24江苏省夏令营高中数学竞赛(练习题)可编辑
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练习题
1.在ABC中，∠C=90°，AD和BE是它的两条内角平分线，设L、M、N分别为AD、AB、BE的中点，X=LM∩BE，Y=MN∩AD，Z=NL∩DE．求证：X、Y、Z三点共线．(2000年江苏省数学冬令营)
证明：作ΔABC的外接圆，则M为圆心．
∵ MN∥AE， ∴ MN⊥BC．
∵ AD平分∠A，∴ 点Y在⊙M上，同理点X也在⊙M上．∴ MX=MY．
记NE∩AD=F，由于直线DEZ与ΔLNF的三边相交，直线AEC与ΔBDF三边相交，直线BFE与ΔADC三边相交，由梅氏定理，可得：
LZZN·NEEF·FDDL=1．NZZL=NEEF·FDDL=BEEF·FDDA；
FEEB·BCCD·DAAF=1，AFFD·DBBC·CEEA=1．
三式相乘得NZZL=BDDC·CEAE=ABAC·BCAB=BCAC．
另一方面，连结BY、AX，并记MY∩BC=G，AC∩MX=H， 于是有∠NBY=∠LAX，
∠MYA=∠MAY=∠LAC， ∴∠BYN=∠ALX．
∴ ΔBYN∽ΔALX．
∴ LXNY=AFBG=ACBC，
∴ NZZL·LXXM·MYYN=NZZL·LXNY=1．
由梅氏定理可得，X、Y、Z三点共线．
2．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB均是锐角，D是BC边上的内点，且AD平分∠BAC，过点D分别向两条直线AB、AC作垂线DP、DQ，其垂足是P、Q，两条直线CP与BQ相交与点K．求证：AK⊥BC；
证明：作高AH．
则由BDP∽BAH，BHPB=BABD，由CDQ∽CAH，CQHC=DCCA．
由AD平分∠BAC，DCBD=ACAB，由DP⊥AB，DQ⊥AC，AP=AQ．
∴ APPB·BHHC·CQQA=APQA·BHPB·CQHC=BABD·DCCA=DCBD·BACA=1，据塞瓦定理，AH、BQ、CP交于一点，故AH过CP、BQ的交点K，
∴ AK与AH重合，即AK⊥BC．
3.设P是△ABC内任一点，在形内作射线AL，BM，CN，使得∠CAL＝∠PAB，∠MBC＝∠PBA，∠NCA＝∠BCP，求证：AL、BM、CN三线共点。
证明：设AL交BC于L，BM交CA于M，CN交AB于N，则由正弦定理得：
CALACBALABLCBLsinsinPABACPACABsinsin
PBCABPBABCMACMsinsin，PCABCPCBACNBANsinsin
将上述三式相乘得： HKQPDCBAACBYXZMNLEDFGHABCNFDLEMP 1sinsinsinsinsinsinPCPBPBPAPAPCPCAPBCPABPCBPBAPACNBANMACMLCBL
由塞瓦定理逆定理知：AL、BM、CN三线共点。
4.圆心为O的一个圆经过△ABC的顶点A和C，并与AB，BC分别交于不同的两点K、N，△ABC的外接圆和△KBN的外接圆相交于两个不同的点B、M，求证：∠OMB是直角。（26届IMO试题）
MNKABCO
证明：如图，设AC与KN相交于点P，连结PB与弧BNK相交于点M’，
则由圆幂定理知：PAPC=PKPN=PBPM'
又PAPC=PBPM
所以PBPM'=PBPM
从而知点M与M’重合。
因为A，K，N，C四点共圆，所以∠BNK=∠A
又∠BNK=∠BMK，
所以∠BMK=∠A
又由外心的性质可知：∠A+∠KCO=090
下证：∠KCO=∠KMO
又∠BMN=∠AKN =∠NCP
所以M，N，C，P四点公圆
又∠CMK=∠KMN+∠NMC=∠KBN+∠NPC
=0360-2∠A-∠ACB-∠AKN=0180-2∠A=0180-∠KOC
所以K，O，C，M四点共圆，从而结论成立。
5．锐角△ABC，H为自A向边BC所引高的垂足，以AH为直径的圆分别交边AB，AC于M，N（不同于A），过点A作直线LA垂直于MN，类似地作出LB，LC，求证：LA，LB，LC三线共点。
证明：连结HN，则HN⊥AC，过点B作BG⊥AB，交LA于G
由AG ⊥MN，因为∠AMN=∠AHN=∠C
所以∠BAG=090-∠AMN=090-∠C=∠HAC
又∠ABG=090=∠AHC
所以ABG∽AHC∠AGB=∠ACBA，B，G，C四点共圆，
即点G在△ABC的外接圆上。 NMHABCFEDIBAC因为∠ABG=090，故AG是△ABC外接圆的直径，就是说LA经过△ABC的外心
同理可证：LB，LC经过△ABC的外心。
故结论成立。
6．如图，△ABC为锐角三角形，且BC>AC，O是它的外心，H是它的垂心，F是高CH的垂足，过F作OF的垂线交边CA于P，证明：∠FHP=∠BAC
PFHOCBA TDNMPFHOCBA
证明：延长CF交圆O于D，连结BD，BH，由垂心性质可知F为HD的中点。
设FP所在直线交圆O于M，N，交BD于点T，由OFMN，知F为MN中点，由蝴蝶定理知：F为PT中点；又F为HD中点，故HP//TD，于是∠FHP=∠BDC=∠BAC
7．如图，在⊿ABC中，AB≠AC，I是它的内心，过I作一圆与边AB切于B，与直线AC交于D、E，求证：IC平分∠DIE.
【分析】I是⊿ABC的内心→∠ICD=∠ICB，
要证∠CID=∠CIE，只需证∠IDC=∠IFC，即证∠IDA=∠IFB，
B、I、D、E共圆→∠IDA=∠IBE，
AB是圆的切线→∠IBA=∠IEB，
I是⊿ABC的内心→∠IBA=∠IBF，
∴∠IEB=∠IBF，∴∠IFB=∠IBE=∠IDA，得证.
8．M是△ABC边AB上的任意一点.r1，r2，r分别是△AMC，△BMC，△ABC内切圆的半径，q1，q2，q分别是上述三角形在∠ACB内部的旁切圆半径.证明：11qr·22qr=qr.(IMO-12)
分析：对任意△A′B′C′，由正弦定理可知
OD=OA′·2'sinA
=A′B′·'''sin2'sinBOAB·2'sinA A...'B'C'OO'ED =A′B′·2''sin2'sin2'sinBABA，
O′E= A′B′·2''sin2'cos2'cosBABA ∴2'2''BtgAtgEOOD.
亦即有
11qr·22qr=2222BtgCNBtgCMAtgAtg=22BtgAtg=qr.
9.如图，从半圆上的一点C向直径AB引垂线，设垂足为D，作⊙O1切︿BC，CD，DB分别于点E，F，G，求证：AC=AG
ECAOBDO1FG
证明：设半圆的圆心为O，则O，O1，E共线，连O1F，知O1F⊥CD，得O1F//AB，连结EF，AE，由∠FEO1=21∠FO1O=21∠EOB=∠OEA，知E，F，A三点共线。
又因为∠ACB=090，CD⊥AB，有∠ACF=∠ABC=∠AEC，从而AC是⊙CEF的切线，故点A对⊙CEF的幂AC2等于点A对⊙O1的幂AG2，即有AC=AG
ECAOBDO1FG 10.如图，PAB、PCD为圆O割线，AD交BC于E，AC交BD于F，则EF为P的极线。（1997年CMO试题等价表述）
证法一：作AEB外接圆交PE于M，则PE*PM=PA*PB=PC*PD，故CDME共圆（其实P为三圆根心且M为PAECBD密克点），从而∠BMD=∠BAE+∠BCD=∠BOD， BOMD共圆。∠OMT=∠OMB+∠BMT=∠ODB+∠BAE=90°故M为ST中点，PS*PT= PA*PB=PE*PM，由定理2（3）知E在P极线上，同理F亦然，故EF为P的极线。 STMECAOPBD WVUTSECAOPBD
证法二：如图，设PS、PT为圆O切线。在△ABT中，可以得到**AUBVTWUBVTWA
sinsinsinsinsinsinASASTBDBDATCTCBBSBSTDTTDAACACB1ASBDTCPSPBPCBSACDTPBPCPT
由塞瓦定理逆定理知ST、AD、BC三线共点于E，同理F亦然，故EF为P的极线。
至此，点P在圆O外时，我们得到了P点极线的四种常见的等价定义：
1、过P反演点做的OP的垂线。
2、过P任意作割线PAB，AB上与PAB构成调和点列的点的轨迹所在的直线。
3、P对圆O的切点弦。
4、过P任意做两条割线PAB、PCD，AD、BC交点与AC、BD交点的连线。(注：切线为割线特殊情形，故 3、4是统一的)
11. △ABC内切圆I分别切BC、AB于D、F，AD、CF分别交I于G、H。求证：3DFGHFGDH(2010年东南数学奥林匹克)
证明：如图，由定理13知GFDE为调和四边形，据托勒密定理有GD*EF=2FG*DE，
同理HF*DE=2DH*EF相乘得 GD*FH= 4DH*FG又由托勒密定理GD*FH= DH*FG+FD*GH，代入即得 3DFGHFGDH HGCBAIFDE
12.已知：如图，△ABC内切圆切BC于D，AD交圆于E，作CF=CD，CF交BE于G。求证：GF=FC（2008年国家队选拔）
证明：设另两切点为H、I，HI交BD于J，连JE。由定理10知AEKD为调和点列，由定理11知AD的极点在HI上，又AD极点在BD上，故J为AD极点；则JE为切线，BDCJ为调和点列，由CF=CD且JD=JE知CF//JE，由定理3知GF=FC。
（注：例8中BDCJ为一组常见调和点列）
FGJKECABHDI
13.如图，圆内接完全四边形ABCDEF中AC交BD于G，则EFGO构成垂心组（即任意一点是其余三点的垂心）。
证明：据例6知EG，FG共轭，由定理12
22FGEG=(E的幂+G的幂)-（F的幂+G的幂）= E的幂-F的幂=22FOEO
则OG⊥EF，其余垂直同理可证。
