速率和光照强度等。

这些都可以用反比例函数来表示并解决实际问题。

2. 反比例函数的解决问题在解决实际问题中，可以使用反比例函数来理解和分析问题，比如说通过反比例函数计算出两个变量之间的关系，由此得出一个变量的值；或者通过反比例函数的特性分析出两个变量之间的变化规律。

三、反比例函数的解析式与图像的绘制1. 反比例函数的解析式反比例函数的一般形式为y=k/x，其中k是比例系数。

在实际问题中，可以根据已知条件求出k，然后写出反比例函数的解析式。

2. 反比例函数的图像绘制绘制反比例函数的图像时，可以取三个以上的点，并将这些点连成光滑的曲线。

反比例函数的图像总是呈现出一种双曲线的形状，且与x轴和y轴都有渐近线。

四、反比例函数的解决问题1. 反比例函数的基本解法（1）一元一次反比例函数问题的解法：可以通过列方程，代入已知条件，解出未知量的值。

（2）一元二次反比例函数问题的解法：可以通过列方程，利用二次函数的解法来求得未知量的值。

2. 反比例函数问题的实例分析通过反比例函数的性质、规律，可以应用到各种实际问题中，比如有关时间、速度、数量、工作效率等各种问题。

人教版九年级下册数学知识点总结第二十六章反比例函数一、反比例函数的定义(k为常数，k≠0，x≠0）函数，叫做反比例函数，x是自变量，y是x的函数，x的取值范一般的，形如y=kx围是不等于0的一切实数，且y也不能等于0。

其中k叫做反比例系数。

反比例函数的表达式也可以写成下面是一些常见的形式1.y=kx−1(k≠0）2．xy=k(k≠0）因为在反比例函数的解析式y=k（k≠0）中，只有一个待定系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函数x的解析式。

因而只要给出一组x或者y的值或图像上任意一点的坐标，然后代入y=k中即可求出k的值，进而确x定反比例函数的解析式。

练习1.若函数y=(m−1)x m2−2是反比例函数，则m的值是 .的自变量x的取值范围是 .练习2.函数y=3x−2二、反比例函数的图像画法反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，当k>0时，两支曲线分别位于第一、三象限内；当k<0时，两支曲线分别位于第二、四象限内，两个分支无限接近x和y轴，但永远不会与x轴和y轴相交.反比例的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线。

注意：①列表时选取的数值宜对称选取；②列表时选取的数值越多，画的图像越精确；③连线时，一般根据自变量大小从左至右用光滑的曲线连接，切忌画成折线；④画图像时，它的两个分支应全部画出，图像与坐标轴无限接近但不能与坐标轴相交。

练习4．画反比例函数y＝的图象．（1）列表（请填空）；x﹣4﹣3﹣2﹣11234y（2）描点、连线（请在图中的平面直角坐标系中完成）；（3）点（12，）在y＝的图象上吗？为什么？练习5．问题呈现：我们知道反比例函数的图象是双曲线，那么函数（k、m、n为常数且k≠0）的图象还是双曲线吗？它与反比例函数的图象有怎样的关系呢？让我们一起开启探索之旅……探索思考：我们可以借鉴以前研究函数的方法，首先探索函数的图象．（1）画出函数图象．①列表：x…﹣6﹣5﹣4﹣3﹣201234…y…﹣1﹣2﹣4421…②描点并连线．（2）观察图象，写出该函数图象的两条不同类型的特征：①，②；（3）理解运用：函数的图象是由函数的图象向平移个单位，其对称中心的坐标为．（4）灵活应用：根据上述画函数图象的经验，想一想函数的图象大致位置，并根据图象指出，当x满足时，y≥3．练习6．将函数y＝的图象先向左平移1个单位长度，再沿y轴翻折，所得到的图象对应的函数表达式是．三、反比例函数的性质1.图像的形状：|k|越大，反比例函数的图象离坐标轴的距离越远，图像的弯曲度越小；|k|越小，反比例函数的图象离坐标轴的距离越近，图像的弯曲度越大。

人教版九年级数学下册知识点总结第二十六章、反比例函数知识点一：反比例函数的概念及其图象、性质1.反比例函数的概念（1）定义：形如y＝kx(k≠0)的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非零的一切实数．（2）形式：反比例函数有以下2种基本形式：①y＝kx；②y=kx-1; ③xy=k.(其中k为常数，且k≠0)例：函数y=3x m+1，当m=－2时，则该函数是反比例函数．2.反比例函数的图象和性质k的符号图象经过象限y随x变化的情况k>0 图象经过第一、三象限（x、y同号）每个象限内，函数y的值随x的增大而减小.k<0 图象经过第二、四象限（x、y异号）每个象限内，函数y的值随x的增大而增大.3.反比例函数的图象特征（1）由两条曲线组成，叫做双曲线；（2）图象的两个分支都无限接近x轴和y轴，但都不会与x轴和y轴相交；（3）图象是中心对称图形，原点为对称中心；也是轴对称图形，2条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限和二、四象限的角平分线．4.待定系数法只需要知道双曲线上任意一点坐标，设函数解析式，代入求出反比例函数系数k即可.例：已知反比例函数图象过点（－3，－1），则它的解析式是y=3/x知识点二：反比例系数的几何意义及与一次函数的综合5.系数k的几何意义（1）意义：从反比例函数y＝kx(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为1/2|k|.（2）常见的面积类型：失分点警示已知相关面积，求反比例函数的表达式，注意若函数图象在第二、四象限，则k＜0.例：已知反比例函数图象上任一点作坐标轴的垂线所围成矩形为3，则该反比例函数解析式为：3yx=或3yx=-6.与一次函数的综合（1）确定交点坐标：【方法一】已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为（-a,-b）.【方法二】联立两个函数解析式，利用方程思想求解.（2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求解（3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除.（4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围.涉及与面积有关的问题时，①要善于把点的横、纵坐标转化为图形的边长，对于不好直接求的面积往往可分割转化为较好求的三角形面积；②也要注意系数k的几何意义.例：如图所示，三个阴影部分的面积按从小到大的顺序排列为：S△AOC=S△OPE＞S△BOD知识点三：反比例函数的实际应用7.一般步骤（1题意找出自变量与因变量之间的乘积关系；（2设出函数表达式；（3）依题意求解函数表达式；（4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题.。

《反比例函数》讲义一、反比例函数的定义一般地，如果两个变量 x、y 之间的关系可以表示成 y ＝ k/x（k 为常数，k≠0）的形式，那么称 y 是 x 的反比例函数。

例如，在路程 s 一定的情况下，速度 v 和时间 t 之间的关系为 v ＝s/t，当 s 为常数时，v 就是 t 的反比例函数。

需要注意的是，反比例函数中，x 作为分母不能等于 0，所以函数的定义域是x≠0 的一切实数。

二、反比例函数的表达式反比例函数常见的表达式有以下三种形式：1、 y ＝ k/x（k 为常数，k≠0），这是最基本的形式。

2、 xy ＝ k（k 为常数，k≠0），变形可得 y ＝ k/x。

3、 y ＝ kx^（－1)（k 为常数，k≠0），这里的 x^（－1)表示 1/x。

三、反比例函数的图象反比例函数的图象是双曲线。

当 k＞0 时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而减小；当 k＜0 时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而增大。

例如，函数 y ＝ 2/x，因为 k ＝ 2＞0，所以图象的两支分别在第一、三象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而减小。

再比如，函数 y ＝－3/x，由于 k ＝－3＜0，图象的两支就在第二、四象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大。

为了更准确地画出反比例函数的图象，我们可以采用以下步骤：1、列表：选取一些 x 的值，计算出相应的 y 值，列出表格。

2、描点：根据表格中的数值，在平面直角坐标系中描出对应的点。

3、连线：用平滑的曲线将这些点连接起来。

四、反比例函数的性质1、对称性反比例函数的图象关于原点对称。

这意味着如果点（a，b）在反比例函数的图象上，那么点（a，b）也在图象上。

它的图象还是关于直线 y ＝ x 和 y ＝ x 对称的。

2、增减性当 k＞0 时，在每个象限内，y 随 x 的增大而减小；当 k＜0 时，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大。

九年级数学下册《反比例函数》知识点人教版九年级数学下册《反比例函数》知识点人教版知识点一、反比例函数的概念形如 y=k/x(k为常数且k≠0) 的函数，叫做反比例函数。

反比例函数属于奇函数，有f(-x)=-f(x),图像关于原点对称。

反比例函数的解析式可以得出，在反比例函数的图像上任取一点，向两个坐标轴作垂线，这点、两个垂足及原点所围成的矩形面积是定值，为∣k∣。

反比例函数的图像为双曲线。

二、反比例函数的性质函数y=k/x 称为反比例函数，其中k≠0，其中X是自变量，1.当k0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y随x的增大而减小;当k0时，图象分别位于二、四象限，同一个象限内,y随x的增大而增大。

2.k0时，函数在x0上同为减函数、在x0上同为减函数;k0时，函数在x0上为增函数、在x0上同为增函数。

3.x的取值范围是：x≠0;y的取值范围是：y≠0。

4..因为在y=k/x(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y 轴相交。

但随着x无限增大或是无限减少，函数值无限趋近于0，故图像无限接近于x轴5. 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴 y=x y=-x(即第一三，二四象限角平分线)，对称中心是坐标原点。

课后习题1.已知点P(1，-3)在反比例函数y=kx(k≠0)的图象上，则k的值是( )A.3B.-3C.13D.-132.对于反比例函数y=3x，下列说法正确的是( )A.图象经过点(1，-3)B.图象在第二、四象限C.x0时，y随x的增大而增大D.x0时，y随x增大而减小3.在同一直角坐标系下，直线y=x+1与双曲线y=1x的交点的个数为( )A.0个B.1个C.2个D.不能确定4.已知反比例函数y=bx(b为常数)，当x0时，y随x的增大而增大，则一次函数y=x+b的图象不经过( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限答案：1.B2.D3.C4.B。

变式1 如果y 是m 的反比例函数，m 是x 的反比例函数，那么y 是x 的（ ） A ．反比例函数 B ．正比例函数 C ．一次函数 D ．反比例或正比例函数 变式2 若函数11-=m xy (m 是常数)是反比例函数，则m ＝________，解析式为________．题型二：反比例函数解析式例3 已知A （﹣1，m ）与B （2，m ﹣3）是反比例函数图象上的两个点．则m 的值 ．例4 已知y 与2x －3成反比例，且41=x 时，y ＝－2，求y 与x 的函数关系式．变式3已知y 与x 成反比例，当x ＝2时，y ＝3．(1)求y 与x 的函数关系式；(2)当y ＝－23时，求x 的值．变式4 已知函数12y y y =-，其中1y 与x 成正比例, 2y 与x 成反比例，且当x ＝1时，y ＝1；x ＝3时，y ＝5．求：（1）求y 关于x 的函数解析式； （2）当x ＝2时，y 的值．1、反比例函数的图像（1）形状与位置：反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。

（2）变化趋势：由于反比例函数中自变量x ≠0，函数y ≠0，所以，它的图像与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。

2、反比例函数的性质（1）对称性：反比例函数的图像是关于原点对称的中心对称图形，同时也是轴对称图形，有两条对称轴，分别是一、三象限和二、四象限的角平分线，即直线y x =±。

（注：过原点的直线与双曲线的两个交点关于原点对称）（2）双曲线的位置：当k>0时，双曲线位于一、三象限（x ，y 同号）；当k<0时，双曲线位于二、四象限（x ，y 同号异号），反之也成立。

（3）增减性： 当k>0时，双曲线走下坡路，在同一象限内，y 随x 的增大而减小；当k<0时，双曲线走上坡路，在同一象限内，y 随x 的增大而增大。

反比例函数九年级知识点反比例函数是初中数学中的一个重要知识点。

在九年级学完正比例函数后，学生通常会在课堂上接触到反比例函数的概念和性质。

接下来，我们将深入探讨反比例函数及其应用。

一、反比例函数的定义反比例函数是指函数中的两个变量之间存在着一种特殊的关系：当一个变量的值增大时，另一个变量的值就会减小，反之亦然。

其数学表达形式为 y = k / x，其中 k 是比例常数，而 x 和 y 分别表示自变量和因变量。

二、反比例函数的性质1. 定义域和值域对于反比例函数 y = k / x，自变量x 可以取任意不为0的实数，因变量 y 的值域为全体实数。

2. 对称中心反比例函数的图像关于第一象限、第二象限、第三象限和第四象限的坐标轴有对称性，且交点为(1, k)。

3. 单调性当自变量 x 变大时，因变量 y 逐渐减小；当自变量 x 变小时，因变量 y 逐渐增大。

因此，反比例函数是单调函数。

4. 渐近线对于反比例函数 y = k / x，当自变量 x 趋于正无穷大或负无穷大时，因变量 y 趋于0。

因此，反比例函数的图像与 x 轴和 y 轴分别有两条渐近线。

三、反比例函数的图像反比例函数的图像呈现出一条平面上的双曲线。

根据反比例函数的性质，我们可以知道，当自变量取较小的正数时，函数的值较大；当自变量取较大的正数时，函数的值较小。

图像的左侧和右侧都逐渐靠近 x 轴，说明函数值趋于无穷大。

而当自变量 x 离 0 越远时，函数值越接近于 0。

四、反比例函数的应用反比例函数广泛应用于各个领域，如物理学、经济学和生物学等。

以下是几个常见的应用示例：1. 电阻和电流欧姆定律规定电阻大小与通过电流的大小成反比例关系。

当电流增大时，电阻减小，反之亦然。

这种关系可以用反比例函数来描述。

2. 速度和时间在实际的物理运动中，速度与所用时间成反比例关系。

当速度增大时，所用时间减小，反之亦然。

反比例函数可以用来描述运动物体在不同速度下所用的时间。