辽宁省庄河市高级中学2017届高三9月月考(开学考试)数学(理)试题
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数学试卷（理科）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.已知全集UR，{|0}Axx，{|1}Bxx，则集合()UCAB（ ）
A．{|1}xx B．{|1}xx
C．{|10}xx D．{|01}xx
2. 设复数z满足2i2i5z，则z（ ）
A．1i B．1i C．12i D．12i
3. 3.已知双曲线22221xyab（0a，0b）经过点2,3，且离心率为2，则它的焦距为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
4.已知122a，13log2b，121log5c，则（ ）
A．abc B．acb C．cab D．cba
5.已知单位向量1e与2e的夹角为，且1cos5，若122aee，123bee，则ab（ ）
A．2 B．2 C．12 D．12
6. 已知命题p：若0x，则函数12yxx的最小值为1；命题q：若1x，则2230xx．则下列命题是真命题的是（ ）
A．pq B．pq C．pq D．pq
7.6人站成一排，其中甲不在两端，甲、乙不相邻的站法种数为（ ）
A．72 B．120 C．144 D．288
8.某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（俯视图中弧线是14圆弧）（ ）
A．4π B．π2 C．π12 D．π14
9.设各项都是正数的等差数列na的公差为d，前n项和为nS，若2a，3S，25aS成等比数列，则1da（ ）
A．0 B．32 C．23 D．1
10.将函数πsin24yx的图象向左平移π2个单位长度，所得图象对应的函数（ ）
A．在区间π3π,44上单调递减 B．在区间π3π,44上单调递增
C．在区间π3π,88上单调递减 D．在区间π3π,88上单调递增
11.当x，y满足不等式组22,4,72xyyxxy时，22kxy恒成立，则实数k的取值范围是（ ）
A．1,1 B．2,0 C．13,55 D．1,05
12.已知函数223(0),()(0),xxxxfxaxe的图象上存在两点关于y轴对称，则实数a的取值范围是（ ）
A．[-3,1] B．(-3,1) C．3[,9]ee D．132[,9]ee
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 8(2)x的展开式中，5x的系数为______.
14. 执行如图所示的程序框图，输出的n值为___________．
15. 已知偶函数fx在0,上是增函数，则满足223fxfx的实数x的取值范围是______________．
16.已知00(,)xy是直线21xyk与圆22223xykk的公共点，则00xy的取值范围是__________.
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ac，已知3BABC，3cos7B，214b．求：
（Ⅰ）a和c的值；
（Ⅱ）sinAB的值．
18.（本小题满分12分）
为了解今年某校高三毕业班想参军的学生体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图）.已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2：3，其中第2小组的频数为24.
（Ⅰ）求该校高三毕业班想参军的学生人数；
（Ⅱ）以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省高三毕业班想参军的同学中
（人数很多）任选三人，设X表示体重超过60公斤的学生人数，求X的分布列和数学期望.
19.（本小题满分12分）
已知三棱柱111ABCABC中，平面1AAC平面ABC，BCAC，112ACBCAAAC.
（Ⅰ）求证：1AC平面1ABC；
（Ⅱ）求平面1AAB与平面1ABC所成二面角的余弦值.
20. 已知抛物线C：22ypx（0p）与椭圆C：22151416xy相交所得的弦长为2p．
（Ⅰ）求抛物线C的标准方程；
（Ⅱ）设A，B是C上异于原点O的两个不同点，直线OA和OB的倾斜角分别为和，当，变化且为定值（tan2）时，证明：直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标．
21.（本小题满分12分）
2.71828e为自然对数的底数.
（Ⅰ）求函数2()lnxfxx在区间14[,]ee上的最值；
（Ⅱ）当102m时，设函数244()()lnmmxGxfxx（其中m为常数）的3个极值点为,,abc，且abc，将2,,,0,1abc这5个数按照从小到大的顺序排列，并证明你的结
论.
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，AB是O的直径，BE为O的切线，点C为O上不同于A、B的一点，AD为BAC的平分线，且分别与BC交于H，与O交于D，与BE交于E，连接BD、CD．
（Ⅰ）求证：DBEDBC；
（Ⅱ）求证：AHBHAEHC．
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，动点A的坐标为23sin,3cos2，其中R．在极坐标系（以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，直线C的方程为πcos4a．
（Ⅰ）判断动点A的轨迹的形状；
（Ⅱ）若直线C与动点A的轨迹有且仅有一个公共点，求实数a的值．
24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设函数2fxxa，aR．
（Ⅰ）若不等式1fx的解集为13xx，求a的值；
（Ⅱ）若存在0xR，使003fxx，求a的取值范围．
辽宁省河市高级中学高三9月份考试·数学（理科）
参考答案、提示及评分细则
一、选择题
1. C {|01}ABxxx或，(){|10}UCABxx
2．A 5222ziii，222zi，1zi．
3．B 2ca，2ca，3ba，224913aa，21a，244ca．
4．C 01a，0b，1c．
5．A，2212122352112abeeee．
6．A，p假，q真．
7．D 先排甲，再排乙，324434288CCA．
8．D，该几何体为正方体割去一个14圆柱，1=14Vx．
9．B，21111611332adadadad．
10．C
11．D，不等式组表示的平面区域为三角形ABC，2,2A，5,1B,20C，．
则由2222k，2512k，222k得105k．
12．D 设(,)(0)Pxyx是()fx上一点，则点P关于原点的对称点为'(,)Pxy，于是223xaxxe，∴2(23)(0)xaexxx，令2()(23)xxexx，
则22'()(23)(43)(273)(21)(3)xxxxxexxexexxexx，
∴()x在1[,3]2上是增函数，在1[0,]2与[3,)上是减函数，
又32x时，()0x，121()2e，3(3)9e，∴1329eae．
二、填空题
13. 112
14.7 由题意，2345610022222226,7Sn，故输出7n．
15. (,3)(1,) 由2223xxx得1x或3x．
16. 11621162[,]44 222222k，由00222002123xykxykk得20031(1)22xyk，
∴001162116244xy，∴11621162[,]44．
三、解答题
17. 解：（Ⅰ）由3BABC得，cos2caB．
又3cos7B，所以7ac．
（Ⅱ）在ABC△中，2210sin1cos7BB，
由正弦定理，得35sinsin7aABb，
因为cos0B，所以A为锐角，因此214cos1sin7AA．
于是35sinsincoscossin7ABABAB．…………………………………………………12分
18.（Ⅰ）设想参军的人数为n，前三小组的频率分别为1p，2p，3p，
则由条件可得：21311232,3,(0.0370.013)51,ppppppp 解得10.125p，20.25p，
30.375p.
又因为2240.25pn，故96n.……………………6分
（Ⅱ）由（1）可得，一个想参军的学生体重超过60公斤的概率为
35(0.0370.013)58pp.…………………………8分
所以X服从二项分布，3253()()()88kkkPXkC，
∴随机变量X的分布列为
2713525512515()01235125125125128EX（或515()388EX）.……………………12分
19.解：（法一）（Ⅰ）由于平面1AAC平面ABC，BCAC，所以BC平面1AAC，所以1BCAC.
而1AAAC，所以四边形11AACC是菱形，因此11ACAC，所以1AC平面1ABC.………………4分
（Ⅱ）设11ACACO，作1OEAB于E，连接AE，
由（Ⅰ）知1AC平面1ABC，即AO平面1ABC，所以1AOAB，
又1OEAB于E，因此1ABAE，
所以AEO为两平面所成锐二面角的平面角.
在1RtAEO中，11AO，145OAE，故直角边22OE，
又因为RtAEO中3AO，因此RtAEO中斜边142AE，
所以7cos7OEAE，所以所求两平面所成锐二面角的余弦值为77.……………………
