培优专题一：函数的值域的求法(教师版)

例题2
求下列函数的值域：
1) y 2x 4 1 x； 方法四
换元法
通过换元把求已知函数的值域转化为求关于新元 的函数值域，从而求得原函数值域的方法叫换元法。
——常用于部分根式函数。
2) y x 。 方法五 x2 1
判别式法
把已知函数转化为关于变量的二次方程，再利用方程有 解则判别式非负。从而求得原函数值域的方法叫判别式法。
函数值域的求法
复习
1）什么叫函数的值域？函数的值域应该怎样表示？ 答：由自变量对应的所有函数值构成的集合叫
函数的值域。函数的值域应该用集合的描述法或区 间表示。
2）正比例函数y=kx、一次函数y=ax+b的值域分别 是什么？ 答：都是R。
3）反比例函数y k (k 0)的值域是什么？ x
答：y y R且y 0。
2
2
综上可得所求函数的值
域为
1 2
,
1 2
。
数学小博士
先用判别式法求下列函数的值域，
考考你： 再用其它方法检验：（讨论）
1) y x x 1； 答：1， 。
2) y
x2 3x 2。 x2 x 2
（2）答：y (x 1)(x 2) x 1 (x 1且x 2) (x 1)(x 2) x 1
Байду номын сангаас
3) y 1 2x;
4)y 2x4 x2 2
答：1)1,；2) ,2；3)0,；4) 2,。
题组2：求下列函数的值域：（每组选答一题）
1)y (x 1)2 2(x 0)；
2) y 1 x x 1；
3) y 25 x2 ;
4) y 1 。 2 x2
答： 1)3,
;2)0;3)0,5;4)

函数值域的求法8大题型命题趋势函数的值域是函数概念中三要素之一，是高考中的必考内容，具有较强的综合性，贯穿整个高中数学的始终。

在高考试卷中的形式千变万化，但万变不离其宗，真正实现了常考常新的考试要求，考生在复习过程中首先要掌握一些简单函数的值域求解的基本方法，其次要多看多练在其他板块中涉及值域类型的内容。

满分技巧一、求函数值域的常见方法1.直接法：对于简单函数的值域问题，可通过基本初等函数的图象、性质直接求解；2.逐层法：求f 1(f 2⋯f n (x ))型复合函数的值域，利用一些基本初等函数的值域，从内向外逐层求函数的值域；3.配方法：配方法是二次型函数值域的基本方法，即形如“y =ax x +bx +c (a ≠0)”或“y =a [f (x )]2+bf (x )+c (a ≠0)”的函数均可用配方法求值域；4.换元法：利用换元法将函数转化为易求值域的函数，常用的换元有(1)y =ax +b cx +d或y =cx +dax +b 的结构，可用“cx +d =t ”换元；(2)y =ax +b ±cx +d (a ,b ,c ,d 均为常数，a ≠0,c ≠0)，可用“cx +d =t ”换元；(3)y =bx ±a 2-x 2型的函数，可用“x =a cos θ(θ∈[0,π])”或“x =a sin θθ∈-π2,π2”换元；5.分离常数法：形如y =ax +b cx +d (ac ≠0)的函数，应用分离常数法求值域，即y =ax +b cx +d=ac +bc -adc 2x +d c ，然后求值域；6.基本不等式法：形如y =ax +bx(ab >0)的函数，可用基本不等式法求值域，利用基本不等式法求函数的值域时，要注意条件“一正、二定、三相等”，即利用a +b ≥2ab 求函数的值域(或最值)时，应满足三个条件：①a >0,b >0；②a +b (或ab )为定值；③取等号的条件为a =b ，三个条件缺一不可；7.函数单调性法：确定函数在定义域上的单调性，根据函数单调性求出函数值域(或最值)(1)形如y =ax +b -cx +d (ac <0)的函数可用函数单调性求值域；(2)形如y =ax +bx的函数，当ab >0时，若利用基本不等式等号不能成立时，可考虑利用对勾函数求解；公众号：高中数学最新试题当ab <0时，y =ax +bx在(-∞,0)和(0,+∞)上为单调函数，可直接利用单调性求解。

第2讲 函数的值域（最值）常见求法2【知识要点】一、函数值域的定义函数值的集合叫做函数的值域.二、值域范围的决定因素函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法求函数的值域，都要考虑定义域，函数的问题必须遵循“定义域优先”的原则.三、常见函数的值域1、一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R .2、二次函数()20y ax bx c a =++≠，当0a >时的值域为24,4ac b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭， 0a <时的值域为24,4ac b a ⎛⎤--∞ ⎥⎝⎦. 3、反比例函数()0k y k x =≠的值域为{}0y R y ∈≠. 4、指数函数()01x y a a a =>≠且的值域为{}0y y >.5、对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R .6、幂函数3y x =的值域为R ，幂函数12y x ==[0,)+∞.7、正弦函数sin y x =、余弦函数cos y x =的值域为[]1,1-，正切函数tan y x =的值域为R .四、求函数的值域常用的方法求函数的值域常用的方法有观察法、分离常数法、配方法、反函数法、换元法、判别式 法、基本不等式法、单调性法、数形结合法、导数法、绝对值不等式法和柯西不等式法等.其中最常用的有“三数（函数、数形结合、导数）”和“三不（基本不等式、绝对值不等式、柯西不等式）”.五、函数的值域一定要用集合或区间来表示六、函数值域与最值的联系函数的值域、取值范围和函数的最值实际上是同一范畴的问题，所以求函数值域的方法适用于求函数的最值和取值范围等.【方法讲评】【例1】求函数3274222++-+=x x x x y 的值域.【反馈检测1】求函数22221xx y x x -+=++的值域.【例2】已知52x ≥，求函数245()24x x f x x -+=- 的最小值.【例3】已知(0,)θπ∈，求函数sin(1cos )2y θθ=⋅+的最大值.【反馈检测2】已知0>x ，0>y ，且291=+yx ，则y x +的最小值为___________.【反馈检测3】已知α∈R ，函数a a xx x f +-+=|4|)(在区间[1，4]上的最大值是5， 则a 的取值范围是___________．【例4】求函数212()log (35)(02)f x x x x =-+≤≤的值域.【例5】求函数532log 10)x y x -=+≤≤的值域.【反馈检测4】求函数14)3y x x =≤的值域.【例6】求函数14y x x =-++的值域.【例7】 如果函数f x x ()()=-+112定义在区间[]t t ，+1上，求f x ()的最小值.【例8】求函数x x y cos 2sin 3--=的值域.【例9】设()f x 是R 上的偶函数，对任意x R ∈，都有(2)(2),f x f x -=+且当[2,0]x ∈-x 的方程()log (2)0(1)a f x x a -+=>恰有3个不同的实数根，则a 的取值范围是（ ）A ．（1，2）B ．(2,)+∞C D【例10】点P 为抛物线：24y x =上一动点，定点(2,A ，则||PA 与P 到y 轴的距离之和的最小值为（ ）A.9B.10C.8D.5【例11】已知x ，y 满足约束条件1343530x x y x y ≥⎧⎪-≤-⎨⎪+≤⎩(1)求目标函数2z x y =-的最大值和最小值；(2)若目标函数z ax y =+取得最大值的最优解有无穷多个，求a 的值；(3)求22z x y =+的取值范围．【反馈检测5】若点A 的坐标为（3，2），F 为抛物线22y x =的焦点，点P 是抛物线上的一动点，则||||PA PF +取得最小值时，点P 的坐标是 .【例12】圆锥的底面直径2AB =，母线长3VA =，点C 在母线VB 上，且1VC =， 有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A 到达点C ，则这只蚂蚁爬行的最短距离是（ ）A ．13B ．7C ．433 D ．332 【反馈检测6】如图，圆锥的底面圆直径AB 为2，母线长SA 为4，若小虫P 从点A 开始绕着圆锥表面爬行一圈到SA 的中点C ，则小虫爬行的最短距离为______．A V C B【例12】已知函数()ln f x x x =，2()(3)()xg x x ax e a R =-+-∈ （1）当5a =时，求函数()y g x =在1x =处的切线方程；（2）求()f x 在区间[,2]t t +(0)t >上的最小值．【例13】两县城A 和B 相距20km ，现计划在两县城外以AB 为直径的半圆弧AB 上选择一点C 建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A 和城B 的总影响度为城A 与城B 的影响度之和，记C 点到城A 的距离为xkm ，建在C 处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度为y ，统计调查表明：垃圾处理厂对城A 的影响度与所选地点到城A 的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B 的影响度与所选地点到城B 的距离的平方成反比，比例系数为k ，当垃圾处理厂建在AB 的中点时，对城A 和城B 的总影响度为0.065.（1）将y 表示成x 的函数；（2）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧AB 上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度最小？若存在，求出该点到城A 的距离;若不存在，说明理由.。

求函数值域的常用方法：
一、 观 察 法
(1) 函数 f ( x ) x 1 3 的值 域是 __________ .
(2) 函数 f ( x ) x 2 1定义域为 A { x Z | x 2}, 则 f ( x )的 值域是 _________.
(3)函数y x2 2x3的值域_是______ (4)函数y x2 2x3的值域_是____ (5)函数y 1 的值域_是______
x2 4x6
二、配 方 法
(3)函数y x2 2x3的值域_是______ (4)函数y x2 2x3的值域_是____ (5)函数y 1 的值域_是______
x2 4x6
练 习:
函数 yx212x3的值域是 .
求 函 f(x) 数 x22x3,x [1,2] 的 值 . 域
(6)y 2x1 x3
自学p74学一学3 p74 —75 练一练3（6个小题）
❖1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月4日星期五2022/3/42022/3/42022/3/4 ❖2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/42022/3/42022/3/43/4/2022 ❖3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/42022/3/4March 4, 2022 ❖4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/42022/3/42022/3/42022/3/4
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
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